2023-2024学年广东省四会中学、广信中学高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省四会中学、广信中学高二（下）第一次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列求导正确的是( )
A. (1x)′=1x2B. (csx)′=sinxC. (e−x)′=e−xD. (lg2x)′=1xln2
2.已知函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)的图像如图所示，则下列对函数y=f(x)表述不正确的是( )
A. 在x=0处取极小值B. 在x=2处取极小值
C. 在(0,2)上为减函数D. 在(2,4)上为增函数
3.某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是( )
A. A43种B. C43种C. 43种D. 34种
4.春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力.它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为( )
A. 192B. 240C. 96D. 48
5.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f′(x)是f(x)的导函数，f′′(x)是f′(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=|f″(x)|(1+(f′(x))2)32.若f(x)=x−ex，则曲线y=f(x)在(0,−1)处的曲率K是( )
A. 0B. 12C. 1D. e
6.函数y=(2x−sinx)⋅2−|x|的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.已知关于x的不等式exsinx−csx−a>0在x∈(0,π2)恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,eπ2]B. (−∞,eπ2)C. (−∞,−1]D. (−∞,−1)
8.若函数f(x)=ex−ax2在区间(0,+∞)无零点但有2个极值点，则实数a的取值范围是( )
A. e2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若(x−1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则( )
A. a0=1
B. a3=20
C. 2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6=0
D. |a0+a2+a4+a6|=|a1+a3+a5|
10.身高各不相同的六位同学A、B、C、D、E、F站成一排照相，则说法正确的是( )
A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B. A与C同学不相邻，共有A44⋅A52种站法
C. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D. A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
11.已知函数f(x)=(x−1)ex+kx，其导函数为f′(x)，且f(1)=1，记g(x)=xf(x)，则下列说法正确的是( )
A. f′(x)>0恒成立
B. 函数g(x)的极小值为0
C. 若函数y=g(x)−m在其定义域内有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(0,1)
D. 对任意的x1，x2∈(2,+∞)，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算3A53+4C633!= ______.(用数字作答)
13.(1+1x)(1+x)6的展开式中，x4的系数为______．
14.已知偶函数f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，其导函数为f(x)，对任意x∈(0,+∞)，都有2f(x)+xf′(x)>2成立，则不等式x2f(x)−4f(2)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
在(1 x−2x)n的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍．
(1)求n的值．
(2)求(1 x−2x)n的展开式中的常数项．
(3)求展开式中所有系数的和．
16.(本小题15分)
男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)队长中至少有1人参加；
(3)既要有队长，又要有女运动员．
17.(本小题15分)
已知f(x)=ax3−bx+4，f(x)在x=2处取得极小值−43．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在x=3处的切线方程；
(3)若方程f(x)+k=0有且只有一个实数根，求k的取值范围．
18.(本小题15分)
在暑假期间，小明同学到某乡镇参加社会调查活动.小明利用所学知识帮一苹果农户解决年利润最大问题.经小明调查，对苹果精包装需要投入年固定成本3万元，每加工x万斤苹果，需要流动成本C(x)万元.当苹果年加工量不足10万斤时，C(x)=12x2−9ln(x+1)；当苹果年加工量不低于10万斤时，C(x)=8x+100x−2−70.通过市场分析，加工后的苹果每斤售价7元，当年加工的苹果能全部售完．
(1)求年利润f(x)关于年加工量x的解析式；(年利润=年销售收入−流动成本−年固定成本)
(2)当年加工量为多少万斤时，该苹果农户获得年利润最大，最大年利润是多少？(参考数据：ln3≈1.10)
