2022-2023学年广东省佛山市石门中学高一（下）第一次监测数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省佛山市石门中学高一（下）第一次监测数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，平行四边形ABCD中，E是BC的中点，若AB=a，AD=b，则DE=( )
A. 12a−bB. 12a+bC. a+12bD. a−12b
2.已知向量a，b满足|a|=1，|b|= 3，|a−2b|=3，则a⋅b=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
3.函数f(x)=sinx3+csx3的最小正周期和最大值分别是
( )
A. 3π和 2B. 3π和2C. 6π和 2D. 6π和2
4.已知sin2α+sinα=1−cs2α，α∈(0,π)，则sin2α=( )
A. −38B. −34C. 34D. 38
5.已知向量a=(3,4)，b=(1,0)，c=a+tb，若=，则t=( )
A. −6B. −5C. 5D. 6
6.将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )
A. 16B. 14C. 13D. 12
7.如图，已知△ABC与△AMN有一个公共顶点A，且MN与BC的交点O平分BC，若AB=mAM，AC=nAN，则1m+2n的最小值为( )
A. 4
B. 3+ 22
C. 32+ 2
D. 6
8.设函数f(x)的定义域为R，f(−x)=f(x)，f(x)=f(2−x)，当x∈[0,1]时，f(x)=x3.则函数g(x)=|cs(πx)|−f(x)在区间[−12,52]上的所有零点的和为( )
A. 7B. 6C. 3D. 2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数g(x)=3sin(3x−π4)−3，则( )
A. g(x)的最小正周期为6πB. g(x)的图象关于直线x=π4对称
C. g(x)的图象关于点(5π12,−3)对称D. g(x)在[0,π3]上单调递增
10.已知向量a=(−2,1)，b=(−1,t)，则下列说法正确的是( )
A. 若a⊥b，则t的值为−2
B. 若a//b，则t的值为12
C. 若0D. 若(a+b)⊥(a−b)，则|a+b|=|a−b|
11.函数f(x)=cs2x−3sinx+1(0A. π6B. 5π6C. 11π6D. 7π6
12.如图，直角△ABC的斜边BC长为2，∠C=30°，且点B，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方.则( )
A. |OA+OC|有最大值也有最小值
B. OA⋅OC有最大值无最小值
C. |OA+BC|有最小值无最大值
D. OA⋅BC无最大值也无最小值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若tanθ=2，则3csθ−sinθcsθ+sinθ=______．
14.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,2π))的部分图象如图所示，则f(2023)= ______ ．
15.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且AD=λBC，AD⋅AB=−32，则实数λ的值为 ，若M，N是线段BC上的动点，且|MN|=1，则DM⋅DN的最小值为 ．
16.已知△ABC所在平面内一点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则点O是△ABC的 心(填“内”、“外”、“重”、“垂”)，若△ABC的内角A=π3，边BC=2，则OB⋅BA|BA|+CO⋅CA|CA|的最大值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a=(csα,sinα)，b=(csβ,sinβ)，0<β<α<π．
(1)求证：向量a+b与a−b垂直；
(2)若ka+b与a−kb的模相等，求β−α的值(其中k为非零实数)．
18.(本小题12分)
在①函数f(x)=12sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象向右平移π12个单位长度得到g(x)的图象，g(x)的图象关于原点对称，
②向量m=( 3sinω2x,csωx),n=(12csω2x,14),ω>0，f(x)=m⋅n；
③函数f(x)=csω2xsin(ω2x+π6)−14(ω>0)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知____，函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．
(1)求f(π6)的值；
