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沪教版八年级数学辅导讲义第8讲多边形和平行四边形(原卷版+解析)
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第8讲 多边形和平行四边形 多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之间的关系，比较基础，题目相对较简单．平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了特殊的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依据，为进一步学习特殊的平行四边形打好基础． 模块一：多边形 知识精讲 1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形． 2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的 顶点． 3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角． 4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线． 5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧， 那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形． 6、多边形内角和定理：边形的内角和等于． 7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角． 8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和， 叫做多边形的外角和． 9、多边形的外角和等于360°． 例题解析 例1．（2020·上海杨浦区·八年级期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 例2．（2019·上海金山区·八年级期中）八边形的内角和为________度． 例3．（2018·上海金山区·八年级期中）如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是_________． 例4．（2019·上海上外附中）边形的内角和是外角和的三倍，则_________ 5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）有两个各内角相等的多边形，它们的边数之比为1∶2，且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，求这两个多边形的边数． 6．（2019·上海八年级课时练习）若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数． 例7.（1）从五边形的一个顶点出发，可画出__________条对角线； （2）从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出6个三角形，这个多边形共有__________条对角线． 例8.已知一个多边形的内角和是外角和的8倍，且这个多边形的每个内角都相等，求 这个多边形的边数与每个内角的度数． 例9.一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，这个内角是多少度?这个多边形有几条边? 例10.某人从点A出发，沿直线前进100米后向左转30°，在沿着直线前进100米，又向左转，...，照这样下去，他第一次回到出发点A时，一共走了多少米． 例11.在四边形ABCD中，∠A=80°，∠B和∠C的外角分别为105°和32°，求∠D的度数． 例12.设一个凸多边形，除去一个内角以外，其他内角的和为2570°，则该内角为 （ ） 40° B、90° C、120° D、130° 例13.一个凸边形的内角中，恰好有4个钝角，则的最大值是（ ） A、5 B、6 C、7 D、8 例14.已知，一个多边形的内角和与一个外角的差为1560°，求这个多边形的边数和这个外角的度数． 例15.已知凸边形（＞4）的所有内角都是15°的整数倍，且 ，那么__________． 模块二：平行四边形的概念及性质 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用符号“”表示， 如：ABCD． 2、平行四边形性质定理 ①如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等． 简述为：平行四边形的对边相等． ②如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等． 简述为：平行四边形的对角相等． ③如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分． 简述为：平行四边形的两条对角线互相平分． ④平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． ⑤推论：夹在两条平行线间的平行线段相等． 例题解析 例1．（2018·上海虹口区·八年级期中）如图所示，在平行四边形中，EF过对角线的交点，若 AB=4，BC=7，OE=3，则四边形的周长是（ ） A．14 B．11 C．17 D．10 例2．（2019·上海八年级课时练习）如图所示，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，下图中有（ ）个平行四边形. A．7 B．8 C．9 D．10 例3．（2020·上海浦东新区·八年级月考）已知平行四边形ABCD的周长为56cm，AB：BC＝2：5，那么AD＝_____cm． 例4．（2018·上海虹口区·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在边CD上的点F处，若△DEF的周长为8，△CBF的周长为18，则FC的长为_____． 例5．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知四边形，点是对角线与的交点，且，请再添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，那么添加的条件可以是_____________．（用数学符号语言表达） 例6．（2018·上海虹口区·八年级期中）在平行四边形ABCD中，两邻角的度数比是7：2，那么较小角的度数为______度． 例7．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）以不共线的三个已知点为顶点画平行四边形，可以画出_____________个平行四边形 例8．（2019·上海市娄山中学八年级月考）在ABCD中, ∠A的平分线分BC成4和3的两条线段, 则ABCD的周长为_____. 例9．（2020·上海杨浦区·八年级期末）在平行四边形ABCD中，如果，那么_________度． 例10．（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转到，当首次经过顶点时，旋转角_________°． 例11.在平行四边形ABCD中，若∠A的度数比∠B大20°，则∠B的度数为__________，∠C的度数为__________． 例12.在ABCD中，E在BC上，AB=BE，∠AEB=70°，求平行四边形ABCD各内角的度数． 例13.如果ABCD的周长是50cm，AB比BC短3cm，那么CD、DA分别是多少． 例14如图，在△ABC中，AB=AC=8，D是底边BC上一点，DE//AC，DF//AB，求四边形AEDF的周长． 例15.如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，且AE=2，DE=1，则平行四边形ABCD的周长等于__________． 例16.（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，在中，，，，垂足分别为点、 （1）求的度数； （2）如果，求线段的长． 例17．（2019·上海市西延安中学八年级期中）如图，在□ABCD中，∠B、∠D的平分线分别交对边于点E、F，交四边形的对角线AC于点G、H．求证：AG=CH． 例18.如图，ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，已知△BOC的周长比△AOB的周长多8cm，求ABCD各边的长． 例19.平行四边形的一角平分线分对边为3和4两部分，这个平行四边形的周长为________． 例20.如图，在ABCD中，AE⊥BC 、AF⊥CD，垂足分别为E、F，若∠ B=50°， 求∠FAE的度数． 例21.平面直角坐标系中，ABCD的对角线交点在坐标原点，若A点的坐标为(4，3)，B点的坐标为(-2，2)，求点C、D 的坐标及ABCD的周长． 例22.在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD的边AB//x轴，B、D均在y轴上，又知道A、D在直线y=2x-1上，且B点坐标(0，1)，求A、C、D的坐标及． 例23.如图，已知ABCD的面积为24，求阴影部分的面积． 例24.已知在ABCD中，M是AD的中点，AD=2AB，求∠BMC的度数． 例25.如图所示，平行四边形ABCD中，G、H是对角线BD上两点，DG=BH，DF=BE． 求证：∠GEH=∠GFH． 例26.如图所示，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM． 例27.如图所示，在平行四边形ABCD中，直线FH与AB、CD相交，过点A、D、C、B向直线FH作垂线，垂足分别为点G、F、E、H，求证：． 例28.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD= 60°，AE平分∠BAD交CD于E，BF平分∠ABC交CD于F，又AE与BF交于O，已知OB=OE=1．试求平行四边形ABCD的面积． 例29.在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F． （1）在图1中证明CE＝CF； （2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求∠BDG的度数． 随堂检测 1.如果一个凸多边形的每一个内角都等于140°，那么，这个多边形共有多少条对角线? 2.两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是_________和_________． 3.若一个多边形的内角和是它外角和的3倍，求这个多边形的边数． 4.如图，ABCD中，AF∶FC＝1∶2，S△ADF＝6cm2，则的值为________． 5.如图，中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，若CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则的面积为________． 6.如图，□ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，若△CDM周长为a，那么□ABCD的周长为 ________． 7.在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD的边AB//y轴，B、D均在x轴上，又知道A、D在直线y=2x+1上，且B点坐标(1，0)，求A、C、D的坐标及和． 8.如图所示，小华从M点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M时，行走了多少米？ 9.如图，已知M是ABCD边AB的中点，CM交BD于点E，且DE=2BE，则图中阴影部分面积与ABCD的面积之比为（ ） EQ \F(1,6) B． EQ \F(1,4) C． EQ \F(1,3) D． EQ \F(5,12) 10.