2023-2024学年江苏省常州二中高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州二中高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a=(sin15°,sin75°)，b=(cs30°,sin30°)，则a⋅b=( )
A. 22B. − 22C. 12D. −12
2.若AB=(3,4)，A(−2,−1)，则B点的坐标为( )
A. (1,3)B. (5,5)C. (1,5)D. (5,4)
3.在△ABC中，AC⋅(BA+BC)=|AC|2，则△ABC的形状一定是( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
4.已知向量a=(4,x)，b=(x,1)，那么“x=2”是“a/​/b”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知向量a=(2, 3)，b=(−1, 3)，则a在b上的投影向量为( )
A. (−14, 34)B. (14,− 34)C. (12,− 32)D. (−12, 32)
6.已知θ∈(0,π4)，且sinθ−csθ=− 144，则2cs2θ−1cs(π4+θ)等于( )
A. 23B. 43C. 34D. 32
7.若将函数f(x)=cs2x(1+csx)(1−csx)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数y=g(x)的单调递减区间为( )
A. [−π2+kπ,kπ](k∈Z)B. [kπ,π2+kπ](k∈Z)
C. [−π8+14kπ,14kπ](k∈Z)D. [14kπ,π8+14kπ](k∈Z)
8.已知△ABC中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足BP=16BA+12BC，则S△BPDS△BPE的值为( )
A. 43B. 52C. 53D. 109
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，若a⋅b>0，则△ABC为锐角三角形
B. 非零向量a和b满足|a|=1，|b|=|a+b|=2，则|a−b|= 6
C. 已知a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞)
D. 在△ABC中，若2OA+3OB+5OC=0，则△AOC与△AOB的面积之比为35
10.已知函数f(x)=sinx+ 3csx，则下列命题正确的是( )
A. 函数f(x)(x∈[0,π2])的单调递增区间是[0,π6]
B. 函数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称
C. 函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是π6
D. 若实数m使得方程f(x)=m在[0,2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=7π3．
11.直角△ABC中，斜边AB=2，P为△ABC所在平面内一点，AP=12sin2θAB+cs2θAC(其中θ∈R)，则( )
A. AB⋅AC的取值范围是(0,4)
B. 点P经过△ABC的外心
C. 点P所在轨迹的长度为2
D. PC⋅(PA+PB)的取值范围是[−12 , 0]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若0<α<π4，−π4<β<0，cs(π4+α)=13，cs(π4−β3)= 33，则cs(α+β3)=______．
13.设a、b、c是单位向量，且a⋅b=0，则(a−c)⋅(b−c)的最小值为______．
14.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系xOy中，两坐标轴的正半轴的夹角为60°，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量a=xe1+ye2，则称有序实数对(x,y)为a在该斜角坐标系下的坐标.若向量m，n在该斜角坐标系下的坐标分别为(3,2)，(2,k)，当k= 时，m⋅n=11．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知a=(1,0),b=(2,1)
(1)当k为何值时，ka−b与a+2b垂直
(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb，且A、B、C三点共线，求m的值．
16.(本小题12分)
已知向量a和b，则|a|=2，|b|=2，〈a,b〉=60°求：
(1)a⋅b的值；
(2)|2a+b|的值；
(3)2a+b与b的夹角θ的余弦值．
17.(本小题12分)
如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若AB=a，AD=b．
(1)试以{a,b}为基底表示BE，DF；
