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【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题01 数列大题 （压轴练）
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这是一份【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题01 数列大题 （压轴练），文件包含专题01数列大题压轴练原卷版docx、专题01数列大题压轴练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】 专题01 数列大题压轴练-新高考数学复习
分层训练（新高考通用）
1．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）记为数列的前n项和，为数列的前n项和，已知．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由前n项和与通项之间的关系即可证明数列是等比数列；
（2）以错位相减法求数列的前n项和即可解决．
【详解】（1）因为为数列的前n项和，
当时，，则
当时，
① ②，
①－②得，得
所以数列是首项为1公比为的等比数列．
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以．当时，，
当时，，
显然对于不成立，所以
当时，
当时，
上下相减可得
则
又时，
综上，
2．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知数列中，，，且．
(1)设，试用表示，并求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据提示将条件进行转化即可；
（2）根据两角差的正弦公式可将化为裂项式求和.
【详解】（1），，
所以，所以，
所以，.
（2），
所以
.
3．（2023·湖南株洲·统考一模）数列满足，.
(1)若，求证：是等比数列.
(2)若，的前项和为，求满足的最大整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)98
【分析】（1）由已知得，可得，进而得证；
（2）利用错位相减结合分组求和可得，结合二项式定理进行放缩，进而得解.
【详解】（1），，，
由已知可得，
，
，
，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）得，
所以，
设，数列的前项和为，
则①，
②，
①②得，
所以，
所以，
当时，，
当时，，
当时，，
即，
所以，
所以，，
所以满足的最大整数为
4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列满足，，，为数列前项和.
(1)若，，求的通项公式；
(2)若，设为前n项平方和，证明：恒成立.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）代入，将条件化为，从而得到是常数列，进而得到是等差数列，由此利用等差数列的前项和公式即可得解；
（2）利用数学归纳法推得要证结论，需证，再次利用数学归纳法证得其成立，从而结论得证.
【详解】（1）因为，，
所以，则，
又，
所以是首项为的常数列，则，
所以是首项为，公差为的等差数列，则，
所以.
（2）因为，所以，
又，，所以，，则，
因为，
所以当时，，所以；
假设当时，有，
则当时，，
因为，
所以要证，需证，
即证，
当时，，，则，
假设当时，有，
则当时，，
因为，所以，
所以，
综上：成立，
所以成立，
综上：恒成立.
5．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列满足，且．
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)20
【分析】（1）由已知条件，用表示出，得出，再用表示出，得出，联立得出，通过构造得出，检验，即可得出证得结论；
（2）由（1）的结论表示出，和，证出在是一个增数列，通过计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
，，，
,
又，
，
,
，
，
又，
，
,
,即，
，
又，
，
，
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
，
即，
，
，
，
又，
，
即,
，
，
，
在是一个增数列，
，
，
∴满足题意的n的最小值是20．
6．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．
(1)求出，的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件可得数列是等比数列，求出其通项公式，再利用累加法求出数列的通项公式；先求出，再求出当时，数列满足的等式，即可求出数列的通项公式；
（2）写出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和，即可求证．
（1）
由，
得．又，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
∴，，…，，
累加得，
∴．
数列满足，①
当时，；
当时，，②
由①－②可得，
当时，也符合上式，
故数列的通项公式为．
（2）
由（1）可得，
则
，
故成立．
7．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列的前项和满足，，．
(1)求的通项公式；
(2)数列，，满足，，且，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用与的关系得到，然后得到，两式求差，得到，这样判断数列为等差数列，然后计算，得到首项和公差，写出的通项公式；（2）利用的通项公式求出的通项公式，然后利用的关系，运用累加法求出的通项公式，然后利用的通项公式求出的通项，再利用裂项相消求出.
【详解】（1）由题意知，，
两式相减得，， 故，，
两式相减得，
即，可知数列为等差数列，
又，则，解得，
又因为，所以，等差数列的公差，故．
（2）由题易知，又因为，
所以，
由累乘法可得：，，，，
所以，，因为，所以，，
当时，也符合，所以，，则，
．
8．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，求证：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题可得，后由可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，，后由数学归纳法可证明结论.
【详解】（1）由题，时，有，则
，
则.
注意到，则.
（2）由（1）可得，则
当时，.
故所证结论相当于，，.
当时，结论显然成立；
假设时，结论成立，则，
当时，因，，则.
综上，结论成立.
9．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为的数列，若满足：，且对任意，与中至少有一个是中的项，则称具有性质．
(1)如果数列，，，具有性质，求证：，；
(2)如果数列具有性质，且项数为大于等于5的奇数，试判断是否为等比数列？并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)为等比数列，理由见解析
【分析】（1）根据性质的定义，易得，是数列中的项，再根据，可得，即可得证；
（2）根据性质的定义，易得，是数列中的项，从而可得，同理有，进而可得，即可得出结论．
【详解】（1）因为，，所以不是数列中的项，
所以一定是数列中的项，所以，
又因为，，
所以，不是数列中的项，所以是数列中的项，
因为，所以，
所以，所以；
（2）当数列的项数时，
因为，，所以不是数列中的项，
所以一定是数列中的项，所以，
因为对于满足的正整数，都有，
所以不是数列中的项，
从而是数列中的项，
又，
所以，
从而有，
所以，
从而有，
因为对于满足的正整数，均有，
所以，
又，
所以，
从而有，
所以，
从而有，
从而有，
所以对于项数为大于等于5的奇数且具有性质的数列，是以1为首项，为公比的等比数列．
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
10．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）记数列的前项和为，，______.给出下列两个条件：条件①：数列和数列均为等比数列；条件②：.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
(1)求数列的通项公式；
(2)记正项数列的前项和为，，，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择条件①：先由为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等比数列的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案；
选择条件②：先由得出，两式做减即可得出，再验证时即可利用等比数列通项公式得出答案；
（2）通过得出，两式相减结合已知即可得出，即数列的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，将转化即可得出答案.
