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【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题04 概率统计与期望方差分布列大题 （压轴版）
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对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】 专题04 概率统计与期望方差分布列大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）
1．（2023秋·浙江·高三校联考期末）抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；
(2)取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）的分布列及数学期望；
(3)取了，…）次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
(3)答案见解析
【分析】（1）运用条件概率公式计算；
（2）按照独立事件计算；
（3）运用独立事件的概率乘法公式结合等比数列求和计算即可.
【详解】（1）设取出的是第一次是一次性筷子为事件A，取出的是第二次非一次性筷子为事件B，
则 ， ，
所以在第二次是非一次性筷子的前提下，第一次是一次性筷子的概率 ；
（2）对于 ，表示三次都是非一次性筷子，非一次性筷子是由放回的， ；
对于，表示三次中有一次筷子，对应的情况有第一次，第二次，第三次是一次性筷子，
；
对于 ，表示三次中有一次是非一次性筷子，同样有第一次第二次第三次之分，
；
数学期望 ；
（3）n次取完表示最后一次是一次性筷子,则前次中有一次取得一次性筷子，
所以
2．（2022·江苏南京·南京市江宁高级中学校考模拟预测）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
①试证明为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；
（2）递推求解，记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，满足.
【详解】（1）解析1：分布列与期望
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，
门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，
，，
，，X的分布列为：
期望．
（1）解析2：二项分布
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，易知，，．X的分布列为：
期望．
（2）解析：递推求解
①第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，
从而，又，∴是以为首项．公比为的等比数列．
②由①可知，，，故．
3．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为.
(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望.
①参考数据：；
②参考公式：（i）线性回归方程：，其中；
（ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强.
（iii），其中.附表：
【答案】(1)，与线性相关较强
(2)认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于
(3)分布列答案见解析，数学期望：
【分析】(1)利用相关系数的求解公式，并转化为和方差之间的关系，代入计算即可；
（2）直接利用独立性检验公式求出，根据零点假设定理判断购买电动汽车与车主性别是否有关；
(3)采用分层抽样先得出男性车主和女性车主的选取人数，得出可能取值0,1,2，分别求出对应概率，即可得的分布列，再结合期望公式，即可求解.
【详解】（1）（1）相关系数为
故与线性相关较强.
（2）零假设为：购买电动汽车与车主性别相互独立，
即购买电动汽车与车主性别无关.
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于.
（3）抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为故
,,
故的分布列为：
4．（2023·浙江·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负．淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负．点球大战分为2个阶段．第一阶段：前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准（非必要无需踢满5轮），前5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利．第二阶段：如果前5轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双方依次轮流踢点球，如果在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利．
下表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果：
注：“阿根廷法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为，在点球大战中阿根廷战胜法国．
(1)请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率．
(2)根据题意填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“32支决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．
(3)若甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战．已知甲队球员每轮踢进点球的概率为p，乙队球员每轮踢进点球的概率为，求在点球大战中，两队前2轮比分为的条件下，甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率（用p表示）．
参考公式：
【答案】(1)
(2)分布列见解析，不能
(3)
【分析】(1)根据古典概型概率公式求解；
(2)由条件数据填写列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值的大小，确定是否接受假设；
(3)根据实际比赛进程，根据独立重复试验概率公式，独立事件概率公式和互斥事件概率公式求概率.
【详解】（1）由题意知卡塔尔世界杯淘汰赛共有16场比赛，其中有5场比赛通过点球大战决出胜负，
所以估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率；
（2）下面为列联表：
零假设支决赛圈球队闯入8强与是否为欧洲球队无关．
．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即不能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．
（3）根据实际比赛进程，假定点球大战中由甲队先踢．两队前2轮比分为的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利，则后3轮有5种可能的比分，．
当后3轮比分为时，甲乙两队均需踢满5轮，．
当后3轮比分为时，有如下3种情况：
则．
当后3轮比分为时，有如下6种情况：
则．
当后3轮比分为时，有如下2种情况：
则
当后3轮比分为时，有如下1种情况：
则．
综上，在点球大战中两队前2轮比分为的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利的概率.
【点睛】方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；
（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
5．（2022秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
(1)统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．
①若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为，求当为何值时，最大．
附： 为回归方程，，．
【答案】(1)，2028年
(2)①万人；②
【分析】（1）根据所给数据，结合线性回归的公式求解方程，再令求解即可；
（2）①计算该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的频数与总人数求解即可；
②根据二项分布的概率公式可得，再求导分析的最大值即可.
【详解】（1）解：由题意得 ，，
，．
所以，．
所以关于的线性回归方程为，令，得，
所以最小的整数为12，，
所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆．
（2）解：①由题意知，该地区200名购车者中女性有名，
故其中购置新能源汽车的女性车主的有名．
所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为．
所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为．
预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆，
因此预测该地区2020年购置新能源汽车的女性车主的人数为万人
②由题意知，，则
当时，知所以函数单调递增
当时，知所以函数单调递减
所以当取得最大值．
此时，解得，所以当时取得最大值．
6．（2022秋·江苏南通·高三校考期中）核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出n份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.若每次检测费用为a元，记检测的总费用为X元.
(1)当n=3时，求X的分布列和数学期望.
(2)比较n=3与n=4两种方案哪一个更好，说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)效果好，理由见解析
【分析】(1)2分阳性在一组，检测7次，各一组，检测10次，写出的所有可能值，求出对应的概率即可求解；
(2)由(1)的思路求出检测总费用的数学期望并比较大小即可得解.
【详解】（1）当时，共分4组，
当2份阳性在一组，第一轮检测4次，第二轮检测3次，共检测7次，
若2分阳性各在一组，第一轮检测4次，第二轮检测6次，共检测10次，
所以检测的总费用的所有可能值为，任意检测有种等可能结果，2分阳性在一组有种等可能结果，
，，
所以检测的总费用的分布列为：
的数学期望，
（2）当时，共分3组，当2份阳性在一组，共检测7次，若2分阳性各在一组，共检测11次，检测的总费用的所有可能值为，任意检测有种等可能结果，2份阳性在一组有种等可能结果，
所以，，
所以检测的总费用的分布列为：
的数学期望,
所以时的方案更好一些.
7．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）2022年冬奥会由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛在改造一新的水立方进行.女子冰壶比赛由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主对奥运冠军发起冲击.奥运会冰壶比赛将分为循环赛､淘汰赛和决赛三部分，其中循环赛前三名晋级淘汰赛.在淘汰赛中，循环赛第一和第二的两支队伍先进行一场比赛，胜者晋级最后的决赛，负者与循环赛第三名再进行一场比赛，胜者晋级决赛，败者即为本届比赛的第三名.决赛决出比赛的第一名与第二名.
(1)循环赛进行九轮比赛，每支队伍都需要与其余九支队伍各进行一场比赛.中国队的主要对手包括加拿大队､瑞士队､瑞典队､英国队.若循环赛的赛程完全随机排列，则中国队在前六轮之内完成与主要对手交锋的概率是多少？
(2)若中国队以循环赛第二名的成绩进入淘汰赛，同时进入淘汰赛的还有排名第一的加拿大队和排名第三的瑞士队.过往战绩表明，中国队与加拿大队对战获胜的概率为40%，与瑞士队对战获胜的概率为60%，加拿大队战胜瑞士队的概率为70%.假定每场比赛胜负的概率独立.若以随机变量X表示中国队最终获得的名次，求其分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为名
【分析】（1）利用排列组合的计数法，分别求出中国队的九个对手在前六轮的排布情况数与主要对手出在前六轮的排布情况数，从而利用古典概型的概率求法求解即可；
（2）先根据题意得到的可能取值，再分析中国队取得对应名次所经历的比赛场次，从而得到对应的概率，进而得到的分布列，由此求得的数学期望.
【详解】（1）依题意，中国队的九个对手在前六轮的排布情况总数为，若四个主要对手都出现在前六轮交锋，则前六轮的排布情况为，
所以中国队在前六轮之内完成与主要对手交锋的概率为.
（2）依题意，的可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列如下：
所以的数学期望为（名）.
8．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数都在内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“”)时，发现满足.
（1）试确定的所有取值，并求；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在的参赛者评为一等奖；分数在的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生和均参加了本次比赛，且学生在第一阶段评为二等奖.
（）求学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率；
（）已知学生和都获奖，记两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）（）；（）分布列见解析，.
【分析】（1）在内，按组距为5可分成6个小区间，分别是,,，，，.由，，能求出的所有取值和；
（2）（）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.学生的分数属于区间，，，，，的概率分别是，，，，，.用符号或（）表示学生 （或）在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，其中，记“学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”为事件，由此能求出学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率；
（）学生最终获得一等奖的概率是，学生最终获得一等奖的概率是，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，求出的分布列和.
【详解】（1）根据题意，在内，按组距为5可分成6个小区间，
分别是，
，
由，.
每个小区间的频率值分别是.
由，解得.
的所有取值为，.
（2）（）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.
由（1）知，学生的分数属于区间的概率分别是：，，，，，.
我们用符号（或)表示学生（或）在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，其中.
记“学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”为事件，
则
.
（）学生最终获得一等奖的概率是，
学生最终获得一等奖的概率是，
，
，
，
的分布列为：
.