(2)求证：A，G，C三点共线．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2xcsφ−2cs2xsin(π−φ)−cs(π2+φ)．
(Ⅰ)化简y=f(x)的表达式并求函数的周期；
(Ⅱ)当−π2<φ<π2时，若函数y=f(x)在x=π6时取得最大值，求φ的值；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，将函数f(x)图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间．
19.(本小题12分)
已知点O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．
(1)设函数g(x)=sin(x+5π6)−sin(3π2−x)，试求g(x)的相伴特征向量OM；
(2)记向量ON=(1, 3)的相伴函数为f(x)，当f(x)=85，且x∈(−π3,π6)时，求sinx的值；
(3)已知点A(−2,3)、B(2,6)，OT=(− 3,1)为h(x)=msin(x−π6)的相伴特征向量，φ(x)=h(x2−π3)，请问在y=φ(x)的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：a=(sin15°,sin75°)，b=(cs30°,sin30°)，
则a⋅b=sin15°cs30°+sin75°sin30°=sin15°cs30°+cs15°sin30°=sin45°= 22．
故选：A．
直接利用向量的数量积化简求解即可．
本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数的应用，是基本知识的考查．
2.【答案】A
【解析】解：设B(x,y)，则AB=(x+2,y+1)=(3,4)，
∴x+2=3y+1=4，解得x=1y=3，
∴B(1,3)．
故选：A．
可设B(x,y)，根据条件可得出(x+2,y+1)=(3,4)，然后得到x，y的值，从而得出点B的坐标．
本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由(BC+BA)⋅AC=|AC|2，得(BC+BA)⋅(BC−BA)=|AC|2，
所以BC2−BA2=|AC|2，即|BC|2=|BA|2+|AC|2，
所以∠A=90°，
所以△ABC是直角三角形．
故选：A．
先用向量BC,BA表示出AC，结合向量运算可进行判定．
本题主要考查平面向量的运算，结合向量的运算判断三角形的形状，侧重考查数学运算的核心素养．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判断，以及向量平行，属于基础题．
由向量平行求出x的值，再根据充分、必要条件的定义判断即可．
【解答】
解：向量a=(4,x)，b=(x,1)，a/​/b，则4=x2，解得x=±2，
则“x=2”是“x=±2”的充分而不必要条件，
即向量a=(4,x)，b=(x,1)，那么“x=2”是“a/​/b”的充分而不必要条件，
故选：A．
5.【答案】A
【解析】解：a在b上的投影向量是a⋅b|b|⋅b|b|=a⋅b|b|2⋅b=14(−1, 3)=(−14, 34)，
故选：A．
根据投影向量的定义计算即可．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键，属于一般题．
法1：由已知的等式记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据θ为锐角，联立①②求出sinθ和csθ的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．
法2：利用两角和与差的三角函数化简已知条件以及所求表达式，通过同角三角函数基本关系式求解即可．
【解答】
解：法1：由sinθ−csθ=− 144，①，
又sin2θ+cs2θ=1②，且θ∈(0,π4)，
联立①②解得：sinθ=3 2− 148，csθ= 14+3 28，
∴2cs2θ−1cs(π4+θ)= 2(sinθ+csθ)= 2(3 2− 148+ 14+3 28)=32．
故选：D．
法2：θ∈(0,π4)，且sinθ−csθ=− 144，可得 2cs(θ+π4)= 144，
即：cs(θ+π4)= 74，θ+π4∈(π4,π2)，
则2cs2θ−1cs(π4+θ)=cs2θcs(π4+θ)=2sin(π4+θ)cs(π4+θ)cs(π4+θ)=2sin(θ+π4)=2 1−( 74)2=32．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：将函数f(x)=cs2x(1+csx)(1−csx)=cs2x⋅sin2x=14sin22x=14⋅1−cs4x2=18−18cs4x
的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)=18−18cs2x的图象，
令2kπ−π≤2x≤2kπ，求得kπ≤−π2x≤kπ，可得g(x)的减区间为[kπ−π2,kπ]，k∈Z，
故选：A．
利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再根据y=Acs(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数y=g(x)的单调递减区间．