(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间．
19.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于点A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM= 55，点B的纵坐标是 210．
(1)求cs(α−β)的值；
(2)求2α−β 的值．
20.(本小题12分)
在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC/​/AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心的圆弧DE上运动，若AP=xED+yAF，求2x−y的取值范围．
21.(本小题12分)
如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m.已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多长时间？
22.(本小题12分)
已知a，b∈R，a≠0，函数f(x)=− 2(sinx+csx)+b，g(x)=asinx⋅csx+a2+1a+2．
(1)若x∈(0,π)，f(x)=−2 55+b，求sinx−csx的值；
(2)若不等式f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立，求b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量的加法运算，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用向量的加法运算，即可得到结论．
【解答】
解：∵平行四边形ABCD中，E是BC的中点，
∴DE=DC+CE=DC+12CB
∵AB=a，AD=b，
∴DE=a−12b
故选：D．
2.【答案】C
【解析】解：因为向量a，b满足|a|=1，|b|= 3，|a−2b|=3，
所以|a−2b|= (a−2b)2= a2−4a⋅b+4b2= 1−4a⋅b+4×3=3，
两边平方得，
13−4a⋅b=9，
解得a⋅b=1，
故选：C．
利用|a−2b|= (a−2b)2，结合数量积的性质计算可得结果．
本题考查了平面向量数量积的运算和性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．
【解答】
解：∵f(x)=sinx3+csx3= 2sin(x3+π4)，
∴最小正周期T=2π13=6π．
当sin(x3+π4)=1时，函数f(x)取得最大值 2；
∴函数f(x)的最小正周期为6π，最大值 2．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：因为sin2α+sinα=1−cs2α，可得2sinαcsα+sinα=2sin2α，
又因为α∈(0,π)，sinα>0，
所以2csα+1=2sinα，可得sinα−csα=12，
两边平方，可得1−sin2α=14，
解得sin2α=34．
故选：C．
利用二倍角公式化简已知等式，结合sinα>0，可得sinα−csα=12，两边平方，利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解sin2α的值．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵向量a=(3,4)，b=(1,0)，c=a+tb，
∴c=(3+t,4)，
∵=，
∴a⋅c|a|⋅|c|=b⋅c|b|⋅|c|，∴25+3t5=3+t1，
解得实数t=5．
故选：C．
先利用向量坐标运算法则求出c=(3+t,4)，再由=，利用向量夹角余弦公式列方程，能求出实数t的值．
本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，
则C对应函数为y=sin(ωx+ωπ2+π3)，
∵C的图象关于y轴对称，∴ωπ2+π3=kπ+π2，k∈Z，
即ω=2k+13，k∈Z，
则令k=0，可得ω的最小值是13．
故选：C．
利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得ω的最小值．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：因为O为BC的中点，且AB=mAM，AC=nAN，
所以AO=12(AB+AC)=12AB+12AC=m2AM+n2AN，
因为M，O，N三点共线，
所以m2+n2=1，
由图可知，m>0，n>0，
所以1m+2n=(1m+2n)⋅(m2+n2)=32+n2m+mn≥32+2 n2m⋅mn=32+ 2，
当且仅当n2m=mn时等号成立，
所以1m+2n的最小值为32+ 2．
故选：C．
由平面向量的线性运算计算可得m2+n2=1，再由基本不等式即可求得．