如图，已知ABCD是平行四边形，E在AC上，AE＝2EC，F在AB上，BF＝2AF，如果△BEF的面积为2，则□ABCD的面积是________． 11.如图，□ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（ ） A．60° B． 65° C．70° D．75° 12.如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于点G，求证：∠BGC＝∠DGC． 13.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD． 第8讲 多边形和平行四边形 多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之间的关系，比较基础，题目相对较简单．平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了特殊的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依据，为进一步学习特殊的平行四边形打好基础． 模块一：多边形 知识精讲 1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形． 2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的 顶点． 3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角． 4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线． 5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧， 那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形． 6、多边形内角和定理：边形的内角和等于． 7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角． 8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和， 叫做多边形的外角和． 9、多边形的外角和等于360°． 例题解析 例1．（2020·上海杨浦区·八年级期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n-2）×180°=360°， 解得：n=4．故选：B． 【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键． 例2．（2019·上海金山区·八年级期中）八边形的内角和为________度． 【答案】1080 【详解】解：八边形的内角和= 例3．（2018·上海金山区·八年级期中）如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是_________． 【答案】14 【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，则（n-2）•180°=2160°， 解得：n=14．则这个多边形的边数是14．故答案为：14． 【点睛】本题考查多边行的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为（n-2）×180°解答． 例4．（2019·上海上外附中）边形的内角和是外角和的三倍，则_________ 【答案】8 【分析】根据“多边形的内角和是外角和的三倍”，结合边形的内角和公式和多边形的外角和为360°，列出关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：边形的内角和为：(−2)×180°，边形的外角和为：360°， 根据题意得：(−2)×180°=3×360°，解得：=8，故答案为：8． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，正确掌握多边形的内角和公式和多边形的外角和为360°是解题的关键． 5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）有两个各内角相等的多边形，它们的边数之比为1∶2，且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，求这两个多边形的边数． 【答案】12；24. 【分析】设它们的边数分别为x、2x，根据多边形的内角和公式即可表示出每一个内角的度数，再根据第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，即可列方程求解． 【详解】解：设它们的边数分别为x、2x，由题意得 ，解得， 经检验是分式方程的根 答：这两个多边形的边数为12和24. 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式： 6．（2019·上海八年级课时练习）若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数． 【答案】130° 【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为正整数求解，进而求出多边形的内角和，减去其余的角即可得到结果. 【详解】设这个内角度数为x°，边数为n，则（n-2）×180°-x=2570°， n×180°=2930°+x，即x＝n×180°﹣2930°，∵0°＜x＜180°， 解得16.2＜n＜17.2，又∵n为正整数，∴n=17， 则这个内角度数为180°×（17-2）-2570°=130°． 【点睛】解此题的关键在于利用内角和公式（n-2）×180°列出等式，再根据多边形内角的范围得到关于边数n的不等式，要注意多边形的边数n为正整数，所以在n的取值范围内取正整数即为n的值. 例7.（1）从五边形的一个顶点出发，可画出__________条对角线； （2）从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出6个三角形，这个多边形共有__________条对角线． 【难度】★ 【答案】（1）2；（2）20． 【解析】（1）多边形的一个顶点可以画条对角线，所以是5-3=2条． （2）由题意知，一个多边形可以切割成个三角形，则=6，由多边形的对角线条数公式，可知这个多边形共有条对角线． 【总结】考察多边形对角线的概念及条数公式． 例8.已知一个多边形的内角和是外角和的8倍，且这个多边形的每个内角都相等，求 这个多边形的边数与每个内角的度数． 【难度】★★ 【答案】边数是18，每个内角的度数为160°． 【解析】因为多边形的外角都是360°，所以这个多边形的内角和为360°×8=2880°， 又因为多边形的内角和公式是，所以=2880°，解得：． 因为每个内角都相等，所以每个内角度数为2880°÷18=160°. 【总结】考察多边形内角和外角的应用． 例9.一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，这个内角是多少度?这个多边形有几条边? 【难度】★★ 【答案】18 【解析】设有条边，则内角和为．因为多边形每个内角度数都大于0°小于 180°．所以，解此不等式地，为边 数只能取正整数，所以． 【总结】考察多边形内角和的应用． 例10.某人从点A出发，沿直线前进100米后向左转30°，在沿着直线前进100米，又向左转，...，照这样下去，他第一次回到出发点A时，一共走了多少米． 【难度】★★ 【答案】1200米． 【解析】由题意知A回到出发点时，所走轨迹是一个正多边形，由多边形的外交和是360°， 所以360°÷30°=12次，所以共走了12个100米，一共走了12×100=1200米． 【总结】考察多边形外角和的应用． 例11.在四边形ABCD中，∠A=80°，∠B和∠C的外角分别为105°和32°，求∠D的度数． 【难度】★★ 【答案】57° 【解析】多边形外角和为360°，由题意知∠A的外角为180°-80°=100°，所以∠D的 外角为360°-100°-105°-32°=123°，对应的∠D=180°-123°=57°． 【总结】考察多边形外角和的应用． 例12.设一个凸多边形，除去一个内角以外，其他内角的和为2570°，则该内角为 （ ） 40° B、90° C、120° D、130° 【难度】★★ 【答案】D 【解析】设有条边，则内角和为．因为多边形每个内角度数都大于0°小于 180°．所以，解此不等式地， 为边数只能取正整数，所以, 所以这个内角为． 【总结】考察多边形内角和的应用． 例13.一个凸边形的内角中，恰好有4个钝角，则的最大值是（ ） A、5 B、6 C、7 D、8 【难度】★★★ 【答案】C 【解析】因为多边形的内角和是180°的倍数，所以内角中有4个钝角，就会有 个直角或者锐角，可知内角和一定小于4×180°+， 即< 4×180°+，解得：，最大值是7． 【总结】考察多边形内角和的应用． 例14.已知，一个多边形的内角和与一个外角的差为1560°，求这个多边形的边数和这个外角的度数． 【难度】★★★ 【答案】11，60°． 【解析】多边形的内角和为，则这个外角为，由于每一个外 角都大于0°且小于180°，所以，解得， 所以，这个外角的度数为． 【总结】考察多边形内外角和的应用． 例15.已知凸边形（＞4）的所有内角都是15°的整数倍，且 ，那么__________． 【难度】★★★ 【答案】10 【解析】多边形的内角和为，其余共个内角和为， 可知是15°的倍数也是的倍数， ， 可知或者，又＞4，所以． 【总结】考察多边形内外角和的应用． 模块二：平行四边形的概念及性质 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用符号“”表示， 如：ABCD． 2、平行四边形性质定理 ①如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等． 简述为：平行四边形的对边相等． ②如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等． 简述为：平行四边形的对角相等． ③如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分． 简述为：平行四边形的两条对角线互相平分． ④平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． ⑤推论：夹在两条平行线间的平行线段相等． 例题解析 例1．（2018·上海虹口区·八年级期中）如图所示，在平行四边形中，EF过对角线的交点，若 AB=4，BC=7，OE=3，则四边形的周长是（ ） A．14 B．11 C．17 D．10 【答案】C 【分析】由在平行四边形ABCD中，EF过两条对角线的交点O，易证得△AOF≌△COE，则可得，继而求得四边形FECD的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA=OC，CD=AB=4，AD=BC=7 ∴∠FAO=∠ECO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF=CE，OF=OE=3， ∴EF=6， ∴四边形EFDC的周长是： CD+DF+EF+CE=CD+DF+AF+EF=CD+AD+EF=4+7+6=17． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用． 例2．（2019·上海八年级课时练习）如图所示，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，下图中有（ ）个平行四边形. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由在平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，易得平行四边形有：▱ABCD，▱ABFE，▱EFCD，▱AGHD，▱BCHG，▱OEDH，▱OFCH，▱OEAG，▱OGBF共9个． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC， ∵EF∥AB，GH∥AD，∴AD∥GH∥BC，AB∥EF∥CD， ∴平行四边形有：▱ABCD，▱ABFE，▱EFCD，▱AGHD，▱BCHG，▱OEDH，▱OFCH，▱OEAG，▱OGBF共9个． 故选：C. 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 例3．（2020·上海浦东新区·八年级月考）已知平行四边形ABCD的周长为56cm，AB：BC＝2：5，那么AD＝_____cm． 【答案】20 【分析】由▱ABCD的周长为56cm，根据平行四边形的性质，即可求得AB+BC＝28cm，又由AB：BC＝2：5，即可求得答案． 【详解】解：∵▱ABCD的周长为56cm，∴AB+BC＝28cm， ∵AB：BC＝2：5，∴AD＝BC＝×28＝20（cm）；故答案为：20． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对边相等的性质的应用是解此题的关键． 例4．（2018·上海虹口区·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在边CD上的点F处，若△DEF的周长为8，△CBF的周长为18，则FC的长为_____． 【答案】5 【分析】分析题意，△FBE为△ABE的翻折后的三角形，则△FBE≌△ABE，利用全等三角形各对应边相等、平行四边形的性质及线段间的等量关系可求解FC的长． 【详解】解：根据题意得△FBE≌△ABE，∴EF＝AE，BF＝AB． ∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝DC． ∵△FDE的周长为8，即DF+DE+EF＝8，∴DF+DE+AE＝8，即DF+AD＝8． ∵△FCB的周长为18，即FC+BC+BF＝18，∴FC+AD+DC＝18，即2FC+AD+DF＝18． ∴2FC+8＝18，∴FC＝5．故答案为5． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，已知折叠问题就是已知图形的全等，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化． 例5．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知四边形，点是对角线与的交点，且，请再添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，那么添加的条件可以是_____________．（用数学符号语言表达） 【答案】 【分析】由题意OA=OC，即一条对角线平分，根据平行四边形的判定方法，可以平分另一条对角线，也可以根据三角形全等，得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵OA=OC，由定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴可以是OB=OD（答案不唯一）． 故答案为：OB=OD（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，一般有几种方法： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， ⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 例6．（2018·上海虹口区·八年级期中）在平行四边形ABCD中，两邻角的度数比是7：2，那么较小角的度数为______度． 【答案】40 【分析】本题主要依据平行四边形的性质，得出两邻角之和180°，再有两邻角的度数比是7：2，得出较小角的度数． 【详解】解：设两邻角分别为， 则， 解得：，∴较小的角为40°． 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的两邻角之和为180°． 例7．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）以不共线的三个已知点为顶点画平行四边形，可以画出_____________个平行四边形 【答案】3 【分析】不在同一直线上的三点为、、，连接、、，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个平行四边形． 【详解】解：已知三点为、、，连接、、， ①以为平行四边形的对角线，、为两边可以画出； ②以为平行四边形的对角线，、为两边可以画出； ③以为平行四边形的对角线，、为两边可以画出； 如图，可构成的平行四边形有三个：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了画平行四边形的方法，关键是首先确定平行四边形的对角线与两边，再画出图形． 例8．（2019·上海市娄山中学八年级月考）在ABCD中, ∠A的平分线分BC成4和3的两条线段, 则ABCD的周长为_____. 【答案】20或22； 【分析】∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段，设∠A的平分线交BC于E点，有两种可能，BE=4或3，证明△ABE是等腰三角形，分别求周长． 【详解】解：设∠A的平分线交BC于E点，∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE， 又∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE∴AB=BE．而BC=3+4=7． ①当BE=4时，AB=BE=4，▱ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（4+7）=22； ②当BE=3时，AB=BE=3，▱ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（3+7）=20． 所以▱ABCD的周长为22cm或20cm． 故答案为22cm或20cm． 【点睛】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质： ①平行四边形两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等； ③平行四边形的两组对角分别相等； ④平行四边形的对角线互相平分． 例9．（2020·上海杨浦区·八年级期末）在平行四边形ABCD中，如果，那么_________度． 【答案】45 【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可得，，又由，即可求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，．故答案为：45． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．解题的关键是注意数形结合思想与平行四边形的对角相等定理的应用． 例10．（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转到，当首次经过顶点时，旋转角_________°． 【答案】40 【分析】由旋转的性质可知：BC=BC1，得到∠BCC1=∠C1，又因为旋转角∠ABA1=∠CBC1，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，∴BC=BC1，∴∠BCC1=∠C1， ∵∠A=70°，∴∠BCD=∠A=∠C1=70°，∴∠BCC1=∠C1=70°， ∴∠CBC1=180°-2×70°=40°，∴∠ABA1=40°，故答案为：40． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形CBC1是等腰三角形． 例11.在平行四边形ABCD中，若∠A的度数比∠B大20°，则∠B的度数为__________，∠C的度数为__________． 【难度】★ 【答案】80°，100°． 【解析】因为是平行四边形，所以，又， 解得．因为平行四边形的对角相等，所以． 【总结】考察平行四边形的内角和及内角的性质． 例12.在ABCD中，E在BC上，AB=BE，∠AEB=70°，求平行四边形ABCD各内角的度数． 【难度】★ 【答案】． 【解析】由题知，在BAE中，，所以， ． 【总结】考察平行四边形的内角度数相关知识点． 例13.如果ABCD的周长是50cm，AB比BC短3cm，那么CD、DA分别是多少． 【难度】★ 【答案】． 【解析】平行四边形的对边平行且相等，所以，又， 解得又因为,所以． 【总结】考察平行四边形的边的相关知识点． 例14如图，在△ABC中，AB=AC=8，D是底边BC上一点，DE//AC，DF//AB，求四边形AEDF的周长． 【难度】★ 【答案】16 【解析】由题意知DE//AC，所以,又因为 所以，得EB=ED．同理可得FD=FC， 所以四边形AEDF的周长=AE+ED+DF+AF=AE+EB+CF+AF =AB+AC=8+8=16． 【总结】考察平行四边形的边的平行性质的应用． 例15.如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，且AE=2，DE=1，则平行四边形ABCD的周长等于__________． 【难度】★ 【答案】10 【解析】由题知．因为AD//BC， 所以，得，即AE=AB=2． 因为AD=AE+ED=2+1=3， 所以平行四边形ABCD的周长等于=2×（AB+AD）=2×（2+3）=10． 【总结】考察平行四边形的综合应用． 例16.（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，在中，，，，垂足分别为点、 （1）求的度数； （2）如果，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用平行四边形的邻角互补的知识先求出∠C的度数，然后利用四边形的内角和定理即可求出∠EAF的度数． （2）求出∠BAE的度数，然后在直角三角形中利用30°及勾股定理的知识求出AE的长． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°， ∵∠B=60°，∴∠C=120°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC=∠AFC=90°， 在四边形AECF中，∠EAF+∠AEC+∠C+∠AFC=360°，∴∠EAF=60°； （2）在中，，， ∵，∴，∴． 由勾股定理，得，∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的应用，掌握平行四边形的邻角互补及勾股定理是解题的关键． 例17．（2019·上海市西延安中学八年级期中）如图，在□ABCD中，∠B、∠D的平分线分别交对边于点E、F，交四边形的对角线AC于点G、H．求证：AG=CH． 【分析】先根据平行四边形的性质，利用ASA判定△ADH≌△CBG；再根据全等三角形的对应边相等，从而得到AH=CG，则AH+HG=CG+HG，即AG=CH． 【详解】证明：∵平行四边形ABCD, ∴AD=CB,AD∥CB，∠ADC=∠CBA ∵DE、DF分别为角平分线， ∴∠DAH=∠BCG ,∠CBG=∠ADH ， 在 △ADH和△CBG中∠DAH=∠BCGAD=CB∠CBG=∠ADH ∴ΔADH≅ΔCBG(ASA) ∴AH=CG．∴AH+HG=CG+HG，即AG=CH． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键． 例18.如图，ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，已知△BOC的周长比△AOB的周长多8cm，求ABCD各边的长． 【难度】★ 【答案】AB=CD=11cm，BC=AD=19cm． 【解析】由题知，且OA=OC， 即BO+OC+BC-(BO+OA+AB)=BC-AB=8， 又因为2×(AB+BC)=60，所以得BC+AB=30，BC-AB=8， 所以AB=CD=11cm，BC=AD=19cm． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用． 