2022-2023学年河南省名校高一（下）调研数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省名校高一（下）调研数学试卷（3月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足(2+3i)z=1+i(i为虚数单位)，则在复平面内复数z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(−2,1)，b=(m,3)，且a//b，那么a−b等于( )
A. (−8,−2)B. (−72,−2)C. (4,−2)D. (−12,−2)
3.已知集合A={x|3x+1<4}，B={x|x−a<0}，若A∩B=A，则实数a的取值范围为( )
A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,1]D. (−∞,1)
4.若α∈(0,π2)，sin(α−π3)=13，则csα的值为( )
A. 2 6+16B. 2 6−16C. 2 2+ 36D. 2 2− 36
5.已知a，b，c∈R，且a≠0，关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−3,2)，则关于x的不等式cx2+ax+b>0的解集为( )
A. (−13,12)B. (−12,13)
C. (−∞,−13)∪(12,+∞)D. (−∞,−12)∪(13,+∞)
6.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A. 40 2海里B. 40 3海里C. 80 3海里D. 80 2海里
7.在△ABC中，AB=1,AC=4,∠BAC=π3，点D为边BC上靠近B的三等分点，则AD⋅BC的值为( )
A. −163B. 163C. −4D. 4
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ac=6，sinB+2sinCcsA=0，则△ABC面积的最大值为( )
A. 32B. 32C. 34D. 34
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则b=c
B. 若z1，z2为复数，则|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|
C. 设a，b是非零向量，若|a+b|=|a−b|，则a⋅b=0
D. 设z1，z2为复数，若|z1+z2|=|z1−z2|，则z1z2=0
10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )
A. 若a>b，则sinA>sinB
B. 若sinA>sinB，则A>B
C. 若acsA=bcsB，则△ABC是等腰三角形
D. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
11.在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，BE=2EC，F是CD的中点，且AE=2，AF=3，∠EAF=60°，则下列说法正确的是( )
A. AC=34AE+12AFB. AC=12AE+23AF
C. AC=3 32D. AC= 7
12.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sinA+sinB)2=(2sinB+sinC)sinC，且sinA> 33，则下列结论正确的是( )
A. c−a=acsCB. a>cC. c>aD. C>π3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=ln(−3x2+4x+4)，则f(x)的单调增区间为 ．
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=π3，c= 3，则3a+b3sinA+sinB的值为 ．
15.已知函数f(x)=3−x−3x−x，若f(2a+3)+f(3−a)>0，则实数a的取值范围是 ．
16.在△ABC中，G满足GA+GB+GC=0，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若AM=mAB(m>0)，AN=nAC(n>0)，则3m+n的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知复数z=(m2+m−2)+(2m2−m−3)i，m∈R，其中i为虚数单位．
(1)若复数z为纯虚数，求m的值；
(2)若z⋅z−+3iz=16+12i，求m的值．
18.(本小题12分)
已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，且(3a+b)⋅(a−2b)=−16．
(1)若(a−b)⊥(a+λb)，求实数λ的值；
(2)求a与2a−b的夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sinA+sinB)(a−b)=c(sinC− 3sinB)．
(1)求角A的大小；
(2)若cs∠ABC=−17，D是线段AC上的一点，∠ABD=∠CBD，BD=7 73，求c．
20.(本小题12分)
已知向量a=(csx,sinx)，b=( 3csx,2csx− 3sinx)，设函数f(x)=a⋅b．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若函数g(x)=f(x−π6)+af(x2−π6)−af(x2+π12)在区间[0,π]上的最大值为6，求实数a的值．
21.(本小题12分)
对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)=x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=lg2[a⋅4x−12−(a−1)2x−1+a2+14]．