【详解】（1）选条件①：
数列为等比数列，
，
即，
，且设等比数列的公比为，
，
解得或（舍），
，
选条件②：
，
，
即，
由①②两式相减得：，
即，
令中得出也符合上式，
故数列为首项，公比的等比数列，
则，
（2）由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列为首项，公比的等比数列，即，
则，，
，
，
由③④两式相减得：，
即，
数列为正项数列，
则，
则数列的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，
，
即，
数列前2n项中的全部偶数项之和为：，
则.
11．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知数列满足，.
(1)若且.
（ⅰ）当成等差数列时，求k的值；
（ⅱ）当且，时，求及的通项公式.
(2)若，，，.设是的前n项之和，求的最大值.
【答案】(1)（ⅰ），（ⅰⅰ），；
(2).
【分析】（1）根据等差数列的定义以及等差中项的性质即可求的值；由题可得是首项为，公比为2的等比数列，进而可得数列的通项，再利用累乘法即可求的通项公式；
（2）利用分组求和可得，结合，，求出利用基本不等式求最大值，即可求出的最大值.
（1）
（ⅰ）因为成等差数列，
所以，
所以，又
所以；
（ⅱ）因为，
所以，，
所以，所以，
因为，又由，
所以是首项为，公比为2的等比数列，
所以，
所以，
∴所以；
（2）
由可得，
所以，
因为，所以，即，
因为，，，
所以即，
，
因为，，
所以，因为，所以，
所以，可得，
所以，
令，设，
，对称轴为，是开口向上的抛物线，在单调递增，
所以时取得最大值，
故最大值为，
所以最大值为.
【点睛】方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
12．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列的前n项和（），数列满足．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设数列满足（为非零整数，），问是否存在整数，使得对任意，都有．
【答案】(1)证明见解析，
(2)存在整数，使得对任意，都有
【分析】（1）根据求出，结合得到，从而得到是首项和公差均为1的等差数列，求出通项公式，得到；
（2）求出，，解出，分与两种情况，结合数列的单调性求出，结合为非零整数，求出.
【详解】（1）证明：在中，
令，得，解得：，
当时，，
∴，
∴，即．
，
∴，即当时，，
又，
∴数列是首项和公差均为1的等差数列．
于是，
∴；
（2）由，
得，
∴，
，①
当，，2，3，时，①式即为，②
依题意，②式对，2，都成立，
∵单调递增，
∴即可，
当，，2，3，时，①式即为③，
依题意，③式对，2，都成立，
∵单调递减，
即可，
，又，
存在整数，使得对任意，都有．
13．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知为数列的前n项和，，; 是等比数列，，，公比．
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列和的所有项分别构成集合A，B，将的元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求．
【答案】(1)，
(2)660
【分析】（1）将移项作差可得是等差数列，结合可求出数列的通项公式，将代入等式计算，即可求出数列的通项公式；
（2）由可判断前20项中最多含有三项，排除可确定前20项中的项数和的项数，进而可求出前20项和.
【详解】（1）由，可得，又，即，
∴，故．
∵是等比数列，由，，，
∴，，解得，，即．
（2）由（1）知：，令，则，
所以 ，，在新数列的前20项，
因为与为公共项，所以前20项中有18项数列中的项以及，.
.
14．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列满足，当时，，的前项和为.
(1)求数列的通项公式及；
(2)数列是等比数列，为数列的公比，且，记，证明：
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据累加法可得的通项公式，再利用公式求即可；
（2）利用数列恒正可得左边，右边利用适当的放缩法即可得出结果.
【详解】（1）当时，累加可得且当时，符合，.
由等差数列前项和的公式可得：
（2）由（1）得，
对于左边，，又，
对于右边，,
.
综上：成立.
15．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且，，数列满足，其中.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由可得，两式作差即可得数列的递推关系，即可求通项，最后验证是否符合即可；数列利用累乘法即可求，最后验证是否符合即可；
（2）由题，由等差数列的性质得，即可求出的通项公式，最后利用错位相减法求即可
【详解】（1）由可得，
两式相减可得，故数列从第3项开始是以首项为，公比的等比数列.
又由已知，令，得，即，得，故；
又也满足上式，则数列的通项公式为；
由，得：，
以上个式子相乘，可得，，
又满足上式，所以的通项公式
（2）若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
则，即为，
整理得，所以，
，
两式相减得：，
所
16．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列的前项和为，数列满足，且
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)对于，试比较与的大小.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由数列的前项和为，利用，能求出；
（2）由，两边取倒数得，从而得到是以首项为，公比为2的等比数列，由此能求出 ；
（3）将问题转化为证明成立，利用数学归纳法、二项式定理或函数的知识证明即可.