例19.平行四边形的一角平分线分对边为3和4两部分，这个平行四边形的周长为________． 【难度】★★ 【答案】20或22． 【解析】如图由题意可分两种情况：1、AE=3，ED=4， 由题知．因为AD//BC，所以，得， 即AE=AB=3，因为AD=AE+ED=3+4=7， 所以这个平行四边形的周长为2×(AB+AD)=2×(3+7)=20； 2、AE=4，ED=3，同理可求这个平行四边形的周长为22； 故该平行四边形的周长为20或22． 【总结】考察平行四边形的性质及等腰三角形的综合应用． 例20.如图，在ABCD中，AE⊥BC 、AF⊥CD，垂足分别为E、F，若∠ B=50°， 求∠FAE的度数． 【难度】★★ 【答案】50゜． 【解析】因为平行四边形的对角相等，所以． 因为平形四边形的邻角互补，所以． 在直角三角形BAE中，，同理， 所以． 【总结】考察平行四边形的性质及直角三角形的性质的综合应用． 例21.平面直角坐标系中，ABCD的对角线交点在坐标原点，若A点的坐标为(4，3)，B点的坐标为(-2，2)，求点C、D 的坐标及ABCD的周长． 【难度】★★ 【答案】C（-4，-3）；D（2，-2）；． 【解析】因为平行四边形的对角线相互平分，所以可知C点的坐标为（-4，-3）， D点的坐标为（2，-2）．由两点间的距离公式可得， ，所以ABCD的周长=2×()=． 【总结】考察平行四边形的性质的在平面直角坐标系中的运用． 例22.在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD的边AB//x轴，B、D均在y轴上，又知道A、D在直线y=2x-1上，且B点坐标(0，1)，求A、C、D的坐标及． 【难度】★★ 【答案】A(1 ，1)；C(-1 ，-1)；D(0 ，-1)；=2． 【解析】由题意知A的纵坐标与B相同， 把y=1代入y=2x-1中,可得A的横坐标为1， 所以A的坐标为A(1 ，1)，D为y=2x-1与y轴的交点， 所以D为（0，-1）．因为AB//CD且AB=CD， 所以C的坐标为（-1，-1）． 从而可求CD=1，BD=2，且BDCD，所以=． 【总结】考察平行四边形的性质在平面直角坐标系中的应用． 例23.如图，已知ABCD的面积为24，求阴影部分的面积． 【难度】★★ 【答案】12． 【解析】因为平行四边形是中心对称图形，可知每一个小阴 影三角形都有一个小空白三角形与之完全重合． 所以阴影部分的面积是24． 【总结】考察平行四边形的中心对称性的运用． 例24.已知在ABCD中，M是AD的中点，AD=2AB，求∠BMC的度数． 【难度】★★ 【答案】90°． 【解析】由题知AM=AB=CD=MD，设． 则可得，在三角形DMC中，DM=DC，， 可得，所以． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用． 例25.如图所示，平行四边形ABCD中，G、H是对角线BD上两点，DG=BH，DF=BE． 求证：∠GEH=∠GFH． 【难度】★★ 【解析】在与中， 因为DG=BH，DF=BE，，所以， 所以GF=EH，．从而，所以GF//EH． 又因为GF=EH，所以四边形GEHF为平行四边形，从而∠GEH=∠GFH． 【总结】考察平行四边形的性质的应用． 例26.如图所示，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM． 【难度】★★ 【解析】延长EM交DC于F点，易证， 则MF=ME，即M为EF中点． 设，则， 在直角FED中，ME=MF=MD，得， 所以，又因为CM=CD， 所以， 综上，． 【总结】考察平行四边形的性质及角的和差的综合应用． 例27.如图所示，在平行四边形ABCD中，直线FH与AB、CD相交，过点A、D、C、B向直线FH作垂线，垂足分别为点G、F、E、H，求证：． 【难度】★★★ 【解析】过A点做AMDF，易证四边形AMFG为矩形， 则AG=MF，所以AG-DF=MF-DF=-DM． 同理过C点做CNBH，可证CE=HN， CE-BH=HN-BH=-BN． 因为BH//AG，所以， 可知， 又， 所以． 可得，从而得(同角的余角相等)． 在ADM和CNB中，AD=BC，， 又得，可得DM=BN，从而-DM=-BN， 再得CE-BH=AG-DF． 【总结】考察平行四边形的性质的应用． 例28.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD= 60°，AE平分∠BAD交CD于E，BF平分∠ABC交CD于F，又AE与BF交于O，已知OB=OE=1．试求平行四边形ABCD的面积． 【难度】★★★ 【答案】1+． 【解析】因为AE、BF分别平分和， 又+=180°，所以=90°． 在直角AOB中，∠BAO=∠BAD= 30°，OB=1，得OA=． 连接BE，可求得BAE的面积=， 所以平行四边形ABCD的面积=2×=． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用． 例29.在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F． （1）在图1中证明CE＝CF； （2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求∠BDG的度数． 【难度】★★★ 【答案】（1）见解析；（2）45°． 【解析】（1）因为AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠BEA． 又因为AB//CD，所以∠F=∠BAE=∠BEA=∠CEF,从而得CE=CF； （2）连接BG、CG．由（1）可知CE=CF,且BE=BA=DC又∠ECF=90°． 因为G是EF的中点，CG=EG,∠F=∠FEC=45°，从而∠GCD=∠GEB=135°． 综上，可得，可得GB=GD，∠DGC=∠BGE， 所以90°=∠BGD=∠DGA+∠BGE=∠DGA+∠DGC， 从而知GBD是等腰直角三角形，所以∠BDG=45°． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用． 随堂检测 1.如果一个凸多边形的每一个内角都等于140°，那么，这个多边形共有多少条对角线? 【难度】★ 【答案】27 【解析】由题意知共有360°÷（180°-140°）=9条边， 根据多边形的对角线条数公式条． 【总结】考察多边形的基本知识的应用． 2.两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是_________和_________． 【难度】★ 【答案】5，7 【解析】设这两个凸多边形的边数分别为条和条，可列方程+=12， ，解得：． 所以这两个多边形的边数分别是5和7． 【总结】考察多边形的基础知识的应用． 3.若一个多边形的内角和是它外角和的3倍，求这个多边形的边数． 【难度】★ 【答案】8 【解析】由题可知该多边形的内角和为360°×3=1080°，解得． 【总结】考察多边形的内外角和的应用． 4.如图，ABCD中，AF∶FC＝1∶2，S△ADF＝6cm2，则的值为________． 【难度】★ 【答案】36cm2． 【解析】AFD与CFD同高，所以面积比等于底之比 AF:FC=1:2，所以， 则，所以． 【总结】考察平行四边边形的性质的应用． 5.如图，中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，若CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则的面积为________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】因为=360°-90°-90°-60°=120°， 所以，又，在直角BEC中， ，EC=2，可得BC=4，BE=．又AD=BC=4，所以AF=AD-DF=4-1=3． 在在直角AFB中，，AF=3，可得AB=6． 综上平行四边形的面积为． 【总结】考察平行四边形的性质的应用． 6.如图，□ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，若△CDM周长为a，那么□ABCD的周长为 ________． 【难度】★★ 【答案】2． 【解析】由平行四边形的性质可知OA=OC，又MO=MO， ，所以MOAMOC，所以MA=MC． 所以CMD的周长==CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD， 所以平行四边形的周长=． 【总结】考察平行四边形的对角线互相平分的性质的应用． 7.在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD的边AB//y轴，B、D均在x轴上，又知道A、D在直线y=2x+1上，且B点坐标(1，0)，求A、C、D的坐标及和． 【难度】★★ 【答案】A(1，3)；C(，-3)；D(，0)；=； =． 【解析】由题可知A的横坐标为1，代入y=2x+1可得A的纵坐标为3，所以A(1，3)． 因为D为y=2x+1与轴的交点，所以可得D(，0)．因为ABCD为平行四边形， CD=AB=3，所以C(，3)．所以=， ， 则=． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用． 8.如图所示，小华从M点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M时，行走了多少米？ 【难度】★★ 【答案】180米 【解析】多边形的外角和为360°，每个外角为20°，可知共有360°÷20°=18条边， 多边形的周长为18×10=180米． 【总结】考察多边形的外角的应用． 9.如图，已知M是ABCD边AB的中点，CM交BD于点E，且DE=2BE，则图中阴影部分面积与ABCD的面积之比为（ ） EQ \F(1,6) B． EQ \F(1,4) C． EQ \F(1,3) D． EQ \F(5,12) 【难度】★★ 【答案】C 【解析】设BEM的面积为，因为DE=2BE，所以DEM的面积为2． 在梯形MBCD中，，同理可知． 则平行四边形ABCD的面积，可知平行四边形的面积是 12，阴影部分的面积是，所以阴影部分面积与ABCD的面积之比为 ，选C． 【总结】考察平行四边形有关的面积的综合应用． 10.如图，已知ABCD是平行四边形，E在AC上，AE＝2EC，F在AB上，BF＝2AF，如果△BEF的面积为2，则□ABCD的面积是________． 【难度】★★ 【答案】9． 【解析】BEF和AEF的面积之比等于BF:AF=2:1，所以． BEA和BEC的面积之比等于AE:EC=2:1，所以， 从而得， 从而得平行四边形的面积=． 【总结】考察平行四边形有关的面积的综合应用． 11.如图，□ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（ ） A．60° B． 65° C．70° D．75° 【难度】★★ 【答案】B 【解析】作DE的中点M，连结AM 设∠ADB==∠DBC,则∠ABD=75°-，取DE中点M，连接AM． 可知∠DAF=∠AFC=90°．在直角三角形ADE中，MA=DE=AB， 所以∠AEB=∠ABD=75°-，又因为∠AEB=∠ADM+∠DAM=+=2, 所以2=75°-，解得：=25°，所以∠AED=90°-∠ADM=90°-25°=65°． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用． 12.如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于点G，求证：∠BGC＝∠DGC． 【难度】★★★ 【解析】作CMBE、CNDF，垂足分别为M、N连接CF、CE． 由题意知=平行四边形的面积， 即，因为BE=DF，所以CM=CN， 在DGB中，CM=CN，可知CG是DGB的角平分线，即∠BGC＝∠DGC． 【总结】考察平行四边的性质与角平分线性质的综合应用． 13.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD． 【难度】★★★ 【解析】因为BC//AD，所以． 因为AC//DE，所以．因为AB//CE，所以． 因为CD//BE，所以，所以，所以AE//BD． 【总结】考察同底等高的两个三角形面积相等的综合运用．