【点睛】本题考查频率分布直方图、条件概率、离散型随机变量的分布列、数学期望，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属于难题.
9．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立：
(1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率
(2)设n是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为的概率记为，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分析试验过程，分别求出和，利用条件概率的公式直接计算；
（2）分析 “突击者”一轮攻击造成的伤害为,分为：i.进行次，均不触发技能二；前面的次触发技能一，最后一次不触发技能一；ii.第一次触发技能二，然后的次触发技能一，第次未触发技能一；iii. 前面的次未触发技能二，然后接着的第次触发技能二；前面的触发技能一，第次未触发技能一. 分别求概率.即可求出.
【详解】（1）两次攻击，分成下列情况：i.第一次攻击，技能一和技能二均触发，第二次攻击，技能一和技能二均未触发；ii .第一次攻击，技能一触发，技能二未触发，第二次攻击，技能二触发，技能一未触发；iii. 第一、二次攻击，技能一触发，技能二未触发，第三次攻击，技能一、二未触发；
所以.
.
所以.
（2）“突击者”一轮攻击造成的伤害为,分为：
i. 记事件D：进行次，均不触发技能二；前面的次触发技能一，最后一次不触发技能一.其概率为：
ii. 记事件E：第一次触发技能二，然后的次触发技能一，第次未触发技能一.其概率为：
iii. 记事件：前面的次未触发技能二，然后接着的第次触发技能二；前面的触发技能一，第次未触发技能一. 其概率为：
，
则事件彼此互斥，记，
所以
.
所以
【点睛】关键点睛：这道题关键的地方是题意的理解，文字较多，要明白一轮攻击中含多次攻击，每次攻击判断技能的触发，在第二问中需要分多种情况进行讨论，然后用互斥事件的概率计算公式进行求解
10．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．这种起搏器体积只有传统起搏器的，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为，，，设人工抽检的综合指标不达标率为（）．
(1)求每个芯片智能检测不达标的概率；
(2)人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为，求的极大值点；
(3)若芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良．
【答案】(1)
(2)
(3)该企业需对生产工序进行改良，理由见解析
【分析】（1）设每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为，，，并记芯片智能检测不达标为事件，视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，根据对立事件的性质及事件独立性的定义即可求解；
（2）根据条件得到（），利用导数对进行讨论即可；
（3）设芯片人工抽检达标为事件，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，根据条件概率得到，再由乘法公式得到，即可判断.
【详解】（1）每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为，，，并记芯片智能检测不达标为事件.
视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，
则有，，，
由对立事件的性质及事件独立性的定义得：，
所以每个芯片智能检测不达标的概率为.
（2）人工抽检30个芯片恰有1个不合格品的概率为（），
因此
令，得.
当时，；当时，.
则在上单调递增，在上单调递减，
所以有唯一的极大值点.
（3）设芯片人工抽检达标为事件，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，
由（2）得：，
由（1）得：，
所以，
因此，该企业需对生产工序进行改良.
11．（2023·福建莆田·统考二模）互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量，样本平均数，样本方差；乙镇的样本容量，样本平均数，样本方差．
(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数及其方差；
(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求．
参考数据：．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平均数的计算公式求得，再利用方差的计算公式进行转化求解即可得解；
（2）先根据题意得到的所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得各个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解.
【详解】（1）根据题意，得，
因为，
同理，
所以
，
所以总样本的平均数为，方差.
（2）依题意可知，的所有可能取值为，
设“第场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，“第场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，
则，
所以，
，
，
所以.
12．（2023·福建厦门·统考二模）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5．
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
(2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型 （随机误差）．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计．
(ii)令变量，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数，，，，
【答案】(1),这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
(2)（i）；（ii）经验回归方程;预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.
【分析】（1）根据相关系数计算，若两个变量正相关，若两个变量负相关，越接近于1说明线性相关越强.
（2）(i)整理得，根据二次函数求最小值时的取值；
(ii) 根据计算公式求得经验回归方程， 并代入可预测2024年移动物联网连接数.
【详解】（1）由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.
因为,
所以 ,
所以 ,
所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
（2）(i)
，
要使取得最小值，当且仅当.
(ii) 由(i)知 ，
所以y关于x的经验回归方程，又，
所以当 时，则，
所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.
13．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第号同学得到球后传给号同学的概率为，传给号同学的概率为，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为，30号同学投篮命中的概率为，设传球传到第号的概率为．
(1)求的值；
(2)证明：是等比数列；
(3)比较29号和30号投篮命中的概率大小．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率．
【分析】（1）依题意篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3号传4号，1号传2号传4号，1号传3号传4号按照相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；
（2）依题意可得，即可得到，从而得证；
（3）由（2）利用累加法求出，即可求出、，从而求出号、号命题的概率，即可比较大小.
【详解】（1）解：依题意，篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3号传4号其概率为；
1号传2号传4号其概率为；1号传3号传4号其概率为，
因此．
（2）解：依题意篮球传到第号，再传给号其概率为；
篮球传到第号，再传给号其概率为，因此有，
可得，且，
所以是首先为，公比为的等比数列．
（3）解：，，，，
，，
由累加法，可得
，
所以，，
所以号投篮命中的概率为
号投篮命中的概率为，
因为，所以29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率．
14．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型和．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格．
(1)设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为，求的分布列和数学期望；
(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为，若当时，最大，求的值．
【答案】(1)分布列见解析，1
(2)．
【分析】（1）先得到剂型与合格的概率，求出X的所有可能取值及相应的概率，得到分布列，求出期望值；
（2）求出，令，得到，利用基本不等式求出最值，得到答案.
【详解】（1）剂型合格的概率为：；
剂型合格的概率为：．
由题意知X的所有可能取值为0，1，2．
则，
，
，
则X的分布列为
数学期望．
（2）检测3人确定“感染高危户”的概率为，
检测4人确定“感染高危户”的概率为，
则．
令，因为，所以，
原函数可化为．
因为，
当且仅当，即时，等号成立．
此时，所以．
15．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为，放红球的概率为q，.
(1)若，，记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：
求y关于n的回归方程，并预测时，y的值；（精确到1）
(2)若，，，，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：.
附：经验回归方程系数：，，，.
【答案】(1)；3.
(2)分布列见解析；.
(3)；证明见解析.
【分析】（1）根据所给数据，结合经验回归方程系数公式，即可求得回归方程，继而求得预测值；
（2）确定X的取值可能为，根据条件概率的概率公式求得每一个值对应的概率，即可得分布列，继而求得期望;
（3）求得每一列都至少一个红球的概率，根据对立事件的概率公式可得事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，再求得“每一行都至少一个白球”的概率，结合两事件的关系可得其概率大小关系，即可证明结论.
【详解】（1）由题意知 ,
故，
所以 ，
所以线性回归方程为： ，
所以，估计时，.
（2）由题意知：，，，，
则X的取值可能为，
记“含红球的行数为k”为事件，记“每列都有白球”为事件B，
所以 ，
，
，
所以X的分布列为：
所以数学期望为.
（3）证明：因为每一列至少一个红球的概率为 ,
记“不是每一列都至少一个红球”为事件A，所以，
记“每一行都至少一个白球”为事件B，所以，
显然， ，所以 ，
即，所以.
【点睛】关键点点睛：解答要首先能正确的理解题意，弄清楚题目的要求是什么，比如第二文中的条件概率的计算，要弄清每种情况的含义，第三问难点在于正确计算出“不是每一列都至少一个红球”以及“每一行都至少一个白球”的概率，并能进行判断二者之间的关系，从而比较概率大小，证明结论.
16．（2023·山东枣庄·统考二模）某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宜传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不彩响，求
(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；
(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件概率的计算公式即可求得答案；
（2）方法一：根据女生参加活动的人数确定变量的可能取值，计算每个取值对应的概率，可得变量的分布列，即可求得期望；
方法二：分别计算出一名女生和一名男生参加活动可获得分数的期望，设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，，计算出变量Y的期望，即可求X的期望.
【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，“恰有一名女生参加活动”为事件B．
则，，
所以．
（2）方法一: “选取的两人中女生人数为i”记为事件，，
则，，．
由题意知X的可能值为，“得分为分”分别记为事件，，，，，则
，，；
，，；
，，．
；
；
；
；
，
所以X的分布列为
所以．
方法二：
根据题意，一名女生参加活动可获得分数的期望为，
一名男生参加活动可获得分数的期望为．
设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，
，
则，，．
所以Y的分布列为
则有，
所以．
【点睛】难点点睛：本题考查了条件概率的计算，比较基础，第二问考查随机变量的期望的求解，求解的思路并不困难，但难点在于要根据变量的取值的可能情况，计算每种情况相应的概率，计算较复杂，计算量较大，需要思维缜密，计算仔细。
17．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测）治疗慢性乙肝在医学上一直都是一个难题，因为基本不能治愈，只是可以让肝功能正常，不可以清除病毒，而且发展严重后还具有传染性，所以在各种体检中肝功能的检查是必不可少的.在对某学校初中一个班上64名学生进行体检后，不小心将2份携带乙肝的血液样本和62份正常样本（都用试管独立装好的）混在了一起，现在要将它们找出来，试管上都有标签，采用将共64份样品采用混检的方式，先将其平均分成两组，每组32份，将每组的32份进行混检，若携带病毒的在同一组，则将这一组继续取两份平均分组的混合样本进行检验，若携带病毒的样本不在同一组，则将两组都继续平均分组混检下去，直到最后将两份携带病毒的样本找出为止（样品检验时可以很快出结果，每次含病毒的那一组进行平均分组时，每个含病毒的样本被分到任意一组的概率都是，且互不影响），设共需检验的次数为.
