第07讲 专题01 绝对值与有理数的运算（30题）-【同步精品】2024年七上数学同步精品讲义（人教版）

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专题01 绝对值与有理数的运算（30题）1．（2022秋•建邺区校级期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图．（1）用“＞”或“＜”填空：c﹣b　 　0，a+b　 　0，a﹣c　 　0．（2）化简：|c﹣b|+|a+b|﹣|a﹣c|．【分析】观察数轴可知：c＜a＜0＜b＜﹣a＜﹣c．（1）由c＜a＜0＜b＜﹣a＜﹣c，可得出c﹣b＜0、a+b＜0、a﹣c＞0，此题得解；（2）由c﹣b＜0、a+b＜0、a﹣c＞0，可得出|c﹣b|+|a+b|﹣|a﹣c|＝b﹣c+（﹣a﹣b）﹣（a﹣c），去掉括号合并同类项即可得出结论．【解答】解：观察数轴可知：c＜a＜0＜b＜﹣a＜﹣c．（1）∵c＜a＜0＜b＜﹣a＜﹣c，∴c﹣b＜0，a+b＜0，a﹣c＞0．故答案为：＜；＜；＞．（2）∵c﹣b＜0，a+b＜0，a﹣c＞0，∴|c﹣b|+|a+b|﹣|a﹣c|＝b﹣c+（﹣a﹣b）﹣（a﹣c）＝b﹣c﹣a﹣b﹣a+c＝﹣2a．2．（2023•新华区校级模拟）已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示：（1）用“＜”或“＞”填空：a+c　 　0，b+c　 　0，b﹣c　 　0，a﹣b﹣c　 　0；（2）化简：|a+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c|+|b+c|．【分析】（1）根据数轴可知：c＜b＜0＜a，且|a|＜|b|＜|c|，由有理数的加减法法则可得答案；（2）根据数轴比较a+c、a﹣b﹣c、b﹣c、b+c与0的大小，然后进行化简运算即可．【解答】解：（1）由图可知：c＜b＜0＜a，且|a|＜|b|＜|c|，∴a+c＜0，b+c＜0，b﹣c＞0，a﹣b﹣c＞0；故答案为：＜；＜；＞；＞；（2）原式＝﹣（a+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣c）﹣（b+c）＝﹣a﹣c﹣a+b+c﹣b+c﹣b﹣c＝﹣a﹣a+b﹣b﹣b﹣c+c+c﹣c＝﹣2a﹣b+0＝﹣2a﹣b．3．（2022秋•丰泽区校级期末）若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c，如图：（1）判断下列各式的符号：a+b　 　0；c﹣b　 　0；c﹣a　 　0（2）化简|a+b|﹣|c﹣b|﹣|c﹣a|【分析】根据数轴比较a、b、c的大小后即可求出答案．【解答】解：（1）a+b＜0，c﹣b＜0，c﹣a＞0．故答案为：＜，＜，＞；（2）|a+b|﹣|c﹣b|﹣|c﹣a|＝﹣（a+b）+（c﹣b）﹣（c﹣a）＝﹣a﹣b+c﹣b﹣c+a＝﹣2b．4．（2022秋•越秀区期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．（1）比较大小：a+b　 　0；b﹣c　 　0；c﹣a　 　0．（直接在横线上填“＞”，“＝”，“＜”中的一个）；（2）化简：|a+b|﹣|b﹣c|+2|c﹣a|．【分析】（1）根据图示，可得：a＜b＜0＜c，据此逐项判断即可；（2）根据绝对值的含义和求法，化简|a+b|﹣|b﹣c|+2|c﹣a|即可．【解答】解：（1）根据图示，可得：a＜b＜0＜c，∴a+b＜0；b﹣c＜0；c﹣a＞0．故答案为：＜，＜，＞．（2）∵a+b＜0；b﹣c＜0；c﹣a＞0，∴|a+b|﹣|b﹣c|+2|c﹣a|＝﹣（a+b）+（b﹣c）+2（c﹣a）＝﹣a﹣b+b﹣c+2c﹣2a＝c﹣3a．5．（2022秋•万州区期末）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示．（1）在数轴上表示﹣c，|b|．（2）试把﹣c，b，0，a，|b|这五个数从小到大用“＜”连接起来；（3）化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣2|b+c|．【分析】（1）根据相反数的定义可得出点﹣c在数轴上的位置，再根据绝对值的定义即可得出点|b|在数轴上的位置；（2）根据（1）中的结论，根据有理数比较大小的方法进行判定即可得出答案；（3）现根据点a，b，c在数轴上的位置，即可得出a+b＜0，a﹣c＜0，b+c＞0，再根据绝对值的性质进行化简即可得出答案．