本题考查平面向量的线性运算和基本不等式的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：∵f(x)=f(2−x)，∴f(x)关于x=1对称，
∵f(−x)=f(x)，∴f(x)根与x=0对称，
∵f(x)=f(2−x)=f(x−2)，∴f(x)=f(x+2)，
∴f(x)是以2为周期的函数，
∴f(x)在[−12,52]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，
又y=|cs(πx)关于x=0，x=1，x=2对称，
∴x=0，x=1，x=2为g(x)的对称轴．
作出y=|cs(πx)|和y=x3在[0,1]上的函数图象如图所示：
由图象可知g(x)在(0,12)和(12,1)上各有1个零点．
又g(1)=0，∴g(x)在[−12,52]上共有7个零点，
设这7个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，x7．
则x1，x2关于x=0对称，x3，x5关于x=1对称，x4=1，x6，x7关于x=2对称．
∴x1+x2=0，x3+x5=2，x6+x7=4，
∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7．
故选：A．
根据f(x)的对称性和奇偶性可知f(x)在[−12,52]上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cs(πx)|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g(x)在[−12,52]上3条对称轴，根据f(x)和y=|cs(πx)|在[0,1]上的函数图象，判断g(x)在[−12,52]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．
本题考查了函数的周期性，奇偶性的应用，函数零点个数判断，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：由于函数g(x)=3sin(3x−π4)−3，故它的最小正周期为2π3，故A错误；
令x=π4，求得g(x)=3−3=0，为最大值，故g(x)的图象关于直线x=π4对称，故B正确；
令x=5π12，求得g(x)=0−3=−3，故g(x)的图象点(5π12,−3)对称，故C正确；
在[0,π3]上，3x−π4∈[−π4,5π4]，函数g(x)不单调，故D错误，
故选：BC．
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象和性质，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：对于A：若a⊥b，则a⋅b=−2×(−1)+1×t=0，解得t=−2，故A正确；
对于B：若a//b，则−2t=−1×1，解得t=12，故B正确；
对于C：当t=12时，a与b同向，此时a与b的夹角为0°，故C错误；
对于D：若(a+b)⊥(a−b)，则(a+b)⋅(a−b)=0，即a2−b2=0，即(−2)2+12=(−1)2+t2，解得t=±2，
当t=2时，a=(−2,1)，b=(−1,2)，a+b=(−3,3)，a−b=(−1,−1)，显然|a+b|≠|a−b|，
当t=−2时，a=(−2,1)，b=(−1,−2)，a+b=(−3,−1)，a−b=(−1,3)，此时|a+b|=|a−b|，故D错误．
故选：AB．
根据向量的数量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可．
本题考查平面向量平行，垂直，数量积的坐标表示，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：∵f(π6)=csπ3−3sinπ6+1=12−32+1=0，
f(5π6)=cs5π3−3sin5π6+1=12−32+1=0，
f(11π6)=cs11π3−3sin11π6+1=12+32+1=3，
f(7π6)=cs7π3−3sin7π6+1=12+32+1=3．
∴函数f(x)=cs2x−3sinx+1(0故选：AB．
分别把四个选项代入函数解析式验证得答案．
本题考查函数零点的判定，考查三角函数值的求法，是基础题．
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的综合应用，涉及了平面向量模的求解、平面向量的数量积、两角和差公式的应用、二倍角公式的应用，考查的知识点多，对学生掌握知识的广度和深度都有很高的要求．
设∠OCB=θ，用θ表示出点A，B，C的坐标，分别用θ表示出|OA+OC|，OA⋅OC，|OA+BC|，OA⋅BC，根据θ的范围和三角函数化简公式得出答案．
【解答】
解：∵∠C=30°，BC=2，∠A=90°，
∴AC= 3，AB=1．
设∠OCB=θ，则∠ABx=θ+30°，且0°<θ<90°，