(1)求随机变量的分布列和期望；
(2)若5岁以上的乙肝患者急性和慢性的比例约为 ，急性乙肝炎症治愈率可达 ，没有治愈的会转为慢性乙肝，慢性乙肝炎症治愈率只有 ，在找出两个乙肝样本后通知其进行治疗，求两人最后至少有一人痊愈的概率 .（结果保留两位有效数字）
【答案】(1)分布列见解析，期望为20；
(2)0.97
【分析】（1）先求出病毒被分在同一组和不在同一组的概率，再求出随机变量的可能取值计算出对应概率，列出分布列计算期望即可；
（2）先求出乙肝患者被治愈的概率，再由对立事件计算求出至少有一人痊愈的概率即可.
【详解】（1）病毒被分在同一组的概率为，不被分在同一组的概率为；
若病毒被分在同一组，则下次需要进行2次检验，若病毒不被分在同一组，则下次需要进行4次检验；
若每次病毒均在同一组，则需要进行5次分组，最后一次每组有2份样品，即进行10次检验，；
若前4次病毒均在同一组，第5次病毒不在同一组，此时每组有2份样品，还需要再进行1次分组，再进行4次检验，即进行14次检验，；
若前3次病毒均在同一组，第4次病毒不在同一组，此时每组有4份样品，还需要再进行2次分组，再进行8次检验，即进行16次检验，；
若前2次病毒均在同一组，第3次病毒不在同一组，此时每组有8份样品，还需要再进行3次分组，再进行12次检验，即进行18次检验，；
若第1次病毒在同一组，第2次病毒不在同一组，此时每组有16份样品，还需要再进行4次分组，再进行16次检验，即进行20次检验，；
若第1次病毒不在同一组，此时每组有32份样品，还需要再进行5次分组，再进行20次检验，即进行22次检验，；故随机变量的分布列为：
则；
（2）由题意知是急性乙肝的概率为，慢性乙肝的概率为，则乙肝患者治愈的概率为，
没有治愈的概率为，则两人最后至少有一人痊愈的概率.
18．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
(1)依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第次传球后球在甲手中的概率.
附：
【答案】(1)可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）计算卡方，与6.635比较后得到结论；
（2）利用事件，利用条件概率求出答案；
（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，得到，利用构造法得到，即数列是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式，得到答案.
【详解】（1），
故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）设从这200人中随机选择1人，设选到经常锻炼的学生为事件A，选到的学生为男生为事件B，
则，
则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率；
（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，
则有，，
设，则，
所以，解得：，
所以，其中，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故，
故第次传球后球在甲手中的概率为.
19．（2022秋·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设为离散型随机变量，则，其中为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件的概率作出估计.
(1)证明离散型切比雪夫不等式；
(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数.在一次抽奖游戏中，有个不透明的箱子依次编号为，编号为的箱子中装有编号为的个大小､质地均相同的小球.主持人邀请位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为的箱子中抽取的小球号码为，并记.对任意的，是否总能保证（假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.
附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量满足，则有.
【答案】(1)证明见解析
(2)不能保证，证明见解析
【分析】通过方差的计算公式，结合变形即可证明.
结合所给公式，再变形式子来解出，再利用第（1）证明的离散型切比雪夫不等式即可得到矛盾.
【详解】（1）设的所有可能取值为取的概率为.
则 ，
（2）（2）由参考公式，.
，用到
而，故.
当时，，
因此，不能保证.
20．（2022秋·湖北十堰·高三校联考阶段练习）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求，并求当取最大值时p的值；
(2)当时，记一共进行的比赛局数为Y，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求出X可能取值，并求出对应的概率，得到期望，配方后得到期望最大值时对应的p的值；
（2）先得到双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为，比分为2∶1或1∶2的概率均为，考虑和两种情况，分别求出概率，相加即可.
【详解】（1）X可能取值为2，3．
；
．
故，
即，则当时，取得最大值．
（2）当时，双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为；
比分为2∶1或1∶2的概率均为．
，则或．
即获胜方两天均为2∶0获胜，不妨设A部胜，
概率为，同理B部胜，概率为，
故；
即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛，
不妨设最终A部获胜，
当前两天的比分为2∶0和2∶1时，
先从两天中选出一天，比赛比分为2∶1，三场比赛前两场，A部一胜一负，第三场比赛A获胜，另外一天比赛比分为2：0，故概率为，
当前两天比分为2∶0和0∶2，附加赛A获胜时，两天中选出一天，比赛比分为2：0，
概率为，
故最终A部获胜的概率为，
同理B部胜，概率为，
故．
所以．
21．（2022秋·广东广州·高三广州市真光中学校考开学考试）某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据，，其中表示连续用药i天，表示相应的临床疗效评价指标A的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：，，，，，其中.
(1)试判断与哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并建立y关于x的回归方程；
(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.
（i）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；
（ii）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率.
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【答案】(1)适宜，
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）判断出适宜作为y关于x的回归方程类型，利用公式求出y关于x的回归方程；（2）（i）设出事件，利用全概率公式进行求解，（ii）在第一问的基础上，利用条件概率进行求解.
【详解】（1）刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓，故适宜作为y关于x的回归方程类型.
令，得，于是，
因为，，所以，，
所以，，即；
（2）（i）设“随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”，
“随机抽取一件药品为第1条生生产线生产”，
“随机抽取一件药品为第2条生生产线生产”，
则，，
又，，于是
.
（ii）.
22．（2022·广东深圳·统考二模）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中．
(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．
【答案】(1)业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛
(2)的取值范围为：（单位：万元）.
【分析】（1）分别求出第一场比赛，业余队安排乙与甲或丙与甲进行比赛业余队获胜的概率，比较两者的大小即可得出答案.
（2）由已知万元或万元，分别求其对应的概率，得到分布列，求出，由，求出的取值范围.
【详解】（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
;
第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
，
因为，所以，所以.
所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.
（2）由已知万元或万元.
由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.
此时，业余队获胜的概率为，
专业队获胜的概率为，
所以，非平局的概率为，
平局的概率为.
的分布列为：
的数学期望为（万元）
而，所以的取值范围为：（单位：万元）.
23．（2022秋·广东惠州·高三校考期末）在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．
(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的数学期望；
(2)若经过n轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，求出，，求出X的可能取值及相应的概率，求出分布列及数学期望；
（2）可直接在第一问的基础上直接得到，分三种情况，进行求解，分析得到经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况，进行求解.
【详解】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，A，B相互独立，
由题意得：，，
甲的得分X的可能取值为-1,0,1
，
，
所以X的分布列为：
.
（2）由（1）得：，
经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分.
所以
24．（2022秋·广东广州·高三仲元中学校考阶段练习）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人．某省统计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
(1)已知y与x具有较强的线性相关关系，求：y关于x的线性回归方程；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴．
①若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额：
②若大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分别为，，该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围．
参考公式：，．
【答案】(1)
(2)① 300（万元）；②
【分析】（1）利用参考公式分别求出与，代入即可求得；
（2）对于①，利用（1）中的代入估计得选择考研的人数，即可求得结果；
对于②，先设小浙与小江两人中选择考研的的人数为X，求出其数学期望，进而求得考研补贴的数学期望，计算，结合即可求得结果.
【详解】（1）由题意得，，
又，∴
∵，∴，
∴，所以，
故得y关于x的线性回归方程为．
（2）①将代入，
估计该省要发放补贴的总金额为（万元）
②设小浙、小江两人中选择考研的的人数为X，则X的所有可能值为0，1，2；
，
，
，
∴，
∴，解得，
又，∴，∴，
故p的取值范围为．
25．（2022·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下：
改造前：；
改造后：.
(1)完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？
(2)工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为天（即从开工运行到第天，）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为万元/次，保障维护费第一次为万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元.现制定生产设备一个生产周期（以天计）内的维护方案：，.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值.
（其中）
【答案】(1)列联表答案见解析，技术改造前后的连续正常运行时间有差异
(2)分布列答案见解析，均值为万元
【分析】（1）根据题意，补全列联表，代入公式计算结果，对照表格，判断得答案；
（2）首先判断一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为，设一个生产周期内需保障维护的次数为，则服从二项分布，再根据题意找到与生产周期内生产维护费的关系，计算的可能取值，依次计算其概率得分布列，计算分布列的期望，得答案.
【详解】（1）列联表为：
零假设：技术改造前后的连续正常运行时间无差异.
，
依据小概率值的独立性检验分析判断不成立，
即技术改造前后的连续正常运行时间有差异；
（2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，
一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为，
设一个生产周期内需保障维护的次数为，则，
一个生产周期内的正常维护费为万元，保障维护费为万元，
一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元，
设一个生产周期内的生产维护费为，则的所有可能取值为，
所以，的分布列为
一个生产周期内生产维护费的均值为万元.