【详解】（1）当时，；
当时，，
经检验，时，也符合上式，
所以数列的通项公式为；
（2）易知，两边取倒数得，整理得，
是以首项为，公比为2的等比数列，
；
（3）由（1）（2）问可知，欲比较与的大小，
即比较与的大小.
当时，，有；
当时，，有；
当时，，有，
猜想，下面证明:
方法一：当时，
，
所以对于任意的都成立，所以.
方法二：令，则
令则，
当时，即在单调递增，
在单调递增，
所以，所以，即，
所以对于任意的都成立，所以.
方法三：下面用数学归纳法证明①当时，显然成立；
当时，显然成立；
②假设时（，猜想成立，即成立，
那么当时，
，
因为，
对任意的且上式都大于0，
所以有，
综上所述，对于任意的都成立，所以.
17．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，从而利用与的关系推得，再利用构造法证得是等比数列，由此可得；
（2）利用裂项相消法求得，从而得证.
【详解】（1）因为，所以，
又因为是公差为2的等差数列，
所以，则，
当时，，
整理得，则，
又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，则.
（2）由（1）得，，
所以，
因为，所以，故.
18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列满足，.数列满足各项均不为0，，其前n项的乘积.
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的通项公式；
(3)记数列的前项的和，求使得不等式成立的正整数m的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)16
【分析】（1）根据题意整理可得，结合等差数列的定义和通项公式分析运算；（2）根据题意整理可得，，利用构造法结合等比数列分析运算，注意对时的分析处理；（3）利用并项求和求，结合等比数列求和运算求解.
【详解】（1）∵，则，
∴成首项为，公差为1的等差数列，则，
故.
（2）∵，
当时，则可得：，即，
当时，则可得：，
则，即，
则，即，
∴，
又∵，
显然当时不满足上式，
故当时，是以公比为2的等比数列，
∴，则，
综上所述：.
（3）∵，
∴，
又∵，
由题意可得：，
∵在上单调递增，，且，
∴，且，
故正整数m的最小值为16.
19．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列满足，，．
(1)证明：数列为等比数列，求的通项公式．
(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可；
（2）根据等比数列的前项公式可得，参变分离可得，再根据的单调性求解最大值即可.
【详解】（1）由可得，且，
故是以2为首项，3为公比的等比数列，故，
所以，又，
故，即.
（2）由（1）为等比数列，故，
故即恒成立，求的最大值即可.
设，则，
令有，故当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.
又，故为的最大值，为，
所以，.
20．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列的前项和为，且.数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求.
【答案】(1)，.
(2)
【分析】（1）由等差数列通项公式和前项和公式列方程组即可求得首项和公差；由与的关系即可求得的通项公式.
（2）由错位相减法和分组求和法即可求解.
【详解】（1）因为为等差数列，且，
所以解得
.
又因为， 得，
当时，，
当时，，不符合.
所以.
（2）
=
=
=
=
令①
则②
①-②得：
.
所以.
综上，.
21．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知数列，，…，，…满足，（），数列A的前n项和记为．
(1)写出的最大值和最小值；
(2)是否存在数列A，使得？如果存在，写出此时的值；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)的最大值为3，最小值为-1
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用与递推公式求出的可能值，从而求出的可能值，得到最大值与最小值；
（2）两边平方后，根据推出，从而求出，结合为整数，方程无解，故不存在数列A，使得.
【详解】（1）因为，（），
所以，解得或-1，
取，则，解得或-2，
取，则，解得：，
所以或或
故最大值为3，最小值为；
（2）因为，（），
所以为整数，两边平方得：，
故
，
所以，
若存在数列A，使得，则，
又为整数，所以方程无解，
故不存在数列A，使得.
22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且.
(1)若，求的值；
(2)若，，求证：数列是等差数列，并求其前项和.
【答案】(1)1
(2)证明过程见解析，前项和为
【分析】（1）令得到，结合得到，利用求出；
（2）得到，累乘法得到，当时，，相减后得到，得到数列为等差数列，首项为，公差为，数列为等差数列，首项为，公差为，利用，求出，写出和的通项公式，合并得到，利用定义法证明出数列是等差数列，并求出其前项和.
【详解】（1）中令得：，
因为数列的各项均为非零实数，所以，
因为，所以，即，解得：；
（2），即，
所以，，，……，，以上式子相乘得：
，
因为数列的各项均为非零实数，且，所以，
即，当时，，
所以，
因为，所以，
所以，，
故数列为等差数列，首项为，公差为，
数列为等差数列，首项为，公差为，
，所以，
所以，
，
故，所以，所以数列是等差数列，
其前项和.
【点睛】当遇到时，数列往往要分奇数项和偶数项，分别求出通项公式，最后再检验能不能合并为一个，这类题目的处理思路可分别令和，用累加法进行求解.
23．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知两式化简，分别求得和.
（2）由（1）利用求和公式可得，再利用数学归纳法即可得证.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，
所以，.
（2）由（1）知，，，
则，
，
当时，，，故；
当时，，，故；
假设当时，，
所以当时，，
因为，所以，
故，则，即，
所以，则，
综上：.
24．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列各项都不为0，，，的前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）利用与的关系，得到，再利用隔项等差数列的性质，分别求出为奇数与为偶数时的通项，进而可得答案.