(1)若a=0，求f(x)的不动点；
(2)若函数f(x)恰有两个不动点x1，x2，且022.(本小题12分)
如图，某小区有一块空地△ABC，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘△AEF，E，F在边BC上(E,F不与B，C重合，且E在B，F之间)，且∠EAF=π4．
(1)若BE=10 2，求EF的值；
(2)为节省投入资金，小池塘△AEF的面积需要尽可能的小.设∠EAB=θ，试确定θ的值，使得△AEF的面积取得最小值，并求出△AEF面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：(2+3i)z=1+i
则z=1+i2+3i=(1+i)(2−3i)(2+3i)(2−3i)=513−113i，
故在复平面内复数z对应的点(513,−113)位于第四象限．
故选：D．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：向量a=(−2,1)，b=(m,3)，且a//b，
∴m−2=31，解得m=−6，∴b=(−6,3)，
∴a−b=(4,−2)．
故选：C．
由向量平行列方程，求出m=−6，从而b=(−6,3)，由此能求出a−b．
本题考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：集合A={x|3x+1<4}={x|x<1}，
B={x|x−a<0}={x|x若A∩B=A，则A⊆B，
可得a≥1，即a的取值范围是[1,+∞)．
故选：A．
化简集合A和B，由集合的交集性质和集合的关系，可得所求取值范围．
本题考查不等式的解法和集合的运算、集合的关系，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵α∈(0,π2)，∴α−π3∈(−π3,π6)，
∵sin(α−π3)=13，∴cs(α−π3)= 1−19=2 23，
∴csα=cs[(α−π3)+π3]=cs(α−π3)csπ3−sin(α−π3)sinπ3
=2 23×12−13× 32
=2 2− 36．
故选：D．
利用两角和与差的余弦公式求解即可．
本题考查两角和与差的余弦公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−3,2)，
可得a<0，−3+2=−ba，−3×2=ca，
即有b=a，c=−6a，
则关于x的不等式cx2+ax+b>0即−6ax2+ax+a>0，
即有6x2−x−1>0，
解得x>12或x<−13．
故选：C．
由二次方程与二次不等式的关系，可得a<0，b=a，c=−6a，再由二次不等式的解法，可得所求解集．
本题考查二次不等式的解法，以及二次方程的韦达定理，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意作出图形：∠SAB=40°，∠SAC=70°，则∠BAC=30°，
由图知：∠ABC=105°，则∠C=45°，又AB=80，
所以BCsin30∘=ABsin45∘，则BC=40 2海里．
故选：A．
由题意作出示意图，应用正弦定理求出B，C两点间的距离即可．
本题考查正弦定理的实际应用，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：已知AB=1,AC=4,∠BAC=π3，
则AB⋅AC=1×4×12=2，
又点D为边BC上靠近B的三等分点，
则AD⋅BC=(AB+BD)⋅BC=(AB+13BC)⋅BC=(23AB+13AC)⋅(AC−AB)=13AC2−23AB2+13AB⋅AC=13×16−23×1+13×2=163．
故选：B．
由平面向量基本定理，结合平面向量的数量积的运算求解即可．
本题考查了平面向量基本定理，重点考查了平面向量的数量积的运算，属基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵sinB+2sinCcsA=0，
∴sin(A+C)+2sinCcsA=0，
即sinAcsC+csAsinC+2sinCcsA=0，
即sinAcsC+3csAsinC=0，
得a⋅b2+a2−c22ab+3×b2+c2−a22bc×c=0，
整理得2b2=a2−c2，
∵ac=6，
∴a=6c，
∴b2=36c2−c22=18c2−c22，
∴csB=a2+c2−b22ac=36c2+c2−(18c2−c22)12=18c2+32c212≥2 18c2⋅3c2212= 32，
当且仅当18c2=3c22，即c2=2 3，b2=2 3，a2=6 3时取等号，
∴sinB≤12，
则△ABC面积的最大值为S=12acsinB≤12×6×12=32．
故选：B．
根据正弦定理，余弦定理进行化简，结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可．
本题主要考查三角形面积的计算，结合正弦定理余弦定理以及基本不等式进行转化求解是解决本题的关键，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于选项A，若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则a⋅(b−c)=0，即a⊥(b−c)或b=c，即选项A错误；
对于选项B，若z1，z2为复数，设z1=a+bi，z2=c+di，则|z1z2|=|ac−bd+(ad+bc)i|= a2c2+b2d2+a2d2+b2c2= a2+b2 c2+d2=|z1||z2|，即选项B正确；
对于选项C，设a，b是非零向量，若|a+b|=|a−b|，则a2+b2+2a⋅b=a2+b2−2a⋅b，则a⋅b=0即选项C正确；
对于选项D，设z1，z2为复数，若|z1+z2|=|z1−z2|，则z1z2=0不一定成立，例如z1=1，z2=i，满足|z1+z2|=|z1−z2|，但z1z2=i，即选项D错误．
故选：BC．