第8讲 多边形和平行四边形 多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之间的关系，比较基础，题目相对较简单．平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了特殊的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依据，为进一步学习特殊的平行四边形打好基础． 模块一：多边形 知识精讲 1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形． 2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的 顶点． 3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角． 4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线． 5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧， 那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形． 6、多边形内角和定理：边形的内角和等于． 7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角． 8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和， 叫做多边形的外角和． 9、多边形的外角和等于360°． 例题解析 例1．（2020·上海杨浦区·八年级期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 例2．（2019·上海金山区·八年级期中）八边形的内角和为________度． 例3．（2018·上海金山区·八年级期中）如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是_________． 例4．（2019·上海上外附中）边形的内角和是外角和的三倍，则_________ 5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）有两个各内角相等的多边形，它们的边数之比为1∶2，且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，求这两个多边形的边数． 6．（2019·上海八年级课时练习）若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数． 例7.（1）从五边形的一个顶点出发，可画出__________条对角线； （2）从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出6个三角形，这个多边形共有__________条对角线． 例8.已知一个多边形的内角和是外角和的8倍，且这个多边形的每个内角都相等，求 这个多边形的边数与每个内角的度数． 例9.一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，这个内角是多少度?这个多边形有几条边? 例10.某人从点A出发，沿直线前进100米后向左转30°，在沿着直线前进100米，又向左转，...，照这样下去，他第一次回到出发点A时，一共走了多少米． 例11.在四边形ABCD中，∠A=80°，∠B和∠C的外角分别为105°和32°，求∠D的度数． 例12.设一个凸多边形，除去一个内角以外，其他内角的和为2570°，则该内角为 （ ） 40° B、90° C、120° D、130° 例13.一个凸边形的内角中，恰好有4个钝角，则的最大值是（ ） A、5 B、6 C、7 D、8 例14.已知，一个多边形的内角和与一个外角的差为1560°，求这个多边形的边数和这个外角的度数． 例15.已知凸边形（＞4）的所有内角都是15°的整数倍，且 ，那么__________． 模块二：平行四边形的概念及性质 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用符号“”表示， 如：ABCD． 2、平行四边形性质定理 ①如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等． 简述为：平行四边形的对边相等． ②如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等． 简述为：平行四边形的对角相等． ③如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分． 简述为：平行四边形的两条对角线互相平分． ④平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． ⑤推论：夹在两条平行线间的平行线段相等． 例题解析 例1．（2018·上海虹口区·八年级期中）如图所示，在平行四边形中，EF过对角线的交点，若 AB=4，BC=7，OE=3，则四边形的周长是（ ） A．14 B．11 C．17 D．10 例2．（2019·上海八年级课时练习）如图所示，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，下图中有（ ）个平行四边形. A．7 B．8 C．9 D．10 例3．（2020·上海浦东新区·八年级月考）已知平行四边形ABCD的周长为56cm，AB：BC＝2：5，那么AD＝_____cm． 例4．（2018·上海虹口区·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在边CD上的点F处，若△DEF的周长为8，△CBF的周长为18，则FC的长为_____． 例5．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知四边形，点是对角线与的交点，且，请再添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，那么添加的条件可以是_____________．（用数学符号语言表达） 例6．（2018·上海虹口区·八年级期中）在平行四边形ABCD中，两邻角的度数比是7：2，那么较小角的度数为______度． 例7．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）以不共线的三个已知点为顶点画平行四边形，可以画出_____________个平行四边形 例8．（2019·上海市娄山中学八年级月考）在ABCD中, ∠A的平分线分BC成4和3的两条线段, 则ABCD的周长为_____. 例9．（2020·上海杨浦区·八年级期末）在平行四边形ABCD中，如果，那么_________度． 例10．（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转到，当首次经过顶点时，旋转角_________°． 例11.在平行四边形ABCD中，若∠A的度数比∠B大20°，则∠B的度数为__________，∠C的度数为__________． 例12.在ABCD中，E在BC上，AB=BE，∠AEB=70°，求平行四边形ABCD各内角的度数． 例13.如果ABCD的周长是50cm，AB比BC短3cm，那么CD、DA分别是多少． 例14如图，在△ABC中，AB=AC=8，D是底边BC上一点，DE//AC，DF//AB，求四边形AEDF的周长． 例15.如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，且AE=2，DE=1，则平行四边形ABCD的周长等于__________． 例16.（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，在中，，，，垂足分别为点、 （1）求的度数； （2）如果，求线段的长． 例17．（2019·上海市西延安中学八年级期中）如图，在□ABCD中，∠B、∠D的平分线分别交对边于点E、F，交四边形的对角线AC于点G、H．求证：AG=CH． 例18.如图，ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，已知△BOC的周长比△AOB的周长多8cm，求ABCD各边的长． 例19.平行四边形的一角平分线分对边为3和4两部分，这个平行四边形的周长为________． 例20.如图，在ABCD中，AE⊥BC 、AF⊥CD，垂足分别为E、F，若∠ B=50°， 求∠FAE的度数． 例21.平面直角坐标系中，ABCD的对角线交点在坐标原点，若A点的坐标为(4，3)，B点的坐标为(-2，2)，求点C、D 的坐标及ABCD的周长． 例22.在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD的边AB//x轴，B、D均在y轴上，又知道A、D在直线y=2x-1上，且B点坐标(0，1)，求A、C、D的坐标及． 例23.如图，已知ABCD的面积为24，求阴影部分的面积． 例24.已知在ABCD中，M是AD的中点，AD=2AB，求∠BMC的度数． 例25.如图所示，平行四边形ABCD中，G、H是对角线BD上两点，DG=BH，DF=BE． 求证：∠GEH=∠GFH． 例26.如图所示，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM． 例27.如图所示，在平行四边形ABCD中，直线FH与AB、CD相交，过点A、D、C、B向直线FH作垂线，垂足分别为点G、F、E、H，求证：． 例28.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD= 60°，AE平分∠BAD交CD于E，BF平分∠ABC交CD于F，又AE与BF交于O，已知OB=OE=1．试求平行四边形ABCD的面积． 例29.在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F． （1）在图1中证明CE＝CF； （2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求∠BDG的度数． 随堂检测 1.如果一个凸多边形的每一个内角都等于140°，那么，这个多边形共有多少条对角线? 2.两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是_________和_________． 3.若一个多边形的内角和是它外角和的3倍，求这个多边形的边数． 4.如图，ABCD中，AF∶FC＝1∶2，S△ADF＝6cm2，则的值为________． 5.如图，中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，若CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则的面积为________． 6.如图，□ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，若△CDM周长为a，那么□ABCD的周长为 ________． 7.在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD的边AB//y轴，B、D均在x轴上，又知道A、D在直线y=2x+1上，且B点坐标(1，0)，求A、C、D的坐标及和． 8.如图所示，小华从M点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M时，行走了多少米？ 9.如图，已知M是ABCD边AB的中点，CM交BD于点E，且DE=2BE，则图中阴影部分面积与ABCD的面积之比为（ ） EQ \F(1,6) B． EQ \F(1,4) C． EQ \F(1,3) D． EQ \F(5,12) 10.如图，已知ABCD是平行四边形，E在AC上，AE＝2EC，F在AB上，BF＝2AF，如果△BEF的面积为2，则□ABCD的面积是________． 11.