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数学七年级下册第一章 整式的乘除5 平方差公式精练
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这是一份数学七年级下册第一章 整式的乘除5 平方差公式精练，文件包含初一数学北师大版春季班第3讲乘法公式平方差公式--尖子班教师版docx、初一数学北师大版春季班第3讲乘法公式平方差公式--尖子班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
知识点1 平方差公式
平方差公式的特点：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
在利用平方差公式进行计算时，先判断式子能否利用平方差公式计算，如果可以，再根据进行乘法计算．
【典例】
例1（2020春•碑林区期末）化简：2a•3a﹣（2a+3）（2a﹣3）．
【解答】解：2a•3a﹣（2a+3）（2a﹣3）
＝6a2﹣（4a2﹣9）
＝6a2﹣4a2+9
＝2a2+9．
【方法总结】
本题考查了单项式乘以单项式，平方差公式和整式的混合运算等知识点，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
例2 （2020春•沈河区期末）计算：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣3x（x+2y）．
【解答】解：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣3x（x+2y）
＝9x2﹣4y2﹣3x2﹣6xy
＝6x2﹣6xy﹣4y2．
【方法总结】
此题主要考查了平方差公式和单项式乘多项式，熟练运用平方差公式和单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
例3 （2020春•江都区月考）观察下列等式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
利用你发现的规律解决下列问题：
（1）计算：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝ x5﹣1 ．
（2）计算：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）＝ xn﹣1 ．
（3）利用（2）中结论，求32019+32018+32017+…+3+1的值．
（4）已知：x3+x2+x+1＝0，求x2﹣8x+16的值．
【解答】解：（1）∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，
∴（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1，
故答案为：x5﹣1；
（2）由（1）可得：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）＝xn﹣1，
故答案为：xn﹣1；
（3）由（2）得：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）＝xn﹣1，
令x＝3，n＝2020得，（3﹣1）（32019+32018+32017+…+3+1）＝32020﹣1，
∴32019+32018+32017+…+3+1=32020-12；
（4）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
∵x3+x2+x+1＝0，
∴x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝0，
∴x＝±1，
当x＝1时，x3+x2+x+1≠0，故舍去，
∴x＝﹣1，
当x＝﹣1时，x2﹣8x+16＝25．
【方法总结】
本题考查了平方差公式、数字的变化类、多项式乘以多项式等知识点，能灵活运用规律进行计算是解此题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•沙坪坝区校级月考）（x﹣1）2（x+1）2（x2+1）2．
【解答】解：（x﹣1）2（x+1）2（x2+1）2．
＝（x2﹣1）2（x2+1）2
＝（x4﹣1）2
＝x8﹣2x4+1．
2．（2020春•沙坪坝区校级月考）（a﹣4）（a+4）﹣2（a﹣1）（2a+2）．
【解答】解：（a﹣4）（a+4）﹣2（a﹣1）（2a+2）
＝a2﹣42﹣4（a﹣1）（a+1）
＝a2﹣16﹣4（a2﹣1）
＝a2﹣16﹣4a2+4
＝﹣3a2﹣12．
3．（2020秋•武侯区校级期中）观察下列各式的计算结果：
1-122=1-14=34=12×32；
1-132=1-19=89=23×43；
1-142=1-116=1516=34×54；
1-152=1-125=2425=45×65⋯
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：
1-162= 56 × 76 ；1-1102= 910 × 1110 ．
（2）用你发现的规律计算：（1-122）×（1-132）×（1-142）×…×（1-120192）×（1-120202）．
【解答】解：（1）1-162=（1-16）（1+16）=56×76；
1-1102=（1-110）（1+110）=910×1110；
故答案为56，76；910，1110；
（2）原式=12×32×23×43×34×54×⋯×20182019×20202019×20192020×20212020
=12×20212020
=20214040．
知识点2 利用平方差公式进行数的运算
在一些计算中，有时利用平方差公式，会使计算量大大减少；
例如98×102，可以利用平方差公式化成98×102=（100-2）×（100+2）=100²-2²=9996．
【典例】
例1（2020春•渝中区校级月考）计算：20202019×2021+1= 12020 ．
【解答】解：原式=2020(2020+1)(2020-1)+1
=202020202-1+1
=12020，
故答案为：12020
【方法总结】
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
