人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念复习练习题

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\l "_Tc4576" 【题型1 向量概念的理解】 PAGEREF _Tc4576 \h 2
\l "_Tc5775" 【题型2 零向量与单位向量】 PAGEREF _Tc5775 \h 2
\l "_Tc11245" 【题型3 向量的几何表示与向量的模】 PAGEREF _Tc11245 \h 3
\l "_Tc5958" 【题型4 向量相等或共线的判断】 PAGEREF _Tc5958 \h 5
\l "_Tc20945" 【题型5 用向量关系研究几何图形的性质】 PAGEREF _Tc20945 \h 7
【知识点1 向量的概念】
1．向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如等.
(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用
一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
注：
①用字母表示向量便于向量运算；
②用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量
就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
注：
①向量的模．
②向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
注：
①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
②将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量.
注：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
【题型1 向量概念的理解】
【例1】（2023下·山西阳泉·高一校考期中）下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度､速度､位移､功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量
A．0B．1C．2D．3
【变式1-1】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（ ）
A．频率B．拉力C．体积D．距离
【变式1-2】（2023下·新疆·高一校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．身高是一个向量
B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量
C．有向线段由方向和长度两个要素确定
D．有向线段MN→和有向线段NM→的长度相等
【变式1-3】（2023·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量CD与向量DC长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
【题型2 零向量与单位向量】
【例2】（2023下·新疆·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度D．零向量就是实数0
【变式2-1】（2023上·广东湛江·高二校考开学考试）下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1B．2C．3D．4
【变式2-2】（2022下·高一校考课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小，没有方向
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．零向量的长度为0
D．任意两个单位向量方向相同
【变式2-3】（2022·高一课时练习）已知向量a,b是两个非零向量，AO,BO分别是与a,b同方向的单位向量，则以下各式正确的是（ ）
A．AO=BOB．AO=BO或AO=OB
C．AO=OBD．AO与BO的长度相等
【题型3 向量的几何表示与向量的模】
【例3】（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出AB、BC、CD（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求DA的模．
【变式3-1】（2023下·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量AB,BC,CD；
（2）求|AD|．
【变式3-2】（2023·高一课时练习）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1）OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；
（2）AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；
（3）BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.
【变式3-3】（2023下·安徽淮北·高一校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．

(1)OA=3，点A在点O的正西方向；
(2)OB=32，点B在点O的北偏西45∘方向；
(3)求出AB的值．
【知识点2 相等向量与共线向量】
1．向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
【题型4 向量相等或共线的判断】
【例4】（2023下·江苏淮安·高一校考阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线的向量共有（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
【变式4-1】（2022·高一课前预习）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（ ）
A．AB与AC共线B．DE与CB共线
C．CD与AE相等D．AD与BD相等
【变式4-2】（2023下·高一课时练习）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量.
【变式4-3】（2023·高一课时练习）如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设△ABC的边长为a，写出图中给出的长度为a3的所有向量中，
（1）与向量GH相等的向量；
（2）与向量GH共线的向量；
（3）与向量EA平行的向量.
【题型5 用向量关系研究几何图形的性质】
【例5】（2023·高一课时练习）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且AO=OC，BO=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式5-1】（2023·高一课时练习）在四边形ABCD中，已知AB=DC，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【变式5-2】（2022·高一课时练习）已知点E，F，G，H分别是平面四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：EF=HG．
【变式5-3】（2023下·高一课时练习）如图，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又AB=DC.求证：CN=//MA.