【解答】解：（1）在数轴上表示﹣c，|b|．如图：；（2）根据题意可得，a＜﹣c＜b＜0＜|b|；（3）因为a+b＜0，a﹣c＜0，b+c＞0，原式＝﹣a﹣b+a﹣c﹣2（b+c）＝﹣a﹣b+a﹣c﹣2b﹣2c＝﹣3b﹣3c．6．（2022秋•庐江县期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　 　0，a+b　 　0，c﹣a　 　0；（2）化简：|b﹣c|﹣|a+b|﹣|c﹣a|．【分析】（1）根据a、b、c在数轴上的位置，即可判定它们的正负及绝对值的大小，据此即可解答；（2）根据（1）中的结论，化简绝对值，再进行整式的加减运算，即可求得结果．【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案为：＜，＜，＞；（2）∵b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，∴|b﹣c|﹣|a+b|﹣|c﹣a|＝（c﹣b）﹣（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）＝c﹣b+a+b﹣c+a＝2a．7．（2022秋•长沙期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图．（1）用“＞”或“＜”填空：c﹣b　 　0，a+b　 　0，c﹣a　 　0；（2）化简：|c﹣b|+3|a+b|﹣|c﹣a|．【分析】（1）根据数轴可得，a＜0＜b＜c，结合图形判断大小即可；（2）由（1）数值的与0的大小关系，去掉绝对值，再进行加减法运算即可．【解答】解：（1）根据题意可得，c﹣b＞0；a+b＜0；c﹣a＞0；故答案为：＞；＜；＞；（2）∵c﹣b＞0，a+b＜0，c﹣a＞0，∴|c﹣b|+3|a+b|﹣|c﹣a|＝c﹣b+3[﹣（a+b）]﹣（c﹣a）＝c﹣b﹣3a﹣3b﹣c+a＝﹣2a﹣4b．8．（2022秋•荔湾区校级期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．（1）用“＜”连接：0、a、﹣b、c．（2）化简：|a+c|+2|c﹣b|﹣|a+b|．【分析】（1）根据各点在数轴上的位置判断出a，b，c的符号及绝对值的大小，再从左到右用“＜”连接起来即可；（2）根据（1）中a，b，c的符号判断出各式的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：（1）由图可知，a＜b＜﹣1＜0＜c＜1＜﹣b，∴a＜0＜c＜﹣b；（2）由（1）知，a＜b＜﹣1＜0＜c＜1＜﹣b，∴a+c＜0，c﹣b＞0，a+b＜0，∴原式＝﹣a﹣c+2（c﹣b）﹣（﹣a﹣b）＝﹣a﹣c+2c﹣2b+a+b＝c﹣b．9．（2022秋•渠县校级期末）a、b、c三个数在数轴上位置如图所示，且|a|＝|b|（1）求出a、b、c各数的绝对值；（2）比较a，﹣a、﹣c的大小；（3）化简|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．【分析】（1）利用绝对值的解答即可；（2）根据数轴上点的位置判断即可；（3）根据数轴上点的位置判断绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）∵从数轴可知：c＜b＜0＜a，∴|a|＝a，|b|＝﹣b，|c|＝﹣c；（2）∵从数轴可知：c＜b＜0＜a，|c|＞|a|，∴﹣a＜a＜﹣c；（3）根据题意得：a+b＝0，a﹣b＞0，a+c＜0，b﹣c＞0，则|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|＝0+a﹣b﹣a﹣c+b﹣c＝﹣2c．10．（2022秋•市中区校级期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图．（1）用“＞”或“＜”填空：﹣b　 　0，a﹣b　 　0，b﹣c　 　0，c﹣a　 　0．（2）化简：|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|．【分析】（1）根据图示，可得：a＜0＜b＜c，据此判断出﹣b、a﹣b、b﹣c、c﹣a与0的大小关系即可．