例2（2020春•河口区期末）阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题
计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）＝ 14×（516﹣1） ．
【解答】解：根据题意得：14×（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）
=14×（52﹣1）（52+1）（54+1）（58+1）
=14×（54﹣1）（54+1）（58+1）
=14×（58﹣1）（58+1）
=14×（516﹣1），
故答案为：14×（516﹣1）
【方法总结】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•皇姑区校级期中）运用乘法公式进行简便计算：1232﹣122×124．
【解答】解：1232﹣122×124
＝1232﹣（123﹣1）×（123+1）
＝1232﹣（1232﹣12）
＝1．
2．（2020秋•武侯区校级期中）观察下列各式的计算结果：
1-122=1-14=34=12×32；
1-132=1-19=89=23×43；
1-142=1-116=1516=34×54；
1-152=1-125=2425=45×65⋯
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：
1-162= 56 × 76 ；1-1102= 910 × 1110 ．
（2）用你发现的规律计算：（1-122）×（1-132）×（1-142）×…×（1-120192）×（1-120202）．
【解答】解：（1）1-162=（1-16）（1+16）=56×76；
1-1102=（1-110）（1+110）=910×1110；
故答案为56，76；910，1110；
（2）原式=12×32×23×43×34×54×⋯×20182019×20202019×20192020×20212020
=12×20212020
=20214040．
知识点3 平方差公式—几何背景
平方差公式的证明方法有很多种，其中几何法证明是最常见的一种，也是初中阶段最容易理解的一种．
【典例】
例1（2020秋•武都区期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；
②计算：(1-122)(1-132)(1-142)⋯(1-192)(1-1102)．
【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案是B；
（2）①∵9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y），
∴24＝6（x﹣2y）
得：3x﹣2y＝4；
②原式＝（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）（1-14）（1+14）…（1-110）（1+110），
=12×32×23×34×54×⋯×89×109×910×1110，
=12×1110，
=1120．
【方法总结】
本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
例2 （2020春•胶州市期中）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1-122）（1-132）（1-142）……（1-120192）（1-120202）．
【解答】解：（1）左图中，阴影部分的面积为：a2﹣b2，右图阴影部分的面积为：12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B．
（2）①∵x2﹣4y2＝12，
∴（x+2y）（x﹣2y）＝12，
又∵x+2y＝4，
∴x﹣2y＝12÷4＝3，
②原式＝（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）（1-14）（1+14）……（1-12019）（1+12019）（1-12020）（1+12020），
=12×32×23×43×34×54×⋯⋯×20182019×20202019×20192020×20212020，
=12×20212020，
=20214040．
【方法总结】
考查平方差公式的几何背景和应用，利用平方差公式将代数式进行适当的变形，从而达到简单介绍的目的．
【随堂练习】
1．（2020春•裕华区期中）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① a2﹣b2 图② （a+b）（a﹣b） ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （用字母a、b表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m﹣n＝3，2m+n＝4，则4m2﹣n2的值为 12 ；
②计算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）；
【拓展】计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的结果为 264﹣1 ．
【解答】解：【探究】（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2；图②的阴影部分为长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形，其面积为（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
【应用】①4m2﹣n2＝（2m﹣n）（2m+n）＝3×4＝12，
故答案为：12；
②（x﹣3）（x+3）（x2+9）＝（x2﹣9）（x2+9）＝x4﹣81；
【拓展】（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（28﹣1）（28+1）…（232+1），
＝264﹣1．
2．（2020秋•甘井子区期末）数学兴趣小组在“用面积验证平方差公式”时，经历了如下的探究过程：
（1）小明的想法是：将边长为a的正方形右下角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，并用两种方式表示这两部分面积的和，请你按照小明的想法验证平方差公式．