（2）利用倒序相加，求得，整理得，进而利用裂项求和法，得到
【详解】（1）时，，，两式相减，可得，由题意得，可得，则有
当为奇数时，为等差数列，，
当为偶数时，为等差数列，，
（2），
，利用倒序相加，可得
，
解得，
，
25．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列中，其前项和记为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设无穷数列，，…，…对任意自然数和，不等式均成立，证明：数列是等差数列．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）在原数列递推式中取得另一递推式，作差后可得（），然后利用累积法求得数列的通项公式；
（2）由（1）求出列的通项公式，代入不等式，利用反证法，结合绝对值的不等式及放缩法可得数列是等差数列．
【详解】（1）由得：（）．
两式作差得，整理得：（）．
，，，…，（）．
将上式累乘得：．
，则（），当时上式成立，
.
（2）由（1）知，，则（），显然适合上式，
，
无穷数列，，…，…对任意自然数和，不等式均成立，即成立．
下面用反证法证明数列是等差数列：
设为最小的自然数，使得，
但．
可以任意大，则趋向于0（但不等于0），
，即不成立，故数列是等差数列．
26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形中，的面积是面积的两倍，又数列满足，当时，，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意分析可得，结合三点共线可得，可得，结合等差数列分析运算；
（2）根据题意结合裂项相消法分析运算.
【详解】（1）如图所示，过A作，垂足为，过作，垂足为，连接，交于点，
由题意可得：，则，
且，则，
可得：，
∵三点共线，则，
可得，则，，
整理得：，即
故数列是以首项，公差为2的等差数列，
则.
（2）由（1）可得：当时，则；
当时，可得，
则；
综上所述：.
27．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知数列满足，（其中）
(1)判断并证明数列的单调性；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)单调递减，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由结合即可判断数列的单调性；
（2）直接求出，由即可证得；又由得，由累加法得，结合放缩得到，再由裂项求和及放缩证得.
【详解】（1）单调递减，理由如下：．
∵，∴，∴数列单调递减；
（2）∵，，，∴，又，则.
∵，，∴，则，
当，累加可得，则，
则，则，
∴
，则．
【点睛】本题关键点在于利用进行放缩得到，再由累加法得到，再次进行放缩得，再通过裂项求和及放缩即可证得结论.
28．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到阶和数列，如的一阶和数列是，设n阶和数列各项和为．
(1)试求数列的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；
(2)设，的前项和，若，求的最小值
【答案】(1)，，
(2)7
【分析】（1）根据进行猜想，结合等比数列的知识进而求解，并进行推导.
（2）利用裂项求和法求得，由此列不等式，从而求得的最小值.
【详解】（1）一阶和数列：，对应；
二阶和数列：，对应；
三阶和数列：，对应；
故猜想，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
下面证明：
设，
则
，
所以成立.（证毕）
所以.
（2）由于，
所以，
则．
所以，
当时，，不成立，
当时，，成立，
所以的最小值为7．
【点睛】本题的难点在于第一问，猜想的递推关系式并利用配凑法求得.对于复杂的问题的研究，可先通过简化题目来进行，如本题求，找到规律后可进行猜想，猜想后要进行证明.
29．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知数列为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：；
(3)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用得到，变形后求出通项公式；
（2）构造，利用导函数得到其单调性，得到，再令，则证明出结论；
（3）先不等式两边取对数，再构造，，利用导函数得到其单调性，得到，从而对不等式放缩得到，利用累加法和放缩法证明出不等式.
【详解】（1）
当时，
得：
，，即，
变形为，
，经检验时也适合．
.
（2）构造函数，，
在上递减，
，
时．
∵，
∴令，则有
（3），，原不等式等价于证明：
，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
令，然后累加得：
．原不等式得证．
【点睛】利用导函数证明数列相关的不等式，要结合不等式特点，构造相关的函数，再将数列代入即可，本题第三问要构造，，得到，再进行相应的放缩.
30．（2023·浙江温州·统考二模）设为正项数列的前项和，满足.
（1）求的通项公式；
（2）若不等式对任意正整数都成立，求实数的取值范围；
（3）设（其中是自然对数的底数），求证：.
【答案】（1）（2）（3）证明见解析；
【分析】（1）根据题中的关系式，利用得出数列是等差数列，可得通项公式；
（2）时，求出的范围，接着证明的此范围对的正整数都成立，首先由，放缩，然后结合二项式定理证明结论；
（3）根据（1）中的结论得到数列的通项公式，求出变形并放缩
，再由当时，放缩裂项相消法求和证明结论.
【详解】（1）∵，
∴，
两式相减，得，
即，
∴，
∵为正项数列，∴，
又由，解得或（舍去），
∴.
（2），即，
当时，，
解得且，
下面证明当且时，对任意正整数都成立，
当时，，
∴，
又当时，上式显然成立，
故只要证明对任意正整数都成立即可，
又，
∴实数的取值范围为.
（3）证明：由题得，
∵，
∴.
当时，
，
∴.