本题主要考查三角恒等变换，y=Acs(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：如图，
设BD=kBA,BE=tBC，且D，P，C三点共线，A，P，E三点共线，
∴BP=λBD+(1−λ)BC=kλBA+(1−λ)BC，BP=μBA+(1−μ)BE=μBA+t(1−μ)BC，且BP=16BA+12BC，
∴kλ=161−λ=12，μ=16t(1−μ)=12，解得k=13,t=35，
∴BE=35BC,BD=13BA，
∴S△ABE=35S△ABC，S△BCD=13S△ABC，设S△BPD=x，S△BPE=y，S△ABC=z，则S△ADP=2x,S△CEP=23y，
∴2x+x+y=35z23y+y+x=13z，解得x=16zy=110z，
∴S△BPDS△BPE=xy=16z110z=53．
故选：C．
可画出图形，可设BD=kBA,BE=tBC，根据D，P，C三点共线，A，P，E三点共线即可求出k=13，t=35，然后可设S△BPD=x，S△BPE=y，S△ABC=z，然后可得出3x+y=35z53y+x=13z，解出x，y，然后即可求出S△BPDS△BPE的值．
本题考查了共线向量基本定理，三点共线的充要条件，平面向量基本定理，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于难题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，若a⋅b>0，说明C是锐角，不能判断B、A的大小，所以判断△ABC为锐角三角形是不正确的，所以A不正确；
对于B，非零向量a和b满足|a|=1，|b|=|a+b|=2，可得a2+2a⋅b+b2=4，可得2a⋅b=−1，a2−2a⋅b+b2=1+1+4=6，所以|a−b|= 6，所以B正确；
对于C，因为a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，所以 a⋅(a+λb)>0，
且a与a+λb不共线，
所以 a⋅(a+λb)=(1,2)⋅(1+λ,2+λ)=1+λ+4+2λ>0，
所以λ>−53，
当a与a+λb共线时，2(1+λ)=2+λ，解得λ=0，
所以λ的取值范围为λ>−53且λ≠0，
所以C不正确；
对于D，△ABC中，2OA+3OB+5OC=0，
所以2(OA+OC)=−3(OB+OC)，
分别取AC、BC的中点D，E，连接OD、OE和AE，
则2OD=−3OE，所以ODOE=32，
所以ODDE=35，
所以S△AOCS△AEC=35．
又因为S△AECS△ABC=12，
所以S△AOCS△ABC=310.同理S△BOCS△ABC=210，所以S△AOBS△ABC=510，
所以S△AOCS△AOB=35，所以D正确．
故选：BD．
利用向量的数量积判断角的大小，判断A的正误；利用向量的模的运算法则求解判断B的正误；利用向量的数量积，转化求解λ的范围判断C的正误；通过向量关系，转化求解三角形的面积的比值，判断D的正确即可．
本题考查了向量在几何中的应用问题，以及向量的数量积的应用，模的运算法则的应用，是中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：因为f(x)=sinx+ 3csx=2sin(x+π3)，
对于A，令2kπ−π2≤x+π3≤2kπ+π2,k∈Z，
所以2kπ−5π6≤x≤2kπ+π6,k∈Z，
因为x∈[0,π2]，
所以令k=0，则−5π6≤x≤π6，
所以单调增区间是[0,π6]，故正确；
对于B，因为f(−π6)=2sin(−π6+π3)=1≠0，所以(−π6,0)不是对称中心，故错误；
对于C，f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到g(x)=f(x+m)=2sin(x+π3+m)，
且g(x)是偶函数，
所以π3+m=π2+kπ,k∈Z，所以m=π6+kπ,k∈Z且m>0，
所以k=0时，mmin=π6，故正确；
对于D，因为x∈[0,2π]，作出f(x)在x∈[0,2π]上的图象如图所示：
f(x)与y=m有且仅有三个交点：
因为f(0)=2sinπ3= 3，f(2π)=2sinπ3= 3，所以m= 3，
所以x3=2π，又因为f(x)=2时x=π6，且x1、x2关于x=π6对称，
所以x1+x2=π6×2=π3，所以x1+x2+x3=7π3，故正确．
故选：ACD．
先利用辅助角公式化简，再根据函数f(x)=2sin(x+π3)，结合三角函数的性质及图形，对各选项依次判断即可．
本题考查了三角函数的图象与性质，作出图象是关键，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由AB⋅AC=AC2，又斜边AB=2，则|AC|∈(0,2)，则AB⋅AC∈(0,4)，A正确；
若O为AB中点，则AO=12AB，故AP=sin2θ⋅AO+cs2θ⋅AC，又sin2θ+cs2θ=1，
所以O，P，C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1，又O是△ABC的外心，B正确，C错误；
