2021-2022学年河南省豫南名校高一（下）联考数学试卷（5月份）（Word解析版）

2021-2022学年河南省豫南名校高一（下）联考数学试卷（5月份）

一、单选题（本大题共9小题，共45分）

1. 复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列结论正确的是(    )

A. 平行向量的方向都相同
B. 零向量与任意向量都不平行
C. 长度相等且共线的向量是相等向量
D. 平面内任一非零向量都可以用两个不共线的向量表示

3. 水平放置的长方形在直角坐标系中的位置如图所示．在用斜二测画法画出的直观图中，四边形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则

5. 在中，，，若有解，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与夹角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚处测得，沿土坡向坡顶前进后到达处，测得已知旗杆，，土坡对于地平面的坡度为，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在中，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共3小题，共15分）

10. 设复数满足，则(    )

A. 为纯虚数
B. 的共轭复数为
C. 复数在复平面内对应的点位于第一象限
D. 复数的模的最小值为

11. 在中，内角，，所对的分别为，，，下列结论错误的是(    )

A. 若，，，则为钝角三角形
B. 若，则是等腰三角形
C. 若：：：：，则中最小的内角为，且
D. 若，，，则

12. 如图，在棱长为的正四面体中，点，分别为和的重心，为线段上一点，则(    )

1. 的最小值为
   B. 若平面中，则
   C. 若平面，则三棱锥外接球的表面积为
   D. 若为线段的中点，且，则

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知某圆锥的母线长为，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积为______．
14. 已知复数满足，则______．
15. 在中，内角，，的对边分别为，，，，，的面积为，则的周长为______．
16. 飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动．某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成．在四边形中，，，，，点是八边形内不含边界一点，则的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知复数，且．
    求；
    若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
18. 已知向量，．
    若，求；
    若向量，，求与夹角的余弦值．
19. 如图，在平面四边形中，，，，，且．
    求的长度；
    求的面积．

20. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点．
    证明：平面；
    求点到平面的距离．

21. 在中，内角，，的对边分别为，，，且A.
    求；
    若，，为的中点，在上存在点，使得，求的值．
22. 如图，直角梯形中，，，，，，边上一点满足现在沿着将折起到位置，得到如图所示的四棱锥．
    
    证明：；
    若为棱的中点，试问线段上是否存在点，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则复数的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及虚部的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，平行向量的方向相同或相反，A错误；
对于，零向量与任意向量平行，B错误；
对于，长度相等且方向相同的向量是相等向量，C错误；
对于，平面内任一非零向量都可以用两个不共线的向量表示，D正确；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查向量的定义，注意向量平行的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意 画出直观图：

易得四边形是边长为的菱形，且，故四边形的周长为．
故选：．
根据题意，画出直观图，求周长即可．
本题考查直观图的画法，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于，即，，若和在一个平面内，并且相交，
则垂直于，所确定的平面，即与的夹角可以不等于，故A错误；
对于，若，，如图：

则与可平行，可相交，故B错误；
对于，若，，则与平行或相交，或，故C错误；
对，若，，则，又，则，故D正确；
故选：．
根据每项所提供的条件，思考可能的图像，或者推理，逐项分析．
本题考查了空间中线线，线面，面面的位置关系，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由正弦定理，
得，
，
的取值范围为，
故选：．
利用正弦定理得到，求解即可．
本题考查了三角形有解的问题，正弦定理的应用，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：在正方体中，
如图，设棱的中点为，连接，，，B.

因为，，所以，故为异面直线与所成的角．
设正方体的棱长为，则，，．
在等腰三角形中，．
故异面直线与夹角的余弦值为．
故选：．
设棱的中点为，连接，，，B.说明为异面直线与所成的角．然后转化求解即可．
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：已知单位向量，，满足，两边平方可得，所以，
将两边平方，可得，
将两边平方，可得，
所以，
所以．
故选：．
根据已知分别将，，两边平方，可求得，，，再利用夹角公式即可求解．
本题主要考查向量夹角的求法，考查模的运算，数量积的运算性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，，
由正弦定理得，
在中，，故，
因为，所以．
故选：．
先在中利用正弦定理求出，再在中求出，则可求．
本题考查解三角形的实际应用，考查数学建模的核心素养，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，，如图所示：

对于，，故A正确；
对于，，故B正确；
对于，，故C错误，D正确；
故选：．
根据平面向量的基本定理和向量加减运算的三角形法则，逐一计算即可．
本题考查平面向量的基本定理和向量加减运算的三角形法则，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，故A错误，
，
，故B正确，
复数在复平面内对应的点位于第一象限，故C正确，
，
故复数的模的最小值为，故D正确．
故选：．
根据已知条件，先求出，再结合纯虚数，共轭复数的定义，复数的几何意义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查纯虚数，共轭复数的定义，复数的几何意义，以及复数模公式，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，在中，最大的内角为，，
故为钝角三角形，A正确，
，因为，所以或，即或，
故是等腰三角形或直角三角形，B错误，
，设，，，中最小的内角为，
由余弦定理知，
因为，所以，故中最小的内角为，且，C正确．
，，因为，所以或，
又因为，所以则不符合题意，舍去，
故，D正确．
故选：．
利用余弦定理判断，利用二倍角公式判断，利用正弦定理判断．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角公式在解三角形中的应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：易得，，
又，则面，
又面，则，同理可得，
，则平面，
又，平面，
所以，，
则当点与点重合时，取得最小值，
又，则最小值为错误；