【点睛】本题考查已知与关系求数列的通项公式，考查不等式恒成立问题以及不等式的证明．在利用时，注意，数列不等式恒成立，可从特殊值出发，如时成立得出参数的范围，然后再考虑它对时是否也成立．不等式的证明，根据不等式的形式首先考虑能否求和，.由于是不等式可能考虑用放缩法，适当放缩后再求和．本题对学生分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力要求较高，属于困难题．
1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】 专题01 数列大题压轴练-新高考数学复习
分层训练（新高考通用）
1．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）记为数列的前n项和，为数列的前n项和，已知．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由前n项和与通项之间的关系即可证明数列是等比数列；
（2）以错位相减法求数列的前n项和即可解决．
【详解】（1）因为为数列的前n项和，
当时，，则
当时，
① ②，
①－②得，得
所以数列是首项为1公比为的等比数列．
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以．当时，，
当时，，
显然对于不成立，所以
当时，
当时，
上下相减可得
则
又时，
综上，
2．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知数列中，，，且．
(1)设，试用表示，并求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据提示将条件进行转化即可；
（2）根据两角差的正弦公式可将化为裂项式求和.
【详解】（1），，
所以，所以，
所以，.
（2），
所以
.
3．（2023·湖南株洲·统考一模）数列满足，.
(1)若，求证：是等比数列.
(2)若，的前项和为，求满足的最大整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)98
【分析】（1）由已知得，可得，进而得证；
（2）利用错位相减结合分组求和可得，结合二项式定理进行放缩，进而得解.
【详解】（1），，，
由已知可得，
，
，
，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）得，
所以，
设，数列的前项和为，
则①，
②，
①②得，
所以，
所以，
当时，，
当时，，
当时，，
即，
所以，
所以，，
所以满足的最大整数为
4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列满足，，，为数列前项和.
(1)若，，求的通项公式；
(2)若，设为前n项平方和，证明：恒成立.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）代入，将条件化为，从而得到是常数列，进而得到是等差数列，由此利用等差数列的前项和公式即可得解；
（2）利用数学归纳法推得要证结论，需证，再次利用数学归纳法证得其成立，从而结论得证.
【详解】（1）因为，，
所以，则，
又，
所以是首项为的常数列，则，
所以是首项为，公差为的等差数列，则，
所以.
（2）因为，所以，
又，，所以，，则，
因为，
所以当时，，所以；
假设当时，有，
则当时，，
因为，
所以要证，需证，
即证，
当时，，，则，
假设当时，有，
则当时，，
因为，所以，
所以，
综上：成立，
所以成立，
综上：恒成立.
5．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列满足，且．
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)20
【分析】（1）由已知条件，用表示出，得出，再用表示出，得出，联立得出，通过构造得出，检验，即可得出证得结论；
（2）由（1）的结论表示出，和，证出在是一个增数列，通过计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
，，，
,
又，
，
,
，
，
又，
，
,
,即，
，
又，
，
，
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
，
即，
，
，
，
又，
，
即,
，
，
，
在是一个增数列，
，
，
∴满足题意的n的最小值是20．
6．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．
(1)求出，的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件可得数列是等比数列，求出其通项公式，再利用累加法求出数列的通项公式；先求出，再求出当时，数列满足的等式，即可求出数列的通项公式；
（2）写出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和，即可求证．
（1）
由，
得．又，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
∴，，…，，
累加得，
∴．
数列满足，①
当时，；
当时，，②
由①－②可得，
当时，也符合上式，
故数列的通项公式为．
（2）
由（1）可得，
则
，
故成立．
7．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列的前项和满足，，．
(1)求的通项公式；
(2)数列，，满足，，且，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用与的关系得到，然后得到，两式求差，得到，这样判断数列为等差数列，然后计算，得到首项和公差，写出的通项公式；（2）利用的通项公式求出的通项公式，然后利用的关系，运用累加法求出的通项公式，然后利用的通项公式求出的通项，再利用裂项相消求出.
【详解】（1）由题意知，，
两式相减得，， 故，，
两式相减得，
即，可知数列为等差数列，
又，则，解得，
又因为，所以，等差数列的公差，故．
（2）由题易知，又因为，
所以，
由累乘法可得：，，，，
所以，，因为，所以，，
当时，也符合，所以，，则，
．
8．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，求证：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题可得，后由可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，，后由数学归纳法可证明结论.
【详解】（1）由题，时，有，则
，
则.
注意到，则.
（2）由（1）可得，则
当时，.
故所证结论相当于，，.
当时，结论显然成立；
假设时，结论成立，则，
当时，因，，则.
综上，结论成立.
9．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为的数列，若满足：，且对任意，与中至少有一个是中的项，则称具有性质．
(1)如果数列，，，具有性质，求证：，；
(2)如果数列具有性质，且项数为大于等于5的奇数，试判断是否为等比数列？并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)为等比数列，理由见解析
【分析】（1）根据性质的定义，易得，是数列中的项，再根据，可得，即可得证；
（2）根据性质的定义，易得，是数列中的项，从而可得，同理有，进而可得，即可得出结论．
【详解】（1）因为，，所以不是数列中的项，
所以一定是数列中的项，所以，
又因为，，
所以，不是数列中的项，所以是数列中的项，
因为，所以，
所以，所以；
（2）当数列的项数时，
因为，，所以不是数列中的项，
所以一定是数列中的项，所以，
因为对于满足的正整数，都有，
所以不是数列中的项，
从而是数列中的项，
又，
所以，
从而有，
所以，
从而有，
因为对于满足的正整数，均有，
所以，
又，
所以，
从而有，
所以，
从而有，
从而有，
所以对于项数为大于等于5的奇数且具有性质的数列，是以1为首项，为公比的等比数列．
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
10．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）记数列的前项和为，，______.给出下列两个条件：条件①：数列和数列均为等比数列；条件②：.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
(1)求数列的通项公式；
(2)记正项数列的前项和为，，，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择条件①：先由为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等比数列的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案；
选择条件②：先由得出，两式做减即可得出，再验证时即可利用等比数列通项公式得出答案；
（2）通过得出，两式相减结合已知即可得出，即数列的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，将转化即可得出答案.
