【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题01 数列大题 （基础练）

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1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】 专题01 数列大题基础练-新高考数学复习
分层训练（新高考通用）
1．（2022·浙江·模拟预测）已知数列满足，.
(1)若，数列的通项公式；
(2)若数列为等比数列，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用累加法求即可；
（2）根据得到，，联立得到，然后代入求即可.
【详解】（1）由题意得，
所以
.
（2）设数列的公比为，
因为，所以，，两式相加得，所以，
当时，不成立，所以，，解得.
2．（2022·海南省直辖县级单位·校联考一模）等差数列的首项，且满足，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和是，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知可得，代入，求出，即可得到通项公式；
（2）由（1）知，，得到是为首项，以4为公比的等比数列.进而根据等比数列前项和公式，即可求出答案.
【详解】（1）解：设公差为.
由可得，.
又，所以.
所以.
（2）解：由（1）知，.
则，故是为首项，以4为公比的等比数列.
所以.
3．（2023·黑龙江大庆·统考一模）设是公差不为0的等差数列，，是，的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设的公差为，由题意可得，求出，即可求出的通项公式；
（2）由裂项相消法求和即可得出答案.
【详解】（1）设的公差为，因为，是，的等比中项，
所以，所以.
因为，所以，故.
（2）因为，
所以.
4．（2023·广东惠州·统考模拟预测）数列中，，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得.
【详解】（1）解：因为，所以，
因为，则，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）解：由（1）可知，，所以，
又由题知
.
5．（2023·广东江门·统考一模）已知数列（）满足，，且.
(1)求数列是通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将换为代入中化简，根据定义即可判断为等比数列，由首项公比写出通项公式即可；
（2）由（1）中的通项公式求得，再利用乘公比错位相减得出前n项和即可.
【详解】（1）解：因为，所以，
又，所以 ，所以 ，又，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以；
（2）由（1）知，，所以 ，
所以，
，
两式相减可得：，
所以 ，故.
6．（2023·江苏·统考一模）已知等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据等比数列基本量的运算可得，，即可得数列的通项公式；
（2）由题可得，然后利用错位相减法求解即可；或利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）设数列的公比为，则，，解得，
所以，即的通项公式为；
（2）方法一：由题可知，
则，
，
所以，
.
方法二：，
所以
7．（2023·重庆·统考二模）已知数列的前项和为,且满足,且.
(1)求证:数列为常数列,并求的通项公式;
(2)若使不等式成立的最小整数为,且,求和的最小值.
【答案】(1)证明见解析,
(2);的最小值为:
【分析】(1)中两边同除,再结合裂项即可同构出所需数列;(2)中由不等式成立的最小整数为可以确定为二次函数且开口向上,结合,即可求出,从而就确定了.
【详解】（1）因为,两边同除得,
,
所以
所以数列为常数列;
所以.
（2）由(1)知,数列是等差数列,
所以
因为,化简得;
令,
则成立的最小值为,
所以;解得.
因为,所以;
所以,故的最小值为.
8．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到是以2为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式；
（2）由（1）得，由等差数列求和公式得到，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）由得到，
当时，，
两式相减，有，得到，
由于，，
因为，由上述递推关系知，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以．
（2）由（1）知：，则，
所以数列为等差数列，
所以数列的前项和为，则，
所以．
9．（2023·山东青岛·统考一模）已知等差数列的前n项和为，公差，，，成等差数列，，，成等比数列．
(1)求；
(2)记数列的前n项和为，，证明数列为等比数列，并求的通项公式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项以及等差中项，结合等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，
（2）根据结合前项和与通项之间的关系即可证明等比数列，由等比数列的定义即可求解通项.
【详解】（1）由，，成等差数列，，，成等比数列可得，
（2）由得，
故，两式相减可得，
而，所以为公比为2的等比数列，且首项为，
故，进而
10．（2023·山东济南·一模）已知数列满足．
(1)若数列满足，证明：是常数数列；
(2)若数列满足，求的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）计算出，得到是常数数列；
（2）在（1）的基础上，得到，，利用分组求和得到答案.
【详解】（1）因为
，
所以，
所以是常数数列．
（2）因为，所以，
所以，
所以．
因为，
所以
，
所以．
11．（2022·辽宁鞍山·统考一模）已知等差数列满足首项为的值，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数的运算法则求得的首项，再利用等差数列的通项公式代入即可求解；
（2）将（1）中代入，利用裂项求和法即可求得.