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R)．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，不等式f(x)≥bx−2对∀x∈(0,+∞)恒成立，求实数b的取值范围；
(3)当x>y>e时，证明不等式exlny>eylnx．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，(1x)′=(x−1)′=−x−2=−1x2，A错误；
对于B，(csx)′=−sinx，B错误；
对于C，(e−x)′=−e−x，C错误；
对于D，(lg2x)′=1xln2，D正确；
故选：D．
根据题意，依次分析选项中函数导数的计算，综合可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由图像可知，当x<0，20，函数f(x)单调递增，
当04时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
所以，当x=0，x=4时，f(x)取极大值，当x=2时，f(x)取极小值，
所以A不正确，BCD正确，
故选：A．
根据导函数图像，利用导数与函数单调性和极值的关系，即可求得答案．
本题考查导致的应用，考查导数与单调性和极值的关系，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意每位同学都有3种选择，共有34种选择方法．
故选：D．
利用分步计数乘法定理即可求解．
本题考查了排列组合的简单计数，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：甲、乙、丙等七人恰好买到了七张连号的电影票，
若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，
若丙在正中间(4号位)，甲、乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，
考虑到甲、乙的顺序有A22种情况，剩下的4个位置其余4人坐，有A44种情况，
故不同的坐法的种数为C41A22A44=192．
故选：A．
丙坐在七人的正中间，则需列举出甲、乙两人相邻的情况，安排甲乙的顺序，再用排列法计算其他人即可．
本题考查了相邻问题的排列计算，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，可得f′(x)=1−ex，f′′(x)=−ex，得f′(0)=1−e0=0，f′′(0)=−e0=−1．
因此，曲线y=f(x)在(0,−1)处的曲率K=|f′′(0)|[1+(f′(0))2]32=|−1|(1+02)32=1．
故选：C．
根据题意，先利用导数的公式算出f′(x)，然后将x=0代入曲率的公式，即可算出答案．
本题主要考查了导数的概念与运算、函数值的求法等知识，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：设f(x)=(2x−sinx)⋅2−|x|，则f(−x)=−f(x)，
则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B选项，
又f(1)=(1−sin1)×12>0，排除D选项，
当x→+∞时，2−|x|→0，|sinx|≤1，y=2x与y=2−|x|比较，
y=2−|x|，变化的快，则f(x)→0，且f(x)>0，排除A选项．
故选：C．
结合函数解析式的特点和选项中各个图象的不同，利用排除法判断即可．
本题考查函数的图象，函数的性质，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：∀x∈(0,π2),exsinx−csx−a>0⇔a令f(x)=exsinx−csx,x∈(0,π2)，则f′(x)=ex(sinx+csx)+sinx>0，
于是得f(x)在(0,π2)上单调递增，∀x∈(0,π2),f(x)>f(0)=−1，则a≤−1，
所以实数a的取值范围为(−∞,−1]．
故选：C．
将给定不等式分离参数，构造函数并借助导数探讨其最值即可得解．
本题主要考查导数知识的应用，考查计算能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由题f(x)=ex−ax2=0在区间(0,+∞)无解，
即a=exx2在区间(0,+∞)无解，
设g(x)=exx2，则g′(x)=ex⋅x2−ex⋅2xx4=exx3(x−2)，
所以当x∈(0,2)时，g′(x)<0，g(x)单调减，
当x∈(2,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调增，
又g(2)=e24；当x→0时，g(x)→+∞；当x→+∞时，g(x)→+∞，
所以a又函数f(x)=ex−ax2在区间(0,+∞)有2个极值点，
所以f′(x)=ex−2ax=0在区间(0,+∞)有2两个不同解，
即2a=exx在区间(0,+∞)有2两个不同解，
设h(x)=exx，则h′(x)=ex⋅x−exx2=exx2(x−1)，
所以当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调减，
当x∈(1,+∞)时，h′(x)>0，h(x)单调增，
又h(1)=e，当x→0时，h(x)→+∞；当x→+∞时，h(x)→+∞，
所以2a>e⇒a>e2，
故实数a的取值范围是(e2,e24)．
故选：B．
由题得f(x)=ex−ax2=0在区间(0,+∞)无解，f′(x)=ex−2ax=0在区间(0,+∞)有2两个不同解，然后参变分离，转换成图像交点问题即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值及零点，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：根据(x−1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，
当x=0时，a0=(−1)6=1，故A正确；
根据二项展开式Tr+1=C6r⋅x6−r⋅(−1)r，(r=0,1,2,3,4,5,6)；
当r=3时，a3=−C63=−20，故B错误；
