2023-2024学年江苏省苏州五中高一（上）段考数学试卷（12月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州五中高一（上）段考数学试卷（12月份）(含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M{−1,0,1}，N={0,1,2}，则M∪N=( )
A. {0,1}B. {−1,0,1,2}C. {−1,0,2}D. {−1,0,1}
2.若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若实数a=0.20.3，b=lg0.30.2，c=lg0.32，则( )
A. c4.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)−g(x)=x3−2x2，则f(2)+g(2)=( )
A. 16B. −16C. 8D. −8
5.已知函数f(x)=10−x−lgx在区间(n,n+1)上有唯一零点，则正整数n=( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
6.函数f(x)=2x2x2−1的图象的是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数f(x)=lg2x2⋅lg2x8，若f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2)，则1x1+9x2的最小值为( )
A. 34B. 32C. 2D. 4
8.已知函数f(x)=|3x−1|,x≤2x2−10x+24,x>2，若函数F(x)=2(f(x))2−mf(x)，且函数F(x)有6个零点，则非零实数m的取值范围是( )
A. [2,16)B. (2,16)
C. (−2,0)∪(0,16)D. (−2,0)∪(0,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b，c∈R且b>a>0，则下列结论正确的是( )
A. a210.已知函数f(x)=x+1x，g(x)=2|x|，则下列选项中正确的有( )
A. f(x)为奇函数B. g(x)为偶函数
C. f(x)的值域为[2,+∞)D. g(x)有最小值0
11.已知函数f(x)=|lgx|,0A. x1x2=1B. 012.已知函数f(x)=lga(x2−ax+1)(a>0且a≠1)，则下列为真命题的是( )
A. 当a=2时，f(x)值域为R
B. 存在a，使得f(x)为奇函数或偶函数
C. 当a>2时，f(x)的定义域不可能为R
D. 存在a，使得f(x)在区间(−∞,2)上单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数y=f(x)满足f(27)=3，则f(−8)=______．
14.函数f(x)=lg(5−x) x−2的定义域为______．
15.已知x，y>0，且1x+3+1y=12，则x+y的最小值为 ．
16.设常数a∈R，函数f(x)=|lg12x|,04.若方程f(x)=a有三个不相等的实数根x1，x2，x3，且x1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设全集为R，A={x|a−1(1)若a=4，求A∩B，∁R(A∩B)；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的_____条件，求实数a的取值范围．
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件这两个条件中选一个填在横线上，使实数a有解，并解答问题．
18.(本小题12分)
设a，b为实数，已知定义在R上的函数f(x)=a−b5x+1为奇函数，且其图象经过点(1,23)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)为R上的增函数，并求f(x)在(−1,2]上的值域．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=−x2+mx−m．
(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值；
(2)若函数f(x)在[−1,0]上单调递减，求实数m的取值范围；
(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x+b2x+a(a，b∈R)．
(1)若a=−4，b=−8，解关于x的不等式f(x)<12；
(2)已知f(x)为定义在R上的奇函数．①当x∈(−∞,0]时，求f(x)的值域；②若f(mx2)+f(1−mx)>f(0)对任意x∈R成立，求m的取值范围．
21.(本小题12分)
某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备.通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x台需另投入成本C(x)元，且C(x)=10x2+400x,0(1)求制造商所获月利润L(x)(元)关于月产量x(台)的函数关系式；