【详解】（1）选条件①：
数列为等比数列，
，
即，
，且设等比数列的公比为，
，
解得或（舍），
，
选条件②：
，
，
即，
由①②两式相减得：，
即，
令中得出也符合上式，
故数列为首项，公比的等比数列，
则，
（2）由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列为首项，公比的等比数列，即，
则，，
，
，
由③④两式相减得：，
即，
数列为正项数列，
则，
则数列的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，
，
即，
数列前2n项中的全部偶数项之和为：，
则.
11．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知数列满足，.
(1)若且.
（ⅰ）当成等差数列时，求k的值；
（ⅱ）当且，时，求及的通项公式.
(2)若，，，.设是的前n项之和，求的最大值.
【答案】(1)（ⅰ），（ⅰⅰ），；
(2).
【分析】（1）根据等差数列的定义以及等差中项的性质即可求的值；由题可得是首项为，公比为2的等比数列，进而可得数列的通项，再利用累乘法即可求的通项公式；
（2）利用分组求和可得，结合，，求出利用基本不等式求最大值，即可求出的最大值.
（1）
（ⅰ）因为成等差数列，
所以，
所以，又
所以；
（ⅱ）因为，
所以，，
所以，所以，
因为，又由，
所以是首项为，公比为2的等比数列，
所以，
所以，
∴所以；
（2）
由可得，
所以，
因为，所以，即，
因为，，，
所以即，
，
因为，，
所以，因为，所以，
所以，可得，
所以，
令，设，
，对称轴为，是开口向上的抛物线，在单调递增，
所以时取得最大值，
故最大值为，
所以最大值为.
【点睛】方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
12．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列的前n项和（），数列满足．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设数列满足（为非零整数，），问是否存在整数，使得对任意，都有．
【答案】(1)证明见解析，
(2)存在整数，使得对任意，都有
【分析】（1）根据求出，结合得到，从而得到是首项和公差均为1的等差数列，求出通项公式，得到；
（2）求出，，解出，分与两种情况，结合数列的单调性求出，结合为非零整数，求出.
【详解】（1）证明：在中，
令，得，解得：，
当时，，
∴，
∴，即．
，
∴，即当时，，
又，
∴数列是首项和公差均为1的等差数列．
于是，
∴；
（2）由，
得，
∴，
，①
当，，2，3，时，①式即为，②
依题意，②式对，2，都成立，
∵单调递增，
∴即可，
当，，2，3，时，①式即为③，
依题意，③式对，2，都成立，
∵单调递减，
即可，
，又，
存在整数，使得对任意，都有．
13．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知为数列的前n项和，，; 是等比数列，，，公比．
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列和的所有项分别构成集合A，B，将的元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求．
【答案】(1)，
(2)660
【分析】（1）将移项作差可得是等差数列，结合可求出数列的通项公式，将代入等式计算，即可求出数列的通项公式；
（2）由可判断前20项中最多含有三项，排除可确定前20项中的项数和的项数，进而可求出前20项和.
【详解】（1）由，可得，又，即，
∴，故．
∵是等比数列，由，，，
∴，，解得，，即．
（2）由（1）知：，令，则，
所以 ，，在新数列的前20项，
因为与为公共项，所以前20项中有18项数列中的项以及，.
.
14．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列满足，当时，，的前项和为.
(1)求数列的通项公式及；
(2)数列是等比数列，为数列的公比，且，记，证明：
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据累加法可得的通项公式，再利用公式求即可；
（2）利用数列恒正可得左边，右边利用适当的放缩法即可得出结果.
【详解】（1）当时，累加可得且当时，符合，.
由等差数列前项和的公式可得：
（2）由（1）得，
对于左边，，又，
对于右边，,
.
综上：成立.
15．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且，，数列满足，其中.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由可得，两式作差即可得数列的递推关系，即可求通项，最后验证是否符合即可；数列利用累乘法即可求，最后验证是否符合即可；
（2）由题，由等差数列的性质得，即可求出的通项公式，最后利用错位相减法求即可
【详解】（1）由可得，
两式相减可得，故数列从第3项开始是以首项为，公比的等比数列.
又由已知，令，得，即，得，故；
又也满足上式，则数列的通项公式为；
由，得：，
以上个式子相乘，可得，，
又满足上式，所以的通项公式
（2）若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
则，即为，
整理得，所以，
，
两式相减得：，
所
16．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列的前项和为，数列满足，且
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)对于，试比较与的大小.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由数列的前项和为，利用，能求出；
（2）由，两边取倒数得，从而得到是以首项为，公比为2的等比数列，由此能求出 ；
（3）将问题转化为证明成立，利用数学归纳法、二项式定理或函数的知识证明即可.