（2）根据（1）的结果，以及绝对值的含义和求法，化简|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|即可．【解答】解：（1）根据图示，可得：a＜0＜b＜c，∵a＜b，b＜c，c＞a，∴﹣b＜0，a﹣b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0．故答案为：＜、＜、＜、＞．（2）∵a﹣b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0，∴|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|＝（b﹣a）﹣（c﹣b）+（c﹣a）＝b﹣a﹣c+b+c﹣a＝2b﹣2a．11．（2022秋•连云港期末）计算：（1）； （2）．【分析】（1）先乘除，再进行加法运算；（2）先乘方，再乘除，最后算减法．【解答】解：（1）原式＝4﹣2＝2；（2）原式＝＝9﹣13＝﹣4．12．（2023春•无锡月考）计算：（1）（﹣12）﹣（﹣17）+（﹣10）； （2）﹣42﹣16÷（﹣2）×．【分析】（1）用有理数的加法的法则和减法的法则从左到右依次计算；（2）先用有理数乘方的法则计算乘方，再用有理数的乘法的法则和除法的法则计算乘除，最后用有理数的加法的法则和减法的法则计算加减．【解答】解：（1）（﹣12）﹣（﹣17）+（﹣10）＝﹣12+17﹣10＝﹣5；（2）＝﹣16﹣（﹣8）×﹣（﹣1）＝﹣16+4+1＝﹣11．13．（2022秋•南通期末）计算：（1）6+（﹣5）﹣8﹣（﹣12）； （2）．【分析】（1）先去括号，再计算加减法即可求解；（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．【解答】解：（1）6+（﹣5）﹣8﹣（﹣12）＝6﹣5﹣8+12＝5；（2）＝﹣1×4+3×＝﹣4+4＝0．14．（2022秋•姜堰区期末）计算：（1）﹣3﹣5+4； （2）．【分析】（1）根据有理数的加减运算求解即可；（2）根据有理数的乘方以及四则混合运算求解即可．【解答】解：（1）﹣3﹣5+4＝﹣8+4＝﹣4；（2）＝＝﹣1+18+9＝26．15．（2022秋•市中区校级期末）计算：（1）（﹣5）﹣（﹣6）+（﹣7）﹣（﹣4）； （2）（﹣1）2021+（﹣18）×|﹣|﹣4÷（﹣2）．【分析】（1）先化简符号，再计算；（2）先算乘方，去绝对值，再算乘除，最后算加减．【解答】解：（1）原式＝﹣5+6﹣7+4＝﹣2；（2）原式＝﹣1﹣18×﹣（﹣2）＝﹣1﹣4+2＝﹣3．16．（2022秋•宝应县期末）计算：（1）7﹣（﹣4）+（﹣5）； （2）．【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可；（2）先算乘方和括号内的式子，然后算乘除法，最后算减法即可．【解答】解：（1）7﹣（﹣4）+（﹣5）＝7+4+（﹣5）＝6；（2）＝﹣1﹣×（﹣）＝﹣1+＝﹣．17．（2022秋•涵江区期末）计算：（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）+（﹣15）； （2）．【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可；（2）先算乘方和去绝对值，然后算乘法，最后算加减法即可．【解答】解：（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）+（﹣15）＝12+18+（﹣7）+（﹣15）＝8；（2）＝﹣8+25×﹣3＝﹣8+10﹣3＝﹣1．18．（2022秋•梁子湖区期末）计算：（1）； （2）．【分析】（1）先计算乘方，同时根据乘法分配律进行计算即可求解；（2）根据有理数的混合运算顺序进行计算即可求解．【解答】（1）解：﹣9﹣16+12﹣15＝﹣28．（2）解：＝4+4﹣8＝0．19．（2022秋•汉川市期末）计算：（1）32﹣（﹣12）+（﹣3.5）÷0.1； （2）．【分析】（1）先算除法，再算加减法即可；（2）先算乘方，再算乘法，然后算加减法即可．【解答】解：（1）32﹣（﹣12）+（﹣3.5）÷0.1＝32+12﹣35＝9；（2）＝×30﹣×30+×100＝5﹣24+25＝6．20．（2022秋•梅里斯区期末）计算（1）； （2）．