第一章 集合与常用逻辑用语单元测试-高一数学《同步考点解读·专题训练》（人教A版必修第一册）

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集合与常用逻辑用语单元测试 总分：150分 时间：120分 选择题（每题5分，共40分） 1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝（　　） A．∅ B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5} 【考点】补集及其运算．版权所有 【解答】解：根据补集的定义，∁UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件． ∁UA＝{2，4，5} 故选：C． 2．已知命题P：∀x，y∈（0，3），x+y＜6，则命题P的否定为（　　） A．∀x，y∈（0，3），x+y≥6 B．∀x，y∉（0，3），x+y≥6 C．∃x0，y0∉（0，3），x0+y0≥6 D．∃x0，y0∈（0，3），x0+y0≥6 【考点】全称命题的否定．版权所有 【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0，y0∈（0，3），x0+y0≥6， 故选：D． 3．已知集合M＝{0，1，2}，则M的子集有（　　） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【考点】子集与真子集．版权所有 【解答】解：∵集合M＝{0，1，2}， ∴M的子集有23＝8个． 故选：D． 4．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（　　） A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜2} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2} 【考点】并集及其运算．版权所有 【解答】解：因为A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}， 则A∪B＝{x|x＞﹣1}． 故选：A． 5．已知A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜4}，若A⊆∁RB，则实数a的取值范围为（　　） A．{a|a＜1} B．{a|a≤4} C．{a|a≤1} D．{a|a≥1} 【考点】集合的包含关系判断及应用．版权所有 【解答】解：∵B＝{x|1＜x＜4}， ∴∁RB＝{x|x≤1或x≥4}， ∵A＝{x|x＜a}，A⊆∁RB， ∴a≤1．故实数a的取值范围为{a|a≤1}． 故选：C． 6．设集合A＝{x|a﹣2＜x＜a+2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（　　） A．[1，3] B．（1，3） C．[﹣3，﹣1] D．（﹣3，﹣1） 【考点】集合的包含关系判断及应用．版权所有 【解答】解：B＝{x|﹣1＜x＜5}，A＝{x|a﹣2＜x＜a+2}； 若A⊆B，则： ； ∴1≤a≤3； ∴实数a的取值范围为[1，3]． 故选：A． 7．已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0，1 D．﹣1，0，1 【考点】子集与真子集．版权所有 【解答】解：由题意可得，集合A为单元素集， （1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，∅， （2）当a≠0时 则Δ＝4﹣4a2＝0解得a＝±1， 当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，∅， 当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，∅． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D． 8．若关于x的方程：x2﹣px+6＝0和x2+6x﹣q＝0的解集分别为M，N，且M∩N＝{2}，则p+q＝（　　） A．21 B．8 C．7 D．6 【考点】交集及其运算．版权所有 【解答】解：因为M∩N＝{2}， 所以2是两个方程的根， 所以22﹣2p+6＝0，22+6×2﹣q＝0， 解得p＝5，q＝16， 所以p+q＝21． 故选：A． 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全不选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） （多选）9．集合A＝{x|ax2+2x+1＝0}中有且仅有一个元素，则实数a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 【考点】元素与集合关系的判断．版权所有 【解答】解：∵集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，x∈R}中有且仅有一个元素， ∴a＝0或， 解得a＝0或a＝1， 故选：AC． （多选）10．已知I＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}为全集，集合A，B为I的子集，且A∩（∁IB）＝{1，4，7}，（∁IA）∩B＝{2，3}，（∁IA）∩（∁IB）＝{6，8，9，10}，那么集合A的子集可以为（　　） A．{6，7，8，9，10} B．{1，4，7} C．{1，4，5，7} D．{6，8，9} 【考点】交、并、补集的混合运算．版权所有 【解答】解：∵A∩（∁UB）＝{1，4，7}， ∴1，4，7∈A， ∵（∁UA）∩B＝{2，3}，∴2，3∈B， ∵（∁UA）∩（∁UB）＝{6，8，9，10}， ∴A∩B＝{5}， 则A＝{1，4，5，7}， 故选：BC． （多选）11．已知集合P＝{1，2}，Q＝{x|ax+2＝0}，若P∪Q＝P，则实数a的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0 【考点】并集及其运算；集合的包含关系判断及应用．版权所有 【解答】解：因为P＝{1，2}，Q＝{x|ax+2＝0}， 若P∪Q＝P，则Q⊆P， 故Q＝∅或1或2， 当Q＝∅时，a＝0， 当Q＝{1}时，a＝﹣2， 当Q＝{2}时，a＝﹣1． 故选：ABD． （多选）12．（2021·全国高一单元测试）（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于A选项，取，，则，但，即“”不是“”的必要条件； 对于B选项，若，则，即“”是“”的必要条件； 对于C选项，若，则，即“”是“”的必要条件； 对于D选项，若，则，即“”是“”的必要条件. 故选：BCD. 三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知集合A＝{x∈N|1＜x＜5}，则A的非空真子集有 　 　个． 【考点】子集与真子集．