【详解】（1）当时，；
当时，，
经检验，时，也符合上式，
所以数列的通项公式为；
（2）易知，两边取倒数得，整理得，
是以首项为，公比为2的等比数列，
；
（3）由（1）（2）问可知，欲比较与的大小，
即比较与的大小.
当时，，有；
当时，，有；
当时，，有，
猜想，下面证明:
方法一：当时，
，
所以对于任意的都成立，所以.
方法二：令，则
令则，
当时，即在单调递增，
在单调递增，
所以，所以，即，
所以对于任意的都成立，所以.
方法三：下面用数学归纳法证明①当时，显然成立；
当时，显然成立；
②假设时（，猜想成立，即成立，
那么当时，
，
因为，
对任意的且上式都大于0，
所以有，
综上所述，对于任意的都成立，所以.
17．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，从而利用与的关系推得，再利用构造法证得是等比数列，由此可得；
（2）利用裂项相消法求得，从而得证.
【详解】（1）因为，所以，
又因为是公差为2的等差数列，
所以，则，
当时，，
整理得，则，
又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，则.
（2）由（1）得，，
所以，
因为，所以，故.
18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列满足，.数列满足各项均不为0，，其前n项的乘积.
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的通项公式；
(3)记数列的前项的和，求使得不等式成立的正整数m的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)16
【分析】（1）根据题意整理可得，结合等差数列的定义和通项公式分析运算；（2）根据题意整理可得，，利用构造法结合等比数列分析运算，注意对时的分析处理；（3）利用并项求和求，结合等比数列求和运算求解.
【详解】（1）∵，则，
∴成首项为，公差为1的等差数列，则，
故.
（2）∵，
当时，则可得：，即，
当时，则可得：，
则，即，
则，即，
∴，
又∵，
显然当时不满足上式，
故当时，是以公比为2的等比数列，
∴，则，
综上所述：.
（3）∵，
∴，
又∵，
由题意可得：，
∵在上单调递增，，且，
∴，且，
故正整数m的最小值为16.
19．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列满足，，．
(1)证明：数列为等比数列，求的通项公式．
(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可；
（2）根据等比数列的前项公式可得，参变分离可得，再根据的单调性求解最大值即可.
【详解】（1）由可得，且，
故是以2为首项，3为公比的等比数列，故，
所以，又，
故，即.
（2）由（1）为等比数列，故，
故即恒成立，求的最大值即可.
设，则，
令有，故当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.
又，故为的最大值，为，
所以，.
20．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列的前项和为，且.数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求.
【答案】(1)，.
(2)
【分析】（1）由等差数列通项公式和前项和公式列方程组即可求得首项和公差；由与的关系即可求得的通项公式.
（2）由错位相减法和分组求和法即可求解.
【详解】（1）因为为等差数列，且，
所以解得
.
又因为， 得，
当时，，
当时，，不符合.
所以.
（2）
=
=
=
=
令①
则②
①-②得：
.
所以.
综上，.
21．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知数列，，…，，…满足，（），数列A的前n项和记为．
(1)写出的最大值和最小值；
(2)是否存在数列A，使得？如果存在，写出此时的值；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)的最大值为3，最小值为-1
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用与递推公式求出的可能值，从而求出的可能值，得到最大值与最小值；
（2）两边平方后，根据推出，从而求出，结合为整数，方程无解，故不存在数列A，使得.
【详解】（1）因为，（），
所以，解得或-1，
取，则，解得或-2，
取，则，解得：，
所以或或
故最大值为3，最小值为；
（2）因为，（），
所以为整数，两边平方得：，
故
，
所以，
若存在数列A，使得，则，
又为整数，所以方程无解，
故不存在数列A，使得.
22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且.
(1)若，求的值；
(2)若，，求证：数列是等差数列，并求其前项和.
【答案】(1)1
(2)证明过程见解析，前项和为
【分析】（1）令得到，结合得到，利用求出；
（2）得到，累乘法得到，当时，，相减后得到，得到数列为等差数列，首项为，公差为，数列为等差数列，首项为，公差为，利用，求出，写出和的通项公式，合并得到，利用定义法证明出数列是等差数列，并求出其前项和.
【详解】（1）中令得：，
因为数列的各项均为非零实数，所以，
因为，所以，即，解得：；
（2），即，
所以，，，……，，以上式子相乘得：
，
因为数列的各项均为非零实数，且，所以，
即，当时，，
所以，
因为，所以，
所以，，
故数列为等差数列，首项为，公差为，
数列为等差数列，首项为，公差为，
，所以，
所以，
，
故，所以，所以数列是等差数列，
其前项和.
【点睛】当遇到时，数列往往要分奇数项和偶数项，分别求出通项公式，最后再检验能不能合并为一个，这类题目的处理思路可分别令和，用累加法进行求解.
23．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知两式化简，分别求得和.
（2）由（1）利用求和公式可得，再利用数学归纳法即可得证.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，
所以，.
（2）由（1）知，，，
则，
，
当时，，，故；
当时，，，故；
假设当时，，
所以当时，，
因为，所以，
故，则，即，
所以，则，
综上：.
24．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列各项都不为0，，，的前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）利用与的关系，得到，再利用隔项等差数列的性质，分别求出为奇数与为偶数时的通项，进而可得答案.