由平面向量的数量积运算，结合平面向量的模的运算及复数模的运算逐一判断即可得解．
本题考查了平面向量的数量积运算，重点考查了平面向量的模的运算及复数模的运算，属基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于选项A，在△ABC中，大边对大角，若a>b，则A>B，
根据正弦定理可得sinA>sinB，选项A正确，同理，选项B正确；
对于选项C，若acsA=bcsB，由正弦定理可得sin AcsA=sin B cs B，
即sin2A=sin2B，所以2A=2B即A=B或2A+2B=π，即A+B=π2，
所以△ABC为等腰角三角形或直角三角形，选项C错误；
对于选项D，若△ABC为锐角三角形，则A+B>π2，∴π2>A>π2−B>0，
又正弦函数在(0,π2)为单调增函数，∴sinA>sin(π2−B)，即sinA>csB，选项D正确．
故选：ABD．
根据三角形的基本性质及正弦定理，正弦函数的单调性，逐项分析即可．
本题考查正弦定理，三角函数性质，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：根据题意，设AC=xAE+yAF，
在平行四边形ABCD中，有AC=AB+AD，
而E是BC上的点，BE=2EC，F是CD的中点，则AE=AB+BE=AB+23AD，AF=AD+DF=AD+12AB，
则有AC=AB+AD=xAE+yAF=x(AB+23AD)+y(AD+12AB)=(x+y2)AB+(2x3+y)AD，
则有x+y2=123x+y=1，解可得x=34y=12，
则AC=34AE+12AF，A正确，B错误；
则|AC|2=(AC)2=(34AE+12AF)2=916AE2+14AF2+34AE⋅AF=274，故|AC|=3 32，则C正确，D错误．
故选：AC．
根据题意，设AC=xAE+yAF，分析可得AE=AB+BE=AB+23AD，AF=AD+DF=AD+12AB，由向量的平行四边形法则可得AC=AB+AD，由此可得AC=AB+AD=xAE+yAF=x(AB+23AD)+y(AD+12AB)=(x−y2)AB+(2x3+y)AD，可得关于x、y的方程组，解可得x、y的值，可得A正确，B错误；进而由数量积的计算公式求出|AC|，可得C正确，D错误，综合可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及平面向量基本定理，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：由正弦边角关系知：(a+b)2=(2b+c)c，则a2+2ab+b2=2bc+c2，
所以a2+b2−c2=2b(c−a)，而csC=a2+b2−c22ab>0，则c−a=acsC，A正确；
由上知：c−aa>0，即c>a，B错误，C正确；
由c−a=acs C知：sinC−sinA=sin AcsC，则sinA=sinC1+csC=2sinC2csC22cs2C2=tanC2> 33，
又0故选：ACD．
利用正弦边角关系可得a2+b2−c2=2b(c−a)，结合余弦定理及锐角三角形知c−a=acsC、c−aa>0，判断A、B、C正误；再由正弦边角关系，倍角公式判断D正误．
本题考查正余弦定理，三角函数性质，属于中档题．
13.【答案】(−23,23]
【解析】解：−3x2+4x+4>0，3x2−4x−4<0，∴−23设t=−3x2+4x+4，对称轴为x=23，则x∈(−23,23]时，
t=−3x2+4x+4单调递增，又y=lnt在(0,+∞)上单调递增，
则(−23,23]是函数f(x)的单调增区间．
故答案为：(−23,23].
利用复合函数的单调性即可求，要注意求定义域．
本题考查复合函数的单调性，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】解：利用正弦定理可得：asinA=bsinB=csinC= 3 32=2，
利用等比性质，3a+b3sinA+sinB=csinC=2．
故答案为：2．
直接利用正弦定理和等比数列的性质求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理和等比数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
15.【答案】(−∞,−6)
【解析】解：f(x)定义域为R，f(−x)=3x−3−x+x=−f(x)，f(x)为R上奇函数，
y=3−x为R上的减函数，y=3x，y=x为R上的增函数，f(x)为R上的减函数，
由f(2a+3)+f(3−a)>0得：f(2a+3)>−f(3−a)=f(a−3)，
∴2a+3则实数a的取值范围是(−∞,−6)．
故答案为：(−∞,−6)．
利用单调性可得自变量的大小关系，即可解不等式得结果．
本题考查函数的性质，属于基础题．
16.【答案】43+2 33
【解析】解：∵GA+GB+GC=0，
∴G为△ABC的重心，且AB=1mAM,AC=1nAN，
∴AG=13AB+13AC=13mAM+13nAN，且M，G，N三点共线，
∴13m+13n=1，且m>0，n>0，
∴3m+n=(3m+n)⋅(13m+13n)=1+mn+n3m+13≥43+2 33，当且仅当mn=n3m，即n= 3m时取等号，
∴3m+n的最小值为：43+2 33．
故答案为：43+2 33．
根据题意知G为△ABC的重心，从而可得出AG=13mAM+13nAN，再根据M，G，N三点共线可得出13m+13n=1，然后根据基本不等式和“1的代换”即可求出3m+n的最小值．
本题考查了三角形重心的性质，三角形重心的定义，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，三点共线的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵复数z为纯虚数，
∴m2+m−2=02m2−m−3≠0，解得m=1或m=−2．
(2)设z=x+yi(x,y∈R)，则z⋅z−=x2+y2，
