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北师大版七年级下册5 平方差公式精品综合训练题
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这是一份北师大版七年级下册5 平方差公式精品综合训练题，共16页。
A． B．
C． D．
2．（2023下·河北石家庄·七年级校考期中）已知，则括号里应填（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·广东汕头·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（2023下·河北保定·七年级保定十三中校考期中）计算：（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·浙江嘉兴·七年级统考期末）计算：（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知两个正方形的边长之和是，他们的面积之差是，则这两个正方形的边长之差为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·浙江·七年级专题练习）当y取某一实数值时，代数式的值与x的取值无关，则这个y的值为（ ）
A． B． C．1 D．-1
8．（2023下·湖南娄底·七年级统考阶段练习）观察：，，，据此规律，当时，代数式的值为（ ）
A．0或 B．1或 C．0 D．
9．（2023上·吉林白城·八年级统考期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线剪开后又拼成如图的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023下·甘肃兰州·七年级统考期中）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（ ）
A．① B．②③ C．①③ D．③
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·四川资阳·八年级四川省乐至中学校考期中）已知. ．
12．（2023下·山东青岛·六年级统考期中）计算：＝ ．
13．（2023·北京石景山·统考二模）如果，那么代数式的值为 ．
14．（2023下·江苏·七年级专题练习）计算：（1） ；
（2） ．
15．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么这个正整数称为“和谐数”．例如：因为，所以8是“和谐数”．在不超过200的正整数中，“和谐数”的个数为 ．
16．（2021下·湖南郴州·七年级统考期末）已知，则 ．
17．（2023上·湖南湘西·八年级校考阶段练习）数字“”非常的神奇，它可以写成，也可以写成，还可以写成，请把数字“”进行转换然后计算： .
18．（2023上·北京·八年级期末）把一个边长为的正方形按图1的方式叠放在边长为的正方形中（），我们既可以利用图1计算阴影部分面积；也可以将图1剪接成图2后计算阴影部分面积．这个过程验证了一个我们熟悉的乘法公式，它是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）用简便方法计算：
（1）；（2）．
20．（8分）（2023上·八年级课时练习）计算：
（1）；（2）．
21．（10分）（2024上·河北唐山·八年级统考期末）已知为任意整数，设，比小．
（1）__________；（用含k的代数式表示）
（2）求证：总能被3整除．
22．（10分）（2024上·广东湛江·八年级校考期末）观察下列计算∶
（1）猜想∶ _______________________．（其中n为正整数，且）；
（2）利用（1）猜想的结论计算∶ ；
23．（10分）（2022上·吉林·七年级统考期末）如图，将边长为的正方形纸板，沿虚线剪成两个正方形和两个长方形纸板，拿掉边长为的大正方形纸板后，将剩下的三个纸板拼成一个新的长方形纸板．
（1）求拼成的新的长方形纸板的周长；（用含或的代数式表示）
（2）当，时，直接写出拼成的新的长方形纸板的面积为___________．
24．（12分）（2024上·广东潮州·八年级统考期末）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示）．
（1）实验与操作：上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的选项）：
A．B．
C．D．
（2）应用与计算：请利用你从（）选出的等式，完成下列各题：
①根据以上等式简便计算：．
②已知，，计算的值．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式．
解：A、，此选项正确，故不符合题意；
B、，此选项正确，故不符合题意；
C、，此选项错误，故符合题意；
D、，此选项正确，故不符合题意，
故选：C．
2．B
【分析】根据平方差公式：， 即可确定答案；
解：，
故选：B
【点拨】本题考查了平方差公式，熟练掌据平方差公式是解题的关键
3．B
【分析】本题考查了运用平方差公式进行计算，将化为，再利用平方差公式即可求解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
解：
，
故选B．
4．D
【分析】连续两次运用平方差公式即可求解．
解：
，