26．（2022秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）某中学2022年10月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1男（甲同学）2女（乙同学和丙同学）三人参加这两个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为（）．假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为．
(1)证明：在的概率分布中，最大．
(2)对于“定点投篮”项目，比赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，如果投中，则比赛终止，如果没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止．该班代表队的领队了解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为（，2，3），每位同学能否命中相互独立．请帮领队分析如何安排三名同学的出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小？并给出证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小，证明见解析
【分析】（1）分别求出（，1，2，3）的值，作差法比较大小得证；
（2）由（1）知，设三人任意顺序出场时三场投中的概率分别为，，，计算比赛时所需派出的人数的期望，证明成立，说明按排列时最小， 应当以甲、乙、丙的顺序安排出场.
【详解】（1）由已知，的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
∵，∴，
所以概率最大．
（2）由（1）知，当时，有的值最大，
且，，
所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小．
证明如下：
假设，，为，，的任意一个排列，即若甲、乙、丙按照某顺序派出，
该顺序下三人能完成项目的概率为，，，记在比赛时所需派出的人数为，则，2，3，且的分布列为：
数学期望，
∵，∴，
要使尽可能小，则需要尽可能大， 故当取时最小，所以，
∴，
所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小．
27．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立. 在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立. 已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第四名的概率为；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为.
(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动（两项活动均只参加一局）的总得分为 ，求的分布列与数学期望；
(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错时，答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到阶，规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为，记乙进到阶的概率为，求.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】(1)根据题意列出X所有可能取值，针对每一取值做具体分析，写出分布列；
(2)根据题意找出 ， ， 之间的关系，求数列通项即可.
【详解】（1）甲参加“四人赛”时，每局比赛获得第三名的概率为，
依题意，所有可能的取值为
，
所以 的分布列如表所示
所以 ；
（2）依题意， ， ，
“进到阶”的情况包括：第一种情况是进到阶后下一轮未获得5个积分，其概率为；第二种情况是进到阶后下一轮获得5个积分，其概率为，两种情况互斥，所以 ，
则
所以
又 ，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
故
即 ；
综上，为E(X)= ，.
28．（2023秋·江苏·高三统考期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知．
①试证明：为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)①证明见解析 ；②
【分析】（1）方法一：先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；
方法二：判断，结合二项分布的分布列和期望公式确定结论；
（2）①记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，由条件确定的关系，结合等比数列定义完成证明；
②由①求出，比较其大小即可.
【详解】（1）方法一：的所有可能取值为，
在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以，
，
所以的分布列如下：
方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，易知，
所以，
故的分布列为：
所以的期望．
（2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
②由①可知，所以，
所以，
故．
29．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）2021年9月15日至17日，世界新能源汽车大会在海南海口召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车.为了推广该款新能源汽车，购买新能源汽车将会得到相应的补贴，标准如下：
(1)本月在A市购买新能源汽车的4000人中随机抽取300人，统计了他们购买的新能源汽车的价格并制成了如下表格（这4000人购买的新能源汽车价格都在60-100万元之间）利用样本估计总体，试估计本月A市的补贴预算（单位：亿元，保留两位小数）
(2)该公司对这款新能源汽车的单次最大续航里程进行了测试，得到了单次最大续航里程与售价的关系如下表.根据数据可知与具有线性相关关系，请建立与的回归方程（系数精确到）.周小姐想要购买一辆单次最大续航为的该款新能源汽车，请根据回归方程计算周小姐至少要准备多少钱（单位：万元，保留两位小数）
(3)某汽车销售公司为促进消费者购买该新款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，活动规则如下：箱子里有2个红球，1个黄球，1个蓝球，客户从箱子里随机取出一个球（每一个球被取出的概率相同），确定颜色后放回，连续抽到两个红球时游戏结束，取球次数越少奖励越好，记取次球游戏结束的概率为.周小姐参与了此次活动，请求周小姐取球次数的数学期望.
【答案】(1)本月A市的补贴预算亿元
(2)周小姐至少要准备万元.
(3)周小姐取球次数的数学期望为6
【分析】（1）根据题意整理数据，结合平均数运算求解；
（2）根据题意先求线性回归方程，再根据回归方程运算求解；
（3）根据题意分析可得，，利用构造法结合等边数列求得，再结合导数和极限求期望.
【详解】（1）由题意可得：
本月A市的补贴预算万元，
故本月A市的补贴预算亿元.
（2）由题意可得：，
，
则，，
故与的回归方程，
令，即，解得，
故周小姐至少要准备万元.
（3）设数列的前项和为，周小姐取球次数为，
由题意可得：每次抽到红球的概率为，抽到非红球的概率为，
可得，
对到第次还未结束游戏的概率为，则第次为非红球，第次为红球，第次为红球即结束，故第次结束游戏的概率，
则，
若第次还未结束游戏，则第次为非红球，第次为红球，第次为红球即结束，故第次结束游戏的概率，即第次还未结束游戏的概率为，则有：
当第次为非红球时，则第次为非红球或红球均可，之后连续三次依次为非红球、红球和红球，则第次结束游戏，此时有，
当第次为红球时（游戏未结束），则第次为非红球，之后连续三次依次为非红球、红球和红球，则第次结束游戏，此时有，
综上所述：，
可得：，且，
故数列是以首项，公比为的等比数列，
则，可得，且，
故数列是以首项，公比为的等比数列，
则，即，
则，
检验当时均符合上式，故，
则，
设，则，
令，可得，令，可得，
∵，且当时，则，
∴
，
故周小姐取球次数的数学期望为6.
【点睛】关键点点睛：
（1）对于的求和，可以借助于导数运算处理；
（2）常见极限：当时，则.
30．（2022秋·广东东莞·高三统考期末）现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．
(1)在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于；
(2)若，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．
【答案】(1)
(2)使用B型号炮弹，理由见解析
【分析】（1）根据题意，利用间接法与二项分布的概率公式得到关于的不等式，解之即可；
（2）先利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率，再利用作差法与构造函数法，结合导数比较得两概率的大小，从而得到结论.
【详解】（1）因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立，
所以在一次训练中，连发三发B型号炮弹，用表示命中目标飞行物的炮弹数，则（服从二项分布），
则，
即，则，即，则，
又，故，
所以当时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于.
（2）在一次训练中，连发三发A型号炮弹，用表示命中目标飞行物的炮弹数，则（服从二项分布），，
记事件为“使用A型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，事件为“使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，
则
，
，
因为，所以，
则
，
令，则，
令，即，则，得，
又，所以恒成立，
所以在上单调递增，
又，则，
故，即，
所以使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键点有两次，一次是理解A、B型炮弹击中飞行物的次数服从二项分布，进而利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率；二次是利用导数比较两者概率的大小.
X
0
1
2
P
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
0
1
2
淘汰赛
比赛结果
淘汰赛
比赛结果
1/8决赛
荷兰美国
1/4决赛
克罗地亚巴西
阿根廷澳大利亚
荷兰阿根廷
法国波兰
摩洛哥葡萄牙
英格兰塞内加尔
英格兰法国
日本克罗地亚
半决赛
阿根廷克罗地亚
巴西韩国
法国摩洛哥
摩洛哥西班牙
季军赛
克罗地亚摩洛哥
葡萄牙瑞士
决赛
阿根廷法国
欧洲球队
其他球队
合计
闯入8强
未闯入8强
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
欧洲球队
其他球队
合计
进入8强
5
3
8
未进入8强
8
16
24
合计
13
19
32
3
4
5
3
4
5
3
4
5
甲
√
√
甲
√
×
√
甲
×
√
√
乙
×
×
乙
×
×
乙
×
×
3
4
5
3
4
5
3
4
5
甲
√
√
×
甲
√
√
×
甲
√
×
√
乙
√
×
×
乙
×
√
×
乙
√
×
×
3
4
5
3
4
5
3
4
5
甲
√
×
√
甲
×
√
√
甲
×
√
√
乙
×
√
×
乙
√
×
×
乙
×
√
×
3
4
5
3
4
5
甲
√
√
√
甲
√
√
√
乙
√
×
乙
×
√
3
4
5
甲
√
√
√
乙
√
√
×
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码
1
2
3
4
5
销量万辆
10
12
17
20
26
1
2
3
X
0
1
2
P
n
1
2
3
4
5
y
76
56
42
30
26
0
1
2
X
20
30
40
50
60
P
Y
0
1
2
P
10
14
16
18
20
22
性别
锻炼
不经常
经常
女生
40
60
男生
20
80
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
X
-1
0
1
P
大学
A大学
B大学
C大学
D大学
2022年毕业人数x（千人）
7
6
5
4
2022年考研人数y（千人）
0.5
0.4
0.3
0.2
技术改造
设备连续正常运行天数
合计
超过
不超过
改造前
改造后
合计
技术改造
设备连续正常运行天数
合计
超过
不超过
改造前
改造后
合计
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
购买的新能源汽车价格（万元）
补贴（万元）
5
7
10
15
售价x（万元）
66
70
73
81
90
单次最大续航里程
200
230
260
325
405
购买的新能源汽车价格（万元）
频率
补贴（万元）
5
7
10
15
1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】 专题04 概率统计与期望方差分布列大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）
1．（2023秋·浙江·高三校联考期末）抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；
(2)取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）的分布列及数学期望；
(3)取了，…）次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
(3)答案见解析
【分析】（1）运用条件概率公式计算；
（2）按照独立事件计算；
（3）运用独立事件的概率乘法公式结合等比数列求和计算即可.