版权所有 【解答】解：由题意可得集合A＝{2，3，4}， 故集合A中有3个元素， 所以集合A的非空真子集的个数为：23﹣2＝6． 故答案为：6． 14．已知集合A＝{1，2，m}，B＝{1，3，n}，若A＝B，则m+n＝　 　． 【考点】集合的相等．版权所有 【解答】解：∵集合A＝{1，2，m}，B＝{1，3，n}，A＝B， ∴m＝3，n＝2， ∴m+n＝5， 故答案为：5． 15．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有20道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有2道题的选项不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为　 　． 【考点】进行简单的合情推理．版权所有 【解答】解：∵甲最终的得分为54分， ∴甲答对了20道题目中的18道， ∵甲和乙都解答了所有的试题， ∴甲必然有2道题目答错了， ∵甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有2道题的选项不同， ∴他们至少有16道题目答案相同， 设剩下的4道题目正确答案为AAAA，甲的答案为BBAA， 则乙的答案可能为BBCC，BCBA，CCAA，CAAA，AAAA， 则乙的得分可能为{48，51，54，57，60}， 故答案为：{48，51，54，57，60}． 16．给出下列条件p与q： ①p：x＝1或x＝2；q：； ②p：x2﹣1＝0，q：x﹣1＝0； ③p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等． 其中p是q的必要不充分条件的序号为 　 　． 【考点】充分条件与必要条件．版权所有 【解答】解：①⇔⇔⇔x＝1或x＝2， ∴p为q的充要条件， ②∵x2﹣1＝0，∴x＝±1，∴p是q的必要不充分条件， ③p：一个四边形是矩形，则对角线相等，q：四边形的对角线相等，但是该四边形不一定为矩形， 故p是q的充分不必要条件． 故答案为：②． 四．解答题（共7小题，共70分） 17．已知A⊆B，A⊆C，B＝{1，2，3，5}，C＝{0，2，4，8}，求A． 【考点】集合的包含关系判断及应用．版权所有 【解答】解：∵A⊆B，A⊆C， ∴A⊆（B∩C）， ∵B＝{1，2，3，5}，C＝{0，2，4，8}， ∴B∩C＝{2}， 而A⊆（B∩C）， 则A＝{2}或∅． 18．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，4}，B＝{1，4，5，6}． （1）求A∩B及A∪B； （2）求（∁UA）∩B． 【考点】交、并、补集的混合运算．版权所有 【解答】解：（1）因为[﹣4，﹣2）∪（﹣2，+∞），B＝{1，4，5，6}， 所以A∩B＝{1，3，4}∩{1，4，5，6}＝{1，4}， A∪B＝{1，3，4}∪{1，4，5，6}＝{1，3，4，5，6}． （2）因为U＝{1，2，3，4，5，6}， 所以∁UA＝{2，5，6}， 所以（∁UA）∩B＝{5，6}． 19．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，求： （1）（∁UA）∪B； （2）∁U（A∪B）． 【考点】交、并、补集的混合运算．版权所有 【解答】解：（1）∵U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}， ∴∁UA＝{x|x≤﹣2或3≤x≤4}，又B＝{x|﹣3≤x≤2}， ∴（∁UA）∪B＝（﹣∞，2]∪[3，4]； （2）∵A∪B＝[﹣3，3），U＝{x|x≤4}， ∴∁U（A∪B）＝（﹣∞，﹣3）∪[3，4]． 20．已知集合A＝{x|﹣2＜x+1＜3}，集合B为整数集，令C＝A∩B． （1）求集合C； （2）若集合D＝{1，a}，C∪D＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，求实数a的值． 【考点】并集及其运算；交集及其运算．版权所有 【解答】解：（1）∵A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝Z， ∴C＝A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1}； （2）∵C＝{﹣2，﹣1，0，1}，D＝{1，a}，C∪D＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴a＝2． 21．设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求： （1）A∩B； （2）∁RA； （3）∁R（A∪B）． 【考点】交、并、补集的混合运算．版权所有 【解答】解：（1）∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}， ∴A∩B＝{x/3≤x＜7}． （2）∵全集为R，A＝{x|3≤x＜7}， ∴∁RA＝{x/x＜3或x≥7}． （3）∵全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}， ∴A∪B＝{x|2＜x＜10}， ∴∁R（A∪B）＝{x/x≤2或x≥10}． 22．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}． （1）当a＝3时，求A∩B； （2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【考点】充分条件与必要条件；交集及其运算．版权所有 【解答】解：（1）当a＝3时，集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}＝{x|﹣1≤x≤5}， B＝{x|x≤1或x≥4}， ∴A∩B＝{x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}； （2）∵若a＞0，且“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件， A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}（a＞0），∁RB＝{x|1＜x＜4}， ∴A⫋∁RB，则 解得0＜a＜1． 故a的取值范围是：（0，1）． 23．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，集合B＝{x|x＞1}． （1）求（∁RB）∩A； （2）设集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∪M＝M，求实数a的取值范围． 【考点】交、并、补集的混合运算．版权所有 【解答】解：（1）∵A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}， ∴∁RB＝{x|x≤1}，（∁RB）∩A＝{x|﹣2≤x≤1}； （2）∵M＝{x|a＜x＜a+6}，A∪M＝M， ∴A⊆M， ∴，解得﹣4＜a＜﹣2， ∴实数a的取值范围为（﹣4，﹣2）．