如图，□ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（ ） A．60° B． 65° C．70° D．75° 12.如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于点G，求证：∠BGC＝∠DGC． 13.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD． 第8讲 多边形和平行四边形 多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之间的关系，比较基础，题目相对较简单．平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了特殊的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依据，为进一步学习特殊的平行四边形打好基础． 模块一：多边形 知识精讲 1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形． 2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的 顶点． 3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角． 4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线． 5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧， 那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形． 6、多边形内角和定理：边形的内角和等于． 7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角． 8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和， 叫做多边形的外角和． 9、多边形的外角和等于360°． 例题解析 例1．（2020·上海杨浦区·八年级期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n-2）×180°=360°， 解得：n=4．故选：B． 【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键． 例2．（2019·上海金山区·八年级期中）八边形的内角和为________度． 【答案】1080 【详解】解：八边形的内角和= 例3．（2018·上海金山区·八年级期中）如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是_________． 【答案】14 【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，则（n-2）•180°=2160°， 解得：n=14．则这个多边形的边数是14．故答案为：14． 【点睛】本题考查多边行的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为（n-2）×180°解答． 例4．（2019·上海上外附中）边形的内角和是外角和的三倍，则_________ 【答案】8 【分析】根据“多边形的内角和是外角和的三倍”，结合边形的内角和公式和多边形的外角和为360°，列出关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：边形的内角和为：(−2)×180°，边形的外角和为：360°， 根据题意得：(−2)×180°=3×360°，解得：=8，故答案为：8． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，正确掌握多边形的内角和公式和多边形的外角和为360°是解题的关键． 5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）有两个各内角相等的多边形，它们的边数之比为1∶2，且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，求这两个多边形的边数． 【答案】12；24. 【分析】设它们的边数分别为x、2x，根据多边形的内角和公式即可表示出每一个内角的度数，再根据第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，即可列方程求解． 【详解】解：设它们的边数分别为x、2x，由题意得 ，解得， 经检验是分式方程的根 答：这两个多边形的边数为12和24. 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式： 6．（2019·上海八年级课时练习）若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数． 【答案】130° 【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为正整数求解，进而求出多边形的内角和，减去其余的角即可得到结果. 【详解】设这个内角度数为x°，边数为n，则（n-2）×180°-x=2570°， n×180°=2930°+x，即x＝n×180°﹣2930°，∵0°＜x＜180°， 解得16.2＜n＜17.2，又∵n为正整数，∴n=17， 则这个内角度数为180°×（17-2）-2570°=130°． 【点睛】解此题的关键在于利用内角和公式（n-2）×180°列出等式，再根据多边形内角的范围得到关于边数n的不等式，要注意多边形的边数n为正整数，所以在n的取值范围内取正整数即为n的值. 例7.（1）从五边形的一个顶点出发，可画出__________条对角线； （2）从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出6个三角形，这个多边形共有__________条对角线． 【难度】★ 【答案】（1）2；（2）20． 【解析】（1）多边形的一个顶点可以画条对角线，所以是5-3=2条． （2）由题意知，一个多边形可以切割成个三角形，则=6，由多边形的对角线条数公式，可知这个多边形共有条对角线． 【总结】考察多边形对角线的概念及条数公式． 例8.已知一个多边形的内角和是外角和的8倍，且这个多边形的每个内角都相等，求 这个多边形的边数与每个内角的度数． 【难度】★★ 【答案】边数是18，每个内角的度数为160°． 【解析】因为多边形的外角都是360°，所以这个多边形的内角和为360°×8=2880°， 又因为多边形的内角和公式是，所以=2880°，解得：． 因为每个内角都相等，所以每个内角度数为2880°÷18=160°. 【总结】考察多边形内角和外角的应用． 例9.一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，这个内角是多少度?这个多边形有几条边? 【难度】★★ 【答案】18 【解析】设有条边，则内角和为．因为多边形每个内角度数都大于0°小于 180°．所以，解此不等式地，为边 数只能取正整数，所以． 【总结】考察多边形内角和的应用． 例10.某人从点A出发，沿直线前进100米后向左转30°，在沿着直线前进100米，又向左转，...，照这样下去，他第一次回到出发点A时，一共走了多少米． 【难度】★★ 【答案】1200米． 【解析】由题意知A回到出发点时，所走轨迹是一个正多边形，由多边形的外交和是360°， 所以360°÷30°=12次，所以共走了12个100米，一共走了12×100=1200米． 【总结】考察多边形外角和的应用． 例11.在四边形ABCD中，∠A=80°，∠B和∠C的外角分别为105°和32°，求∠D的度数． 【难度】★★ 【答案】57° 【解析】多边形外角和为360°，由题意知∠A的外角为180°-80°=100°，所以∠D的 外角为360°-100°-105°-32°=123°，对应的∠D=180°-123°=57°． 【总结】考察多边形外角和的应用． 例12.设一个凸多边形，除去一个内角以外，其他内角的和为2570°，则该内角为 （ ） 40° B、90° C、120° D、130° 【难度】★★ 【答案】D 【解析】设有条边，则内角和为．因为多边形每个内角度数都大于0°小于 180°．所以，解此不等式地， 为边数只能取正整数，所以, 所以这个内角为． 【总结】考察多边形内角和的应用． 例13.一个凸边形的内角中，恰好有4个钝角，则的最大值是（ ） A、5 B、6 C、7 D、8 【难度】★★★ 【答案】C 【解析】因为多边形的内角和是180°的倍数，所以内角中有4个钝角，就会有 个直角或者锐角，可知内角和一定小于4×180°+， 即< 4×180°+，解得：，最大值是7． 【总结】考察多边形内角和的应用． 例14.已知，一个多边形的内角和与一个外角的差为1560°，求这个多边形的边数和这个外角的度数． 【难度】★★★ 【答案】11，60°． 【解析】多边形的内角和为，则这个外角为，由于每一个外 角都大于0°且小于180°，所以，解得， 所以，这个外角的度数为． 【总结】考察多边形内外角和的应用． 例15.已知凸边形（＞4）的所有内角都是15°的整数倍，且 ，那么__________． 【难度】★★★ 【答案】10 【解析】多边形的内角和为，其余共个内角和为， 可知是15°的倍数也是的倍数， ， 可知或者，又＞4，所以． 【总结】考察多边形内外角和的应用． 模块二：平行四边形的概念及性质 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用符号“”表示， 如：ABCD． 2、平行四边形性质定理 ①如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等． 简述为：平行四边形的对边相等． ②如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等． 简述为：平行四边形的对角相等． ③如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分． 简述为：平行四边形的两条对角线互相平分． ④平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． ⑤推论：夹在两条平行线间的平行线段相等． 例题解析 例1．（2018·上海虹口区·八年级期中）如图所示，在平行四边形中，EF过对角线的交点，若 AB=4，BC=7，OE=3，则四边形的周长是（ ） A．14 B．11 C．17 D．10 【答案】C 【分析】由在平行四边形ABCD中，EF过两条对角线的交点O，易证得△AOF≌△COE，则可得，继而求得四边形FECD的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA=OC，CD=AB=4，AD=BC=7 ∴∠FAO=∠ECO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF=CE，OF=OE=3， ∴EF=6， ∴四边形EFDC的周长是： CD+DF+EF+CE=CD+DF+AF+EF=CD+AD+EF=4+7+6=17． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用． 例2．（2019·上海八年级课时练习）如图所示，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，下图中有（ ）个平行四边形. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由在平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，易得平行四边形有：▱ABCD，▱ABFE，▱EFCD，▱AGHD，▱BCHG，▱OEDH，▱OFCH，▱OEAG，▱OGBF共9个． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC， ∵EF∥AB，GH∥AD，∴AD∥GH∥BC，AB∥EF∥CD， ∴平行四边形有：▱ABCD，▱ABFE，▱EFCD，▱AGHD，▱BCHG，▱OEDH，▱OFCH，▱OEAG，▱OGBF共9个． 