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【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题11 数列小题 （基础版）
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这是一份【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题11 数列小题 （基础版），文件包含专题11数列小题基础练原卷版docx、专题11数列小题基础练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】 专题11 数列小题基础练-新高考数学复习
分层训练（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据与的关系求解即可.
【详解】因为
所以，，
所以.
故选：A.
2．（2023·河北邯郸·统考一模）在等差数列中，“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据数列的性质求解.
【详解】当的公差时，由，得m是任意的正整数，
由，得，
则“”是“”的必要不充分条件．
故选:A.
3．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．B．-1C．1D．
【答案】C
【分析】利用等差中项，及等差数列前n项和的性质即可求解.
【详解】解：在等差数列中，，，故，
又，故，
则，故.
故选：C.
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）记为数列的前n项积，已知，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【分析】当时，有，当时，有，结合题目条件，即可求得本题答案.
【详解】1.当时，，，；
2.当时，有，代入，得，
化简得：，则，.
故选：D
5．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）公差不为0的等差数列的前项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则（ ）
A．81B．63C．41D．32
【答案】C
【分析】由条件求出数列的通项公式，再结合等比数列定义求.
【详解】因为，
所以，故，
设等差数列的公差为，则，
所以，
因为，，，，依次成等比数列，，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
6．（2023·河北石家庄·统考一模）已知数列为各项均为正数的等比数列，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出的值，可得出等比数列的通项公式，再利用对数的运算性质以及等差数列的求和公式可求得所求代数式的值.
【详解】设等比数列的公比为，则，，
整理可得，解得，所以，，
所以，.
故选：B.
7．（2023·福建漳州·统考三模）已知数列为递减的等比数列，，且，，则的公比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由等比数列下标和性质，结合数列单调性可求得，根据等比数列通项公式可求得结果.
【详解】为递减的等比数列，，解得：（舍）或，
的公比.
故选：A.
8．（2023·山东威海·统考一模）已知等比数列的前三项和为84，，则的公比为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】根据已知结合等比数列的通项与前项和列式联立得出答案.
【详解】由可设的公比为，
等比数列的前三项和为84，，
，解得，
故选：B.
9．（2023·山东济宁·统考一模）已知等差数列的前5项和，且满足，则等差数列{an}的公差为（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
【答案】D
【分析】根据题意得到，，解得答案.
【详解】；，解得，.
故选：D
10．（2023·山东济南·一模）已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ）
A．3B．6C．4或5D．6或7
【答案】C
【分析】先求出等比数列通项公式，进而得到，求出答案.
【详解】，
故，
因为，所以或5时，取得最大值.
故选：C
11．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知等比数列满足，且成等差数列，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可.
【详解】设的公比为q，则．
由成等差数列，得，即，
于是，故，从而．
故选：D
12．（2023·广东汕头·统考一模）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（ ）
（参考公式：）
A．1450B．1490C．1540D．1580
【答案】C
【分析】根据已知条件及合情推理中的归纳推理，利用参考公式及等差数列前项和公式即可求解.
【详解】因为“三角形数”可以写为
所以第层“三角形数”为，
所以层时，垛球的总个数为：
，
所以若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为
.
故选：C.
13．（2023·广东江门·统考一模）已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（ ）
A．9B．10C．17D．18
【答案】C
【分析】根据，可得异号，根据可知，且，所以，利用等差数列的前n项和公式即可得出结果.
【详解】解：因为，所以异号，
因为，所以，
又有，所以，即，
因为，，
所以的最大整数n为17.
故选：C
14．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）数列的前项和为，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】判断出数列是等比数列，进而判断出数列是等比数列，从而求得数列的前项和.
【详解】依题意，设数列的前项和为，即，
当时，，
当时，由得，
两式相减得，
也符合上式，所以，
，所以数列是等比数列，首项为，公比为.
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以数列的前项和为.
故选：D
15．（2023·广东惠州·统考模拟预测）等差数列中，，是方程的两个根，则的前2022项和为（ ）
A．1011B．2022C．4044D．8088
【答案】C
【分析】根据根与系数之间的关系，结合等差数列的性质以及前项和公式，求解即可.