故选：D．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，数量掌握平方差公式是解题的关键．
5．A
【分析】先将式子乘以，值不变，然后运用平方差公式计算即可求解．
解：
．
故选：A．
【点拨】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
6．B
【分析】根据两个正方形的边长的和为，假设其中一个边长为，表示出另一边为，进而利用正方形面积求出．
解：∵两个正方形的边长的和为，
∴假设其中一边长为，另一边为，且，
∵它们的面积的差为，
∴，
，
∴，
∴，
∴另一边边长为．
∴两个正方形的边长之差为．
故选:
【点拨】此题主要考查了平方差公式的应用以及正方形的性质，根据题意表示出正方形边长是解决问题的关键．
7．A
【分析】将原代数式化简并整理得，再根据代数式的值与y的取值无关，即得出，解出y的值即可．
解：
．
∵代数式的值与x的取值无关，
∴，
解得：．
故选A．
【点拨】本题考查整式混合运算中的无关型问题．掌握整式的混合运算法则是解题关键．
8．A
【分析】先根据规律求得x的值，再代入求解即可．
解：∵，
，
，⋯,
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
故选：A．
【点拨】本题考查代数值求值，通过规律解决数学问题，求出x的值是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
解：拼成的长方形的面积，
，
，
∵拼成的长方形一边长为，
∴另一边长是．
故选：C．
10．D
【分析】根据各个图形中阴影部分面积的“算两次”，进而判断是否验证平方差公式即可．
解：图①中，将阴影部分沿着虚线裁剪，可以拼成右侧的平行四边形，
阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，
所以图①可以验证平方差公式，不符合题意；
图②中阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的长方形的长为，款为，因此面积为，所以有，
因此图②可以验证平方差公式，不符合题意；
图③中阴影部分可以看作是边长为的正方形，因此面积为，所拼成的图形中阴影部分的面积可以看作四个小正方形的面积和，，因此不能验证平方差公式，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中阴影部分的面积是解决问题的关键．
11．9
【分析】根据题意可得，运用平方差公式解因式再整体代入即可
解：
，
故答案为：9．
【点拨】本题考查了平方差公式，解题的关键是会运用整体思想代入．
12．1234
【分析】将分母先变形，然后根据平方差公式计算，最后化简即可．
解：
，
故答案为：1234．
【点拨】本题考查有理数的混合运算以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
13．
【分析】先根据已知条件式得到，再把所求式子去括号并合并同类项化简得到，把整体代入求解即可．
解：∵，
∴
∴
，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了整式的化简求值，正确把所求式子化简为是解题的关键．
14． /
【分析】（1）先化成指数相同的幂相乘，再利用积的乘方的性质的逆用计算即可；
（2）先写成20与的和与差的积，再根据平方差公式进行计算．
解：（1），
，
，
；
（2）原式，
，
．
【点拨】本题考查了积的乘方的性质的逆用和平方差公式，整理成性质和公式的形式是解题的关键．
15．25
【分析】根据，可列举出不超过200的正整数中的“和谐数”，再根据规律性计算可得出答案．
解：，
在不超过200的正整数中，所有的“和谐数”为：、、、、，
共有（个，
故答案为：25．
【点拨】本题考查平方差公式，理解“和谐数”的意义是解决问题的前提，得出规律性是解决问题的关键．
16．
【分析】依据得，运用积的乘方的逆用及平方差公式得原式等于即，代入计算即可．
解：，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了积的乘方的逆用及平方差公式的逆用；解题的关键是熟练掌握相关公式．
17．
【分析】本题考查了数字“”转换，将数字“”化成添加到原式中，然后利用平方差公式依次计算化简即可得解，采用平方差的公式计算化简是解题关键．
解：原式
故答案为：．
18．
【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．图1中阴影部分的面积计算方法是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；图2中阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，根据这两个图形的阴影部分的面积相等，即可获得答案．
解：图1中，
∵大正方形面积减去小正方形面积即为阴影部分面积，
∴阴影部分面积可表示为；
图2中，
∵拼接后阴影部分是个长方形，长为，宽为，
∴阴影部分面积可表示为，
由阴影部分面积相等，得．
答案：．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟记公式的形式是解题关键．
（1）将原式写成，利用平方差公式即可求解；
（2）利用平方差公式即可求解．
（1）解：原式
（2）解：原式
20．（1）；（2）
【分析】（1）利用平方差公式计算即可；
（2）两次利用平方差公式计算即可．
（1）解：原式
.