∴A( 3sin(θ+30°),sin(θ+30°))，B(2sinθ,0)，C(0,2csθ)，
∴OA+OC=( 3sin(θ+30°),sin(θ+30°)+2csθ)，
故|OA+OC|2=[ 3sin(θ+30°)]2+[sin(θ+30°)+2csθ)]2
=4 3sinθcsθ+4cs2θ+3
=2 3sin2θ+2×(1+cs2θ)+3
=2 3sin2θ+2cs2θ+5
=4sin(2θ+30°)+5，
因为0°<θ<90°，
所以当2θ+30°=90°，即θ=30°时，|OA+OC|取到最大值，无最小值；
故选项A错误；
∴OA⋅OC=2csθsin(θ+30°)
=cs2θ+ 3sinθcsθ
=cs2θ2+ 3sin2θ2+12
=sin(2θ+30°)+12，
∴当2θ+30°=90°，即θ=30°时，OA⋅OC取到最大值，无最小值．
故选项B正确；
OA+BC=( 3sin(θ+30°)−2sinθ,sin(θ+30°)+2csθ)，
所以|OA+BC|2=[ 3sin(θ+30°)−2sinθ]2+[sin(θ+30°)+2csθ]2
=2 3sinθcsθ+6cs2θ+1
= 3sin2θ+6×1+cs2θ2+1
= 3sin2θ+3cs2θ+4
=2 3sin(2θ+60°)+4，
因为0°<θ<90°，
所以当2θ+60°=90°，即θ=15°时，|OA+BC|取到最大值，无最小值；故C错误；
OA⋅BC=−2 3sinθsin(θ+30°)+2csθsin(θ+30°)
=−3sin2θ+cs2θ
=−3×1−cs2θ2+1+cs2θ2
=2cs2θ−1
因为0°<θ<90°，
所以0°<2θ<180°，
故OA⋅BC没有最大值，也没有最小值．
故选项D正确；
故选：BD．
13.【答案】13
【解析】解：若tanθ=2，
则3csθ−sinθcsθ+sinθ=3−tanθ1+tanθ=13．
故答案为：13
由已知可得，3csθ−sinθcsθ+sinθ=3−tanθ1+tanθ，代入即可求解．
本题主要考查了同角基本关系中商的关系的应用，属于基础试题》
14.【答案】0
【解析】解：由函数图象可知T4=3−1，得T=8，
2πω=8，解得ω=π4，
由函数图象知函数f(x)过点(3,0)，
所以0=sin(π4×3+φ)，
所以3π4+φ=kπ，k∈Z，
φ=−3π4+kπ，k∈Z，
又因为φ∈[0,2π)，
所以φ=π4或5π4，
当φ=π4时，
f(x)=sin(π4x+π4)，
所以f(2023)=sin(π4×2023+π4)=sin(506π)=0，
当φ=5π4时，
f(x)=sin(π4x+5π4)，
所以f(2023)=sin(π4×2023+5π4)=sin(507π)=0．
故答案为：0．
先由函数图象求出ω，φ，得到函数f(x)的解析式，再求f(2023)的值．
本题考查三角函数的图象和性质，三角解析式的求法，属于中档题．
15.【答案】16；132
【解析】【分析】
本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．
以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出λ的值，再设出点M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．
【解答】
解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，
∵∠B=60°，AB=3，
∴A(32,3 32)，
∵BC=6，
∴C(6,0)，
∵AD=λBC，
∴AD//BC，
设D(x0,3 32)，
∴AD=(x0−32,0)，AB=(−32,−3 32)，
∴AD⋅AB=−32(x0−32)+0=−32，解得x0=52，
∴D(52,3 32)，
∴AD=(1,0)，BC=(6,0)，
∴AD=16BC，
∴λ=16，
∵|MN|=1，
设M(x,0)，则N(x+1,0)，其中0≤x≤5，
∴DM=(x−52,−3 32)，DN=(x−32,−3 32)，
∴DM⋅DN=(x−52)(x−32)+274=x2−4x+212=(x−2)2+132，
当x=2时取得最小值，最小值为132，
故答案为：16；132．
16.【答案】垂 ；； 3
【解析】解：∵OA⋅OB=OB⋅OC，∴(OA−OC)⋅OB=0，即CA⋅OB=0，
∴AC⊥OB，
同理可得：BC⊥OA，AB⊥OC，
∴O是△ABC的垂心，
延长BO交AC于D，延长CO交AB于E，则BD⊥AC，CE⊥AB，
∵A=π3，∴∠ABD=∠ACE=π6，
∴OB⋅BA|BA|+CO⋅CA|CA|=|OB|⋅cs150°+|OC|⋅cs30°= 32(|OC|−|OB|)，
显然当O与B重合时，OC−OB取得最大值|BC|=2，
故OB⋅BA|BA|+CO⋅CA|CA|的最大值为 32×2= 3．
故答案为：垂， 3
根据向量数量积为零可得OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O是△ABC的三条高的交点，从而根据垂心的定义可得结论