故选：C. 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 例3．（2020·上海浦东新区·八年级月考）已知平行四边形ABCD的周长为56cm，AB：BC＝2：5，那么AD＝_____cm． 【答案】20 【分析】由▱ABCD的周长为56cm，根据平行四边形的性质，即可求得AB+BC＝28cm，又由AB：BC＝2：5，即可求得答案． 【详解】解：∵▱ABCD的周长为56cm，∴AB+BC＝28cm， ∵AB：BC＝2：5，∴AD＝BC＝×28＝20（cm）；故答案为：20． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对边相等的性质的应用是解此题的关键． 例4．（2018·上海虹口区·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在边CD上的点F处，若△DEF的周长为8，△CBF的周长为18，则FC的长为_____． 【答案】5 【分析】分析题意，△FBE为△ABE的翻折后的三角形，则△FBE≌△ABE，利用全等三角形各对应边相等、平行四边形的性质及线段间的等量关系可求解FC的长． 【详解】解：根据题意得△FBE≌△ABE，∴EF＝AE，BF＝AB． ∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝DC． ∵△FDE的周长为8，即DF+DE+EF＝8，∴DF+DE+AE＝8，即DF+AD＝8． ∵△FCB的周长为18，即FC+BC+BF＝18，∴FC+AD+DC＝18，即2FC+AD+DF＝18． ∴2FC+8＝18，∴FC＝5．故答案为5． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，已知折叠问题就是已知图形的全等，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化． 例5．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知四边形，点是对角线与的交点，且，请再添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，那么添加的条件可以是_____________．（用数学符号语言表达） 【答案】 【分析】由题意OA=OC，即一条对角线平分，根据平行四边形的判定方法，可以平分另一条对角线，也可以根据三角形全等，得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵OA=OC，由定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴可以是OB=OD（答案不唯一）． 故答案为：OB=OD（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，一般有几种方法： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， ⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 例6．（2018·上海虹口区·八年级期中）在平行四边形ABCD中，两邻角的度数比是7：2，那么较小角的度数为______度． 【答案】40 【分析】本题主要依据平行四边形的性质，得出两邻角之和180°，再有两邻角的度数比是7：2，得出较小角的度数． 【详解】解：设两邻角分别为， 则， 解得：，∴较小的角为40°． 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的两邻角之和为180°． 例7．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）以不共线的三个已知点为顶点画平行四边形，可以画出_____________个平行四边形 【答案】3 【分析】不在同一直线上的三点为、、，连接、、，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个平行四边形． 【详解】解：已知三点为、、，连接、、， ①以为平行四边形的对角线，、为两边可以画出； ②以为平行四边形的对角线，、为两边可以画出； ③以为平行四边形的对角线，、为两边可以画出； 如图，可构成的平行四边形有三个：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了画平行四边形的方法，关键是首先确定平行四边形的对角线与两边，再画出图形． 例8．（2019·上海市娄山中学八年级月考）在ABCD中, ∠A的平分线分BC成4和3的两条线段, 则ABCD的周长为_____. 【答案】20或22； 【分析】∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段，设∠A的平分线交BC于E点，有两种可能，BE=4或3，证明△ABE是等腰三角形，分别求周长． 【详解】解：设∠A的平分线交BC于E点，∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE， 又∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE∴AB=BE．而BC=3+4=7． ①当BE=4时，AB=BE=4，▱ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（4+7）=22； ②当BE=3时，AB=BE=3，▱ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（3+7）=20． 所以▱ABCD的周长为22cm或20cm． 故答案为22cm或20cm． 【点睛】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质： ①平行四边形两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等； ③平行四边形的两组对角分别相等； ④平行四边形的对角线互相平分． 例9．（2020·上海杨浦区·八年级期末）在平行四边形ABCD中，如果，那么_________度． 【答案】45 【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可得，，又由，即可求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，．故答案为：45． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．解题的关键是注意数形结合思想与平行四边形的对角相等定理的应用． 例10．（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转到，当首次经过顶点时，旋转角_________°． 【答案】40 【分析】由旋转的性质可知：BC=BC1，得到∠BCC1=∠C1，又因为旋转角∠ABA1=∠CBC1，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，∴BC=BC1，∴∠BCC1=∠C1， ∵∠A=70°，∴∠BCD=∠A=∠C1=70°，∴∠BCC1=∠C1=70°， ∴∠CBC1=180°-2×70°=40°，∴∠ABA1=40°，故答案为：40． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形CBC1是等腰三角形． 例11.在平行四边形ABCD中，若∠A的度数比∠B大20°，则∠B的度数为__________，∠C的度数为__________． 【难度】★ 【答案】80°，100°． 【解析】因为是平行四边形，所以，又， 解得．因为平行四边形的对角相等，所以． 【总结】考察平行四边形的内角和及内角的性质． 例12.在ABCD中，E在BC上，AB=BE，∠AEB=70°，求平行四边形ABCD各内角的度数． 【难度】★ 【答案】． 【解析】由题知，在BAE中，，所以， ． 【总结】考察平行四边形的内角度数相关知识点． 例13.如果ABCD的周长是50cm，AB比BC短3cm，那么CD、DA分别是多少． 【难度】★ 【答案】． 【解析】平行四边形的对边平行且相等，所以，又， 解得又因为,所以． 【总结】考察平行四边形的边的相关知识点． 例14如图，在△ABC中，AB=AC=8，D是底边BC上一点，DE//AC，DF//AB，求四边形AEDF的周长． 【难度】★ 【答案】16 【解析】由题意知DE//AC，所以,又因为 所以，得EB=ED．同理可得FD=FC， 所以四边形AEDF的周长=AE+ED+DF+AF=AE+EB+CF+AF =AB+AC=8+8=16． 【总结】考察平行四边形的边的平行性质的应用． 例15.如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，且AE=2，DE=1，则平行四边形ABCD的周长等于__________． 【难度】★ 【答案】10 【解析】由题知．因为AD//BC， 所以，得，即AE=AB=2． 因为AD=AE+ED=2+1=3， 所以平行四边形ABCD的周长等于=2×（AB+AD）=2×（2+3）=10． 【总结】考察平行四边形的综合应用． 例16.（2019·上海普陀区·八年级期中）如图，在中，，，，垂足分别为点、 （1）求的度数； （2）如果，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用平行四边形的邻角互补的知识先求出∠C的度数，然后利用四边形的内角和定理即可求出∠EAF的度数． （2）求出∠BAE的度数，然后在直角三角形中利用30°及勾股定理的知识求出AE的长． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°， ∵∠B=60°，∴∠C=120°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC=∠AFC=90°， 在四边形AECF中，∠EAF+∠AEC+∠C+∠AFC=360°，∴∠EAF=60°； （2）在中，，， ∵，∴，∴． 由勾股定理，得，∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的应用，掌握平行四边形的邻角互补及勾股定理是解题的关键． 例17．（2019·上海市西延安中学八年级期中）如图，在□ABCD中，∠B、∠D的平分线分别交对边于点E、F，交四边形的对角线AC于点G、H．求证：AG=CH． 【分析】先根据平行四边形的性质，利用ASA判定△ADH≌△CBG；再根据全等三角形的对应边相等，从而得到AH=CG，则AH+HG=CG+HG，即AG=CH． 【详解】证明：∵平行四边形ABCD, ∴AD=CB,AD∥CB，∠ADC=∠CBA ∵DE、DF分别为角平分线， ∴∠DAH=∠BCG ,∠CBG=∠ADH ， 在 △ADH和△CBG中∠DAH=∠BCGAD=CB∠CBG=∠ADH ∴ΔADH≅ΔCBG(ASA) ∴AH=CG．∴AH+HG=CG+HG，即AG=CH． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键． 例18.如图，ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，已知△BOC的周长比△AOB的周长多8cm，求ABCD各边的长． 【难度】★ 【答案】AB=CD=11cm，BC=AD=19cm． 【解析】由题知，且OA=OC， 即BO+OC+BC-(BO+OA+AB)=BC-AB=8， 又因为2×(AB+BC)=60，所以得BC+AB=30，BC-AB=8， 所以AB=CD=11cm，BC=AD=19cm． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用． 例19.平行四边形的一角平分线分对边为3和4两部分，这个平行四边形的周长为________． 【难度】★★ 【答案】20或22． 【解析】如图由题意可分两种情况：1、AE=3，ED=4， 由题知．