【详解】因为，是方程的两个根，故可得，
又数列是等差数列，故，
故.
故选：.
16．（2023·广东佛山·统考一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．30B．10C．9D．6
【答案】B
【分析】根据等比中项可得，对根据等比数列的定义和通项公式可得，运算求解即可得答案.
【详解】为正数的等比数列，则，可得，
∵，
∴，
又∵，则，可得，
∴，解得，
故.
故选：B.
17．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）在等差数列中，若，，则（ ）
A．16B．18C．20D．22
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式得到关于的方程组，解之即可得解.
【详解】因为是等差数列，设其公差为，
所以，解得，
所以.
故选：B．
二、多选题
18．（2023·浙江温州·统考二模）是等比数列的前项和，若存在，使得，则（ ）
A．B．是数列的公比
C．D．可能为常数列
【答案】ABC
【分析】设等比数列的公比为，当时，，结合题意可判断D选项；当时，结合等比数列的前项和公式可得，结合题意可得，进而判断A、B、C选项.
【详解】设等比数列的公比为.
当，显然是一次函数性质不是指数函数形式，故不满足，所以D错；
当，
所以，
即，，所以ABC对．
故选：ABC.
19．（2023·福建泉州·校考模拟预测）已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由，根据等比数列的通项公式的计算，求得，进而求得通项公式和的值，再由，，结合选项，即可求解.
【详解】因为，可得，即，解得或，
又由正项的等比数列，可得，所以，所以A正确；
数列的通项公式为，所以B正确；
则，所以C不正确；
由，则，，所以，所以D正确.
故选：ABD.
20．（2023·福建·统考一模）记正项等比数列的前n项和为，则下列数列为等比数列的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据等比数列的定义和前n项公式和逐项分析判断.
【详解】由题意可得：等比数列的首项，公比，即，
对A：，且，即为等比数列，A正确；
对B：，且，即为等比数列，B正确；
∵，则有：
对C：，均不为定值，即不是等比数列，C错误；
对D：，均不为定值，即不是等比数列，D错误；
故选：AB.
21．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）设是数列的前n项和，且，，则（ ）
A．
B．数列是公差为的等差数列
C．数列的前5项和最大
D．
【答案】AC
【分析】令可得即可求判断A，利用的关系可得即可判断B,C，取求得即可判断D.
【详解】，
，或(舍)，故选项A正确；
又，，，
数列是公差为的等差数列，故选项B错误；
由得，
，数列的前5项和最大，故选项C正确；
当时，，这与矛盾，
故选项D错误，
故选:AC.
22．（2023·山东枣庄·统考二模）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（ ）
A．
B．当戓6时，取得最小值为30
C．数列的前10项和为50
D．当时，与数列共有671项互为相反数．
【答案】AC
【分析】根据等差数列基本量求出通项公式及，即可判断A、B；判断通项大于零时的取值，将的前10项和列出，利用和之间的关系及的公式代入即可判断C；分析中的负项的性质及大小，进而判断中项的性质及大小，计算项数即可.
【详解】解：因为等差数列，且，公差，
所以，
，
所以，，
所以选项A正确；
因为，
根据二次函数的对称性及开口向下可知：
取得最大值为，故选项B错误；
记的前10项和为，
因为，当时，解得，
当时，解得，
所以
，
因为，所以，
所以，故选项C正确；
记，因为，，
所以，所以当时，，
由，，可知为偶数，
若与互为相反数，则，且为偶数，
由，所以为偶数，即为偶数，即为偶数，
即，即，且为偶数，所以，且为偶数，
故这样的有670个，故选项D错误.
故选：AC
23．（2023·湖南株洲·统考一模）已知各项均为正数的等差数列，且，则（ ）
A．B．
C．数列是等差数列D．数列是等比数列
【答案】AC
【分析】根据等差数列性质可以判断A正确；利用等差数列通项公式可以判断B错误；根据等差数列的概念可判断C，根据特例可判断D.