（2）小白的起法是：在边长为a的正方形内部任意位置剪掉一个边长为b的正方形（如图2），再将剩下部分进行适当分割，并将分割得到的几部分面积和用两种方式表示出来，请你按照小白的想法在图中用虚线画出分割线，并验证平方差公式．
【解答】解：（1）①的面积=12×（a+b）（a﹣b）=12×（a2﹣b2），
②的面积=12×（a+b）（a﹣b）=12×（a2﹣b2），
∴①+②的面积＝a2﹣b2；
①+②的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（2）①+②的面积＝（a﹣b）b＝ab﹣b2，
③+④的面积＝（a﹣b）a＝a2﹣ab，
∴①+②+③+④＝a2﹣b2；
①+②+③+④的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
综合运用
11
1.（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）
【解答】解：由图可知，
图1的面积为：x2﹣12，
图2的面积为：（x+1）（x﹣1），
所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故选：B．
2．（2020春•沙坪坝区校级月考）（1﹣a）（a+1）（a2+1）（a4+1）．
【解答】解：（1﹣a）（a+1）（a2+1）（a4+1）
＝（1﹣a2）（1+a2）（a4+1）
＝（1﹣a4）（1+a4）
＝1﹣a8．
3．（2020•安徽一模）计算：3a（2﹣a）+3（a﹣3）（a+3）．
【解答】解：原式＝6a﹣3a2+3（a2﹣9）
＝6a﹣3a2+3a2﹣27
＝6a﹣27．
4．（2020春•太原期中）利用公式计算：20152﹣2014×2016．
【解答】解：20152﹣2014×2016
＝20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）
＝20152﹣（20152﹣1）
＝20152﹣20152+1
＝1．
5．（2020秋•东莞市校级期中）利用乘法公式计算：
①计算：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）；
②计算：（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）；
③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
【解答】解：①原式＝（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）
＝（22﹣1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）
＝（24﹣1）•（24+1）•（28+1）
＝（28﹣1）•（28+1）
＝216﹣1；
②原式=12（3﹣1）•（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）
=12（32﹣1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）
=12（34﹣1）•（34+1）•（38+1）
=12（38﹣1）•（38+1）
=12×(316-1)；
③原式＝（1002﹣992）+（982﹣972）+…（+22﹣12）
＝（1002﹣12）﹣（992﹣22）+（982﹣32）﹣…+（522﹣492）﹣（512﹣502）
＝（100+1）×（100﹣1）﹣（99+2）×（99﹣2）+（98+3）×（98﹣3）﹣…+（52+49）×（52﹣49）﹣（50+51）×（51﹣50）
＝101×99﹣101×97+101×95﹣…+101×3﹣101×1
＝101×（99﹣97+85﹣…+3﹣1）
＝101×（2+2+…+2）
＝101×25×2
＝5050．
6．（2020秋•巩义市期末）探究下面的问题：
（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （用式子表示），即乘法公式中的 平方差 公式．
（2）运用你所得到的公式计算：
①10.7×9.3
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）
【解答】解：（1）图甲阴影面积＝a2﹣b2，图乙阴影面积＝（a+b）（a﹣b），
∴得到的公式为平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；平方差；
（2）①10.7×9.3
＝（10+0.7）×（10﹣0.7）
＝102﹣0.72
＝100﹣0.49
＝99.51；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）
＝（x﹣3z+2y）（x﹣3z﹣2y）
＝（x﹣3z）2﹣（2y）2
＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．
7．（2020秋•昭阳区期末）乘法公式的探究与应用：
（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）
（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是 a+b ，宽是 a﹣b ，面积是 （a+b）（a﹣b） （写成多项式乘法的形式）．
（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （用式子表达）
（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．
【解答】解：（1）阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2；
（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积＝长×宽＝（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2，a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；
