2022-2023学年山东省名校联盟高二（下）质检数学试卷（一）（含解析）

2022-2023学年山东省名校联盟高二（下）质检数学试卷（一）

    一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1.  已知函数，当自变量由变到时，函数的平均变化率为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知函数的导函数为，，，的图象如图所示，则(    )

A.
B.
C.
D.

4.  九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  当时，函数取得最小值，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容该定理如下：若函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点那么函数在区间上的中值点的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数，若对任意两个不等的实数，，都有，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列求导正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则

10.  “苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合“苏州码子”的写法依次为、刂、川、、、亠、、、攵某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的“”代表距离始发车站的里程为公里，刻着的“亠”代表距离始发车站的里程为公里已知每隔公里摆放一个里程碑，点处里程碑上刻着“川攵”，点处里程碑上刻着“”，则(    )

A. 从始发车站到点的所有里程碑个数为
B. 从点到点的所有里程碑个数为
C. 从点到点的所有里程碑上所刻数之和为
D. 从点到点的所有里程碑上所刻数之和为

11.  已知函数若函数有个零点，则的取值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，若，，，，则(    )

A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. 是周期函数 D.

二、非选择题（52分）

13.  已知函数，则 ______ ．

14.  一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进的距离米，则列车刹车后______ 秒车停下来，期间列车前进了______ 米

15.  已知球的半径为，球心为，球被某平面所截得的截面为圆，则以圆为底面，为顶点的圆锥的体积的最大值为______ ．

16.  已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是______ ．

17.  已知数列的前项和．
求的通项公式；
求数列的前项和．

18.  已知函数在上单调递增，在上单调递减．
求的值；
若恰有两个零点，求的值．

19.  已知数列为等差数列，为等比数列，且．
求，的通项公式；
求数列的前项和．

20.  已知函数．
若在时取得极值，求的值；
若存在，使得，求的取值范围．

21.  已知函数，．
求的单调区间；
证明：．

22.  已知函数，且曲线在处的切线方程为．
求，的值；
证明：对任意的，恒成立参考数据：

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据平均变化率的概念直接求解即可．
本题主要考查导数的应用，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：


，
解得．
故选：．
根据导数的定义化简求解．
本题考查导数的定义，考查学生计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据图象，结合导数的几何意义，可得．
故选：．
利用导数的几何意义即可得解．
本题主要考查导数的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：数列满足，且，
，，．
故选：．
直接利用数列通项的递推公式求出结果．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：当时，函数取得最小值，
，，
因为，
所以，解得，
故，可得．
故选：．
根据已知条件求得，，进而求解结论．
本题考查了导数的综合应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，，所以，，，
所以，．
由拉格朗日中值定理得，解得．
因为，
所以函数在区间上的中值点有个．
故选：．
计算，，得到，解得答案．
本题考查函数与方程的综合应用，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：不妨设，因为，
所以．
构造函数，
所以，所以在单调递增，
故在恒成立，即在恒成立．
令，则．
令，则，解得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．，即．
所以的最大值为．
故选：．
根据函数的单调性的定义及函数单调性与导数正负的关系，将所求问题转化为恒成立，再将恒成立问题转化为求函数的最值，利用导数法求函数的最值即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：先比较与：设函数，，
则，
当时，，在上单调递减，
所以，，即，
再比较与：设函数，，则，
令函数，则，
当时，，单调递减，
因为，
所以当时，，则，
所以在上单调递减，
所以，即，
综上所述，．
故选：．
构造函数，，并利用其单调性得出，构造函数，，并利用其单调性得出，从而得到结果．
本题考查数的大小关系，解题的关键是构造函数，利用导数研究单调性，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，若，则，故A错误；
对于，若，则，故B正确；
对于，若，则，故C正确；
对于，若，则，故D正确．
故选：．
利用求导公式和导数运算，及复合函数求导方法进行求解．
本题主要考查了求导公式和导数运算，以及复合函数求导法则，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意知，点处里程碑刻着数字，点处里程碑刻着数字，里程碑上的数字成等差数列，公差为，
对于选项A，从始发车站到点的所有里程碑个数为，即选项A正确；
对于选项B，从点到点的所有里程碑个数为，即选项B正确；
对于选项C，从点到点的所有里程碑上的数字之和为，即选项C错误；
对于选项D，从点到点的所有里程碑上的数字之和为，即选项D正确．
故选：．
先阅读题意，然后结合等差数列的通项公式及等差数列前项和公式逐一判断即可得解．
本题考查了等差数列的通项公式及等差数列前项和公式，重点考查了阅读理解能力，属基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：令，即，解得或．
当时，．
由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，且，．
画出的图象，
如图所示．