本题考查向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求，属于基础题．
17.【答案】解：(1)证明：由a=(csα,sinα),b=(csβ,sinβ)，
得a+b=(csα+csβ,sinα+sinβ)，a−b=(csα−csβ,sinα−sinβ)，
又(a+b)⋅(a−b)=(csα+csβ)(csα−csβ)+(sinα+sinβ)(sinα−sinβ)=cs2α−cs2β+sin2α−sin2β=0，
∴(a+b)⊥(a−b)．
(2)∵ka+b=(kcsα+csβ,ksinα+sinβ)，
∴|ka+b|= k2+2kcs(β−α)+1，
同理∴|a−kb|= 1−2kcs(β−α)+k2，
由|ka+b|=|a−kb|得2kcs(β−α)=−2kcs(β−α)，
又k≠0，
故cs(β−α)=0，
∵0<α<β<π，
∴β−α=π2．
【解析】(1)由条件求出a+b与a−b的坐标，计算(a+b)⋅(a−b)的值等于零，从而证得结论．
(2)先求出ka+b与a−kb的解析式，由|ka+b|=|a−kb|得2kcs(β−α)=−2kcs(β−α)，求得cs(β−α)=0从而得到β−α的值．
本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的条件，求向量的模的方法，属于中档题．
18.【答案】解：(1)选择条件①：
依题意，f(x)相邻两对称轴之间距离为π2，则周期为π，
从而ω=2，f(x)=12sin(2x+φ)，g(x)=12sin(2x+φ−π6)，
又，g(x)的图象关于原点对称，则g(0)=0，由|φ|<π2，知φ=π6，
从而f(x)=12sin(2x+π6)，f(π6)=12，
选择条件②：
依题意，f(x)=m⋅n= 32sinω2xcsω2x+14csωx，
即有：f(x)= 34sinωx+14csωx=12sin(ωx+π6)，
又因为f(x)相邻两对称轴之间距离为π2，
则周期为π，从而ω=2，
从而f(x)=12sin(2x+π6)，f(π6)=12，
选择条件③：
依题意，f(x)=csω2xsin(ω2x+π6)−14，
即有：f(x)=csω2x( 32sinω2x+12csω2x)−14，
化简得：f(x)= 32sinω2xcsω2x+12(csω2x)2−14，
即有：f(x)= 34sinωx+14csωx=12sin(ωx+π6)，
又因为f(x)相邻两对称轴之间距离为π2，
则周期为π，从而ω=2，
从而f(x)=12sin(2x+π6)，f(π6)=12，
(2)f(x)=12sin(2x+π6)，
则由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+32π,k∈Z，
解得x∈[kπ+π6,kπ+23π],k∈Z，
令k=0，得x∈[π6,23π]，
从而f(x)在[0,π]上的单调递减区间为[π6,23π]．
【解析】(1)分别选择①②③进行探讨，①由题意，f(x)相邻两对称轴之间距离，可求出ω，进而可以确定g(x)的解析式，由g(x)图象关于原点对称，再求出f(x)的解析式；②由平面向量数量积可得f(x)的表达式，再由f(x)相邻两对称轴之间距离为π2，可求出ω，再求出f(x)的解析式；③由π6是特殊角，展开，可得f(x)的表达式，再由f(x)相邻两对称轴之间距离为π2，可求出ω，再求出f(x)的解析式；
(2)由(1)求出函数f(x)的解析式，利用整体代换，求出f(x)的单调递减区间．
本题考查了三角函数图象与性质，考查了整体思想和转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意，OM=1，设A(xA,yA)，
∵S△OAM= 55，且α为锐角，
∴S△OAM=12OM·yA=12yA= 55，
∴yA=2 55，
∴sinα=yA1=2 55,csα= 1−sin2α= 55，
又点B的纵坐标是 210，β为钝角，
∴在单位圆上，y= 210,x=−7 210,r=1，
∴sinβ=yr= 210,csβ=xr=−7 210，
∴cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ
= 55×(−7 210)+2 55× 210
=− 1010；
(2)∵cs2α=2cs2α−1=2×( 55)2−1=−35，
sin2α=2sinα⋅csα=2×2 55× 55=45，
∴2α∈(π2,π)，
∵β∈(π2,π)，
∴2α−β∈(−π2,π2)，
∴sin(2α−β)=sin2α⋅csβ−cs2α⋅sinβ
=45×(−7 210)−(−35)× 210=− 22，
故2α−β=−π4．
【解析】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，属于中档题．