【详解】设等差数列的公差为，
对A，因为是等差数列，且，
则由等差数列性质可得，故A正确；
对B，，
则，故B错误；
对C，因为，则数列是等差数列，故C正确；
对D，如数列为，显然数列不是等比数列，故D错误;
故选：AC.
三、填空题
24．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知正项等差数列满足，且是与的等比中项，则的前项和___________.
【答案】
【分析】根据等差数列的通项公式与，求出的关系，根据是与的等比中项，求出的值.再根据等差数列的前项和公式求
【详解】设等差数列的公差为， ，
所以
又因为即
可得，又由即
即即且正项等差数列，即
解得，所以
故答案为：
25．（2023·江苏泰州·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{}的通项公式＝___．
①；②
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题目所给条件以及等比数列的知识求得正确答案.
【详解】依题意，是等比数列，设其公比为，
由于①，所以，
由于②，所以，
所以符合题意.
故答案为：（答案不唯一）
26．（2023·辽宁·校联考模拟预测）若数列是等比数列且，，，则______.
【答案】
【分析】求出等比数列的公比后，得的通项公式，再用累加法可求出结果.
【详解】设等比数列的公比为q，则，
则，
当时，
.
因为也适合上式，所以.
故答案为：.
27．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，，则的值是__________．
【答案】##
【分析】根据等差数列前n项和公式和等差数列的性质即可求解．
【详解】依题意有，
又，所以．
故答案为：．
28．（2023·山东潍坊·统考一模）设等差数列的前项和为，若，则__________.
【答案】26
【分析】根据已知结合等差数列的性质可得，进而即可得出.
【详解】由已知，所以.
则.
故答案为：.
29．（2023·湖南·模拟预测）已知的非零数列前n项和为，若，则的值为____________.
【答案】65
【分析】根据的关系可得，进而根据等差数列的求和公式以及分组求和即可求解.
【详解】由得：，
故两式相减得，
由于为非零数列，故，所以的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，且等差均为2，
所以，
故答案为：65
30．（2023·广东湛江·统考一模）已知为等差数列的前项和，若，则______．
【答案】
【分析】根据题意得，，再由等差数列前项和公式解决即可.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，，
所以，
所以．
故答案为：
1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】 专题11 数列小题基础练-新高考数学复习
分层训练（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据与的关系求解即可.
【详解】因为
所以，，
所以.
故选：A.
2．（2023·河北邯郸·统考一模）在等差数列中，“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据数列的性质求解.
【详解】当的公差时，由，得m是任意的正整数，
由，得，
则“”是“”的必要不充分条件．
故选:A.
3．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．B．-1C．1D．
【答案】C
【分析】利用等差中项，及等差数列前n项和的性质即可求解.
【详解】解：在等差数列中，，，故，
又，故，
则，故.
故选：C.
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）记为数列的前n项积，已知，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【分析】当时，有，当时，有，结合题目条件，即可求得本题答案.
【详解】1.当时，，，；
2.当时，有，代入，得，
化简得：，则，.
故选：D
5．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）公差不为0的等差数列的前项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则（ ）
A．81B．63C．41D．32
【答案】C
【分析】由条件求出数列的通项公式，再结合等比数列定义求.
【详解】因为，
所以，故，
设等差数列的公差为，则，
所以，
因为，，，，依次成等比数列，，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
6．（2023·河北石家庄·统考一模）已知数列为各项均为正数的等比数列，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出的值，可得出等比数列的通项公式，再利用对数的运算性质以及等差数列的求和公式可求得所求代数式的值.
【详解】设等比数列的公比为，则，，
整理可得，解得，所以，，
所以，.
故选：B.
7．（2023·福建漳州·统考三模）已知数列为递减的等比数列，，且，，则的公比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由等比数列下标和性质，结合数列单调性可求得，根据等比数列通项公式可求得结果.
【详解】为递减的等比数列，，解得：（舍）或，
的公比.
故选：A.
8．（2023·山东威海·统考一模）已知等比数列的前三项和为84，，则的公比为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】根据已知结合等比数列的通项与前项和列式联立得出答案.
【详解】由可设的公比为，
等比数列的前三项和为84，，
，解得，
故选：B.