（4）10.3×9.7＝（10+0.3）（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91．
日期：2021/1/27 22:11:39；用户：广饶数学；邮箱：chayin5@xyh.cm；学号：24896626
知识点1 平方差公式
平方差公式的特点：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
在利用平方差公式进行计算时，先判断式子能否利用平方差公式计算，如果可以，再根据进行乘法计算．
【典例】
例1（2020春•碑林区期末）化简：2a•3a﹣（2a+3）（2a﹣3）．
【解答】解：2a•3a﹣（2a+3）（2a﹣3）
＝6a2﹣（4a2﹣9）
＝6a2﹣4a2+9
＝2a2+9．
【方法总结】
本题考查了单项式乘以单项式，平方差公式和整式的混合运算等知识点，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
例2 （2020春•沈河区期末）计算：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣3x（x+2y）．
【解答】解：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣3x（x+2y）
＝9x2﹣4y2﹣3x2﹣6xy
＝6x2﹣6xy﹣4y2．
【方法总结】
此题主要考查了平方差公式和单项式乘多项式，熟练运用平方差公式和单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
例3 （2020春•江都区月考）观察下列等式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
利用你发现的规律解决下列问题：
（1）计算：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝ x5﹣1 ．
（2）计算：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）＝ xn﹣1 ．
（3）利用（2）中结论，求32019+32018+32017+…+3+1的值．
（4）已知：x3+x2+x+1＝0，求x2﹣8x+16的值．
【解答】解：（1）∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，
∴（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1，
故答案为：x5﹣1；
（2）由（1）可得：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）＝xn﹣1，
故答案为：xn﹣1；
（3）由（2）得：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）＝xn﹣1，
令x＝3，n＝2020得，（3﹣1）（32019+32018+32017+…+3+1）＝32020﹣1，
∴32019+32018+32017+…+3+1=32020-12；
（4）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
∵x3+x2+x+1＝0，
∴x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝0，
∴x＝±1，
当x＝1时，x3+x2+x+1≠0，故舍去，
∴x＝﹣1，
当x＝﹣1时，x2﹣8x+16＝25．
【方法总结】
本题考查了平方差公式、数字的变化类、多项式乘以多项式等知识点，能灵活运用规律进行计算是解此题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•沙坪坝区校级月考）（x﹣1）2（x+1）2（x2+1）2．
【解答】解：（x﹣1）2（x+1）2（x2+1）2．
＝（x2﹣1）2（x2+1）2
＝（x4﹣1）2
＝x8﹣2x4+1．
2．（2020春•沙坪坝区校级月考）（a﹣4）（a+4）﹣2（a﹣1）（2a+2）．
【解答】解：（a﹣4）（a+4）﹣2（a﹣1）（2a+2）
＝a2﹣42﹣4（a﹣1）（a+1）
＝a2﹣16﹣4（a2﹣1）
＝a2﹣16﹣4a2+4
＝﹣3a2﹣12．
3．（2020秋•武侯区校级期中）观察下列各式的计算结果：
1-122=1-14=34=12×32；
1-132=1-19=89=23×43；
1-142=1-116=1516=34×54；
1-152=1-125=2425=45×65⋯
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：
1-162= 56 × 76 ；1-1102= 910 × 1110 ．
（2）用你发现的规律计算：（1-122）×（1-132）×（1-142）×…×（1-120192）×（1-120202）．
【解答】解：（1）1-162=（1-16）（1+16）=56×76；
1-1102=（1-110）（1+110）=910×1110；
故答案为56，76；910，1110；
（2）原式=12×32×23×43×34×54×⋯×20182019×20202019×20192020×20212020
=12×20212020
=20214040．
知识点2 利用平方差公式进行数的运算
在一些计算中，有时利用平方差公式，会使计算量大大减少；
例如98×102，可以利用平方差公式化成98×102=（100-2）×（100+2）=100²-2²=9996．
【典例】
例1（2020春•渝中区校级月考）计算：20202019×2021+1= 12020 ．
【解答】解：原式=2020(2020+1)(2020-1)+1
=202020202-1+1
=12020，
故答案为：12020
【方法总结】
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
例2（2020春•河口区期末）阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题
计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）＝ 14×（516﹣1） ．
【解答】解：根据题意得：14×（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）