对于C：当x=2时，(2−1)6=a0+2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6=1，解得2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6=0，故C正确；
对于D：当x=1时，a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，故a0+a2+a4+a6=−a1−a3−a5，所以|a0+a2+a4+a6|=|a1+a3+a5|，故D正确．
故选：ACD．
直接利用二项式的展开式和赋值法的应用求出结果．
本题考查：二项式的展开式，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，6个人全排列有A66种方法，A、C、D全排列有A33种方法，
则A、C、D从左到右按高到矮的排列有A66A33=120种方法，A正确；
对于B，先排列除A与C外的4个人，有A44种方法，4个人排列共有5个空，
利用插空法将A和C插入5个空，有A52种方法，则共有A44A52种方法，B正确；
对于C，A、C、D必须排在一起且A在C、D中间的排法有2种，
将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有A44种方法，则共有2A44=48种方法，C错误；
对于D，6个人全排列有A66种方法，当A在排头时，有A55种方法，当B在排尾时，有A55种方法，
当A在排头且B在排尾时，有A44种方法，则A不在排头，B不在排尾的情况共有A66−2A55+A44=504种，D正确．
故选：ABD．
根据全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法即可判断D．
本题考查了实际问题中的排列组合计数问题，属于中档题．
11.【答案】CD
【解析】解：由函数f(x)=(x−1)ex+kx，因为f(1)=1，可得k=1，所以f(x)=(x−1)ex+1x，
对于A中，由f′(x)=(x2−x+1)ex−1x2，因为f′(−2)=7e−2−14<0，
所以f′(x)>0不恒成立，所以A不正确；
对于B中，由g(x)=xf(x)=(x−1)ex+1，x≠0，可得g′(x)=xex，x≠0，
其中g(0)的值不能确定，所以g(x)的极小值不一定为0，所以B错误；
对于C中，由g′(x)=xex，x≠0，
当x<0时，可得g′(x)<0；当x>0时，可得g′(x)>0，
所以函数g(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
且当x→−∞时，g(x)→1，当x→0时，g(x)→0，当x→∞时，g(x)→+∞，
函数g(x)的图象，如图所示，
结合图象得，当0所以函数y=g(x)−m在其定义域内有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(0,1)，
所以C正确；
对于D中，由f′(x)=(x2−x+1)ex−1x2>0,x>2，
设h(x)=f′(x)=(x2−x+1)ex−1x2,x>2，可得h′(x)=ex(x−1)(x2+2)+2x3>0，
所以h′(x)>0，h(x)单调递增，即f′(x)单调递增，
所以f(x)为单调递增函数，且f′(x)单调递增函数，且f(2)=e2+12，
所以函数f(x)的图像，如图所示，函数图象为凸函数，
所以f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，当且仅当x1=x2时，等号成立，所以D正确．
故选：CD．
根据题意求得f(x)=(x−1)ex+1x，由f′(−1)<0，可得判定A不正确；
由g′(x)=xex，结合g(0)的值不能确定，可判定B错误；
结合g(x)的单调性，结合图象，可判定C正确；
结合f(x)递增，且f′(x)递增，结合图象，可判定D正确．
本题主要考查利用导函数研究函数的单调性，属于中档题．
12.【答案】1303
【解析】解：3A53+4C633!=3×5×4×3+4×6×5×43×2×13×2×1=1303．
故答案为：1303．
根据排列数、组合数公式展开计算，即可得出答案．
本题主要考查排列数、组合数公式，属于基础题．
13.【答案】21
【解析】解：(1+1x)(1+x)6=(1+x)6+1x⋅(1+x)6，
(1+x)6展开式通项Tr+1=C6rxr，
(1+x)6展开式中x4的系数为C64，1x⋅(1+x)6展开式中x4的系数为C65，
则C64+C65=21，
故答案为：21．
已知式变形为(1+1x)(1+x)6=(1+x)6+1x⋅(1+x)6，根据二项式的展开式的通项公式可得答案．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
14.【答案】(−2,0)∪(0,2)
【解析】解：当x>0时，由2f(x)+xf′(x)>2，
得2xf(x)+x2f′(x)−2x>0，即[x2(f(x)−1)]′>0．
令g(x)=x2[f(x)−1]，则g(x)在(−∞,0)∪(0,+∞)上也为偶函数，
且当x>0时，g′(x)>0总成立，g(x)在(0,+∞)上是增函数．
不等式x2f(x)−4f(2)则|x|<2，又x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，解得x∈(−2,0)∪(0,2)．
故答案为：(−2,0)∪(0,2)．
根据不等式构造函数g(x)=x2[f(x)−1]，利用导数判断函数为增函数，将不等式化为g(|x|)本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为在(1 x−2x)n的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，
所以Cn2=4Cn1，即n(n−1)2=4n，结合n为正整数，可得n=9；
(2)二项式(1 x−2x)9展开式的第r+1项为C9r⋅(x−12)9−r⋅(−2x)r=(−2)r⋅C9r⋅x3r−92，其中r=0，1，…，9．