（2）解：
．
【点拨】本题考查了平方差公式，掌握公式的结构特点是解题的关键．
21．（1）；（2）见分析
【分析】本题考查了列代数式，平方差公式的应用；
（1）由比小，可得，将代入，可得答案；
（2）先计算，再根据结果作判断即可．
（1）解：依题意，，
故答案为：．
（2）解：∵比小
∴
∴，
即总能被3整除．
22．（1）；（2）2046
【分析】本题主要考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项；
（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值．
解：（1）根据观察可得：
，
故答案为：
（2）
，
，
23．（1）；（2）5
【分析】（1）用含或的代数式表示拼成的新的长方形的长和宽即可求周长；
（2）当，时，代入（1）所得长方形的长和宽即可写出拼成的新的长方形的面积．
解：（1）
；
拼成的新的长方形纸板的周长为．
（2）当，时，
矩形的面积为：．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是确定拼成的长方形的长和宽．
24．（1）D；（2）；．
【分析】（）分别表示出图和图阴影部分的面积，根据面积相等即可求解；
（）利用平方差公式直接计算即可求解；
利用平方差公式把等式左边转化成，代入即可求解；
本题考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键．
（1）解：由图可得，阴影部分的面积为，
由图可得，阴影部分的面积为，
∵图和图阴影部分的面积相等，
∴，
故选：；
（2）解：；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
A． B．
C． D．
2．（2023下·河北石家庄·七年级校考期中）已知，则括号里应填（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·广东汕头·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（2023下·河北保定·七年级保定十三中校考期中）计算：（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·浙江嘉兴·七年级统考期末）计算：（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知两个正方形的边长之和是，他们的面积之差是，则这两个正方形的边长之差为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·浙江·七年级专题练习）当y取某一实数值时，代数式的值与x的取值无关，则这个y的值为（ ）
A． B． C．1 D．-1
8．（2023下·湖南娄底·七年级统考阶段练习）观察：，，，据此规律，当时，代数式的值为（ ）
A．0或 B．1或 C．0 D．
9．（2023上·吉林白城·八年级统考期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线剪开后又拼成如图的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023下·甘肃兰州·七年级统考期中）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（ ）
A．① B．②③ C．①③ D．③
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·四川资阳·八年级四川省乐至中学校考期中）已知. ．
12．（2023下·山东青岛·六年级统考期中）计算：＝ ．
13．（2023·北京石景山·统考二模）如果，那么代数式的值为 ．
14．（2023下·江苏·七年级专题练习）计算：（1） ；
（2） ．
15．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么这个正整数称为“和谐数”．例如：因为，所以8是“和谐数”．在不超过200的正整数中，“和谐数”的个数为 ．
16．（2021下·湖南郴州·七年级统考期末）已知，则 ．
17．（2023上·湖南湘西·八年级校考阶段练习）数字“”非常的神奇，它可以写成，也可以写成，还可以写成，请把数字“”进行转换然后计算： .
18．（2023上·北京·八年级期末）把一个边长为的正方形按图1的方式叠放在边长为的正方形中（），我们既可以利用图1计算阴影部分面积；也可以将图1剪接成图2后计算阴影部分面积．这个过程验证了一个我们熟悉的乘法公式，它是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）用简便方法计算：
（1）；（2）．
20．（8分）（2023上·八年级课时练习）计算：
（1）；（2）．
21．（10分）（2024上·河北唐山·八年级统考期末）已知为任意整数，设，比小．
（1）__________；（用含k的代数式表示）
（2）求证：总能被3整除．
22．（10分）（2024上·广东湛江·八年级校考期末）观察下列计算∶
（1）猜想∶ _______________________．（其中n为正整数，且）；
（2）利用（1）猜想的结论计算∶ ；
23．（10分）（2022上·吉林·七年级统考期末）如图，将边长为的正方形纸板，沿虚线剪成两个正方形和两个长方形纸板，拿掉边长为的大正方形纸板后，将剩下的三个纸板拼成一个新的长方形纸板．
（1）求拼成的新的长方形纸板的周长；（用含或的代数式表示）
（2）当，时，直接写出拼成的新的长方形纸板的面积为___________．
24．（12分）（2024上·广东潮州·八年级统考期末）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示）．
（1）实验与操作：上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的选项）：
A．B．
C．D．
（2）应用与计算：请利用你从（）选出的等式，完成下列各题：
①根据以上等式简便计算：．
②已知，，计算的值．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式．
解：A、，此选项正确，故不符合题意；
B、，此选项正确，故不符合题意；
C、，此选项错误，故符合题意；
D、，此选项正确，故不符合题意，
故选：C．
2．B
【分析】根据平方差公式：， 即可确定答案；
解：，
故选：B
【点拨】本题考查了平方差公式，熟练掌据平方差公式是解题的关键
3．B
【分析】本题考查了运用平方差公式进行计算，将化为，再利用平方差公式即可求解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
解：
，
故选B．
4．D
【分析】连续两次运用平方差公式即可求解．
解：
，
故选：D．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，数量掌握平方差公式是解题的关键．
5．A
【分析】先将式子乘以，值不变，然后运用平方差公式计算即可求解．
解：
．
故选：A．