(2)当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lgb(bx+1)+kx，b>0，且b≠1是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若函数y=f(x)的图象与函数y=12x+b图象有交点，求b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵集合M{−1,0,1}，N={0,1,2}，
∴M∪N={−1,0,1,2}，
故选：B．
根据集合的基本运算即可得到结论．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查基本不等式及充分必要条件的判定，属于基础题．
先利用不等式证明充分性，再利用一个反例说明必要性的不成立，即选择题的基本方法特殊值法，正确的结论需要严格的推理，错误的结论只需一个反例即可。
【解答】
解：根据基本不等式可得：
当a>0,b>0时，a+b≥2 ab，
则当a+b≤4时，有2 ab≤a+b≤4，
解得ab≤4，充分性成立；
但当a=1,b=4时，满足ab≤4，
但此时a+b=5>4，
所以必要性不成立，
综上所述，“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．
3.【答案】B
【解析】解：∵a=0.20.3∈(0,1)，b=lg0.30.2>，c=lg0.32<0，
∴c故选：B．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出大小关系．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查奇函数、偶函数的性质、函数值的求法，考查计算能力，属于基础题．
令x=−2，利用奇、偶函数的性质，即可求解．
【解答】
解：∵f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
f(x)−g(x)=x3−2x2，
∴f(−2)−g(−2)=(−2)3−2×(−2)2=−16．
即f(2)+g(2)=f(−2)−g(−2)=−16．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于中档题．
根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得函数f(x)=10−x−lgx在(0,+∞)上是减函数，再通过计算f(9)、f(10)的值，发现f(9)⋅f(10)<0，即可得到零点所在区间．
【解答】
解：∵函数f(x)=10−x−lgx在(0,+∞)上是减函数，
f(9)=10−9−lg9=1−lg9>0，f(10)=10−10−lg10=−1<0，
∴f(9)⋅f(10)<0，根据零点存在性定理，可得函数f(x)=10−x−lgx的零点所在区间为(9,10)，
∴n=9．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，f(x)=2x2x2−1，必有2x2−1≠0，解可得x≠± 22，即函数的定义域为{x|x≠± 22}，排除AC，
又由f(−x)=−2x2x2−1=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除D，
故选：B．
根据题意，先分析函数的定义域可以排除AC，再分析函数的奇偶性排除D，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与定义域的分析，一般用间接法分析，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
根据二次函数的性质及对数的运算可得x1⋅x2=16，利用基本不等式即可求得答案．
本题考查对数函数的性质，二次函数性质，转化思想，基本不等式的应用，属于中档题．
【解答】
解：因为f(x)=lg2x2⋅lg2x8=(lg2x−1)(lg2x−3)=(lg2x)2−4lg2x+3，
又因为f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2)，
所以(lg2x1)2−4lg2x1+3=(lg2x2)2−4lg2x2+3，
lg2x1−lg2x2(lg2x1+lg2x2)−4lg2x1−lg2x2=0
即lg2x1−lg2x2lg2x1+lg2x2−4=0
因为x1≠x2,所以lg2x1−lg2x2≠0
所以lg2x1+lg2x2=4，即x1⋅x2=16，
所以1x1+9x2≥2 9x1x2=2×34=32，当仅当1x1=9x2，即x1=43，x2=12时取“=”，
故选：B．
8.【答案】A
【解析】解：设t=f(x)=|3x−1|,x≤2x2−10x+24,x>2，
令2t2−mt=0，则t=0或t=m2，
则函数F(x)=2(f(x))2−mf(x)，且函数F(x)有6个零点，
等价于函数t=f(x)=|3x−1|,x≤2x2−10x+24,x>2的图象与直线t=0和t=m2(m≠0)的交点个数为6，
结合图象，可得直线t=0与函数t=f(x)的图象有3个交点，