将其代入z⋅z−+3iz=16+12i，
可得x2+y2+3i(x+yi)=16+12i，
化简得，x2+y2−3y+3xi=16+12i，
则x2+y2−3y=163x=12，解得x=4，y=0或y=3，
∴z=4或z=4+3i，
∴m2+m−2=42m2−m−3=0或m2+m−2=42m2−m−3=3，
解得m=2．
【解析】(1)根据纯虚数的定义，列出方程组即可求解．
(2)根据共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，纯虚数，共轭复数的定义，复数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：(1)已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，且(3a+b)⋅(a−2b)=−16，
则3a2−5a⋅b−2b2=−16，
则3×22−5a⋅b−2×32=−16，
则a⋅b=2，
又∵(a−b)⊥(a+λb)，
∴(a−b)⋅(a+λb)=0，
∴a2+(λ−1)a⋅b−λb2=0，
∴7λ=2，
∴λ=27；
(2)由题意可得a⋅(2a−b)=2a2−a⋅b=8−2=6，
|2a−b|= 4a2−4a⋅b+b2= 16−8+9= 17，
则a与2a−b的夹角的余弦值为a⋅(2a−b)|a||2a−b|=62× 17=3 1717．
【解析】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算及平面向量夹角的运算，属中档题．
(1)由平面向量数量积的运算，结合(a−b)⊥(a+λb)，即(a−b)⋅(a+λb)=0求解即可；
(2)由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算及平面向量夹角的运算求解即可．
19.【答案】解：(1)因为(sinA+sinB)(a−b)=c(sinC− 3sinB)，
所以由正弦定理可得，(a+b)(a−b)=c(c− 3b)，
即b2+c2−a2= 3bc，所以csA=b2+c2−a22bc= 32，因为0(2)设∠ABD=θ(0<θ<π2)，则∠ABC=2θ，
所以cs2θ=2cs2θ−1=−17，解得csθ= 217，sinθ=2 77，
所以sin∠BDA=sin[π−(θ+π6)]=sin(θ+π6)=sinθcsπ6+csθsinπ6=3 2114，
由正弦定理，csin∠BDA=BDsinA，所以c=BDsin∠BDAsinA=7 73×3 211412=7 3．
【解析】(1)由正弦定理统一为边，再由余弦定理化简即可得解；
(2)由二倍角公式求出∠ABD的正余弦，再由两角和的正弦求出sin∠BDA，由正弦定理即可得解．
本题考查正余弦定理，考查两角和差公式，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)=a⋅b= 3cs2x+sinx(2csx− 3sinx)
= 3cs2x+2sinxcsx− 3sin2x
= 3cs2x+sin2x
=2sin(2x+π3)，
解π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ(k∈Z)，得π12+kπ≤x≤7π12+kπ(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间为：[π12+kπ,7π12+kπ],k∈Z；
(2)f(x−π6)=2sin2x，f(x2−π6)=2sinx，f(x2+π12)=2sin(x+π2)=2csx，
∴g(x)=4sinxcsx+2a(sinx−csx)，
设t=sinx−csx= 2sin(x−π4)，∵x∈[0,π]，∴x−π4∈[−π4,3π4]，∴t∈[−1, 2]，
∴2sinxcsx=1−t2，
∴y=2−2t2+2at=−2(t−a2)2+a22+2，
①a2≤−1，即a≤−2时，t=−1时，y取最大值6，即−2(−1−a2)2+a22+2=−2a=6，解得a=−3；
②−1③a2≥ 2，即a≥2 2时，t= 2时，y取最大值6，即2−4+2 2a=6，解得a=2 2，
综上得，a的值为−3或2 2．
【解析】(1)根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式得出f(x)=2sin(2x+π3)，然后解π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ(k∈Z)即可得出f(x)的减区间；
(2)根据f(x)的解析式可得出g(x)=4sinxcsx+2a(sinx−csx)，然后设t=sinx−csx= 2sin(x−π4)，根据x∈[0,π]即可求出t∈[−1, 2]，然后得出y=2−2t2+2at=−2(t−a2)2+a22+2，然后讨论a2和区间[−1, 2]的关系，根据g(x)的最大值为6即可求出a的值．
本题考查了二倍角的正余弦公式，两角和与差的正弦函数，配方求二次函数最值的方法，分类讨论的思想，正弦函数的最值，考查了计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题设f(x)=lg2(2x−1+14)，定义域为R，若f(x)=x，即lg2(2x−1+14)=lg22x，
所以2x−1+14=2x，可得x=−1，故−1是f(x)的不动点；
(2)令f(x)=lg2[a⋅4x−12−(a−1)2x−1+a2+14]=x，且x∈(0,+∞)，
所以a⋅4x−12−(a−1)2x−1+a2+14=2x，整理得a2⋅22x−(a+12)⋅2x+a2+14=0，
令t=2x−1>1问题化为a2⋅t2−(a+12)⋅t+a2+14=0，即方程在(1,+∞)上有两个不相等的根，且a>0，
若g(t)=a2⋅t2−(a+12)⋅t+a2+14开口向上且对称轴t=12+12a，
∴12+12a>1Δ=(a+1)24−a2−a2+14>0g(1)=a2−a+12+a2+14>0，解得12故正数a的取值范围为(12, 33).