【详解】（1）设取出的是第一次是一次性筷子为事件A，取出的是第二次非一次性筷子为事件B，
则 ， ，
所以在第二次是非一次性筷子的前提下，第一次是一次性筷子的概率 ；
（2）对于 ，表示三次都是非一次性筷子，非一次性筷子是由放回的， ；
对于，表示三次中有一次筷子，对应的情况有第一次，第二次，第三次是一次性筷子，
；
对于 ，表示三次中有一次是非一次性筷子，同样有第一次第二次第三次之分，
；
数学期望 ；
（3）n次取完表示最后一次是一次性筷子,则前次中有一次取得一次性筷子，
所以
2．（2022·江苏南京·南京市江宁高级中学校考模拟预测）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
①试证明为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；
（2）递推求解，记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，满足.
【详解】（1）解析1：分布列与期望
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，
门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，
，，
，，X的分布列为：
期望．
（1）解析2：二项分布
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，易知，，．X的分布列为：
期望．
（2）解析：递推求解
①第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，
从而，又，∴是以为首项．公比为的等比数列．
②由①可知，，，故．
3．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为.
(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望.
①参考数据：；
②参考公式：（i）线性回归方程：，其中；
（ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强.
（iii），其中.附表：
【答案】(1)，与线性相关较强
(2)认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于
(3)分布列答案见解析，数学期望：
【分析】(1)利用相关系数的求解公式，并转化为和方差之间的关系，代入计算即可；
（2）直接利用独立性检验公式求出，根据零点假设定理判断购买电动汽车与车主性别是否有关；
(3)采用分层抽样先得出男性车主和女性车主的选取人数，得出可能取值0,1,2，分别求出对应概率，即可得的分布列，再结合期望公式，即可求解.
【详解】（1）（1）相关系数为
故与线性相关较强.
（2）零假设为：购买电动汽车与车主性别相互独立，
即购买电动汽车与车主性别无关.
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于.
（3）抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为故
,,
故的分布列为：
4．（2023·浙江·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负．淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负．点球大战分为2个阶段．第一阶段：前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准（非必要无需踢满5轮），前5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利．第二阶段：如果前5轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双方依次轮流踢点球，如果在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利．
下表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果：
注：“阿根廷法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为，在点球大战中阿根廷战胜法国．
(1)请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率．
(2)根据题意填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“32支决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．
(3)若甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战．已知甲队球员每轮踢进点球的概率为p，乙队球员每轮踢进点球的概率为，求在点球大战中，两队前2轮比分为的条件下，甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率（用p表示）．
参考公式：
【答案】(1)
(2)分布列见解析，不能
(3)
【分析】(1)根据古典概型概率公式求解；
(2)由条件数据填写列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值的大小，确定是否接受假设；
(3)根据实际比赛进程，根据独立重复试验概率公式，独立事件概率公式和互斥事件概率公式求概率.
【详解】（1）由题意知卡塔尔世界杯淘汰赛共有16场比赛，其中有5场比赛通过点球大战决出胜负，
所以估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率；
（2）下面为列联表：
零假设支决赛圈球队闯入8强与是否为欧洲球队无关．
．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即不能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．
（3）根据实际比赛进程，假定点球大战中由甲队先踢．两队前2轮比分为的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利，则后3轮有5种可能的比分，．
当后3轮比分为时，甲乙两队均需踢满5轮，．
当后3轮比分为时，有如下3种情况：
则．
当后3轮比分为时，有如下6种情况：
则．
当后3轮比分为时，有如下2种情况：
则
当后3轮比分为时，有如下1种情况：
则．
综上，在点球大战中两队前2轮比分为的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利的概率.
【点睛】方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；
（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
5．（2022秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
(1)统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．
①若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为，求当为何值时，最大．
附： 为回归方程，，．
【答案】(1)，2028年
(2)①万人；②
【分析】（1）根据所给数据，结合线性回归的公式求解方程，再令求解即可；
（2）①计算该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的频数与总人数求解即可；
②根据二项分布的概率公式可得，再求导分析的最大值即可.
【详解】（1）解：由题意得 ，，
，．
所以，．
所以关于的线性回归方程为，令，得，
所以最小的整数为12，，
所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆．
（2）解：①由题意知，该地区200名购车者中女性有名，
故其中购置新能源汽车的女性车主的有名．
所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为．
所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为．
预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆，
因此预测该地区2020年购置新能源汽车的女性车主的人数为万人
②由题意知，，则
当时，知所以函数单调递增
当时，知所以函数单调递减
所以当取得最大值．
此时，解得，所以当时取得最大值．
6．（2022秋·江苏南通·高三校考期中）核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出n份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.若每次检测费用为a元，记检测的总费用为X元.
(1)当n=3时，求X的分布列和数学期望.
(2)比较n=3与n=4两种方案哪一个更好，说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)效果好，理由见解析
【分析】(1)2分阳性在一组，检测7次，各一组，检测10次，写出的所有可能值，求出对应的概率即可求解；
(2)由(1)的思路求出检测总费用的数学期望并比较大小即可得解.
【详解】（1）当时，共分4组，
当2份阳性在一组，第一轮检测4次，第二轮检测3次，共检测7次，
若2分阳性各在一组，第一轮检测4次，第二轮检测6次，共检测10次，
所以检测的总费用的所有可能值为，任意检测有种等可能结果，2分阳性在一组有种等可能结果，
，，
所以检测的总费用的分布列为：
的数学期望，
（2）当时，共分3组，当2份阳性在一组，共检测7次，若2分阳性各在一组，共检测11次，检测的总费用的所有可能值为，任意检测有种等可能结果，2份阳性在一组有种等可能结果，
所以，，
所以检测的总费用的分布列为：
的数学期望,
所以时的方案更好一些.
7．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）2022年冬奥会由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛在改造一新的水立方进行.女子冰壶比赛由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主对奥运冠军发起冲击.奥运会冰壶比赛将分为循环赛､淘汰赛和决赛三部分，其中循环赛前三名晋级淘汰赛.在淘汰赛中，循环赛第一和第二的两支队伍先进行一场比赛，胜者晋级最后的决赛，负者与循环赛第三名再进行一场比赛，胜者晋级决赛，败者即为本届比赛的第三名.决赛决出比赛的第一名与第二名.
(1)循环赛进行九轮比赛，每支队伍都需要与其余九支队伍各进行一场比赛.中国队的主要对手包括加拿大队､瑞士队､瑞典队､英国队.若循环赛的赛程完全随机排列，则中国队在前六轮之内完成与主要对手交锋的概率是多少？
(2)若中国队以循环赛第二名的成绩进入淘汰赛，同时进入淘汰赛的还有排名第一的加拿大队和排名第三的瑞士队.过往战绩表明，中国队与加拿大队对战获胜的概率为40%，与瑞士队对战获胜的概率为60%，加拿大队战胜瑞士队的概率为70%.假定每场比赛胜负的概率独立.若以随机变量X表示中国队最终获得的名次，求其分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为名
【分析】（1）利用排列组合的计数法，分别求出中国队的九个对手在前六轮的排布情况数与主要对手出在前六轮的排布情况数，从而利用古典概型的概率求法求解即可；
（2）先根据题意得到的可能取值，再分析中国队取得对应名次所经历的比赛场次，从而得到对应的概率，进而得到的分布列，由此求得的数学期望.
【详解】（1）依题意，中国队的九个对手在前六轮的排布情况总数为，若四个主要对手都出现在前六轮交锋，则前六轮的排布情况为，
所以中国队在前六轮之内完成与主要对手交锋的概率为.
（2）依题意，的可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列如下：
所以的数学期望为（名）.
8．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数都在内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“”)时，发现满足.
（1）试确定的所有取值，并求；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在的参赛者评为一等奖；分数在的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生和均参加了本次比赛，且学生在第一阶段评为二等奖.
（）求学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率；
（）已知学生和都获奖，记两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）（）；（）分布列见解析，.
【分析】（1）在内，按组距为5可分成6个小区间，分别是,,，，，.由，，能求出的所有取值和；
（2）（）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.学生的分数属于区间，，，，，的概率分别是，，，，，.用符号或（）表示学生 （或）在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，其中，记“学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”为事件，由此能求出学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率；
（）学生最终获得一等奖的概率是，学生最终获得一等奖的概率是，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，求出的分布列和.
【详解】（1）根据题意，在内，按组距为5可分成6个小区间，
分别是，
，
由，.
每个小区间的频率值分别是.
由，解得.
的所有取值为，.
（2）（）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.
由（1）知，学生的分数属于区间的概率分别是：，，，，，.
我们用符号（或)表示学生（或）在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，其中.
记“学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”为事件，
则
.
（）学生最终获得一等奖的概率是，
学生最终获得一等奖的概率是，
，
，
，
的分布列为：
.