9．（2023·山东济宁·统考一模）已知等差数列的前5项和，且满足，则等差数列{an}的公差为（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
【答案】D
【分析】根据题意得到，，解得答案.
【详解】；，解得，.
故选：D
10．（2023·山东济南·一模）已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ）
A．3B．6C．4或5D．6或7
【答案】C
【分析】先求出等比数列通项公式，进而得到，求出答案.
【详解】，
故，
因为，所以或5时，取得最大值.
故选：C
11．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知等比数列满足，且成等差数列，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可.
【详解】设的公比为q，则．
由成等差数列，得，即，
于是，故，从而．
故选：D
12．（2023·广东汕头·统考一模）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（ ）
（参考公式：）
A．1450B．1490C．1540D．1580
【答案】C
【分析】根据已知条件及合情推理中的归纳推理，利用参考公式及等差数列前项和公式即可求解.
【详解】因为“三角形数”可以写为
所以第层“三角形数”为，
所以层时，垛球的总个数为：
，
所以若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为
.
故选：C.
13．（2023·广东江门·统考一模）已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（ ）
A．9B．10C．17D．18
【答案】C
【分析】根据，可得异号，根据可知，且，所以，利用等差数列的前n项和公式即可得出结果.
【详解】解：因为，所以异号，
因为，所以，
又有，所以，即，
因为，，
所以的最大整数n为17.
故选：C
14．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）数列的前项和为，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】判断出数列是等比数列，进而判断出数列是等比数列，从而求得数列的前项和.
【详解】依题意，设数列的前项和为，即，
当时，，
当时，由得，
两式相减得，
也符合上式，所以，
，所以数列是等比数列，首项为，公比为.
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以数列的前项和为.
故选：D
15．（2023·广东惠州·统考模拟预测）等差数列中，，是方程的两个根，则的前2022项和为（ ）
A．1011B．2022C．4044D．8088
【答案】C
【分析】根据根与系数之间的关系，结合等差数列的性质以及前项和公式，求解即可.
【详解】因为，是方程的两个根，故可得，
又数列是等差数列，故，
故.
故选：.
16．（2023·广东佛山·统考一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．30B．10C．9D．6
【答案】B
【分析】根据等比中项可得，对根据等比数列的定义和通项公式可得，运算求解即可得答案.
【详解】为正数的等比数列，则，可得，
∵，
∴，
又∵，则，可得，
∴，解得，
故.
故选：B.
17．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）在等差数列中，若，，则（ ）
A．16B．18C．20D．22
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式得到关于的方程组，解之即可得解.
【详解】因为是等差数列，设其公差为，
所以，解得，
所以.
故选：B．
二、多选题
18．（2023·浙江温州·统考二模）是等比数列的前项和，若存在，使得，则（ ）
A．B．是数列的公比
C．D．可能为常数列
【答案】ABC
【分析】设等比数列的公比为，当时，，结合题意可判断D选项；当时，结合等比数列的前项和公式可得，结合题意可得，进而判断A、B、C选项.
【详解】设等比数列的公比为.
当，显然是一次函数性质不是指数函数形式，故不满足，所以D错；
当，
所以，
即，，所以ABC对．
故选：ABC.
19．（2023·福建泉州·校考模拟预测）已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由，根据等比数列的通项公式的计算，求得，进而求得通项公式和的值，再由，，结合选项，即可求解.
【详解】因为，可得，即，解得或，
又由正项的等比数列，可得，所以，所以A正确；
数列的通项公式为，所以B正确；
则，所以C不正确；
由，则，，所以，所以D正确.
故选：ABD.
20．（2023·福建·统考一模）记正项等比数列的前n项和为，则下列数列为等比数列的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据等比数列的定义和前n项公式和逐项分析判断.
【详解】由题意可得：等比数列的首项，公比，即，
对A：，且，即为等比数列，A正确；
对B：，且，即为等比数列，B正确；
∵，则有：
对C：，均不为定值，即不是等比数列，C错误；
对D：，均不为定值，即不是等比数列，D错误；
故选：AB.
