2023-2024学年山东省济宁市邹城二中高一（下）质检数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济宁市邹城二中高一（下）质检数学试卷（3月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.AB−2AC+BC=( )
A. CAB. ACC. BCD. CB
2.已知向量a，b不共线，且AB=a+4b，BC=−a+9b，CD=3a−b，则一定共线的三点是( )
A. A，B，DB. A，B，CC. B，C，DD. A，C，D
3.将函数y=sin2x的图象向左平移π8个单位长度，所得图象的函数解析式为( )
A. y=sin2x+π4B. y=sin2x−π4C. y=sin2x+π8D. y=sin2x−π8
4.若θ∈π4,π2，cs2θ=−18，则sin θ=
( )
A. 35B. 34C. 74D. 45
5.已知sin(30°+α)=35，60°<α<150°，则csα=( )
A. 3−4 310B. 3+4 310C. 4−3 310D. 4+3 310
6.已知e为单位向量，|a|=6，向量a，e的夹角为3π4，则a在e上的投影向量是( )
A. 2 3eB. 0C. −3 2eD. −2 3e
7.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：s)之间的关系可以表示为( )
A. d=4sin(π20t−π6)+2B. d=4sin(π20t+π6)+2
C. d=4sin(π10t−π6)+2D. d=4sin(π10t+π6)+2
8.已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)，若方程f(x)=1在区间(0,2π)上恰有3个实根，则ω的取值范围是( )
A. [1,43)B. (1,43]C. [43,2)D. (43,2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量a,b满足|a|=|b|=1，且|b−2a|= 5，则以下结论正确的是( )
A. a⊥bB. |a+b|=2
C. |a−b|= 2D. 向量a,b夹角为60°
10.下列化简正确的是( )
A. tan25°+tan35°+ 3tan25°⋅tan35°= 3
B. cs2π8−sin2π8=12
C. 1sin10∘− 3cs10°=2
D. tan22.5°tan45∘−tan222.5∘=12
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在区间(π6,2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是( )
A. ω的最大值为2
B. 若φ=−π6，则ω∈(0,1]
C. 若f(5π12)>0，则f(π6)+f(2π3)<0
D. 若函数y=f(x)− 32两个零点间的最小距离为π6，则ω=2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a，b是两个不共线的向量，b−ta与12a−32b共线，则实数t= ______．
13.将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω= ______，f(7π12)的值为______．
14.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=10km/h，水流的速度v2的大小为|v2|=4km/h.设v1与v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A处航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则csθ= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=4，|b|=2，且a与b夹角为120°，求：
(1)|2a−b|；
(2)a与a+b的夹角；
(3)若向量2a−λb与λa−3b平行，求实数λ的值．
16.(本小题15分)
已知α是钝角，β是锐角，cs(α−π4)=13，sin(α+β)=45．
(1)求sin2α的值；
(2)求sin(β+π4)的值．
17.(本小题15分)
如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ=π4.C是扇形圆弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠POC=α．
(Ⅰ)将矩形ABCD的面积S表示成关于α的函数f(α)的形式；
(Ⅱ)求f(α)的最大值，及此时的角α．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(x+32π)⋅cs(32π−x)⋅tan2(π−x)sin(π+x)⋅cs(π2−x)．
(1)若f(θ)=12，求sin2θ的值；
(2)设g(x)=−cs2x⋅f(2x)，若不等式|g(x+π12)−cs2x−m|<1在(0,π3)上恒成立，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)= 3sin2x+cs2x．

(1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0,π]上的图像，并写出y=f(x)图像的对称中心；
(2)先将函数y=f(x)的图像向右平移π6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图像，若g(x)在[0,m]上的值域为[−1,2]，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：AB−2AC+BC=AB+BC−2AC=AC−2AC=−AC=CA．
故选：A．
根据向量加法、数乘的几何意义和向量的数乘运算即可得出正确的选项．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查计算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可得：BD=BC+CD=2a+8b=2AB，
由共线向量定理可得向量BD与AB共线，
又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．
故选：A．
要证明三点共线，借助向量共线证明即可，由共线向量定理和向量的加减运算可得向量BD与AB共线，进而可得答案．
本题考查利用向量的共线来证明三点共线的，属基础题．
3.【答案】A
【解析】解：将函数y=sin2x的图象向左平移π8个单位长度，
所得图象的函数解析式为y=sin2(x+π8)=sin(2x+π4).
