2022-2023学年河南省新高中创新联盟二十名校高一（下）调研数学试卷（3月份）（含解析）

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2022-2023学年河南省新高中创新联盟二十名校高一（下）调研数学试卷（3月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知向量，，且，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知集合，，若，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，，，且，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  一艘海轮从处出发，以每小时海里的速度沿南偏东的方向直线航行，小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是(    )

A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里

6.  在中，，点为边上靠近的三等分点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

8.  下列说法正确的是(    )

A. 若，且，则
B. 若，为复数，则
C. 设，是非零向量，若，则
D. 设，为复数，若，则

9.  在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则是等腰三角形
D. 若为锐角三角形，则

10.  在平行四边形中，是上的点，，是的中点，且，，，则下列说法正确的是(    )
 

A.  B.
C.  D.

11.  在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，且，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

12.  已知函数，则的单调增区间为        ．

13.  在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的值为        ．

14.  已知函数，若，则实数的取值范围是        ．

15.  在中，满足，过的直线与，分别交于，两点若，，则的最小值为        ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知向量，满足，，且．
若，求实数的值；
求与的夹角的余弦值．

17.  本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，是线段上的一点，，，求．

18.  本小题分
已知向量，，设函数．
求的单调递减区间；
若函数在区间上的最大值为，求实数的值．

19.  本小题分
对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点已知函数．
若，求的不动点；
若函数恰有两个不动点，，且，求正数的取值范围．

20.  本小题分
如图，某小区有一块空地，其中，，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上不与，重合，且在，之间，且．
若，求的值；
为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：向量，，且，
，解得，，
．
故选：．
由向量平行列方程，求出，从而，由此能求出．
本题考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：集合，
，
若，则，
可得，即的取值范围是．
故选：．
化简集合和，由集合的交集性质和集合的关系，可得所求取值范围．
本题考查不等式的解法和集合的运算、集合的关系，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，，


．
故选：．
利用两角和与差的余弦公式求解即可．
本题考查两角和与差的余弦公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：关于的不等式的解集为，
可得，，，
即有，，
则关于的不等式即，
即有，
解得或．
故选：．
由二次方程与二次不等式的关系，可得，，，再由二次不等式的解法，可得所求解集．
本题考查二次不等式的解法，以及二次方程的韦达定理，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意作出图形：，，则，
由图知：，则，又，
所以，则海里．
故选：．
由题意作出示意图，应用正弦定理求出，两点间的距离即可．
本题考查正弦定理的实际应用，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：已知，
则，
又点为边上靠近的三等分点，
则．
故选：．
由平面向量基本定理，结合平面向量的数量积的运算求解即可．
本题考查了平面向量基本定理，重点考查了平面向量的数量积的运算，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
即，
得，
整理得，
，
，
，
，
当且仅当，即，，时取等号，
，
则面积的最大值为．
故选：．
根据正弦定理，余弦定理进行化简，结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可．
本题主要考查三角形面积的计算，结合正弦定理余弦定理以及基本不等式进行转化求解是解决本题的关键，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对于选项A，若，且，则，即或，即选项A错误；
对于选项B，若，为复数，设，，则，即选项B正确；
对于选项C，设，是非零向量，若，则，则即选项C正确；
对于选项D，设，为复数，若，则不一定成立，例如，，满足，但，即选项D错误．
故选：．
由平面向量的数量积运算，结合平面向量的模的运算及复数模的运算逐一判断即可得解．
本题考查了平面向量的数量积运算，重点考查了平面向量的模的运算及复数模的运算，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于选项A，在中，大边对大角，若，则，
根据正弦定理可得，选项A正确，同理，选项B正确；
对于选项C，若，由正弦定理可得，
即，所以即或，即，
所以为等腰角三角形或直角三角形，选项C错误；
对于选项D，若为锐角三角形，则，，
又正弦函数在为单调增函数，，即，选项D正确．
故选：．
根据三角形的基本性质及正弦定理，正弦函数的单调性，逐项分析即可．
本题考查正弦定理，三角函数性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，设，
在平行四边形中，有，
而是上的点，，是的中点，则，，
则有，
则有，解可得，
则，A正确，B错误；
则，故，则C正确，D错误．
故选：．
根据题意，设，分析可得，，由向量的平行四边形法则可得，由此可得，可得关于、的方程组，解可得、的值，可得A正确，B错误；进而由数量积的计算公式求出，可得C正确，D错误，综合可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及平面向量基本定理，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由正弦边角关系知：，则，
所以，而，则，A正确；
由上知：，即，B错误，C正确；
由知：，则，
又，故，则，即，D正确．
故选：．
利用正弦边角关系可得，结合余弦定理及锐角三角形知、，判断、、正误；再由正弦边角关系，倍角公式判断正误．
本题考查正余弦定理，三角函数性质，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，则定义域为，
设，对称轴为，则时，
单调递增，又在上单调递增，
则是函数的单调增区间．
故答案为：
利用复合函数的单调性即可求，要注意求定义域．
本题考查复合函数的单调性，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：利用正弦定理可得：，
利用等比性质，．
故答案为：．
直接利用正弦定理和等比数列的性质求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理和等比数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
 