由上PA+PB=2PO，则PC⋅(PA+PB)=2PC⋅PO=−2|PC||PO|，
又|PC|+|PO|=|OC|=1，则|PC||PO|≤(|PC|+|PO|22)2=14，当且仅当|PC|=|PO|=12等号成立，
所以PC⋅(PA+PB)=−2|PC||PO|∈[−12,0]，D正确．
故选：ABD．
由向量数量积的几何意义有AB⋅AC=AC2，结合已知即可判断A；若O为AB中点，根据已知有O，P，C共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得PC⋅(PA+PB)=−2|PC||PO|，结合基本不等式求范围判断D．
本题考查了平面向量数量积的运算和性质的应用，属于中档题．
12.【答案】5 39
【解析】解：∵0<α<π4，
∴π4<π4+α<π2，且cs(π4+α)=13，
∴sin(π4+α)=2 23，
∵−π4<β<0，
∴π4<π4−β3<π3，且cs(π4−β3)= 33，
∴sin(π4−β3)= 63，
∴cs(α+β3)=cs[(π4+α)−(π4−β3)]
=cs(π4+α)cs(π4−β3)+sin(π4+α)sin(π4−β3)
=13× 33+2 23× 63
=5 39．
故答案为：5 39．
根据条件即可得出sin(π4+α)=2 23,sin(π4−β3)= 63，然后可得出cs(α+β3)=cs[(π4+α)−(π4−β3)]，然后根据两角差的余弦公式即可求出答案．
本题考查了正余弦函数在各象限的符号，不等式的性质，两角差的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
13.【答案】1− 2
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量的数量积的定义，余弦函数的值域，把要求的式子化为1− 2cs是解题的关键．
由题意可得|a+b|= 2，故要求的式子即a⋅b−(a+b)⋅c+c2=1−|a+b|⋅ |c|cs=1− 2cs，再由余弦函数的值域求出它的最小值．
【解答】
解：∵a、b、c 是单位向量，a⋅b=0，
∴|a+b|= (a+b)2= a2+b2+2a·b= 2．
∴(a−c)⋅(b−c)
=a⋅b−(a+b)⋅c+c2
=0−(a+b)⋅c+1
=1−|a+b|⋅ |c| cs
=1− 2cs≥1− 2．
故答案为1− 2．
14.【答案】67
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的运算法则，属于基础题．
根据题意，得到m=3e1+2e2，n=2e1+ke2，再利用数量积的法则，把式子展开即可求出．
【解答】
解：由题意得，m=3e1+2e2，n=2e1+ke2，
∴m⋅n=(3e1+2e2)⋅(2e1+ke2)=6e12+(3k+4)e1⋅e2+2ke22=6+12(3k+4)+2k=11，
∴7k=6，∴k=67．
故答案为：67．
15.【答案】解：(1)ka−b=k(1,0)−(2,1)=(k−2,−1)，a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2)，
因为ka−b与a+2b垂直，所以5(k−2)+(−1)×2=0，
即5k−10−2=0，得k=125．
(2)AB=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3)，
BC=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m)
因为A，B，C三点共线，所以AB//BC．
所以8m−3(2m+1)=0，即2m−3=0，
所以m=32．
【解析】(1)ka−b与a+2b垂直，即ka−b与a+2b的数量积为0，利用坐标计算可得k值；
(2)因为A，B，C三点共线，所以AB//BC，利用平面向量共线的坐标公式计算可得m的值．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵|a|=2，|b|=2，〈a,b〉=60°，
∴a⋅b=2×2×12=2；
(2)∵(2a+b)2=4a2+4a⋅b+b2=4×4+4×2+4=28，
∴|2a+b|=2 7；
(3)∵(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=2×2+4=8，
∴cs<2a,b>=(2a+b)⋅b|2a+b||b|=82 7×2=2 77．
【解析】(1)根据平面向量的数量积的定义即可求解；
(2)根据平面向量的数量积的性质与定义即可求解；
(3)根据平面向量的夹角公式即可求解．
本题考查平面向量的数量积的定义及性质，属基础题．
17.【答案】解：(1)∵E是AD的中点，AB=a，AD=b，
∴BE=AE−AB=12b−a，DF=AF−AD=12a−b．
(2)证明：由图可知，D，G，F三点共线，
则存在实数k，使得DG=kDF，
∴AG−AD=kAF−kAD，
∴AG=kAF+(1−k)AD=k2AB+(1−k)AD，
同理，由B，G，E三点共线，可得存在实数m，使得AG=m2AD+(1−m)AB，
根据平面向量的基本定理可得，k2=1−m1−k=m2，解得k=m=23，