【解析】(1)由题设f(x)=lg2(2x−1+14)，令f(x)=x结合对数的性质求解即可．
(2)由题设可得a2⋅22x−(a+12)⋅2x+a2+14=0，令t=2x−1>1问题化为a2⋅t2−(a+12)⋅t+a2+14=0，即方程在(1,+∞)上有两个根，根据对应二次函数性质列不等式组求参数范围．
本题考查函数与方程的应用，新定义函数的零点、三个“二次”的转化、利用构造新函数解决零点问题，属中档题．
22.【答案】解：(1)由题意可得BC= AB2+AC2=50 2，
设∠EAB=θ∈(0,π4)，则∠FAC=π4−θ，∠AFC=π2+θ，
在△EAB中，由余弦定理AE2=AB2+BE2−2AB⋅BE⋅cs∠ABE，
则AE2=502+(10 2)2−2×50×10 2× 22=1700，即AE=10 17，
由正弦定理可得BEsin∠EAB=AEsin∠ABE，
可得sin∠EAB=BE⋅sin∠ABEAE=10 2× 2210 17= 1717，
即sinθ= 1717，θ∈(0,π4)，可得csθ= 1−sin2θ=4 1717，
在△ACF中，sin∠FAC=sin(π4−θ)=sinπ4csθ−csπ4sinθ= 22×4 1717− 22× 1717=3 3434，
sin∠AFC=sin(π2+θ)=csθ=4 1717，由正弦定理CFsin∠FAC=ACsin∠AFC，
可得CF=AC⋅sin∠FAC sin∠AFC=50×3 34344 1717=75 24，
故EF=BC−BE−CF=50 2−10 2−75 24=85 24.故EF的值85 24；
(2)设∠EAB=θ∈(0,π4)，则∠AEB=3π4−θ，∠AFC=π2+θ，
由正弦定理ABsin∠AEB=AEsin∠ABE，
可得AE=AB⋅sin∠ABEsin∠AEB=50× 22sin(3π4−θ)=25 2sin(3π4−θ)，
在△ACF中，由正弦定理AFsin∠ACF=ACsin∠AFC，
可得AF=AC⋅sin∠ACFsin∠AFC=50× 22sin(π2+θ)=25 2csθ，
故△AEF的面积S△AEF=12AE⋅AFsin∠EAF=12×25 2sin(3π4−θ)×25 2csθ× 22=625 22( 22csθ+ 22sinθ)csθ=625sinθcsθ+cs2θ=1250sin2θ+cs2θ+1=1250 2sin(2θ+π4)+1，
∵θ∈(0,π4)，∴2θ+π4∈(π4,3π4)，∴ 22∴S△AEF=1250 2sin(2θ+π4)+1≥1250 2+1=1250( 2−1)，
当且仅当sin(2θ+π4)=1，即θ=π8时，等号成立，
故△AEF面积的最小值为1250( 2−1)．
【解析】本题考查正余弦定理，考查三角函数性质，属于难题．
(1)在△AEB中，利用余弦定理、正弦定理求得sinθ，在△ACF中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求CF，即可得结果；
(2)利用正弦定理用θ表示AE，AF，再结合条件得到S△AEF，最后根据三角函数的性质求最值即可．