【点睛】本题考查频率分布直方图、条件概率、离散型随机变量的分布列、数学期望，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属于难题.
9．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立：
(1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率
(2)设n是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为的概率记为，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分析试验过程，分别求出和，利用条件概率的公式直接计算；
（2）分析 “突击者”一轮攻击造成的伤害为,分为：i.进行次，均不触发技能二；前面的次触发技能一，最后一次不触发技能一；ii.第一次触发技能二，然后的次触发技能一，第次未触发技能一；iii. 前面的次未触发技能二，然后接着的第次触发技能二；前面的触发技能一，第次未触发技能一. 分别求概率.即可求出.
【详解】（1）两次攻击，分成下列情况：i.第一次攻击，技能一和技能二均触发，第二次攻击，技能一和技能二均未触发；ii .第一次攻击，技能一触发，技能二未触发，第二次攻击，技能二触发，技能一未触发；iii. 第一、二次攻击，技能一触发，技能二未触发，第三次攻击，技能一、二未触发；
所以.
.
所以.
（2）“突击者”一轮攻击造成的伤害为,分为：
i. 记事件D：进行次，均不触发技能二；前面的次触发技能一，最后一次不触发技能一.其概率为：
ii. 记事件E：第一次触发技能二，然后的次触发技能一，第次未触发技能一.其概率为：
iii. 记事件：前面的次未触发技能二，然后接着的第次触发技能二；前面的触发技能一，第次未触发技能一. 其概率为：
，
则事件彼此互斥，记，
所以
.
所以
【点睛】关键点睛：这道题关键的地方是题意的理解，文字较多，要明白一轮攻击中含多次攻击，每次攻击判断技能的触发，在第二问中需要分多种情况进行讨论，然后用互斥事件的概率计算公式进行求解
10．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．这种起搏器体积只有传统起搏器的，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为，，，设人工抽检的综合指标不达标率为（）．
(1)求每个芯片智能检测不达标的概率；
(2)人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为，求的极大值点；
(3)若芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良．
【答案】(1)
(2)
(3)该企业需对生产工序进行改良，理由见解析
【分析】（1）设每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为，，，并记芯片智能检测不达标为事件，视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，根据对立事件的性质及事件独立性的定义即可求解；
（2）根据条件得到（），利用导数对进行讨论即可；
（3）设芯片人工抽检达标为事件，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，根据条件概率得到，再由乘法公式得到，即可判断.
【详解】（1）每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为，，，并记芯片智能检测不达标为事件.
视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，
则有，，，
由对立事件的性质及事件独立性的定义得：，
所以每个芯片智能检测不达标的概率为.
（2）人工抽检30个芯片恰有1个不合格品的概率为（），
因此
令，得.
当时，；当时，.
则在上单调递增，在上单调递减，
所以有唯一的极大值点.
（3）设芯片人工抽检达标为事件，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，
由（2）得：，
由（1）得：，
所以，
因此，该企业需对生产工序进行改良.
11．（2023·福建莆田·统考二模）互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量，样本平均数，样本方差；乙镇的样本容量，样本平均数，样本方差．
(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数及其方差；
(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求．
参考数据：．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平均数的计算公式求得，再利用方差的计算公式进行转化求解即可得解；
（2）先根据题意得到的所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得各个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解.
【详解】（1）根据题意，得，
因为，
同理，
所以
，
所以总样本的平均数为，方差.
（2）依题意可知，的所有可能取值为，
设“第场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，“第场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，
则，
所以，
，
，
所以.
12．（2023·福建厦门·统考二模）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5．
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
(2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型 （随机误差）．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计．
(ii)令变量，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数，，，，
【答案】(1),这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
(2)（i）；（ii）经验回归方程;预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.
【分析】（1）根据相关系数计算，若两个变量正相关，若两个变量负相关，越接近于1说明线性相关越强.
（2）(i)整理得，根据二次函数求最小值时的取值；
(ii) 根据计算公式求得经验回归方程， 并代入可预测2024年移动物联网连接数.
【详解】（1）由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.
因为,
所以 ,
所以 ,
所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
（2）(i)
，
要使取得最小值，当且仅当.
(ii) 由(i)知 ，
所以y关于x的经验回归方程，又，
所以当 时，则，
所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.
13．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第号同学得到球后传给号同学的概率为，传给号同学的概率为，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为，30号同学投篮命中的概率为，设传球传到第号的概率为．
(1)求的值；
(2)证明：是等比数列；
(3)比较29号和30号投篮命中的概率大小．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率．
【分析】（1）依题意篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3号传4号，1号传2号传4号，1号传3号传4号按照相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；
（2）依题意可得，即可得到，从而得证；
（3）由（2）利用累加法求出，即可求出、，从而求出号、号命题的概率，即可比较大小.
【详解】（1）解：依题意，篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3号传4号其概率为；
1号传2号传4号其概率为；1号传3号传4号其概率为，
因此．
（2）解：依题意篮球传到第号，再传给号其概率为；
篮球传到第号，再传给号其概率为，因此有，
可得，且，
所以是首先为，公比为的等比数列．
（3）解：，，，，
，，
由累加法，可得
，
所以，，
所以号投篮命中的概率为
号投篮命中的概率为，
因为，所以29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率．
14．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型和．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格．
(1)设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为，求的分布列和数学期望；
(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为，若当时，最大，求的值．
【答案】(1)分布列见解析，1
(2)．
【分析】（1）先得到剂型与合格的概率，求出X的所有可能取值及相应的概率，得到分布列，求出期望值；
（2）求出，令，得到，利用基本不等式求出最值，得到答案.
【详解】（1）剂型合格的概率为：；
剂型合格的概率为：．
由题意知X的所有可能取值为0，1，2．
则，
，
，
则X的分布列为
数学期望．
（2）检测3人确定“感染高危户”的概率为，
检测4人确定“感染高危户”的概率为，
则．
令，因为，所以，
原函数可化为．
因为，
当且仅当，即时，等号成立．
此时，所以．
15．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为，放红球的概率为q，.
(1)若，，记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：
求y关于n的回归方程，并预测时，y的值；（精确到1）
(2)若，，，，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：.
附：经验回归方程系数：，，，.
【答案】(1)；3.
(2)分布列见解析；.
(3)；证明见解析.
【分析】（1）根据所给数据，结合经验回归方程系数公式，即可求得回归方程，继而求得预测值；
（2）确定X的取值可能为，根据条件概率的概率公式求得每一个值对应的概率，即可得分布列，继而求得期望;
（3）求得每一列都至少一个红球的概率，根据对立事件的概率公式可得事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，再求得“每一行都至少一个白球”的概率，结合两事件的关系可得其概率大小关系，即可证明结论.
【详解】（1）由题意知 ,
故，
所以 ，
所以线性回归方程为： ，
所以，估计时，.
（2）由题意知：，，，，
则X的取值可能为，
记“含红球的行数为k”为事件，记“每列都有白球”为事件B，
所以 ，
，
，
所以X的分布列为：
所以数学期望为.
（3）证明：因为每一列至少一个红球的概率为 ,
记“不是每一列都至少一个红球”为事件A，所以，
记“每一行都至少一个白球”为事件B，所以，
显然， ，所以 ，
即，所以.
【点睛】关键点点睛：解答要首先能正确的理解题意，弄清楚题目的要求是什么，比如第二文中的条件概率的计算，要弄清每种情况的含义，第三问难点在于正确计算出“不是每一列都至少一个红球”以及“每一行都至少一个白球”的概率，并能进行判断二者之间的关系，从而比较概率大小，证明结论.
16．（2023·山东枣庄·统考二模）某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宜传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不彩响，求
(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；
(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件概率的计算公式即可求得答案；
（2）方法一：根据女生参加活动的人数确定变量的可能取值，计算每个取值对应的概率，可得变量的分布列，即可求得期望；
方法二：分别计算出一名女生和一名男生参加活动可获得分数的期望，设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，，计算出变量Y的期望，即可求X的期望.
【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，“恰有一名女生参加活动”为事件B．
则，，
所以．
（2）方法一: “选取的两人中女生人数为i”记为事件，，
则，，．
由题意知X的可能值为，“得分为分”分别记为事件，，，，，则
，，；
，，；
，，．
；
；
；
；
，
所以X的分布列为
所以．
方法二：
根据题意，一名女生参加活动可获得分数的期望为，
一名男生参加活动可获得分数的期望为．
设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，
，
则，，．
所以Y的分布列为
则有，
所以．
【点睛】难点点睛：本题考查了条件概率的计算，比较基础，第二问考查随机变量的期望的求解，求解的思路并不困难，但难点在于要根据变量的取值的可能情况，计算每种情况相应的概率，计算较复杂，计算量较大，需要思维缜密，计算仔细。
17．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测）治疗慢性乙肝在医学上一直都是一个难题，因为基本不能治愈，只是可以让肝功能正常，不可以清除病毒，而且发展严重后还具有传染性，所以在各种体检中肝功能的检查是必不可少的.在对某学校初中一个班上64名学生进行体检后，不小心将2份携带乙肝的血液样本和62份正常样本（都用试管独立装好的）混在了一起，现在要将它们找出来，试管上都有标签，采用将共64份样品采用混检的方式，先将其平均分成两组，每组32份，将每组的32份进行混检，若携带病毒的在同一组，则将这一组继续取两份平均分组的混合样本进行检验，若携带病毒的样本不在同一组，则将两组都继续平均分组混检下去，直到最后将两份携带病毒的样本找出为止（样品检验时可以很快出结果，每次含病毒的那一组进行平均分组时，每个含病毒的样本被分到任意一组的概率都是，且互不影响），设共需检验的次数为.