（2）利用倒序相加，求得，整理得，进而利用裂项求和法，得到
【详解】（1）时，，，两式相减，可得，由题意得，可得，则有
当为奇数时，为等差数列，，
当为偶数时，为等差数列，，
（2），
，利用倒序相加，可得
，
解得，
，
25．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列中，其前项和记为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设无穷数列，，…，…对任意自然数和，不等式均成立，证明：数列是等差数列．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）在原数列递推式中取得另一递推式，作差后可得（），然后利用累积法求得数列的通项公式；
（2）由（1）求出列的通项公式，代入不等式，利用反证法，结合绝对值的不等式及放缩法可得数列是等差数列．
【详解】（1）由得：（）．
两式作差得，整理得：（）．
，，，…，（）．
将上式累乘得：．
，则（），当时上式成立，
.
（2）由（1）知，，则（），显然适合上式，
，
无穷数列，，…，…对任意自然数和，不等式均成立，即成立．
下面用反证法证明数列是等差数列：
设为最小的自然数，使得，
但．
可以任意大，则趋向于0（但不等于0），
，即不成立，故数列是等差数列．
26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形中，的面积是面积的两倍，又数列满足，当时，，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意分析可得，结合三点共线可得，可得，结合等差数列分析运算；
（2）根据题意结合裂项相消法分析运算.
【详解】（1）如图所示，过A作，垂足为，过作，垂足为，连接，交于点，
由题意可得：，则，
且，则，
可得：，
∵三点共线，则，
可得，则，，
整理得：，即
故数列是以首项，公差为2的等差数列，
则.
（2）由（1）可得：当时，则；
当时，可得，
则；
综上所述：.
27．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知数列满足，（其中）
(1)判断并证明数列的单调性；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)单调递减，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由结合即可判断数列的单调性；
（2）直接求出，由即可证得；又由得，由累加法得，结合放缩得到，再由裂项求和及放缩证得.
【详解】（1）单调递减，理由如下：．
∵，∴，∴数列单调递减；
（2）∵，，，∴，又，则.
∵，，∴，则，
当，累加可得，则，
则，则，
∴
，则．
【点睛】本题关键点在于利用进行放缩得到，再由累加法得到，再次进行放缩得，再通过裂项求和及放缩即可证得结论.
28．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到阶和数列，如的一阶和数列是，设n阶和数列各项和为．
(1)试求数列的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；
(2)设，的前项和，若，求的最小值
【答案】(1)，，
(2)7
【分析】（1）根据进行猜想，结合等比数列的知识进而求解，并进行推导.
（2）利用裂项求和法求得，由此列不等式，从而求得的最小值.
【详解】（1）一阶和数列：，对应；
二阶和数列：，对应；
三阶和数列：，对应；
故猜想，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
下面证明：
设，
则
，
所以成立.（证毕）
所以.
（2）由于，
所以，
则．
所以，
当时，，不成立，
当时，，成立，
所以的最小值为7．
【点睛】本题的难点在于第一问，猜想的递推关系式并利用配凑法求得.对于复杂的问题的研究，可先通过简化题目来进行，如本题求，找到规律后可进行猜想，猜想后要进行证明.
29．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知数列为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：；
(3)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用得到，变形后求出通项公式；
（2）构造，利用导函数得到其单调性，得到，再令，则证明出结论；
（3）先不等式两边取对数，再构造，，利用导函数得到其单调性，得到，从而对不等式放缩得到，利用累加法和放缩法证明出不等式.
【详解】（1）
当时，
得：
，，即，
变形为，
，经检验时也适合．
.
（2）构造函数，，
在上递减，
，
时．
∵，
∴令，则有
（3），，原不等式等价于证明：
，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
令，然后累加得：
．原不等式得证．
【点睛】利用导函数证明数列相关的不等式，要结合不等式特点，构造相关的函数，再将数列代入即可，本题第三问要构造，，得到，再进行相应的放缩.
30．（2023·浙江温州·统考二模）设为正项数列的前项和，满足.
（1）求的通项公式；
（2）若不等式对任意正整数都成立，求实数的取值范围；
（3）设（其中是自然对数的底数），求证：.
【答案】（1）（2）（3）证明见解析；
【分析】（1）根据题中的关系式，利用得出数列是等差数列，可得通项公式；
（2）时，求出的范围，接着证明的此范围对的正整数都成立，首先由，放缩，然后结合二项式定理证明结论；
（3）根据（1）中的结论得到数列的通项公式，求出变形并放缩
，再由当时，放缩裂项相消法求和证明结论.
【详解】（1）∵，
∴，
两式相减，得，
即，
∴，
∵为正项数列，∴，
又由，解得或（舍去），
∴.
（2），即，
当时，，
解得且，
下面证明当且时，对任意正整数都成立，
当时，，
∴，
又当时，上式显然成立，
故只要证明对任意正整数都成立即可，
又，
∴实数的取值范围为.
（3）证明：由题得，
∵，
∴.
当时，
，
∴.
【点睛】本题考查已知与关系求数列的通项公式，考查不等式恒成立问题以及不等式的证明．在利用时，注意，数列不等式恒成立，可从特殊值出发，如时成立得出参数的范围，然后再考虑它对时是否也成立．不等式的证明，根据不等式的形式首先考虑能否求和，.由于是不等式可能考虑用放缩法，适当放缩后再求和．本题对学生分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力要求较高，属于困难题．
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