14.【答案】 

【解析】解：定义域为，，为上奇函数，
为上的减函数，，为上的增函数，为上的减函数，
由得：，
，．
则实数的取值范围是．
故答案为：．
利用单调性可得自变量的大小关系，即可解不等式得结果．
本题考查函数的性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
为的重心，且，
，且，，三点共线，
，且，，
，当且仅当，即时取等号，
的最小值为：．
故答案为：．
根据题意知为的重心，从而可得出，再根据，，三点共线可得出，然后根据基本不等式和“的代换”即可求出的最小值．
本题考查了三角形重心的性质，三角形重心的定义，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，三点共线的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
 

16.【答案】解：已知向量，满足，，且，
则，
则，
则，
又，
，
，
，
；
由题意可得，，
则与的夹角的余弦值为． 

【解析】由平面向量数量积的运算，结合，即求解即可；
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算及平面向量夹角的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算及平面向量夹角的运算，属中档题．
 

17.【答案】解：因为，
所以由正弦定理可得，，
即，所以，因为，所以；
设，则，
所以，解得，，
所以，
由正弦定理，，所以． 

【解析】由正弦定理统一为边，再由余弦定理化简即可得解；
由二倍角公式求出的正余弦，再由两角和的正弦求出，由正弦定理即可得解．
本题考查正余弦定理，考查两角和差公式，属于中档题．
 

18.【答案】解：


，
解，得，
的单调递减区间为：；
，，，
，
设，，，，
，
，
，即时，时，取最大值，即，解得；
，即时，时，取最大值，即，解得，不合题意，应舍去；
，即时，时，取最大值，即，解得，
综上得，的值为或． 

【解析】根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式得出，然后解即可得出的减区间；
根据的解析式可得出，然后设，根据即可求出，然后得出，然后讨论和区间的关系，根据的最大值为即可求出的值．
本题考查了二倍角的正余弦公式，两角和与差的正弦函数，配方求二次函数最值的方法，分类讨论的思想，正弦函数的最值，考查了计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题设，定义域为，若，即，
所以，可得，故是的不动点；
令，且，
所以，整理得，
令问题化为，即方程在上有两个不相等的根，且，
若开口向上且对称轴，
，解得，
故正数的取值范围为 

【解析】由题设，令结合对数的性质求解即可．
由题设可得，令问题化为，即方程在上有两个根，根据对应二次函数性质列不等式组求参数范围．
本题考查函数与方程的应用，新定义函数的零点、三个“二次”的转化、利用构造新函数解决零点问题，属中档题．
 

20.【答案】解：由题意可得，
设，则，，
在中，由余弦定理，
则，即，
由正弦定理可得，可得，
即，，可得，
在中，，
，由正弦定理，
可得，
故EF故的值；
设，则，，
由正弦定理，可得，
在中，由正弦定理，可得，
故的面积，
，，，
，当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最小值． 

【解析】在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求，即可得结果；
利用正弦定理用表示，，再结合条件得到，最后根据三角函数的性质求最值即可．
本题考查正余弦定理，考查三角函数性质，属于难题．