故选：A．
直接利用函数图象的平移变换得答案．
本题考查y=Asin(ωx+φ)型函数图象的平移，是基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
根据余弦函数的倍角公式即可得到结论．
本题主要考查三角函数求值，根据余弦函数的倍角公式是解决本题的关键．
【解答】
解：∵cs2θ=−18=1−2sin2θ，
∴sin2θ=916，
∵θ∈[π4,π2]，∴sinθ>0，∴sinθ= 916=34，
故选：B
5.【答案】A
【解析】解：∵60°<α<150°，∴90°<α+30°<180°，
∵sin(30°+α)=35，
∴cs(30°+α)=− 1−(35)2=−45，
则csα=cs[(30°+α)−30°]=cs(30°+α)cs30°+sin(30°+α)sin30°=−45× 32+35×12=3−4 310．
故选：A．
由α的范围求出α+30°的范围，根据sin(30°+α)的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cs(30°+α)的值，原式角度变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了两角和与出的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：e为单位向量，
则 |e|=1，
|a|=6，向量a，e的夹角为3π4，
则向量a在向量e上的投影向量为|a|csθe|e|=6cs3π4e=−3 2e．
故选：C．
根据投影向量定义计算即可．
本题主要考查投影向量的求解，考查转化能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：设d=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)，
由题意可知，dmax=A+b=6，dmin=−A+b=−2，解得A=4，b=2，
函数d=4sin(ωt+φ)+2(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)的最小正周期为T=601.5=40，
则ω=2πT=2π40=π20，
当t=0时，d=4sinφ+2=0，可得sinφ=−12，
又因为−π2<φ<π2，则φ=−π6，故d=4sin(πt20−π6)+2，
故选：A．
设d=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)，由dmax=6，dmin=−2可求得A、b的值，由题意得出函数的最小正周期，可求得ω的值，然后由t=0d=0结合φ的取值范围可得出φ的值，由此可得出d与时间t(单位：s)之间的关系式．
本题考查三角函数的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为0所以π6<ωx+π6<2ωπ+π6，
由题意可得sin(ωx+π6)=12在区间(0,2π)上恰有3个实根，
则17π6<2ωπ+π6≤25π6，解得43<ω≤2．
故选：D．
将问题转化为sin(ωx+π6)=12在区间(0,2π)上恰有3个实根，再根据三角函数相关知识列出不等式求解即可．
本题主要考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：|b−2a|= 5，
则b2−4a⋅b+4a2=5，
|a|=|b|=1，
故a⋅b=0，
所以a⊥b，故A正确，D错误，
∵a⋅b=0，
∴|a+b|=|a−b|= a2+b2= 2，故B错误，C正确．
故选：AC．
根据已知条件，将|b−2a|= 5两边同时平方，推得a⋅b=0，即可依次求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：A：因为tan(25°+35°)=tan25°+tan35°1−tan25∘tan35∘= 3，
所以tan25°+tan35°+ 3tan25°⋅tan35°= 3− 3tan25°⋅tan35°+ 3tan25°⋅tan35°= 3，A正确；
B：cs2π8−sin2π8=csπ4= 22，B错误；
C：1sin10∘− 3cs10°=cs10°− 3sin10°sin10°cs10°=2(12cs10°− 32sin10°)12×2sin10°cs10°=2sin20°12sin20∘=4，C错误；
D：tan22.5°tan45∘−tan22.5∘=12×2tan22.5°1−tan22.5∘=12tan45°=12，D正确．
故选：AD．