令3r−92=0，解得r=3，可得展开式中的常数项为(−2)3⋅C93=−672；
(3)由(1 x−2x)9令x=1，可得(1−2)9=−1，所以展开式中所有系数的和为−1．
【解析】(1)根据二项式展开式的通项公式，建立关于n的方程，解之即可得到本题的答案；
(2)根据题意求出(1 x−2x)n的展开式的通项并化简，再令指数等于0，即可得出常数项；
(3)取x=1，即可求得展开式中所有系数的和．
本题主要考查二项定理及其应用、多项式乘法的原理、赋值法求系数和等知识，属于中档题．
16.【答案】解：(1)分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有C63种选法；
第二步，选2名女运动员，有C42种选法．
由分步乘法计数原理可得，共有C63C42=120(种)选法．
(2)从10人中任选5人有C105种选法，
其中不选队长的方法有C85种．
所以“至少有1名队长”的选法有C105−C85=196(种)．
(3)当有女队长时，其他人任意选，共有C94种选法；
当不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法，
其中不含女运动员的选法有C54种，
所以不选女队长时的选法共有C84−C54种．
所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C84+C84−C54=191种．
【解析】(1)本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，再选2名女运动员，利用乘法原理得到结果；
(2)求得10人中任选5人的选派方法，以及没有队长的选派方法，利用对立事件的性质求解即可；
(3)当有女队长时，其他人选法任意，不选女队长时，必选男队长，其中不含女运动员的选法，得到结果．
本题考查了组合数公式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意知f′(x)=3ax2−b，
因为f(x)在x=2处取得极小值−43，
则f(2)=8a−2b+4=−43f′(2)=12a−b=0，解得a=13，b=4，经检验，满足题意，
所以a=13，b=4，
所以f(x)=13x3−4x+4；
(2)由题意知f(x)=13x3−4x+4，f′(x)=x2−4，
所以f(3)=1，f′(3)=5，
所以切点坐标为(3,1)，斜率k=5，
所以切线方程为y−1=5(x−3)，即5x−y−14=0；
(3)令f′(x)=0解得x=−2或x=2，
当x<−2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当−22时，f(x)单调递增，
则f(−2)=283，f(2)=−43，
x→+∞时，f(x)→+∞，x→−∞时，f(x)→−∞，
方程f(x)+k=0有且只有一个实数根等价于−k=f(x)有且只有一个实数根，
等价于函数y=−k与y=f(x)有且只有一个交点，即−k<−43或−k>283，
解得k<−283或k>43，
所以k的范围为(−∞,−283)∪(43,+∞)．
【解析】(1)求出f′(x)，由题意可得f′(2)=0f(2)=−43，由此即可求出答案；
(2)分别求出f(3)，f′(3)的值，再利用点斜式写出直线；
(3)将问题转化为函数y=−k与y=f(x)有且只有一个交点，求出函数y=f(x)的单调性与极值，即可求出k的取值范围．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了导数几何意义的应用，还考查了由零点个数求解参数范围，属于中档题．
18.【答案】解：(1)根据题意知，当0当x≥10时，f(x)=7x−3−(8x+100x−2−70)=67−(x+100x−2)，
所以f(x)=7x+9ln(x+1)−12x2−3,0(2)当0当00；当8所以f(x)在(0,8)内单调递增，在(8,10)内单调递减，
此时f(x)max=f(8)=56+9ln9−35=21+18ln3≈40.8．
当x≥10时，f(x)=65−(x−2+100x−2)≤65−2 (x−2)⋅100x−2=45，
当且仅当x−2=100x−2，即x=12时取得等号．
因为45>40.8，所以当年加工量为12万斤时，该苹果农户获得最大年利润为45万元．
【解析】(1)根据题意，利用年利润=年销售收入−流动成本−年固定成本，计算利润函数f(x)；
(2)根据f(x)是分段函数，利用分类讨论法求出f(x)取最大值时对应自变量的值以及函数的最大值．
本题考查了分段函数模型的应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
19.【答案】解：(1)f′(x)=a−1x=ax−1x．
当a≤0时，ax−1<0，从而f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)单调递减；
当a>0时，若0若x>1a，则ax−1>0，从而f′(x)>0，
函数在(0,1a)单调递减，在(1a,+∞)单调递增． …(4分)
(2)根据(1)函数的极值点是x=1a，若1a=1，则a=1，
∴f(x)≥bx−2，即x−1−lnx≥bx−2，
∵x>0，即b≤1+1x−lnxx，
令g(x)=1x−lnxx，则g′(x)=lnx−2x2，
得：x=e2是函数g(x)在(0,+∞)内的唯一极小值点，也是最小值点，
故g(x)min=−1e2，
故b≤1−1e2；
(3)由exlny>eylnx即exlnx>eylny，
构造函数h(x)=exlnx，则h′(x)=ex(lnx−1)ln2x，x∈(e,+∞)，h′(x)>0，
即h(x)在(e,+∞)递增，
∵x>y>e，
∴exlnx>eylny，
∴exlny>eylnx．
【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(2)求出a的值，问题转化为b≤1+1x−lnxx，令g(x)=1x−lnxx，根据函数的单调性求出b的范围即可；
(3)问题转化为exlnx>eylny，构造函数h(x)=exlnx，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．