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【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题04 概率统计与期望方差分布列大题 （拔高版）
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对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】 专题04 概率统计与期望方差分布列大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）
1．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；
（ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X =99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n．
参考公式：（其中为样本容量）
【答案】(1)表格见解析，可以认为
(2)（i）；（ii）109或110．
【分析】(1)根据独立性检验的方法求解即可；
(2)根据二项分布的概率公式列出不等式即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只），
在内有（只）．
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；
而指标值小于60的小白鼠共有只，
所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
故列联表如下：单位：只
零假设为:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联．
根据列联表中数据，得，
根据的独立性检验，推断不成立，
即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，
此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，
事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，
事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，
记事件A，B，C发生的概率分别为，
则，，
，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率，
（ii）由题意，知随机变量，
，
因为最大，
所以，
解得
是整数，所以或，
接受接种试验的人数为109或110．
2．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如图数据：
(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；
(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用组合数，计算情况数，根据古典概型的概率计算公式，可得答案；
（2）根据离散性分布列的计算方法，结合数学期望的计算公式，可得答案.
【详解】（1）由图可知，参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6所，能抽取的情况数有，
这6所学校中参与“自由式滑雪”的人数超过30人有4所，能抽到的情况数为，
则在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率为.
（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校有所，所以可能的取值为，
，，，，
的分布列为：
.
3．（2023·广东广州·统考一模）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
(2)记甲第i次答题所得分数的数学期望为.
①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若，求i的最小值.
【答案】(1)；
(2)①，，且；②5.
【分析】（1）甲甲前3次答题得分之和为40分的事件是甲前3次答题中恰答对一次的事件，再利用相互独立事件概率的乘法公式计算作答.
（2）①求出，再分析、写出与满足的等量关系式作答；②利用构造法求出的通项，列出不等式并结合单调性作答.
【详解】（1）甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.
（2）①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，
则，显然，
，甲第次答题所得分数的数学期望为，
因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，
于是甲第i次答题所得分数的数学期望为，
所以与满足的等量关系式是：，，且；
②由①知，，当时，，而，
因此数列以为首项，为公比的等比数列，，
于是，由得：，显然数列是递增数列，
而，则有正整数，
所以i的最小值是5.
4．（2023·广东湛江·统考一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值s作为估计值．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及X的数学期望．
参考公式：直方图的方差，其中为各区间的中点，为各组的频率．
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，，．
【答案】(1)
(2)（i）需停止生产并检查设备；（ii），
【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的计算公式，即可求得，继而结合方差的计算公式求得；
（2）（i）根据，，确定，，判断抽查的零件关键指标有无在之外的情况，即可得结论；（ii）求出抽测一个零件关键指标在之外的概率，确定，根据二项分布的概率公式以及期望公式，即可求得答案.
【详解】（1）由频率分布直方图，得．
．
（2）（i）由（1）可知，，
所以，，
显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备．
（ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为，
所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为，
故，所以，
X的数学期望．
5．（2023·江苏·统考一模）某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占a%，若逐个化验需化验2000次.为减轻化验工作量，随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.
(1)若，，试估算该小区化验的总次数；
(2)若，每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费元.求n为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小.
（注：当时，）
【答案】(1)180次；
(2)10.
【分析】（1）设每位居民需化验的次数为，则可取，，分别求概率，进而可得期望，即得；
（2）设每组n人总费用为Y元，结合条件计算，然后表示出结合基本不等式即得.
【详解】（1）设每位居民需化验的次数为X，
若混合血样为阴性，则，若混合血样呈阳性，则，
所以，，
，
所以2000名居民总化验次数约为次；
（2）设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性则，若混合血样为阳性，则，
所以，，
所以，
每位居民的化验费用为：
元，
当且仅当，即时取等号，
故时，每位居民化验费用的期望最小.
6．（2023·江苏·统考一模）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
【答案】(1)
(2)①；②方案二中取到红球的概率更大.
【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题；
（2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论.
【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，
（1）.
所以试验一次结果为红球的概率为.
（2）①因为，是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
②由①得，
所以方案一中取到红球的概率为：
，
方案二中取到红球的概率为：
，
因为，所以方案二中取到红球的概率更大.
7．（2023·辽宁沈阳·统考一模）2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金．已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的概率为，黄政/孙艺赢的概率为，且每场比赛相互独立．
(1)若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率；
(2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况？
(3)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲/陈宇组合获得奖金数X的分布列．
【答案】(1)
(2)28
(3)分布列见详解
【分析】（1）根据题意结合对立事件的概率求法运算；
（2）根据题意可得有四则可能，再结合组合数运算求解；
（3）根据题意分析可得奖金数X的可能取值，结合（2）求相应的概率，即可得结果.