因为AD//BC，所以，得， 即AE=AB=3，因为AD=AE+ED=3+4=7， 所以这个平行四边形的周长为2×(AB+AD)=2×(3+7)=20； 2、AE=4，ED=3，同理可求这个平行四边形的周长为22； 故该平行四边形的周长为20或22． 【总结】考察平行四边形的性质及等腰三角形的综合应用． 例20.如图，在ABCD中，AE⊥BC 、AF⊥CD，垂足分别为E、F，若∠ B=50°， 求∠FAE的度数． 【难度】★★ 【答案】50゜． 【解析】因为平行四边形的对角相等，所以． 因为平形四边形的邻角互补，所以． 在直角三角形BAE中，，同理， 所以． 【总结】考察平行四边形的性质及直角三角形的性质的综合应用． 例21.平面直角坐标系中，ABCD的对角线交点在坐标原点，若A点的坐标为(4，3)，B点的坐标为(-2，2)，求点C、D 的坐标及ABCD的周长． 【难度】★★ 【答案】C（-4，-3）；D（2，-2）；． 【解析】因为平行四边形的对角线相互平分，所以可知C点的坐标为（-4，-3）， D点的坐标为（2，-2）．由两点间的距离公式可得， ，所以ABCD的周长=2×()=． 【总结】考察平行四边形的性质的在平面直角坐标系中的运用． 例22.在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD的边AB//x轴，B、D均在y轴上，又知道A、D在直线y=2x-1上，且B点坐标(0，1)，求A、C、D的坐标及． 【难度】★★ 【答案】A(1 ，1)；C(-1 ，-1)；D(0 ，-1)；=2． 【解析】由题意知A的纵坐标与B相同， 把y=1代入y=2x-1中,可得A的横坐标为1， 所以A的坐标为A(1 ，1)，D为y=2x-1与y轴的交点， 所以D为（0，-1）．因为AB//CD且AB=CD， 所以C的坐标为（-1，-1）． 从而可求CD=1，BD=2，且BDCD，所以=． 【总结】考察平行四边形的性质在平面直角坐标系中的应用． 例23.如图，已知ABCD的面积为24，求阴影部分的面积． 【难度】★★ 【答案】12． 【解析】因为平行四边形是中心对称图形，可知每一个小阴 影三角形都有一个小空白三角形与之完全重合． 所以阴影部分的面积是24． 【总结】考察平行四边形的中心对称性的运用． 例24.已知在ABCD中，M是AD的中点，AD=2AB，求∠BMC的度数． 【难度】★★ 【答案】90°． 【解析】由题知AM=AB=CD=MD，设． 则可得，在三角形DMC中，DM=DC，， 可得，所以． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用． 例25.如图所示，平行四边形ABCD中，G、H是对角线BD上两点，DG=BH，DF=BE． 求证：∠GEH=∠GFH． 【难度】★★ 【解析】在与中， 因为DG=BH，DF=BE，，所以， 所以GF=EH，．从而，所以GF//EH． 又因为GF=EH，所以四边形GEHF为平行四边形，从而∠GEH=∠GFH． 【总结】考察平行四边形的性质的应用． 例26.如图所示，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM． 【难度】★★ 【解析】延长EM交DC于F点，易证， 则MF=ME，即M为EF中点． 设，则， 在直角FED中，ME=MF=MD，得， 所以，又因为CM=CD， 所以， 综上，． 【总结】考察平行四边形的性质及角的和差的综合应用． 例27.如图所示，在平行四边形ABCD中，直线FH与AB、CD相交，过点A、D、C、B向直线FH作垂线，垂足分别为点G、F、E、H，求证：． 【难度】★★★ 【解析】过A点做AMDF，易证四边形AMFG为矩形， 则AG=MF，所以AG-DF=MF-DF=-DM． 同理过C点做CNBH，可证CE=HN， CE-BH=HN-BH=-BN． 因为BH//AG，所以， 可知， 又， 所以． 可得，从而得(同角的余角相等)． 在ADM和CNB中，AD=BC，， 又得，可得DM=BN，从而-DM=-BN， 再得CE-BH=AG-DF． 【总结】考察平行四边形的性质的应用． 例28.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD= 60°，AE平分∠BAD交CD于E，BF平分∠ABC交CD于F，又AE与BF交于O，已知OB=OE=1．试求平行四边形ABCD的面积． 【难度】★★★ 【答案】1+． 【解析】因为AE、BF分别平分和， 又+=180°，所以=90°． 在直角AOB中，∠BAO=∠BAD= 30°，OB=1，得OA=． 连接BE，可求得BAE的面积=， 所以平行四边形ABCD的面积=2×=． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用． 例29.在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F． （1）在图1中证明CE＝CF； （2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求∠BDG的度数． 【难度】★★★ 【答案】（1）见解析；（2）45°． 【解析】（1）因为AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠BEA． 又因为AB//CD，所以∠F=∠BAE=∠BEA=∠CEF,从而得CE=CF； （2）连接BG、CG．由（1）可知CE=CF,且BE=BA=DC又∠ECF=90°． 因为G是EF的中点，CG=EG,∠F=∠FEC=45°，从而∠GCD=∠GEB=135°． 综上，可得，可得GB=GD，∠DGC=∠BGE， 所以90°=∠BGD=∠DGA+∠BGE=∠DGA+∠DGC， 从而知GBD是等腰直角三角形，所以∠BDG=45°． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用． 随堂检测 1.如果一个凸多边形的每一个内角都等于140°，那么，这个多边形共有多少条对角线? 【难度】★ 【答案】27 【解析】由题意知共有360°÷（180°-140°）=9条边， 根据多边形的对角线条数公式条． 【总结】考察多边形的基本知识的应用． 2.两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是_________和_________． 【难度】★ 【答案】5，7 【解析】设这两个凸多边形的边数分别为条和条，可列方程+=12， ，解得：． 所以这两个多边形的边数分别是5和7． 【总结】考察多边形的基础知识的应用． 3.若一个多边形的内角和是它外角和的3倍，求这个多边形的边数． 【难度】★ 【答案】8 【解析】由题可知该多边形的内角和为360°×3=1080°，解得． 【总结】考察多边形的内外角和的应用． 4.如图，ABCD中，AF∶FC＝1∶2，S△ADF＝6cm2，则的值为________． 【难度】★ 【答案】36cm2． 【解析】AFD与CFD同高，所以面积比等于底之比 AF:FC=1:2，所以， 则，所以． 【总结】考察平行四边边形的性质的应用． 5.如图，中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，若CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则的面积为________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】因为=360°-90°-90°-60°=120°， 所以，又，在直角BEC中， ，EC=2，可得BC=4，BE=．又AD=BC=4，所以AF=AD-DF=4-1=3． 在在直角AFB中，，AF=3，可得AB=6． 综上平行四边形的面积为． 【总结】考察平行四边形的性质的应用． 6.如图，□ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，若△CDM周长为a，那么□ABCD的周长为 ________． 【难度】★★ 【答案】2． 【解析】由平行四边形的性质可知OA=OC，又MO=MO， ，所以MOAMOC，所以MA=MC． 所以CMD的周长==CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD， 所以平行四边形的周长=． 【总结】考察平行四边形的对角线互相平分的性质的应用． 7.在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD的边AB//y轴，B、D均在x轴上，又知道A、D在直线y=2x+1上，且B点坐标(1，0)，求A、C、D的坐标及和． 【难度】★★ 【答案】A(1，3)；C(，-3)；D(，0)；=； =． 【解析】由题可知A的横坐标为1，代入y=2x+1可得A的纵坐标为3，所以A(1，3)． 因为D为y=2x+1与轴的交点，所以可得D(，0)．因为ABCD为平行四边形， CD=AB=3，所以C(，3)．所以=， ， 则=． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用． 8.如图所示，小华从M点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M时，行走了多少米？ 【难度】★★ 【答案】180米 【解析】多边形的外角和为360°，每个外角为20°，可知共有360°÷20°=18条边， 多边形的周长为18×10=180米． 【总结】考察多边形的外角的应用． 9.如图，已知M是ABCD边AB的中点，CM交BD于点E，且DE=2BE，则图中阴影部分面积与ABCD的面积之比为（ ） EQ \F(1,6) B． EQ \F(1,4) C． EQ \F(1,3) D． EQ \F(5,12) 【难度】★★ 【答案】C 【解析】设BEM的面积为，因为DE=2BE，所以DEM的面积为2． 在梯形MBCD中，，同理可知． 则平行四边形ABCD的面积，可知平行四边形的面积是 12，阴影部分的面积是，所以阴影部分面积与ABCD的面积之比为 ，选C． 【总结】考察平行四边形有关的面积的综合应用． 10.如图，已知ABCD是平行四边形，E在AC上，AE＝2EC，F在AB上，BF＝2AF，如果△BEF的面积为2，则□ABCD的面积是________． 【难度】★★ 【答案】9． 【解析】BEF和AEF的面积之比等于BF:AF=2:1，所以． BEA和BEC的面积之比等于AE:EC=2:1，所以， 从而得， 从而得平行四边形的面积=． 【总结】考察平行四边形有关的面积的综合应用． 11.如图，□ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（ ） A．60° B． 65° C．70° D．75° 【难度】★★ 【答案】B 【解析】作DE的中点M，连结AM 设∠ADB==∠DBC,则∠ABD=75°-，取DE中点M，连接AM． 可知∠DAF=∠AFC=90°．在直角三角形ADE中，MA=DE=AB， 所以∠AEB=∠ABD=75°-，又因为∠AEB=∠ADM+∠DAM=+=2, 所以2=75°-，解得：=25°，所以∠AED=90°-∠ADM=90°-25°=65°． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用． 12.如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于点G，求证：∠BGC＝∠DGC． 【难度】★★★ 【解析】作CMBE、CNDF，垂足分别为M、N连接CF、CE． 由题意知=平行四边形的面积， 即，因为BE=DF，所以CM=CN， 在DGB中，CM=CN，可知CG是DGB的角平分线，即∠BGC＝∠DGC． 【总结】考察平行四边的性质与角平分线性质的综合应用． 13.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD． 【难度】★★★ 【解析】因为BC//AD，所以． 因为AC//DE，所以．因为AB//CE，所以． 因为CD//BE，所以，所以，所以AE//BD． 【总结】考察同底等高的两个三角形面积相等的综合运用．
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