(1)求随机变量的分布列和期望；
(2)若5岁以上的乙肝患者急性和慢性的比例约为 ，急性乙肝炎症治愈率可达 ，没有治愈的会转为慢性乙肝，慢性乙肝炎症治愈率只有 ，在找出两个乙肝样本后通知其进行治疗，求两人最后至少有一人痊愈的概率 .（结果保留两位有效数字）
【答案】(1)分布列见解析，期望为20；
(2)0.97
【分析】（1）先求出病毒被分在同一组和不在同一组的概率，再求出随机变量的可能取值计算出对应概率，列出分布列计算期望即可；
（2）先求出乙肝患者被治愈的概率，再由对立事件计算求出至少有一人痊愈的概率即可.
【详解】（1）病毒被分在同一组的概率为，不被分在同一组的概率为；
若病毒被分在同一组，则下次需要进行2次检验，若病毒不被分在同一组，则下次需要进行4次检验；
若每次病毒均在同一组，则需要进行5次分组，最后一次每组有2份样品，即进行10次检验，；
若前4次病毒均在同一组，第5次病毒不在同一组，此时每组有2份样品，还需要再进行1次分组，再进行4次检验，即进行14次检验，；
若前3次病毒均在同一组，第4次病毒不在同一组，此时每组有4份样品，还需要再进行2次分组，再进行8次检验，即进行16次检验，；
若前2次病毒均在同一组，第3次病毒不在同一组，此时每组有8份样品，还需要再进行3次分组，再进行12次检验，即进行18次检验，；
若第1次病毒在同一组，第2次病毒不在同一组，此时每组有16份样品，还需要再进行4次分组，再进行16次检验，即进行20次检验，；
若第1次病毒不在同一组，此时每组有32份样品，还需要再进行5次分组，再进行20次检验，即进行22次检验，；故随机变量的分布列为：
则；
（2）由题意知是急性乙肝的概率为，慢性乙肝的概率为，则乙肝患者治愈的概率为，
没有治愈的概率为，则两人最后至少有一人痊愈的概率.
18．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
(1)依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第次传球后球在甲手中的概率.
附：
【答案】(1)可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）计算卡方，与6.635比较后得到结论；
（2）利用事件，利用条件概率求出答案；
（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，得到，利用构造法得到，即数列是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式，得到答案.
【详解】（1），
故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）设从这200人中随机选择1人，设选到经常锻炼的学生为事件A，选到的学生为男生为事件B，
则，
则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率；
（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，
则有，，
设，则，
所以，解得：，
所以，其中，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故，
故第次传球后球在甲手中的概率为.
19．（2022秋·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设为离散型随机变量，则，其中为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件的概率作出估计.
(1)证明离散型切比雪夫不等式；
(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数.在一次抽奖游戏中，有个不透明的箱子依次编号为，编号为的箱子中装有编号为的个大小､质地均相同的小球.主持人邀请位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为的箱子中抽取的小球号码为，并记.对任意的，是否总能保证（假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.
附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量满足，则有.
【答案】(1)证明见解析
(2)不能保证，证明见解析
【分析】通过方差的计算公式，结合变形即可证明.
结合所给公式，再变形式子来解出，再利用第（1）证明的离散型切比雪夫不等式即可得到矛盾.
【详解】（1）设的所有可能取值为取的概率为.
则 ，
（2）（2）由参考公式，.
，用到
而，故.
当时，，
因此，不能保证.
20．（2022秋·湖北十堰·高三校联考阶段练习）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求，并求当取最大值时p的值；
(2)当时，记一共进行的比赛局数为Y，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求出X可能取值，并求出对应的概率，得到期望，配方后得到期望最大值时对应的p的值；
（2）先得到双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为，比分为2∶1或1∶2的概率均为，考虑和两种情况，分别求出概率，相加即可.
【详解】（1）X可能取值为2，3．
；
．
故，
即，则当时，取得最大值．
（2）当时，双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为；
比分为2∶1或1∶2的概率均为．
，则或．
即获胜方两天均为2∶0获胜，不妨设A部胜，
概率为，同理B部胜，概率为，
故；
即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛，
不妨设最终A部获胜，
当前两天的比分为2∶0和2∶1时，
先从两天中选出一天，比赛比分为2∶1，三场比赛前两场，A部一胜一负，第三场比赛A获胜，另外一天比赛比分为2：0，故概率为，
当前两天比分为2∶0和0∶2，附加赛A获胜时，两天中选出一天，比赛比分为2：0，
概率为，
故最终A部获胜的概率为，
同理B部胜，概率为，
故．
所以．
21．（2022秋·广东广州·高三广州市真光中学校考开学考试）某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据，，其中表示连续用药i天，表示相应的临床疗效评价指标A的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：，，，，，其中.
(1)试判断与哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并建立y关于x的回归方程；
(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.
（i）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；
（ii）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率.
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【答案】(1)适宜，
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）判断出适宜作为y关于x的回归方程类型，利用公式求出y关于x的回归方程；（2）（i）设出事件，利用全概率公式进行求解，（ii）在第一问的基础上，利用条件概率进行求解.
【详解】（1）刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓，故适宜作为y关于x的回归方程类型.
令，得，于是，
因为，，所以，，
所以，，即；
（2）（i）设“随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”，
“随机抽取一件药品为第1条生生产线生产”，
“随机抽取一件药品为第2条生生产线生产”，
则，，
又，，于是
.
（ii）.
22．（2022·广东深圳·统考二模）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中．
(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．
【答案】(1)业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛
(2)的取值范围为：（单位：万元）.
【分析】（1）分别求出第一场比赛，业余队安排乙与甲或丙与甲进行比赛业余队获胜的概率，比较两者的大小即可得出答案.
（2）由已知万元或万元，分别求其对应的概率，得到分布列，求出，由，求出的取值范围.
【详解】（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
;
第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
，
因为，所以，所以.
所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.
（2）由已知万元或万元.
由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.
此时，业余队获胜的概率为，
专业队获胜的概率为，
所以，非平局的概率为，
平局的概率为.
的分布列为：
的数学期望为（万元）
而，所以的取值范围为：（单位：万元）.
23．（2022秋·广东惠州·高三校考期末）在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．
(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的数学期望；
(2)若经过n轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，求出，，求出X的可能取值及相应的概率，求出分布列及数学期望；
（2）可直接在第一问的基础上直接得到，分三种情况，进行求解，分析得到经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况，进行求解.
【详解】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，A，B相互独立，
由题意得：，，
甲的得分X的可能取值为-1,0,1
，
，
所以X的分布列为：
.
（2）由（1）得：，
经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分.
所以
24．（2022秋·广东广州·高三仲元中学校考阶段练习）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人．某省统计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
(1)已知y与x具有较强的线性相关关系，求：y关于x的线性回归方程；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴．
①若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额：
②若大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分别为，，该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围．
参考公式：，．
【答案】(1)
(2)① 300（万元）；②
【分析】（1）利用参考公式分别求出与，代入即可求得；
（2）对于①，利用（1）中的代入估计得选择考研的人数，即可求得结果；
对于②，先设小浙与小江两人中选择考研的的人数为X，求出其数学期望，进而求得考研补贴的数学期望，计算，结合即可求得结果.
【详解】（1）由题意得，，
又，∴
∵，∴，
∴，所以，
故得y关于x的线性回归方程为．
（2）①将代入，
估计该省要发放补贴的总金额为（万元）
②设小浙、小江两人中选择考研的的人数为X，则X的所有可能值为0，1，2；
，
，
，
∴，
∴，解得，
又，∴，∴，
故p的取值范围为．
25．（2022·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下：
改造前：；
改造后：.
(1)完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？
(2)工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为天（即从开工运行到第天，）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为万元/次，保障维护费第一次为万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元.现制定生产设备一个生产周期（以天计）内的维护方案：，.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值.
（其中）
【答案】(1)列联表答案见解析，技术改造前后的连续正常运行时间有差异
(2)分布列答案见解析，均值为万元
【分析】（1）根据题意，补全列联表，代入公式计算结果，对照表格，判断得答案；
（2）首先判断一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为，设一个生产周期内需保障维护的次数为，则服从二项分布，再根据题意找到与生产周期内生产维护费的关系，计算的可能取值，依次计算其概率得分布列，计算分布列的期望，得答案.
【详解】（1）列联表为：
零假设：技术改造前后的连续正常运行时间无差异.
，
依据小概率值的独立性检验分析判断不成立，
即技术改造前后的连续正常运行时间有差异；
（2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，
一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为，
设一个生产周期内需保障维护的次数为，则，
一个生产周期内的正常维护费为万元，保障维护费为万元，
一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元，
设一个生产周期内的生产维护费为，则的所有可能取值为，
所以，的分布列为
一个生产周期内生产维护费的均值为万元.