=14×（52﹣1）（52+1）（54+1）（58+1）
=14×（54﹣1）（54+1）（58+1）
=14×（58﹣1）（58+1）
=14×（516﹣1），
故答案为：14×（516﹣1）
【方法总结】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•皇姑区校级期中）运用乘法公式进行简便计算：1232﹣122×124．
【解答】解：1232﹣122×124
＝1232﹣（123﹣1）×（123+1）
＝1232﹣（1232﹣12）
＝1．
2．（2020秋•武侯区校级期中）观察下列各式的计算结果：
1-122=1-14=34=12×32；
1-132=1-19=89=23×43；
1-142=1-116=1516=34×54；
1-152=1-125=2425=45×65⋯
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：
1-162= 56 × 76 ；1-1102= 910 × 1110 ．
（2）用你发现的规律计算：（1-122）×（1-132）×（1-142）×…×（1-120192）×（1-120202）．
【解答】解：（1）1-162=（1-16）（1+16）=56×76；
1-1102=（1-110）（1+110）=910×1110；
故答案为56，76；910，1110；
（2）原式=12×32×23×43×34×54×⋯×20182019×20202019×20192020×20212020
=12×20212020
=20214040．
知识点3 平方差公式—几何背景
平方差公式的证明方法有很多种，其中几何法证明是最常见的一种，也是初中阶段最容易理解的一种．
【典例】
例1（2020秋•武都区期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；
②计算：(1-122)(1-132)(1-142)⋯(1-192)(1-1102)．
【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案是B；
（2）①∵9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y），
∴24＝6（x﹣2y）
得：3x﹣2y＝4；
②原式＝（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）（1-14）（1+14）…（1-110）（1+110），
=12×32×23×34×54×⋯×89×109×910×1110，
=12×1110，
=1120．
【方法总结】
本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
例2 （2020春•胶州市期中）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1-122）（1-132）（1-142）……（1-120192）（1-120202）．
【解答】解：（1）左图中，阴影部分的面积为：a2﹣b2，右图阴影部分的面积为：12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B．
（2）①∵x2﹣4y2＝12，
∴（x+2y）（x﹣2y）＝12，
又∵x+2y＝4，
∴x﹣2y＝12÷4＝3，
②原式＝（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）（1-14）（1+14）……（1-12019）（1+12019）（1-12020）（1+12020），
=12×32×23×43×34×54×⋯⋯×20182019×20202019×20192020×20212020，
=12×20212020，
=20214040．
【方法总结】
考查平方差公式的几何背景和应用，利用平方差公式将代数式进行适当的变形，从而达到简单介绍的目的．
【随堂练习】
1．（2020春•裕华区期中）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① a2﹣b2 图② （a+b）（a﹣b） ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （用字母a、b表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m﹣n＝3，2m+n＝4，则4m2﹣n2的值为 12 ；
②计算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）；
【拓展】计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的结果为 264﹣1 ．
【解答】解：【探究】（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2；图②的阴影部分为长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形，其面积为（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
【应用】①4m2﹣n2＝（2m﹣n）（2m+n）＝3×4＝12，
故答案为：12；
②（x﹣3）（x+3）（x2+9）＝（x2﹣9）（x2+9）＝x4﹣81；
【拓展】（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（28﹣1）（28+1）…（232+1），
＝264﹣1．
2．（2020秋•甘井子区期末）数学兴趣小组在“用面积验证平方差公式”时，经历了如下的探究过程：
（1）小明的想法是：将边长为a的正方形右下角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，并用两种方式表示这两部分面积的和，请你按照小明的想法验证平方差公式．
（2）小白的起法是：在边长为a的正方形内部任意位置剪掉一个边长为b的正方形（如图2），再将剩下部分进行适当分割，并将分割得到的几部分面积和用两种方式表示出来，请你按照小白的想法在图中用虚线画出分割线，并验证平方差公式．
【解答】解：（1）①的面积=12×（a+b）（a﹣b）=12×（a2﹣b2），