【分析】（1）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可；（2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．【解答】解：（1）＝＝＝＝；（2）＝＝＝＝＝．21．（2022秋•仓山区期末）计算：（1）﹣×（12﹣）； （2）﹣24+|﹣5|﹣[﹣（﹣3）÷+2]．【分析】（1）利用乘法分配律展开，再进一步计算即可；（2）先计算乘方和括号内的运算，再进一步计算加减即可．【解答】解：（1）原式＝﹣×12+×＝﹣9+＝﹣8；（2）原式＝﹣16+5﹣（18+2）＝﹣16+5﹣18﹣2＝﹣31．22．（2023•官渡区校级开学）计算：（1）﹣6+（﹣5）﹣（﹣12）； （2）（﹣2）3﹣2×（﹣32+1）；（3）．【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可；（2）先算乘方，再算乘法，最后算减法即可；（3）先把除法运算转化成乘法运算，再根据乘法分配律计算．【解答】解：（1）﹣6+（﹣5）﹣（﹣12）＝﹣6+（﹣5）+12＝1；（2）（﹣2）3﹣2×（﹣32+1）＝﹣8﹣2×（﹣9+1）＝﹣8﹣2×（﹣8）＝﹣8+16＝8；（3）＝＝＝﹣8+9﹣2＝﹣1．23．（2022秋•南阳期末）计算下列各题：（1）（﹣+）×2×32﹣÷（﹣1.75）； （2）﹣14﹣（1﹣0×4）÷×[（﹣2）2﹣6]．【分析】（1）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可；（2）先算乘方和括号内的式子，再算乘除法，最后算加减法即可．【解答】解：（1）（﹣+）×2×32﹣÷（﹣1.75）＝（﹣+）×（2×9）﹣×（﹣）＝（﹣+）×18+1＝×18﹣×18+×18+1＝14﹣15+7+1＝7；（2）﹣14﹣（1﹣0×4）÷×[（﹣2）2﹣6]＝﹣1﹣（1﹣0）×3×（4﹣6）＝﹣1﹣1×3×（﹣2）＝﹣1+6＝5．24．（2022秋•沈丘县月考）计算：（1）； （2）．【分析】（1）先算乘方，把除法转为乘法，再算乘法，最后算加法即可；（2）先算乘法，再算加减即可．【解答】解：（1）＝﹣1+2×5×5＝﹣1+50＝49；（2）＝4﹣3+12＝13．25．（2023•渝北区校级自主招生）计算：（1）﹣22+3×（﹣1）2023﹣9÷（﹣3）； （2）．【分析】（1）先计算有理数的乘方，再算乘除法，最后算加减法即可；（2）根据乘法分配律计算即可．【解答】解：（1）﹣22+3×（﹣1）2023﹣9÷（﹣3）＝﹣4+3×（﹣1）+3＝﹣4﹣3+3＝﹣4；（2）＝＝＝24+30﹣28＝26．26．（2023春•夏邑县校级期末）计算：（1）； （2）．【分析】（1）先算第括号里的式子，再将括号外的除法转换为乘法，然后计算即可；（2）先算乘方和去绝对值，再算乘除法，最后算减法即可．【解答】解：（1）＝＝（）÷（﹣）＝＝＝﹣18+8+3＝﹣7；（2）＝＝10﹣7＝3．27．（2022秋•南昌期末）计算：（1）； （2）．【分析】（1）先把分数化成小数，然后再利用有理数加减运算法则计算即可；（2）直角运用乘法结合律计算即可．【解答】解：（1）＝1.5﹣（﹣4.25）+3.75﹣8.5＝1.5﹣8.5+（4.25+3.75）＝﹣7+8＝1．（2）＝＝25×1＝25．28．（2022秋•新华区校级期末）计算：（1）（﹣2）+（﹣3）×（+2）﹣（﹣6）； （2）．【分析】（1）先算乘法，再算加减法即可；（2）先算乘方和括号内的式子，然后算乘法，最后算减法即可．【解答】解：（1）（﹣2）+（﹣3）×（+2）﹣（﹣6）＝（﹣2）+（﹣6）+6＝﹣2；（2）＝﹣1﹣×（2﹣9）＝＝＝．29．（2022秋•辽阳期末）计算：（1）； （2）．【分析】（1）先将小数变为分数，同时去括号，再根据有理数的加减法法则计算即可；（2）先算乘方，同时计算括号内的，再计算乘除法，最后计算加减．【解答】解：（1）原式＝＝＝＝；（2）原式＝＝﹣1﹣1+4＝2．30．（2022秋•建平县期末）计算：（1）； （2）．【分析】（1）根据有理数的混合运算计算即可；（2）根据先乘方，再算乘除法，最后再算加减的有理数混合运算顺序进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣1+6+2+1＝8；（2）原式＝＝3+3﹣8＝﹣2．