26．（2022秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）某中学2022年10月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1男（甲同学）2女（乙同学和丙同学）三人参加这两个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为（）．假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为．
(1)证明：在的概率分布中，最大．
(2)对于“定点投篮”项目，比赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，如果投中，则比赛终止，如果没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止．该班代表队的领队了解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为（，2，3），每位同学能否命中相互独立．请帮领队分析如何安排三名同学的出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小？并给出证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小，证明见解析
【分析】（1）分别求出（，1，2，3）的值，作差法比较大小得证；
（2）由（1）知，设三人任意顺序出场时三场投中的概率分别为，，，计算比赛时所需派出的人数的期望，证明成立，说明按排列时最小， 应当以甲、乙、丙的顺序安排出场.
【详解】（1）由已知，的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
∵，∴，
所以概率最大．
（2）由（1）知，当时，有的值最大，
且，，
所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小．
证明如下：
假设，，为，，的任意一个排列，即若甲、乙、丙按照某顺序派出，
该顺序下三人能完成项目的概率为，，，记在比赛时所需派出的人数为，则，2，3，且的分布列为：
数学期望，
∵，∴，
要使尽可能小，则需要尽可能大， 故当取时最小，所以，
∴，
所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小．
27．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立. 在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立. 已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第四名的概率为；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为.
(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动（两项活动均只参加一局）的总得分为 ，求的分布列与数学期望；
(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错时，答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到阶，规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为，记乙进到阶的概率为，求.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】(1)根据题意列出X所有可能取值，针对每一取值做具体分析，写出分布列；
(2)根据题意找出 ， ， 之间的关系，求数列通项即可.
【详解】（1）甲参加“四人赛”时，每局比赛获得第三名的概率为，
依题意，所有可能的取值为
，
所以 的分布列如表所示
所以 ；
（2）依题意， ， ，
“进到阶”的情况包括：第一种情况是进到阶后下一轮未获得5个积分，其概率为；第二种情况是进到阶后下一轮获得5个积分，其概率为，两种情况互斥，所以 ，
则
所以
又 ，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
故
即 ；
综上，为E(X)= ，.
28．（2023秋·江苏·高三统考期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知．
①试证明：为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)①证明见解析 ；②
【分析】（1）方法一：先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；
方法二：判断，结合二项分布的分布列和期望公式确定结论；
（2）①记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，由条件确定的关系，结合等比数列定义完成证明；
②由①求出，比较其大小即可.
【详解】（1）方法一：的所有可能取值为，
在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以，
，
所以的分布列如下：
方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，易知，
所以，
故的分布列为：
所以的期望．
（2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
②由①可知，所以，
所以，
故．
29．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）2021年9月15日至17日，世界新能源汽车大会在海南海口召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车.为了推广该款新能源汽车，购买新能源汽车将会得到相应的补贴，标准如下：
(1)本月在A市购买新能源汽车的4000人中随机抽取300人，统计了他们购买的新能源汽车的价格并制成了如下表格（这4000人购买的新能源汽车价格都在60-100万元之间）利用样本估计总体，试估计本月A市的补贴预算（单位：亿元，保留两位小数）
(2)该公司对这款新能源汽车的单次最大续航里程进行了测试，得到了单次最大续航里程与售价的关系如下表.根据数据可知与具有线性相关关系，请建立与的回归方程（系数精确到）.周小姐想要购买一辆单次最大续航为的该款新能源汽车，请根据回归方程计算周小姐至少要准备多少钱（单位：万元，保留两位小数）
(3)某汽车销售公司为促进消费者购买该新款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，活动规则如下：箱子里有2个红球，1个黄球，1个蓝球，客户从箱子里随机取出一个球（每一个球被取出的概率相同），确定颜色后放回，连续抽到两个红球时游戏结束，取球次数越少奖励越好，记取次球游戏结束的概率为.周小姐参与了此次活动，请求周小姐取球次数的数学期望.
【答案】(1)本月A市的补贴预算亿元
(2)周小姐至少要准备万元.
(3)周小姐取球次数的数学期望为6
【分析】（1）根据题意整理数据，结合平均数运算求解；
（2）根据题意先求线性回归方程，再根据回归方程运算求解；
（3）根据题意分析可得，，利用构造法结合等边数列求得，再结合导数和极限求期望.
【详解】（1）由题意可得：
本月A市的补贴预算万元，
故本月A市的补贴预算亿元.
（2）由题意可得：，
，
则，，
故与的回归方程，
令，即，解得，
故周小姐至少要准备万元.
（3）设数列的前项和为，周小姐取球次数为，
由题意可得：每次抽到红球的概率为，抽到非红球的概率为，
可得，
对到第次还未结束游戏的概率为，则第次为非红球，第次为红球，第次为红球即结束，故第次结束游戏的概率，
则，
若第次还未结束游戏，则第次为非红球，第次为红球，第次为红球即结束，故第次结束游戏的概率，即第次还未结束游戏的概率为，则有：
当第次为非红球时，则第次为非红球或红球均可，之后连续三次依次为非红球、红球和红球，则第次结束游戏，此时有，
当第次为红球时（游戏未结束），则第次为非红球，之后连续三次依次为非红球、红球和红球，则第次结束游戏，此时有，
综上所述：，
可得：，且，
故数列是以首项，公比为的等比数列，
则，可得，且，
故数列是以首项，公比为的等比数列，
则，即，
则，
检验当时均符合上式，故，
则，
设，则，
令，可得，令，可得，
∵，且当时，则，
∴
，
故周小姐取球次数的数学期望为6.
【点睛】关键点点睛：
（1）对于的求和，可以借助于导数运算处理；
（2）常见极限：当时，则.
30．（2022秋·广东东莞·高三统考期末）现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．
(1)在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于；
(2)若，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．
【答案】(1)
(2)使用B型号炮弹，理由见解析
【分析】（1）根据题意，利用间接法与二项分布的概率公式得到关于的不等式，解之即可；
（2）先利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率，再利用作差法与构造函数法，结合导数比较得两概率的大小，从而得到结论.
【详解】（1）因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立，
所以在一次训练中，连发三发B型号炮弹，用表示命中目标飞行物的炮弹数，则（服从二项分布），
则，
即，则，即，则，
又，故，
所以当时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于.
（2）在一次训练中，连发三发A型号炮弹，用表示命中目标飞行物的炮弹数，则（服从二项分布），，
记事件为“使用A型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，事件为“使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，
则
，
，
因为，所以，
则
，
令，则，
令，即，则，得，
又，所以恒成立，
所以在上单调递增，
又，则，
故，即，
所以使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键点有两次，一次是理解A、B型炮弹击中飞行物的次数服从二项分布，进而利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率；二次是利用导数比较两者概率的大小.
X
0
1
2
P
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
0
1
2
淘汰赛
比赛结果
淘汰赛
比赛结果
1/8决赛
荷兰美国
1/4决赛
克罗地亚巴西
阿根廷澳大利亚
荷兰阿根廷
法国波兰
摩洛哥葡萄牙
英格兰塞内加尔
英格兰法国
日本克罗地亚
半决赛
阿根廷克罗地亚
巴西韩国
法国摩洛哥
摩洛哥西班牙
季军赛
克罗地亚摩洛哥
葡萄牙瑞士
决赛
阿根廷法国
欧洲球队
其他球队
合计
闯入8强
未闯入8强
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
欧洲球队
其他球队
合计
进入8强
5
3
8
未进入8强
8
16
24
合计
13
19
32
3
4
5
3
4
5
3
4
5
甲
√
√
甲
√
×
√
甲
×
√
√
乙
×
×
乙
×
×
乙
×
×
3
4
5
3
4
5
3
4
5
甲
√
√
×
甲
√
√
×
甲
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×
√
乙
√
×
×
乙
×
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×
乙
√
×
×
3
4
5
3
4
5
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4
5
甲
√
×
√
甲
×
√
√
甲
×
√
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乙
×
√
×
乙
√
×
×
乙
×
√
×
3
4
5
3
4
5
甲
√
√
√
甲
√
√
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乙
√
×
乙
×
√
3
4
5
甲
√
√
√
乙
√
√
×
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码
1
2
3
4
5
销量万辆
10
12
17
20
26
1
2
3
X
0
1
2
P
n
1
2
3
4
5
y
76
56
42
30
26
0
1
2
X
20
30
40
50
60
P
Y
0
1
2
P
10
14
16
18
20
22
性别
锻炼
不经常
经常
女生
40
60
男生
20
80
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
X
-1
0
1
P
大学
A大学
B大学
C大学
D大学
2022年毕业人数x（千人）
7
6
5
4
2022年考研人数y（千人）
0.5
0.4
0.3
0.2
技术改造
设备连续正常运行天数
合计
超过
不超过
改造前
改造后
合计
技术改造
设备连续正常运行天数
合计
超过
不超过
改造前
改造后
合计
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
购买的新能源汽车价格（万元）
补贴（万元）
5
7
10
15
售价x（万元）
66
70
73
81
90
单次最大续航里程
200
230
260
325
405
购买的新能源汽车价格（万元）
频率
补贴（万元）
5
7
10
15
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