由图可知有个不同的实根，则有个零点等价于有个不同的实根，且，故．
故选：．
利用导数研究函数的图像，寻找与有两个交点的的取值范围，即可解答．
本题考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，所以．
因为，所以，所以的图象关于直线对称，A正确．
设，则，
所以为常数．
又，所以，即，
则的图象关于点对称，B正确．
因为，所以，则为奇函数．
则函数仍然是奇函数，其图象关于原点对称．
又因为，
所以的图象关于点对称，有，即．
由可得，即，故为周期函数，为的一个周期，
又，所以也是的一个周期，C正确．
令，可得，即，D错误．
故选：．
对于选项A，通过赋值，利用已知条件，即得结果．
对于选项B，通过构造函数，再求导，利用中的结论，即得结果．
对于选项C，首先利用可导的偶函数的导函数是奇函数的特性构造函数，再通过对称性结合中结论，即得结果．
对于选项D，通过赋值，利用中推导的结论和已知条件，即得结果．
本题主要考查导数的运算，函数的性质，考查逻辑推理能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，解得．
故答案为：．
直接求导计算即可得答案．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
 

14.【答案】   

【解析】解：由题意得，由瞬时速度，解得，
期间列车前进了米．
故答案为：，．
先求导数可得瞬时速度，利用速度为零可得停止时间和列车前进距离，即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设圆的半径为，圆锥的高为，则．
圆锥的体积，
令函数，
则．
当时，，时，，
所以在单调递增，在单调递减．
所以，所以圆锥的体积的最大值为．
故答案为：．
利用勾股定理找出与的关系式，根据圆锥的体积公式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而求出圆锥的体积的最大值．
本题考查圆锥的体积的最值的求解，函数建模，导数的应用，函数思想，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：依题意，对任意恒成立，
设，，则需函数的图象在函数图象的上方，
作出函数图象如下，

设函数与函数相切于点，
则，解得，
由图可知，满足条件的的取值范围为，
故答案为：．
设，，则函数的图象在函数图象的上方，作出函数图象，利用导数的几何意义求出极限情况下的的值，再结合图象得解．
本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：当时，，
当时，，
所以；
当时，，
当时，，
则，
当时，满足上式，
故． 

【解析】由数列递推式，结合求解即可；
由可得：当时，，然后累加求和即可得解．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了裂项求和法，属基础题．
 

18.【答案】解：由，得．
因为在上单调递增，在上单调递减．
所以在处取极大值，所以，
经检验时，符合题意，
故的值为；
结合可得．
令，解得或，
因为在上单调递增，在上单调递减，所以，
因为，，
所以在上有一个零点．
因为恰有两个零点，所以在上有一个零点．
因为当时，，当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，解得．
故的值为． 

【解析】由题知在处取极大值，进而根据求解即可；
由，得或，进而将问题转化为在上有一个零点，再结合函数在上的单调性得，进而解方程即可得答案．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 

19.【答案】解：设数列的公差为，的公比为，由已知得，，，
解得，，
则；
由可得，
则，，
两式相减得，
所以． 

【解析】设数列的公差为，的公比为，由题可得关于与的方程，解之可得答案；
由结合错位相减法可得答案．
本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求和，属于中档题．
 

20.【答案】解：，
因为在时取得极值，
所以，解得，
经检验，满足题意．
令，解得舍去，
当时，，当时，，所以在上单调递增，
故，
因为存在，使得，所以，即，
结合，解得，
当时，当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
因为存在，使得，所以，
函数在定义域内单调递增，，
结合，可得的解集为．
综上，的取值范围为． 

【解析】由极值的性质，可求的值；
分类讨论和时在的最小值，使最小值满足小于或等于即可．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，属于中档题．
 

21.【答案】解：令，解得，
当时，，
当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
证明：要证，
即证，
即证，
令函数，则，
令，解得舍去或，
当时，，
当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，
所以，
令函数，则，
当时，，
当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，
所以，
所以，即得证． 

【解析】利用导数研究函数单调性．
要证，即证，将指数函数与对数函数分离，即证，构造函数，借助导数及中间函数得证．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为，所以，
则，
解得，．
证明：由可得，则．
设，则．
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增．
因为，，，
所以存在唯一的，使得．
当时，，当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减．
因为，所以，
则对任意恒成立． 

【解析】由导数几何意义可以求解；
利用导数求出函数在上的最小值，即可得证．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，导数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．