由已知结合和差角公式，二倍角公式及辅助角公式分别对各选项进行化简即可判断．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及辅助角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由于函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在区间(π6,2π3)上单调递增，
故有T2=πω≥2π3−π6=π2，求得ω≤2，可得ω的最大值为2，故A正确；
若φ=−π6，由于ωx+φ∈(ωπ6−π6,2ωπ3−π6)，
则2ωπ3+φ=2ωπ3−π6≤π2，求得ω≤1，故ω∈(0,1]，故B正确；
由于π6+2π32=5π12∈(π6,2π3)，故当f(5π12)>0时，f(π6)+f(2π3)>0，C错误；
令y=f(x)− 32=0，得f(x)= 32，
设y=f(x)与y= 32距离最近的两交点的横坐标分别为x1，x2，
依题意，得[|ωx1+φ−(ωx2+φ)|]min=2π3−π3=π3，
即ω|x1−x2|min=π3，
因为函数y=f(x)− 32两个零点间的最小距离为π6，即|x1−x2|min=π6，
所以ω=2，D正确．
故选：ABD．
利用正弦函数的图象和性质对四个选项逐一分析可得答案．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，考查逻辑思维能力与综合运算能力，属于中档题．
12.【答案】13
【解析】解：∵a,b不共线，
∴12a−32b≠0，
又b−ta与12a−32b共线，
∴存在k，使b−ta=k2a−3k2b，
∴k2=−t−3k2=1，解得t=13．
故答案为：13．
根据题意得出：存在k，使b−ta=k2a−3k2b，然后根据平面向量基本定理得出k2=−t−3k2=1，解出t的值即可．
本题考查了平面向量基本定理和共面向量基本定理，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
13.【答案】12 3 32
【解析】解：根据g(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，可得A=3．
再根据五点法作图，可得ω×2π3+φ=π2 ①．
再把点(10π3,−32)代入，可得3sin(ω×10π3+φ)=−32，即sin(ω×10π3+φ)=−12，
再结合五点法作图，可得ω×10π3+φ=2π−π6 ②，
由①②可得，ω=12，φ=π6，g(x)=3sin(12x+π6).
由题意，把函数g(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y=3sin(12x+π12)的图像，
再把图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到f(x)=3sin(x+π12)的图像，
故f(7π12)=3sin8π12=3 32．
故答案为：12；3 32．
由题意，由函数的图象的顶点坐标求出A，由五点法作图以及特殊点的坐标求出ω和φ的值，可得g(x)的解析式，再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律，求得f(x)的解析式，从而得出结论．
本本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由五点法作图以及特殊点的坐标求出ω和φ的值，函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律，属于中档题．
14.【答案】−25
【解析】解：设船的实际速度为v，
因为v1与v2所成的角为θ(0<θ<π)，北岸的点B在A的正北方向，
所以游船正好到达B处，则v⊥v2，
所以csθ=−cs(π−θ)=−|v2||v1|=−410=−25．
故答案为：−25．
由向量表示速度，结合题意可得v⊥v2，结合直角三角形中锐角三角函数的定义即可求出．
本题考查平面向量的概念及向量加法的平行四边形法则，属于基础题．
15.【答案】解：(1)|a|=4，|b|=2，且a与b夹角为120°，
(2a−b)2=4a2−4a⋅b+b2=64+16+4=84，解得|2a−b|=2 21；
(2)因为(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=16−8+4=12，
所以|a+b|=2 3，又a⋅(a+b)=a2+a⋅b=16−4=12，
所以cs=a⋅(a+b)|a||a+b|=124× 3= 32，
∵∈[0,π]，
所以a与a+b的夹角为π6．
(3)因为向量2a−λb与λa−3b平行，
所以2a−λb=k(λa−3b)=kλa−3kb，
因为向量a与b不共线，
所以kλ=2λ=3k，解得λ=± 6．
【解析】(1)利用平面向量的模的运算求解；
(2)利用平面向量的夹角公式求解；