则直线t=m2(m≠0)与函数t=f(x)的图象也有3个交点，所以m2∈[1,8),
所以非零实数m的取值范围是[2,16)，
故选：A．
设t=f(x)=|3x−1|,x≤2x2−10x+24,x>2，则函数F(x)=2(f(x))2−mf(x)，且函数F(x)有6个零点，等价于函数t=f(x)的图象与直线t=0和t=m2(m≠0)的交点个数为6，然后根据图象求出m的取值范围即可．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想，属中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：已知a，b，c∈R且b>a>0，不妨设b=2，a=1，c=0，
检验可得，C、D都不成立，只有A、B成立，
故选：AB．
由题意利用给a、b、c取特殊的值，检验可得结论．
本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)=x+1x，其定义域为{x|x≠0}，有f(−x)=−(x+1x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，A正确；
对于B，g(x)=2|x|，其定义域为R，由g(−x)=2|−x|=2|x|=g(x)，则函数g(x)为偶函数，B正确，
对于C，f(x)=x+1x，当x<0时，f(x)=−[(−x)+1−x]≤−2，故C错误；
对于D，g(x)=2|x|≥20=1，其最小值为1，D错误；
故选：AB．
根据题意，依次分析选项，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性的判断以及值域的计算，注意函数值域的求法，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：因为当2f(x)=f(4−x)，
所以f(2+x)=f(2−x)，
所以f(x)的图象关于x=2对称，
0<4−x<2，
所以f(4−x)=|lg(4−x)|，
所以f(x)=|lgx|,0作出f(x)的图象，如图所示：
由此可得−lgx1=lgx2，即lg1x1=lgx2，所以1x1=x2，所以x1x2=1，故A正确；
因为方程f(x)=m有四个不等实根，
所以0对于C，由题意可得函数的图象不关于x=3对称，所以x3+x4≠6，故错误；
因为x2，x3关于x=2对称，所以x2+x3=4，所以x2=4−x3，
又因为lgx2=m，所以x2=10m，
所以10m=4−x3，
所以10m+x3=4，故D正确．
故选：ABD．
由题意可得f(x)的图象关于x=2对称，即可得函数在(2,4)上的解析式，作出图象，结合图象再一一验证即可．
本题考查了函数的对称性、对数的基本运算，作出图象是关键，属于中档题．
12.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了函数的定义域和值域，函数的奇偶性和单调性，涉及了对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，属于较难题．
求得x2−2x+1的取值范围再结合对数函数的性质即可判断选项A；假设函数f(x)是奇函数或是偶函数，然后进行分析推导，推出矛盾即可判断选项B；研究t=x2−ax+1的取值情况来判断选项C；利用换元法结合函数的单调性即可判断选项D．
【解答】
解：当a=2时，函数f(x)=lg2(x2−2x+1)=lg2(x−1)2，
可知函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，
则(x−1)2>0，所以f(x)的值域为R，故选项A正确；
假设f(x)为奇函数，则f(−x)+f(x)=0，
所以lga(x2−ax+1)+lga(x2+ax+1)=0，
即lga[(x2−ax+1)(x2+ax+1)]=0，
所以(x2−ax+1)(x2+ax+1)=1，
所以x2(x2−a2+2)=0，
显然不存在a，使得x2(x2−a2+2)=0恒成立，所以f(x)不是奇函数；
假设f(x)是偶函数，所以f(−x)=f(x)，
所以lga(x2−ax+1)=lga(x2+ax+1)，
所以a=0，又因为a>0，所以f(x)不是偶函数，故选项B错误；
令y=lgat，t=x2−ax+1，
因为t=x2−ax+1开口向上，且Δ=a2−4，
又a>2，所以Δ=a2−4>0，
所以f(x)的定义域不可能是R，故选项C正确；
令y=lgat，t=x2−ax+1，
当0当a>1时，则y=lgat在定义域上是增函数，t=x2−ax+1在(−∞,a2)上单调递减，
所以a>1a2≥24−2a+1>0，无解，
即不存在a可使得f(x)在区间(−∞,2)上单调递减，故选项D错误．
故选：AC．
13.【答案】−2
【解析】解：设幂函数f(x)的解析式为f(x)=xα，
则由已知可得27α=3，则α=13，
所以f(x)=x13，则f(−8)=(−8)13=−2，
故答案为：−2．
先设出幂函数的解析式为f(x)=xα，然后根据已知求出α的值，进而可以求解．
本题考查了幂函数的解析式，考查了学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】(2,5)