【点拨】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
6．B
【分析】根据两个正方形的边长的和为，假设其中一个边长为，表示出另一边为，进而利用正方形面积求出．
解：∵两个正方形的边长的和为，
∴假设其中一边长为，另一边为，且，
∵它们的面积的差为，
∴，
，
∴，
∴，
∴另一边边长为．
∴两个正方形的边长之差为．
故选:
【点拨】此题主要考查了平方差公式的应用以及正方形的性质，根据题意表示出正方形边长是解决问题的关键．
7．A
【分析】将原代数式化简并整理得，再根据代数式的值与y的取值无关，即得出，解出y的值即可．
解：
．
∵代数式的值与x的取值无关，
∴，
解得：．
故选A．
【点拨】本题考查整式混合运算中的无关型问题．掌握整式的混合运算法则是解题关键．
8．A
【分析】先根据规律求得x的值，再代入求解即可．
解：∵，
，
，⋯,
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
故选：A．
【点拨】本题考查代数值求值，通过规律解决数学问题，求出x的值是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
解：拼成的长方形的面积，
，
，
∵拼成的长方形一边长为，
∴另一边长是．
故选：C．
10．D
【分析】根据各个图形中阴影部分面积的“算两次”，进而判断是否验证平方差公式即可．
解：图①中，将阴影部分沿着虚线裁剪，可以拼成右侧的平行四边形，
阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，
所以图①可以验证平方差公式，不符合题意；
图②中阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的长方形的长为，款为，因此面积为，所以有，
因此图②可以验证平方差公式，不符合题意；
图③中阴影部分可以看作是边长为的正方形，因此面积为，所拼成的图形中阴影部分的面积可以看作四个小正方形的面积和，，因此不能验证平方差公式，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中阴影部分的面积是解决问题的关键．
11．9
【分析】根据题意可得，运用平方差公式解因式再整体代入即可
解：
，
故答案为：9．
【点拨】本题考查了平方差公式，解题的关键是会运用整体思想代入．
12．1234
【分析】将分母先变形，然后根据平方差公式计算，最后化简即可．
解：
，
故答案为：1234．
【点拨】本题考查有理数的混合运算以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
13．
【分析】先根据已知条件式得到，再把所求式子去括号并合并同类项化简得到，把整体代入求解即可．
解：∵，
∴
∴
，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了整式的化简求值，正确把所求式子化简为是解题的关键．
14． /
【分析】（1）先化成指数相同的幂相乘，再利用积的乘方的性质的逆用计算即可；
（2）先写成20与的和与差的积，再根据平方差公式进行计算．
解：（1），
，
，
；
（2）原式，
，
．
【点拨】本题考查了积的乘方的性质的逆用和平方差公式，整理成性质和公式的形式是解题的关键．
15．25
【分析】根据，可列举出不超过200的正整数中的“和谐数”，再根据规律性计算可得出答案．
解：，
在不超过200的正整数中，所有的“和谐数”为：、、、、，
共有（个，
故答案为：25．
【点拨】本题考查平方差公式，理解“和谐数”的意义是解决问题的前提，得出规律性是解决问题的关键．
16．
【分析】依据得，运用积的乘方的逆用及平方差公式得原式等于即，代入计算即可．
解：，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了积的乘方的逆用及平方差公式的逆用；解题的关键是熟练掌握相关公式．
17．
【分析】本题考查了数字“”转换，将数字“”化成添加到原式中，然后利用平方差公式依次计算化简即可得解，采用平方差的公式计算化简是解题关键．
解：原式
故答案为：．
18．
【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．图1中阴影部分的面积计算方法是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；图2中阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，根据这两个图形的阴影部分的面积相等，即可获得答案．
解：图1中，
∵大正方形面积减去小正方形面积即为阴影部分面积，
∴阴影部分面积可表示为；
图2中，
∵拼接后阴影部分是个长方形，长为，宽为，
∴阴影部分面积可表示为，
由阴影部分面积相等，得．
答案：．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟记公式的形式是解题关键．
（1）将原式写成，利用平方差公式即可求解；
（2）利用平方差公式即可求解．
（1）解：原式
（2）解：原式
20．（1）；（2）
【分析】（1）利用平方差公式计算即可；
（2）两次利用平方差公式计算即可．
（1）解：原式
.
（2）解：
．
【点拨】本题考查了平方差公式，掌握公式的结构特点是解题的关键．
21．（1）；（2）见分析
【分析】本题考查了列代数式，平方差公式的应用；
（1）由比小，可得，将代入，可得答案；
（2）先计算，再根据结果作判断即可．
（1）解：依题意，，
故答案为：．
（2）解：∵比小
∴
∴，
即总能被3整除．
22．（1）；（2）2046
【分析】本题主要考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项；
（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值．
解：（1）根据观察可得：
，
故答案为：
（2）
，
，
23．（1）；（2）5
【分析】（1）用含或的代数式表示拼成的新的长方形的长和宽即可求周长；
（2）当，时，代入（1）所得长方形的长和宽即可写出拼成的新的长方形的面积．
解：（1）
；
拼成的新的长方形纸板的周长为．
（2）当，时，
矩形的面积为：．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是确定拼成的长方形的长和宽．
24．（1）D；（2）；．
【分析】（）分别表示出图和图阴影部分的面积，根据面积相等即可求解；
（）利用平方差公式直接计算即可求解；
利用平方差公式把等式左边转化成，代入即可求解；
本题考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键．
（1）解：由图可得，阴影部分的面积为，
由图可得，阴影部分的面积为，
∵图和图阴影部分的面积相等，
∴，
故选：；
（2）解：；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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