21．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）设是数列的前n项和，且，，则（ ）
A．
B．数列是公差为的等差数列
C．数列的前5项和最大
D．
【答案】AC
【分析】令可得即可求判断A，利用的关系可得即可判断B,C，取求得即可判断D.
【详解】，
，或(舍)，故选项A正确；
又，，，
数列是公差为的等差数列，故选项B错误；
由得，
，数列的前5项和最大，故选项C正确；
当时，，这与矛盾，
故选项D错误，
故选:AC.
22．（2023·山东枣庄·统考二模）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（ ）
A．
B．当戓6时，取得最小值为30
C．数列的前10项和为50
D．当时，与数列共有671项互为相反数．
【答案】AC
【分析】根据等差数列基本量求出通项公式及，即可判断A、B；判断通项大于零时的取值，将的前10项和列出，利用和之间的关系及的公式代入即可判断C；分析中的负项的性质及大小，进而判断中项的性质及大小，计算项数即可.
【详解】解：因为等差数列，且，公差，
所以，
，
所以，，
所以选项A正确；
因为，
根据二次函数的对称性及开口向下可知：
取得最大值为，故选项B错误；
记的前10项和为，
因为，当时，解得，
当时，解得，
所以
，
因为，所以，
所以，故选项C正确；
记，因为，，
所以，所以当时，，
由，，可知为偶数，
若与互为相反数，则，且为偶数，
由，所以为偶数，即为偶数，即为偶数，
即，即，且为偶数，所以，且为偶数，
故这样的有670个，故选项D错误.
故选：AC
23．（2023·湖南株洲·统考一模）已知各项均为正数的等差数列，且，则（ ）
A．B．
C．数列是等差数列D．数列是等比数列
【答案】AC
【分析】根据等差数列性质可以判断A正确；利用等差数列通项公式可以判断B错误；根据等差数列的概念可判断C，根据特例可判断D.
【详解】设等差数列的公差为，
对A，因为是等差数列，且，
则由等差数列性质可得，故A正确；
对B，，
则，故B错误；
对C，因为，则数列是等差数列，故C正确；
对D，如数列为，显然数列不是等比数列，故D错误;
故选：AC.
三、填空题
24．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知正项等差数列满足，且是与的等比中项，则的前项和___________.
【答案】
【分析】根据等差数列的通项公式与，求出的关系，根据是与的等比中项，求出的值.再根据等差数列的前项和公式求
【详解】设等差数列的公差为， ，
所以
又因为即
可得，又由即
即即且正项等差数列，即
解得，所以
故答案为：
25．（2023·江苏泰州·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{}的通项公式＝___．
①；②
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题目所给条件以及等比数列的知识求得正确答案.
【详解】依题意，是等比数列，设其公比为，
由于①，所以，
由于②，所以，
所以符合题意.
故答案为：（答案不唯一）
26．（2023·辽宁·校联考模拟预测）若数列是等比数列且，，，则______.
【答案】
【分析】求出等比数列的公比后，得的通项公式，再用累加法可求出结果.
【详解】设等比数列的公比为q，则，
则，
当时，
.
因为也适合上式，所以.
故答案为：.
27．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，，则的值是__________．
【答案】##
【分析】根据等差数列前n项和公式和等差数列的性质即可求解．
【详解】依题意有，
又，所以．
故答案为：．
28．（2023·山东潍坊·统考一模）设等差数列的前项和为，若，则__________.
【答案】26
【分析】根据已知结合等差数列的性质可得，进而即可得出.
【详解】由已知，所以.
则.
故答案为：.
29．（2023·湖南·模拟预测）已知的非零数列前n项和为，若，则的值为____________.
【答案】65
【分析】根据的关系可得，进而根据等差数列的求和公式以及分组求和即可求解.
【详解】由得：，
故两式相减得，
由于为非零数列，故，所以的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，且等差均为2，
所以，
故答案为：65
30．（2023·广东湛江·统考一模）已知为等差数列的前项和，若，则______．
【答案】
【分析】根据题意得，，再由等差数列前项和公式解决即可.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，，
所以，
所以．
故答案为：
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