【详解】（1）根据题意得， ，
因为数列是等差数列，设公差为，则由，得，解得，所以.
（2）由（1）可得，
所以.
12．（2023·广东·统考一模）已知各项都是正数的数列，前项和满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)记是数列的前项和，是数列的前项和.当时，试比较与的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）根据裂项相消法，结合等比数列前项和、二项式定理进行求解即可.
【详解】（1）当时，，所以或（舍去），
当时，有
两式相减得，
整理得，
因为的各项都是正数，所以，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以；
（2）由（1）得，则，
所以，
由（1）得
所以，
因为，
所以，故，
所以当时，.
13．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）从①；②，；③，是，的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．
已知等差数列的前n项和为，公差d不等于零，______．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①：先计算出，得到前项和公式，进而计算出方差和通项公式；
选②：得到关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，求出通项公式；
选③：根据等比中项，列出方程，求出公差，通项公式；
（2）在第一问的基础上，计算得到数列的通项公式，进而利用分组求和计算出前n项和.
【详解】（1）选①．
易得，解得：，即，
所以，即，故，
所以．
选②．
易得，所以，
所以．
选③．
易得，即，解得：（舍去），
所以．
（2）由（1）知，
所以，
所以
．
14．（2022·广东珠海·珠海市第三中学统考二模）已知数列，的前n项和分别为，，，．
(1)求及数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先根据得到，再结合，求出数列，的通项公式；
（2）在第一问的基础上利用分组求和进行求解.
【详解】（1）在中，
当n＝1时，b1﹣a1＝0，
当n⩾2时，，
显然b1﹣a1＝0适合上式，
所以，，
又，
所以两式相减得，两式相加得
且a1＝1，b1＝1；
（2）因为，
结合（1）中所求，，
故
15．（2022·云南大理·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系可得，进而得，由累加法即可求解；
（2）根据分组求和，由等差等比数列的求和公式即可求解.
（1）
因为，所以，①
当时，，②
①-②得：，即，
所以，
所以，由，可得，
当时，，符合上式，
所以．
（2）
由题意得，
则
，
所以．
16．（2022·湖南永州·统考一模）已知数列满足：，且.
(1)若数列为等比数列，公比为，求的通项公式；
(2)若数列为等差数列，，求的前项和.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先求出或，从而求出公比，根据题干条件得到，即是等比数列，从而求出通项公式；
（2）先求出的通项公式，再用累乘法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）因为数列为等比数列，公比为，且，
所以或
所以或，
又
所以，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
故或.
（2）依题意得公差，即，
由于
所以，
从而
又满足上式，
所以，
.
故.
17．（2022·广东韶关·统考一模）已知数列的首项，且满足，设.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最小正整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)140
【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）利用分组求和的方法得到，然后利用的增减性解不等式即可.
【详解】（1）
，
，所以数列为首项为，公比为等比数列.
（2）由（1）可得
，
即
∴
而随着的增大而增大
要使，即，则，
∴的最小值为140.
18．（2022·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)①；②；③．
从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由已知可得当时，，进而得，可求数列的通项公式；
（2）若选①：．错位相减法可求．若选②：，可求．若选③：，分组求和可求．
【详解】（1）当时，，，
，，，
当时，．．，
，数列是以，3为公比的等比数列，
．
（2）若选①：，
，
，
，
．
若选②：，
．
若选③：，
．
【点睛】数列求和的常见方法：
①错位相减法
②裂项相消法
③分组求和
④公式法
⑤倒序相加法
19．（2022·广东广州·统考一模）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式：
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.
【答案】(1)
(2)2101
【分析】（1）公式法解决即可；（2）与（，2，…）之间插入，说明在数列中有10项来自，10项来自，分组求和即可.
【详解】（1）设数列的公差为，
因为是和的等比中项，
所以，即，
因为
所以或（舍）
所以，
所以通项公式
（2）由（1）得，
因为与（）之间插入，
所以在数列中有10项来自，10项来自，
所以
20．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知数列，若_________________．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．
①；
②，，；
③，点，在斜率是2的直线上．
【答案】答案见解析.