【解析】【分析】
本题考查对数型函数的定义域，是基础题．
由对数底数大于0，根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0，联立不等式组求解．
【解答】
解：由5−x>0x−2>0，得2∴函数f(x)=lg(5−x) x−2的定义域为(2,5)．
故答案为：(2,5)．
15.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：x，y>0，且1x+3+1y=12，
则x+y=x+3+y−3，
=2[(x+3)+y](1x+3+1y)−3=2(2+yx+3+x+3y)−3，
≥2(2+2 yx+3⋅x+3y)−3=5，
当且仅当yx+3=x+3y且1x+3+1y=12，即y=4，x=1时取等号，
则x+y的最小值为5．
故答案为：5．
16.【答案】(0,2] [5,+∞)
【解析】解：画出函数f(x)的图象，如图示：
，
f(x)=a有3个不等的实根
⇔f(x)和y=a有3个不同的交点，
∴a∈(0,2]，∵x1lg12x1+lg12x2=lg12(x1⋅x2)=0，
∴x1⋅x2=1，10x3=2，x3=5，
故x3∈[5,+∞)，
故x3x1⋅x2∈[5,+∞)，
故答案为：(0,2]，[5,+∞)．
问题转化为f(x)和y=a有3个不同的交点，结合函数图象，求出答案即可．
本题考查了函数的零点问题，考查常见函数的性质以及转化思想，是一道中档题．
17.【答案】解：(1)a=4时，A={x|3因为x−52−x≥0，解得2所以B={x|2所以A∩B={x|3∁R(A∩B)={x|x≤3或x>5}；
(2)若选择①充分不必要条件作答，则A⫋B，
当A=⌀时，a−1≥2a，即a≤−1时，满足A⫋B，
当A≠⌀时，则a−1<2aa−1≥22a≤5，不等式无解，
综上，a的取值范围为{a|a≤−1}；
若选择②必要不充分条件，则B⫋A，
所以a−1≤22a>5，
解得52综上，a的取值范围为{a|52【解析】(1)a=4时，求出集合A，B，由此能求出A∩B和∁R(A∩B)；
(2)选①，推导出A⫋B，分A=⌀和A≠⌀两种情况讨论，分别求出实数a的取值范围，最后取并集即可；
选②，推导出B⫋A，由此能求出实数a的取值范围．
本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本运算，以及集合间的包含关系，属于基础题．
18.【答案】(1)解：因为f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)=0，可得a−b2=0①，
由其图象经过点(1,23)，可得f(1)=a−b6=23②，
联立①②，解得a=1，b=2，
所以f(x)=1−25x+1=5x−15x+1，
此时f(−x)=5−x−15−x+1=1−5x1+5x=−f(x)，满足f(x)是奇函数，
所以f(x)的解析式为f(x)=5x−15x+1．
(2)证明：设任意x1，x2∈R且x1则f(x1)−f(x2)=1−25x1+1−(1−25x2+1)=2(5x1−5x2)(5x1+1)(5x2+1)，
因为x10，5x2+1>0，
所以f(x1)−f(x2)<0，f(x1)所以f(x)为R上的增函数，
f(x)在(−1,2]上单调递增，f(−1)=−23，f(2)=1213，
所以f(x)在(−1,2]上的值域为(−23,1213].
【解析】本题主要考查函数奇偶性的性质，单调性的证明，函数值域的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
(1)根据已知可得f(0)=0，f(1)=23，列方程组可求解a，b的值，从而可得f(x)的解析式；
(2)利用定义法即可证明单调性，利用函数的单调性即可求得值域．
19.【答案】解：(1)f(x)=−x2+mx−m=−(x−m2)2−m+m24，
则最大值−m+m24=0，即m2−4m=0，
解得m=0或m=4．
(2)函数f(x)=−x2+mx−m图象是开口向下的抛物线，对称轴是x=m2；
要使f(x)在[−1,0]上是单调递减的，应满足m2≤−1，∴m≤−2；
∴m的取值范围是−∞,−2．
(3)对f(x)的对称轴x=m2在[2,3]的左侧、右侧以及在[2,3]上时的三种情况进行讨论：
①当m2≤2，即m≤4时，f(x)在[2,3]上单调递减，
若存在实数m，使f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]，
则有f(2)=3f(3)=2，即−4+2m−m=3−9+3m−m=2，
解得m不存在；
②当m2≥3，即m≥6时，f(x)在[2,3]上单调递增，
则有f(2)=2f(3)=3，即−4+2m−m=2−9+3m−m=3，
解得m=6；
③当2所以f(x)在x=m2处取最大值；
∴f(m2)=−(m2)2+m⋅m2−m=3，
解得m=−2或6(均不满足条件，舍去)；
综上，存在实数m=6，使f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]．
【解析】本题考查了二次函数在闭区间上的单调性与值域问题，讨论对称轴与区间的位置是解决本题的关键，属于中档题．
(1)配方后可得最大值−m+m24，由f(x)的最大值为0，解方程即可．
