人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步训练题

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\l "_Tc19464" 【题型1 求投影向量】 PAGEREF _Tc19464 \h 3
\l "_Tc8748" 【题型2 向量数量积的计算】 PAGEREF _Tc8748 \h 3
\l "_Tc25688" 【题型3 求向量的夹角（夹角的余弦值）】 PAGEREF _Tc25688 \h 4
\l "_Tc16316" 【题型4 已知向量的夹角求参数】 PAGEREF _Tc16316 \h 4
\l "_Tc14538" 【题型5 求向量的模】 PAGEREF _Tc14538 \h 5
\l "_Tc6433" 【题型6 已知模求参数】 PAGEREF _Tc6433 \h 5
【知识点1 向量的数量积】
1．向量的数量积
(1)向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤
π)叫做向量与的夹角，也常用表示.

(3)两个向量数量积的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||.
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0.
(4)向量的投影
如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，
分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.

2．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①==.
②=0.
③当与同向时，=；当与反向时，=-.
特别地，==或=.
④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.
⑤=.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量，，和实数，有
①交换律：=；
②数乘结合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
3．向量数量积的常用结论
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
【题型1 求投影向量】
【例1】（2023上·陕西西安·高二校考阶段练习）已知向量a,b不共线，满足|a+b|=|a−b|，则a−b在b方向上的投影向量为（ ）
A．aB．bC．−aD．−b
【变式1-1】（2023上·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知|a|=2，e为单位向量，向量a与向量e的夹角为3π4，则向量a在向量e上的投影向量为（ ）
A．2eB．−2eC．2D．−2
【变式1-2】（2023上·浙江·高二校联考期中）已知向量a与单位向量b的夹角为π3，且a=2，则b在a方向上的投影向量为（ ）
A．12B．12bC．12aD．14a
【变式1-3】（2023上·河北石家庄·高三校联考期末）在等边△ABC中，AD=2AB+3AC，则向量AD在向量BC上的投影向量为（ ）
A．13BCB．12BCC．−13BCD．−12BC
【题型2 向量数量积的计算】
【例2】（2023上·四川南充·高三校考阶段练习）已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a,b=2π3，则a⋅(a+b)=（ ）
A．−2B．−1C．0D．2
【变式2-1】（2023·安徽·校联考一模）在三角形ABC中，AC=3，AB=4，∠CAB=120°，则AB+AC⋅AB=（ ）
A．10B．12C．−10D．−12
【变式2-2】（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）线段AB的长度为6，C，D为其三等分点（C靠近A，D靠近B），若P为线段AB外一点，且满足PC⋅PD=0，则PA⋅PB=（ ）
A．36B．－36C．－8D．8
【变式2-3】（2023上·天津东丽·高三校考阶段练习）如图，△ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若AD=4，BD=2，点M为线段CE上的动点，则AM−BC⋅MD的最大值为（ ）

A．169B．214C．6D．10
【题型3 求向量的夹角（夹角的余弦值）】
【例3】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知非零向量a,b满足|a|=2|b|，且|a−2b|=|a+4b|，则a,b的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【变式3-1】（2023上·青海西宁·高三统考期中）已知向量a=1，b=2，|c|=5，且a+b+c=0，则cs〈c−a,c−b〉=（ ）
A．3434B．3417C．33434D．53434
【变式3-2】（2023·四川甘孜·统考一模）已知平面向量a→,b→满足|b|=2|a|=2，若a⊥a−b，则a与b的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【变式3-3】（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）已知向量a=b=1，且a与b的夹角为θ，a⋅b>0，向量2a−b与a+2b的夹角为π3，则csθ=（ ）
A．51326B．51352C．2626D．21313
【题型4 已知向量的夹角求参数】
【例4】（2023·全国·高一专题练习）已知向量a,b满足a→·b→=0，|a+b|=m|a|，若a+b与a−b的夹角为2π3，则m的值为（ ）
A．2B．3C．1D．12
【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）已知单位向量e1，e2的夹角为60°，向量a=−2e1+3e2，b=2me1−2e2，m∈Z，向量a，b的夹角的余弦值为−217，则m=（ ）
A．1B．−4C．2D．−5
【变式4-2】（2023下·广东揭阳·高一校联考期中）已知向量a,b，若|a|=|b|=1,a与b的夹角为60∘；若a+b与ta−b的夹角为钝角，则t取值范围为（ ）
A．−∞,1B．1,+∞
C．−1,1∪1,+∞D．−∞,−1∪−1,1
【变式4-3】（2023·全国·高一专题练习）已知i,j分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，a=i−2j，b=i+λj，且a,b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）
A．−2,23∪23,+∞B．−∞,−2∪−2,12
C．−∞,12D．12,+∞
【题型5 求向量的模】
【例5】（2023上·广东珠海·高三校考期末）已知向量a,b满足|a|=2，|b|=3，a⋅(a+b)=−1，则a+2b=（ ）
A．5B．25C．5D．20
【变式5-1】（2023上·陕西榆林·高三校联考阶段练习）已知非零向量a，b满足a=2，且a,b=2π3，则a+2b的最小值为（ ）
A．2B．3C．2D．1
【变式5-2】（2023下·湖南常德·高一校考阶段练习）若平面向量a,b,c两两夹角相等， 且|a|=1,|b|=1,|c|=3， 则|a+b+c|= （ ）
A．2B．5C．2或5D．2 或5
【变式5-3】（2023·福建宁德·校考一模）已知向量a，b的夹角为60°，且b=2a=2，则ta+bt∈R的最小值是（ ）
A．3B．2C．3D．2
【题型6 已知模求参数】
【例6】（2023下·全国·高一专题练习）若单位向量e1，e2的夹角为π3，向量a=e1+λe2（λ∈R），且 a=32，则λ=（ ）
A．12B．－12
C．34D．－34
【变式6-1】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面向量|a|=2，|b|=1，a,b的夹角为60∘，a+tb=3t∈R，则实数t（ ）
A．−1B．1C．12D．±1
【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）已知平面向量a，b满足a=2b=6，a+kb=37k>0，a⋅b=9，则实数k的值为（ ）
A．1B．3C．2D．2
【变式6-3】（2023·全国·高一专题练习）设非零向量a,b的夹角为θ，若a=2b，且不等式2a+b≥a+λb对任意θ恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A．−1,3B．−1,5C．−7,3D．5,7