(3)根据向量2a−λb与λa−3b平行，利用共线向量定理求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
16.【答案】解：(1)sin2α=cs2(α−π4)=cs2(α−π4)−1=−79，
(2)∵α是钝角，β是锐角，sin(α+β)=45，
∴π2<α+β<3π2，π4<α−π4<3π4，
∴cs(α+β)=− 1−sin2(α+β)=−35，sin(α−π4)=2 23，
∴sin(β+π4)=sin[(α+β)−(α−π4)]=sin(α+β)cs(α−π4)−cs(α+β)sin(α−π4)
=45⋅13−(−35)⋅2 23=4+6 215．
【解析】(1)利用诱导公式、二倍角公式，求得要求式子的值．
(2)利用同角三角函数的基本关系、两角和的余弦，求得sin(β+π4)的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍角公式、两角和的余弦的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)依题意，在Rt△OBC中，∠OBC=π2，
所以AD=BC=OCsin∠POC=sinα，OB=OCcs∠POC=csα，
在Rt△OAD中，∠OAD=π2，∠POQ=π4，则OA=AD，
因此AB=OB−OA=csα−sinα，
所以S=AB⋅BC=sinα⋅(csα−sinα)=sinαcsα−sin2α
=12(sin2α+cs2α−1)= 22sin(2α+π4)−12，
所以面积S表示为角α的函数是f(α)= 22sin(2α+π4)−12(0≤α≤π4)；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当0≤α≤π4时，π4≤2α+π4≤3π4，
所以当2a+π4=π2，即α=π8时，[sin(2α+π4)]max=1，
所以当α=π8时，f(α)max= 22−12．
【解析】(Ⅰ)根据给定的图形，用α的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中函数，结合正弦函数的性质求解作答．
本题考查三角函数性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)=(−csx)⋅(−sinx)⋅tan2x(−sinx)⋅sinx=−csx⋅sin2xcs2xsinx=−tanx，
若f(θ)=12，则−tanθ=12，解得tanθ=−12，
所以sin2θ=2sinθcsθ=2sinθcsθsin2θ+cs2θ=2tanθtan2θ+1=2×(−12)(−12)2+1=−45．
(2)由题意得，g(x)=(−cs2x)⋅(−tan2x)=sin2x，
因为x∈(0,π3)，所以2x−π6∈(−π6,π2)，所以sin(2x−π6)∈(−12,1)．
由题意可知不等式|sin(2x−π6)−m|<1在π3上恒成立，
即m−1所以m−1≤−12m+1≥1，
解得0≤m≤12，
即实数m的取值范围为[0,12]．
【解析】(1)直接利用三角函数的关系式的变换求出结果；
(2)首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用恒成立问题的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考察学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)= 3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，
列表如下：
f(x)在[0,π]上的图像如图所示，其对称中心为(kπ2−π12,0)，k∈Z．

(2)将函数f(x)的图像向右平移π6个单位后得到y=2sin(2(x−π6)+π6)=2sin(2x−π6)的图像，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，
得到函数g(x)=2sin(x2−π6)的图像，
∵x∈[0,m]，
∴x2−π6∈[−π6,m2−π6]，
结合正弦函数图像可知π2≤m2−π6≤7π6，解得4π3≤m≤8π3，
∴m的取值范围是[4π3,8π3]．
【解析】(1)先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的五点作图法及正弦函数的对称性即可求解；
(2)结合三角函数图象的平移先求出g(x)的解析式，然后结合正弦函数的性质即可求解．
本题考查五点法作图，三角函数图象的变换，正弦型函数的值域问题，是中档题．x
0
π6
5π12
2π3
11π12
π
2x+π6
π6
π2
π
3π2
2π
13π6
y
1
2
0
−2
0
1