∴AG=13(AB+AD)=13AC，即AG，AC共线，且AG，AC有公共点A，
∴A，G，C三点共线．
【解析】(1)根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解．
(2)根据已知条件，结合D，G，F三点共线，B，G，E三点共线，以及平面向量的基本定理，即可求解．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=sin2xcsφ−2cs2xsin(π−φ)−cs(π2+φ)
=sin2xcsφ−(1+cs2x)sinφ+sinφ
=sin2xcsφ−cs2xsinφ=sin(2x−φ)，
∴f(x)的周期为T=2π2=π；
(Ⅱ)∵函数f(x)在x=π6时取得最大值，
∴sin(2×π6−φ)=1，∴sin(φ−π3)=−1，
又∵−π2<φ<π2，∴φ=−π6；
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知f(x)=sin(2x+π6)，则将函数f(x)图象上各点的横坐标扩大
到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=sin(x+π6)的图象，
由2kπ−π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ−2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，
所以g(x)的单调递增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3],k∈Z．
【解析】(Ⅰ)利用二倍角公式以及辅助角公式进行化简，然后利用正弦函数的周期公式可得函数的周期；
(Ⅱ)当−π2<φ<π2时，由sin(2×π6−φ)=1可得φ的值；
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得f(x)=sin(2x+π6)，利用伸缩变换法则得到函数g(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数g(x)的单调递增区间．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式，诱导公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的图象变换及正弦函数性质的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)g(x)=sin(x+5π6)−sin(3π2−x)
=sinxcs5π6+csxsin5π6+csx=− 32sinx+32csx，
故函数g(x)的伴随特征向量OM=(− 32,32)．
(2)因为向量ON=(1, 3)的相伴函数为f(x)
所以f(x)=sinx+ 3csx=2sin(x+π3)=85，
所以sin(x+π3)=45，
因为x∈(−π3,π6)，所以x+π3∈(0,π2)，
所以cs(x+π3)= 1−sin2(x+π3)=35，
故sinx=sin[(x+π3)−π3]=sin(x+π3)csπ3−sinπ3cs(x+π3)
=12×45− 32×35=4−3 310．
(3)函数h(x)=msin(x−π6)=m(sinxcsπ6−sinπ6csx)= 32msinx−12mcsx，
若OT=(− 3,1)为h(x)的伴随向量，则m=−2，
所以φ(x)=h(x2−π3)=−2sin[(x2−π3)−π6]=−2sin(x2−π2)=2csx2，
设点P(x,2csx2)，
又点A(−2,3)、B(2,6)，
所以AP=(x+2,2csx2−3)，BP=(x−2,2csx2−6)，
因为AP⊥BP，所以AP⋅BP=0，
所以(x+2)(x−2)+(2csx2−3)(2csx2−6)=0，
整理得x2−4+4cs2x2−18csx2+18=0，
所以(2csx2−92)2=254−x2，
因为−2≤2csx2≤2，
所以−132≤2csx2−92≤−52，
所以254≤(2csx2−92)2≤1694，
又254−x2≤254，
所以(2csx2−92)2=254−x2=254，
即当且仅当x=0时，csx2=1，上述等式成立，
所以在y=h(x)的图象上存在点P(0,2)，使得AP⊥BP成立．
【解析】本题考查平面向量的新定义问题、向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系、利用余弦函数的单调性解不等式、正弦型函数的图象变换、三角恒等变换的综合应用、由一个三角函数值求其他三角函数值、利用诱导公式化简、求余弦型函数的值域或最值，属于难题．
(1)利用两角和的正弦公式以及诱导公式化简g(x)的解析式，结合伴随向量的定义求出g(x)的相伴特征向量OM．
(2)利用伴随向量的定义结合辅助角公式求出sin(x+π3)的值，由同角三角函数基本关系求出cs(x+π3)的值，根据两角差的正弦公式求出sinx的值．
(3)由向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，结合余弦型函数的性质求出点P的坐标．