【分析】（1）若选①，根据通项公式与前项和的关系求解通项公式即可；
若选②，根据可得数列为等差数列，利用基本量法求解通项公式即可；
若选③，根据两点间的斜率公式可得，可得数列为等差数列进而求得通项公式；
（2）利用裂项相消求和即可
【详解】解：（1）若选①，由，
所以当，，
两式相减可得：，
而在中，令可得：，符合上式，
故．
若选②，由（，）可得：数列为等差数列，
又因为，，所以，即，
所以．
若选③，由点，在斜率是2的直线上得：，
即，
所以数列为等差数列且．
（2）由（1）知：，
所以
．
21．（2023·江苏南通·二模）已知正项数列的前n项和为，且 ，， ．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.
【答案】(1)，
(2)186
【分析】（1）根据的关系，即可求解，
（2）根据的形成规律，分组即可求解.
【详解】（1）因为，当时，
，
因为，所以，故．
当时，适合上式，
所以，.
（2）（方法1）因为，，
所以当时，．
所以
所以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，
设，则，
因为，所以.
所以的前100项是由14个1与86个2组成．
所以.
（方法2）设，则，
因为，所以.
根据数列的定义，知
.
22．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）已知数列满足，且
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和（用具体数值作答）.
【答案】(1)
(2)66490
【分析】（1）依题意为等差数列，设公差为，由，即可求出，从而得到通项公式；
（2）由（1）可知，则，再利用分组求和法计算可得；
【详解】（1）解：因为，所以，所以为等差数列，设公差为，因为，所以，所以，所以，即
（2）解：因为，所以
所以，所以
23．（2023·安徽·模拟预测）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
24．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）已知为等差数列，.
(1)求的通项公式；
(2)若为的前项和，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用累乘法，结合已知条件，即可求得结果；
（2）利用裂项求和法，结合（1）中所求，即可求得结果.
【详解】（1）∵.
∴，
∴，
∴；
当时，满足上式，
所以；
（2）由（1）可得，
∴
.
25．（2023·广东广州·统考二模）设数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用计算整理得，再利用等比数列的通项公式求解即可；
（2）将变形为，利用裂项相消法求，进一步观察证明不等式.
【详解】（1）①，
当时，②，
①-②得，即，
又当时，，解得，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
；
（2）由（1）得，
，
因为，
26．（2023·江苏泰州·统考一模）在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.
已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且满足__________，__________.
(1)求的通项公式；
(2)求.
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.
【答案】(1)选①②，①③或②③均可得
(2)
【分析】（1）选出两个条件，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到通项公式；
（2）在第一问的基础上，得到，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）若选①②，设公差为，
则，
解得：，
；
选①③，设公差为，
，
解得：，
；
选②③，设公差为，
，
解得：，
；
（2），
.
27．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列，前n项和为，且满足，，，，，等比数列中，，且，成等差数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据，，得到为等差数列，根据通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到的通项公式，再利用等比数列通项公式基本量计算出和公比，求出的通项公式；
（2）在第一问的基础上得到，分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式求出答案.
【详解】（1），，，
即，，，
故为等差数列，设公差为，
故，，
解得：，，
所以，
设等比数列的公比为，，
因为，成等差数列，所以，
即，与联立得：或0（舍去），
且，故，
（2）由题意得：为中的整数个数，
故，
所以
.
28．（2023·吉林·统考二模）已知数列的前项和为，，数列是以为公差的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据等差数列的定义得到的通项公式，即可得到，再根据计算可得；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）解：∵，∴，
又∵数列为以为公差的等差数列，
∴，即，
∵时，，
∴时，符合上式，
∴数列的通项公式为.
（2）解：由（1）可得
所以
，
∴数列的前项和.
29．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据等差数列的性质，结合因式分解法、等比数列的定义进行求解即可；
（2）利用分组法，结合等比数列和等差数列的前项和公式进行求解即可.
【详解】（1）∵，∴.
又∵，∴，即，
∴数列是公比为2的等比数列.又∵，，成等差数列，
∴，即，解得.∴；
（2）由（1）可知，∴
∴
.
30．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知数列满足：，，设，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题设可得，应用等比数列定义写出通项公式即可；
（2）由（1）得，应用错位相减法求，即可证结论.
【详解】（1）由可得：，又，
所以，即是首项、公比均为3的等比数列，故.
（2）由（1）知：，则，
所以，
所以，且，故.