②的面积=12×（a+b）（a﹣b）=12×（a2﹣b2），
∴①+②的面积＝a2﹣b2；
①+②的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（2）①+②的面积＝（a﹣b）b＝ab﹣b2，
③+④的面积＝（a﹣b）a＝a2﹣ab，
∴①+②+③+④＝a2﹣b2；
①+②+③+④的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
综合运用
11
1.（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）
【解答】解：由图可知，
图1的面积为：x2﹣12，
图2的面积为：（x+1）（x﹣1），
所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故选：B．
2．（2020春•沙坪坝区校级月考）（1﹣a）（a+1）（a2+1）（a4+1）．
【解答】解：（1﹣a）（a+1）（a2+1）（a4+1）
＝（1﹣a2）（1+a2）（a4+1）
＝（1﹣a4）（1+a4）
＝1﹣a8．
3．（2020•安徽一模）计算：3a（2﹣a）+3（a﹣3）（a+3）．
【解答】解：原式＝6a﹣3a2+3（a2﹣9）
＝6a﹣3a2+3a2﹣27
＝6a﹣27．
4．（2020春•太原期中）利用公式计算：20152﹣2014×2016．
【解答】解：20152﹣2014×2016
＝20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）
＝20152﹣（20152﹣1）
＝20152﹣20152+1
＝1．
5．（2020秋•东莞市校级期中）利用乘法公式计算：
①计算：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）；
②计算：（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）；
③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
【解答】解：①原式＝（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）
＝（22﹣1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）
＝（24﹣1）•（24+1）•（28+1）
＝（28﹣1）•（28+1）
＝216﹣1；
②原式=12（3﹣1）•（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）
=12（32﹣1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）
=12（34﹣1）•（34+1）•（38+1）
=12（38﹣1）•（38+1）
=12×(316-1)；
③原式＝（1002﹣992）+（982﹣972）+…（+22﹣12）
＝（1002﹣12）﹣（992﹣22）+（982﹣32）﹣…+（522﹣492）﹣（512﹣502）
＝（100+1）×（100﹣1）﹣（99+2）×（99﹣2）+（98+3）×（98﹣3）﹣…+（52+49）×（52﹣49）﹣（50+51）×（51﹣50）
＝101×99﹣101×97+101×95﹣…+101×3﹣101×1
＝101×（99﹣97+85﹣…+3﹣1）
＝101×（2+2+…+2）
＝101×25×2
＝5050．
6．（2020秋•巩义市期末）探究下面的问题：
（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （用式子表示），即乘法公式中的 平方差 公式．
（2）运用你所得到的公式计算：
①10.7×9.3
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）
【解答】解：（1）图甲阴影面积＝a2﹣b2，图乙阴影面积＝（a+b）（a﹣b），
∴得到的公式为平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；平方差；
（2）①10.7×9.3
＝（10+0.7）×（10﹣0.7）
＝102﹣0.72
＝100﹣0.49
＝99.51；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）
＝（x﹣3z+2y）（x﹣3z﹣2y）
＝（x﹣3z）2﹣（2y）2
＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．
7．（2020秋•昭阳区期末）乘法公式的探究与应用：
（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）
（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是 a+b ，宽是 a﹣b ，面积是 （a+b）（a﹣b） （写成多项式乘法的形式）．
（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （用式子表达）
（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．
【解答】解：（1）阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2；
（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积＝长×宽＝（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2，a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；
（4）10.3×9.7＝（10+0.3）（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91．
日期：2021/1/27 22:11:39；用户：广饶数学；邮箱：chayin5@xyh.cm；学号：24896626
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