在正四面体中，因为平面，易得在上，所以，
又点，也是和的内心，则点为正四面体内切球的球心，
，设正四面体内切球的半径为，
因为，所以，
解得，即，故正确；

设三棱锥外接球的球心为，半径为，
易得球心在直线上，且，则，解得，
故三棱锥外接球的表面积为正确；
若为线段的中点，则，
设，则，
因为，
所以设，则解得故，D正确．
故选：．
选项由线面垂直证得，，进而由点与点重合时即可判断；选项利用内切球求得即可判断；选项找到球心，由勾股定理求得半径，即可判断；选项由空间向量的线性运算即可判断．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设该圆锥的母线长为，高为，底面圆的半径为．
由题意可得，解得．
，
则该圆锥的体积为．
故答案为：．
设该圆锥的母线长为，高为，底面圆的半径为，由圆锥侧面积公式列式求得，进一步求得，再由已知体积公式求解．
本题考查圆锥侧面积与体积的求法，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，
则，
所以解得
故，
故答案为：．
利用复数的运算性质以及模的求解公式建立方程即可求解．
本题考查了复数的运算性质以及模的公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：中，内角，，的对边分别为，，，，，的面积为，
，
，
的面积为，可得，
，可得，
，
故三角形的周长为：．
故答案为：．
线根据同角三角函数基本关系式求得，进而得到，再结合余弦定理求得，即可得到结论．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用问题，属于基础题目．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，延长至点，作，延长至点，作，过点作，垂足为，
又，
由题意可得：，，
则，
由向量的投影的运算可得：当点与点重合时，取最大值，此时；当点与点重合时，取最小值，此时，
故的取值范围是，
故答案为：．
由题意可知：，由结合向量的投影运算可得：当点与点重合时，取最大值；当点与点重合时，取最小值，然后求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了向量的投影的运算及数形结合的数学思想方法，属基础题．
 

17.【答案】解：，
因为，所以，解得，
故，；
，
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，
所以
解得，
故的取值范围为． 

【解析】利用复数的运算性质化简的关系式，再由复数是实数的定义建立方程即可求解；化简，然后根据点在第二象限的特征建立不等式组，由此即可求解．
本题考查了复数的运算性质以及复数的几何意义，涉及到求解复数模，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：向量，，
若，则，
即，解得，
所以，
所以，
所以．
根据题意，设与的夹角为，
向量，，，
则，
若，则有，解可得，
则，
则，；
，，
则，
即与夹角的余弦值为． 

【解析】由数量积公式可得，由向量的坐标运算可得关于的方程，求出的值，由此可得的坐标，进而计算可得答案；
根据题意，有，由向量平行的坐标表示可求得的值，由此求出以及和的值，由向量夹角计算公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量的坐标计算，属于中档题．
 

19.【答案】解：在中，由余弦定理可得：，
而，，，
解得；
因为，所以；
由正弦定理得，
即，解得，，
又因为，且，
，
而，
所以，
所以的面积为． 

【解析】由余弦定理直接求出的值；
由正弦定理可得，再由，可得，代入三角形的面积公式可得的面积．
本题考查正余弦定理及面积公式的应用，属于基础题．
 

20.【答案】证明：设棱的中点为，连接，G.
在中，，分别为边，的中点，所以，．
在直三棱柱中，，．
因为为棱的中点，所以，则，，
所以四边形是平行四边形，所以G.
因为平面，平面，所以平面C.
解：设棱的中点为，连接，，C.

，，，．
在中，，
则的面积．
三棱锥的体积．
设点到平面的距离为，三棱锥的体积，
解得故点到平面的距离为． 

【解析】利用线线平行证明线面平行；
利用等体积法求点到面的距离．
本题考查线面平行的证明，考查等体积法求点到面的距离，属中档题．
 

21.【答案】解：因为，
所以，
即．
由余弦定理可得，
故．
．
由题意可得是边长为的等边三角形，
则，，，．
在中，由正弦定理得，
解得． 

【解析】根据题意利用平方关系及正弦定理可得，再利用余弦定理即可求得；
根据题意可知是边长为的等边三角形，求出各边长，利用正弦定理即可求得的值．
本题考查利用正余弦定理解三角形以及平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】证明：在梯形中，连接，如下图所示：


，，，
，，，边上一点满足，则，，
，
且，四边形为菱形，
在四棱锥中，取的中点，连接、、，
，为的中点，，
同理可证，
又，
平面，
平面，
．

解：取线段的中点，连接，过点在平面内作交于点，
连接，下面证明出，
、分别为E、的中点，，
平面，平面，
平面，
，平面，平面，平面，
，平面平面，平面，
平面，，
过点在平面内作交于点，
，，
由余弦定理可得，
，
，则，
，则，
，，则，
，

，，

，，

且直线、相交，四边形为梯形，
为的中点，，则为的中点，，
在线段上存在点，使得，且． 

【解析】在梯形中，连接，证明出为菱形，在四棱锥中，取的中点，连接、、，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，，利用线面垂直的判定和性质定理可证得结论成立；
取线段的中点，连接，过点在平面内作交于点，证明出，过点在平面内作交于点，计算出的长，可计算出的长，分析出为的中点，即可求得的长．
本题主要考查直线与平面垂直的判定，综合性较强．