(2)由f(x)图象的性质知，要使f(x)在[−1,0]上是单调递减的，应满足m2≤−1，从而得出m的取值范围．
(3)讨论f(x)的对称轴x=m2在[2,3]的左侧、右侧以及在[2,3]上时三种情况，从而求出满足条件的m的值．
20.【答案】解：(1)若a=−4，b=−8，
则f(x)<12可得2x−82x−4<12，可令t=2x，
可得t−8t−4<12，即t−122(t−4)<0，解得4即4<2x<12，解得2即原不等式的解集为(2,lg212)；
(2)①因为f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)=0，即1+b=0，则b=−1，
所以f(x)=2x−12x+a，由f(x)为R上的奇函数，可得f(−x)+f(x)=0，
所以2−x−12−x+a+2x−12x+a=0，即1−2x1+a·2x+2x−12x+a=0，
即(2x−1)2(a−1)(a⋅2x+1)(2x+a)=0，所以a=1，
f(x)=2x−12x+1=1−22x+1，令p=2x+1(x≤0)，则1所以原函数的值域转化为y=1−2p(1又因为y=1−2p在(1,2]递增，
所以f(x)的值域为(−1,0]；
②f(x)=2x−12x+1，对任意的x1，x2∈R，且x1则f(x2)−f(x1)=2x2−12x2+1−2x1−12x1+1=2(2x2−2x1)(1+2x1)(1+2x2)，
由于x12x1>0，即2x2−2x1>0，
即有f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在R上递增，
又因为f(mx2)+f(1−mx)>f(0)对任意x∈R成立，且f(x)为R上的奇函数，
所以f(mx2)>−f(1−mx)=f(mx−1)对x∈R恒成立，
即mx2>mx−1，即mx2−mx+1>0对x∈R恒成立，
当m=0时，1>0恒成立；
当m≠0时，只需m>0，且△=m2−4m<0，解得0综上可得，m的取值范围是[0,4)．
【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于较难题．
(1)由题意可得2x−82x−4<12，可令t=2x，即有t−122(t−4)<0，由分式不等式的解法和指数不等式的解法，可得所求解集；
(2)①由奇函数的定义可得f(0)=0，f(−x)=−f(x)，解得a，b，利用换元法，结合函数的单调性，可得所求值域；
②判断f(x)在R上递增，可得f(mx2)>f(mx−1)对x∈R恒成立，即mx2−mx+1>0对x∈R恒成立，讨论m=0，或m>0，且判别式小于0，解不等式可得所求范围．
21.【答案】解：(1)当0当40≤x≤100时，L(x)=1000x−1004x−10000x+9800−3000=6800−(4x+10000x)，
所以L(x)=−10x2+600x−3000,0(2)①当0所以当x=30时，L(x)max=L(30)=6000；
②当40≤x≤100时，L(x)=6800−(4x+10000x)≤6800−2 4x⋅10000x=6400，
当且仅当4x=10000x，即x=50时，取等号，
因为6400>6000，
所以当x=50时，L(x)最大，
故当月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．
【解析】(1)根据月利润=售价×月产量−成本，分0(2)分别利用配方法和基本不等式的性质来求两段函数的最大值，取较大者即可．
本题考查分段函数的实际应用，训练了利用配方法与基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)根据题意，f(x)为偶函数，
则∀x∈R，有f(−x)=f(x)，即lgb(b−x+1)−kx=lgb(bx+1)+kx对x∈R恒成立，
变形可得lgb(b−x+1)−lgb(bx+1)=2kx，
而lgbb−x+1bx+1=lgbbx+1bx(bx+1)=−x，则有2kx=−x，x∈R恒成立，必有k=−12．
(2)由题意知，函数y=f(x)的图象与函数y=12x+b图象有交点，即方程lgb(bx+1)−12x=12x+b有实数根，
变形可得lgb(bx+1)−x=b，即lgb(1+1bx)=b有解．
令g(x)=lgb(1+1bx)，则函数y=g(x)的图象与直线y=b有交点．
当01，g(x)=lgb(1+1bx)<0，lgb(1+1bx)=b无解．
当b>1时，有1+1bx>1，g(x)=lgb(1+1bx)>0，
若lgb(1+1bx)=b有解，必有b>0，
又由b>1，所以 b>1．
综合可得b的取值范围是(1,+∞)．
【解析】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，对数的运算，涉及函数与方程的关系，属于中档题．
(1)根据题意，由偶函数的性质可得f(−x)=f(x)，即lgb(b−x+1)−kx=lgb(bx+1)+kx对x∈R恒成立，变形分析可得答案；
(2)根据题意，原问题等价于方程lgb(1+1bx)=b有解，令g(x)=lgb(1+1bx)，则函数y=g(x)的图象与直线y=b有交点，分01两种情况讨论，分析函数g(x)的值域，分析可得b的取值范围，综合即可得答案．