(1)根据OM=1，S△OAM= 55，利用三角形面积的公式求解出A的纵坐标，即可得sinα和csα，又点B的纵坐标是 210，求出sinβ和csβ，即可求出cs(α−β)的值．
(2)根据(1)中sinα和csα，sinβ和csβ的值，通过二倍角公式化简，可得2α−β 的值．
20.【答案】解：建立如图所示的坐标系，则A(0,0)，E(1,0)，D(0,1)，F(1.5,0.5)，P(csα,sinα)(0°≤α≤90°)，
∵AP=xED+yAF，
∴(csα,sinα)=x(−1,1)+y(1.5,0.5)，
∴csα=−x+1.5y，sinα=x+0.5y，
∴x=14(3sinα−csα)，y=12(csα+sinα)，
∴2x−y=sinα−csα= 2sin(α−45°)
∵0°≤α≤90°，
∴−45°≤α−45°≤45°，
∴− 22≤sin(α−45°)≤ 22，
∴−1≤ 2sin(α−45°)≤1，
∴2x−y的取值范围是[−1,1]．
【解析】建立坐标系，则A(0,0)，E(1,0)，D(0,1)，F(1.5,0.5)，P(csα,sinα)(0°≤α≤90°)，再把x，y用α进行表示，利用辅助角公式化简，即可求解．
本题考查平面向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．
21.【答案】解：(1)设z=Asin(ωt+φ)+B，依题意可知z的最大值为6，最小为−2，
∴A+B=6−A+B=−2，解得A=4，B=2，
∵OP每秒钟内所转过的角为2π60=π30，得z=4sin(π30t+φ)+2，
当t=0时，z=0，得sinφ=−12，即φ=−π6，
故所求的函数关系式为z=4sin(π30t−π6)+2；
(2)令z=4sin(π30t−π6)+2=6，得sin(π30t−π6)=1，
取π30t−π6=π2，得t=20，
故点P第一次到达最高点大约需要20秒．
【解析】(1)先根据z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，z=0，进而求得φ的值，即可得解；
(2)令最大值为6，即z=4sin(π30t−π6)+2=6可求得时间．
本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题，考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式，属于中档题．
22.【答案】解：(1)依题意得sinx+csx= 105，
∴sin2x+cs2x+2sinxcsx=25，即2sinxcsx=−35，…(1分)
∴1−2sinxcsx=85，
即sin2x+cs2x−2sinxcsx=(sinx−csx)2=85，…(2分)
由2sinxcsx=−35<0，x∈(0,π)，得x∈(π2,π)，…(3分)
∴sinx>0，csx<0，∴sinx−csx>0，
∴sinx−csx=2 105.…(4分)
(2)不等式f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立，
即不等式b≤asinx⋅csx+ 2(sinx+csx)+a2+1a+2对任意x∈R恒成立，
即b≤[asinxcsx+ 2(sinx+csx)+a2+1a+2]min，…(5分)
下求函数y=asinx⋅csx+ 2(sinx+csx)+a2+1a+2的最小值，
令t=sinx+csx，
则t= 2sin(x+π4)∈[− 2, 2]，且sinxcsx=t2−12，…(6分)
令m(t)=y=asinxcsx+ 2(sinx+csx)+a2+1a+2，
=a(t2−1)2+ 2t+a2+1a+2=a2t2+ 2t+1a+2，
=a2(t2+2 2at)+1a+2=a2(t+ 2a)2+2，(a≠0)，…(7分)
1°当− 2a<− 2，即0∴m(t)min=m(− 2)=a+1a.…(8分)
2°当− 2≤− 2a<0，即a≥1时，m(t)min=m(− 2a)=2.…(9分)
3°当0<− 2a≤ 2，即a≤−1时，m(t)min=m(− 2)=a+1a.…(10分)
4°当− 2a> 2，即−1∴ymin=2,a≥1a+1a,a<1,a≠0，
所以当a≥1时，b≤2；当a<0或0【解析】(1)推导出sinx+csx= 105，从而2sinxcsx=−35，进而sin2x+cs2x−2sinxcsx=(sinx−csx)2=85，由此能求出sinx−csx．
(2)推导出b≤[asinxcsx+ 2(sinx+csx)+a2+1a+2]min，再求出函数y=asinx⋅csx+ 2(sinx+csx)+a2+1a+2的最小值，令t=sinx+csx，令m(t)=y=a2(t+ 2a)2+2，(a≠0)，由此进行分类讨论经，能求出b的取值范围．
本题考查三角函数求值，考查实数值的范围的求法，考查三角函数恒等式、构造法、配方法、换元法等基础知识，考查推理论能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．