【详解】（1）“比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金”的对立事件为“黄政/孙艺组合再连赢2场”，
故比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率.
（2）设5场比赛中韩菲/陈宇组合赢场、黄政/孙艺组合赢场，用表示比赛结果，
若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则有：，
故共有种不同的情况.
（3）若韩菲/陈宇组合赢1场、黄政/孙艺组合赢4场，则韩菲/陈宇组合获得奖金数为0元；
若韩菲/陈宇组合赢2场、黄政/孙艺组合赢3场，则韩菲/陈宇组合需再连赢2场，其概率为，故韩菲/陈宇组合获得奖金数为元；
若韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，则韩菲/陈宇组合需再赢1场，其概率为，故韩菲/陈宇组合获得奖金数为元；
若韩菲/陈宇组合赢4场、黄政/孙艺组合赢1场，则韩菲/陈宇组合获得奖金数为10000元；
即奖金数X的可能取值有，则有
，
故奖金数X的分布列为：
8．（2023·江苏·二模）为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费商场在春节期间推出“你摸球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的个红球和个黑球，乙盒内有大小相同的个红球和个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取个球．具体规则如下：摸出个红球记为一等奖，没有红球记为二等奖，个红球记为三等奖，个红球记为鼓励奖.
(1)获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为折、折、折和折．记随机变量为获得各奖次的折扣率，求随机变量的分布列及期望；
(2)某一时段内有人参加该促销活动，记随机变量为获得折及以下资格的人数，求．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）根据古典概型和相互独立事件的概率乘法公式可求得分布列，进而求出离散型随机变量的期望；
（2）根据随机变量服从二项分布，利用二项分布概率公式即可得解．
【详解】（1）设事件为“从甲盒中取出i个红球”，事件为“从乙盒中取出个红球”，
则，,
记为取出的个球中红球的个数，
则，
，
，
，
由题意得的分布列为
则；
（2）由（1）可知，获得折及以下资格的概率为．
由题意得，则.
9．（2023·辽宁·哈尔滨三中校联考一模）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：
(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；
(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：
并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.
附：参考数据：；；.
【答案】(1)476人
(2)答案见解析
【分析】（1）利用频数分布表，求得样本的平均数，从而写出X近似服从正态分布，利用参考数据求得参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数；
（2）根据频数分布表和已知条件，完善列联表，根据独立性检验的公式，求出学生性别与获得“运动达人”称号是否有关联和它们之间如何相互影响.
【详解】（1）由频数分布表知
，则，，
，
，
参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人.
（2）由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为：，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有20名男生，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：
由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：
列联表如下：
零假设为：学生性别与获得“运动达人”称号无关
依据的独立性检验，我们推断不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；
而且此推断犯错误的概率不大于，根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为：和，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号.
10．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为．
(1)求甲队第二场比赛获胜的概率；
(2)用表示比赛结束时比赛场数，求的期望；
(3)已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3．
根据对立事件的概率公式即可求解；
（2）由题意知的可能取值为2，3，结合对立事件和独立事件的概率公式和数学期望的计算公式即可求解；
（3）根据对立事件、独立事件的概率公式和条件概率公式计算即可求解.
【详解】（1）设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3．
由全概率公式．
（2）的可能取值为2，3．
由题意知，由（1）知，
则，，
，
，．
（3），此时，
．
11．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果呈阳性的概率为2%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.
(1)假设该疾病患病的概率是0.3%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；
(2)根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：
方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人，试分析哪一个方案的工作量更少？
参考数据：，.
【答案】(1)14.7%
(2)方案二的工作量更少
【分析】（1）设事件为“核酸检测呈阳性”，事件为“患疾病”，利用条件概率公式求解即可；
（2）设方案一和方案二中每组的检测次数为，分别求出两种方案检测次数的分布列，进而得出期望，通过比较期望的大小即可得出结论.
【详解】（1）设事件为“核酸检测呈阳性”，事件为“患疾病”.
由题意可得，，，
由条件概率公式得：，
即，
故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为14.7%.
（2）设方案一中每组的检测次数为，则的取值为1，6，
，，
所以的分布列为
所以，
即方案一检测的总次数的期望为.
设方案二中每组的检测次数为，则的取值为1，12，
，，
所以的分布列为
所以，
即方案二检测的总次数的期望为.
由，则方案二的工作量更少.
12．（2023·福建福州·统考二模）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．
(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）
(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X~N（17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．
附：若随机变量×服从正态分布N（μ，2），则P（μ-≤X≤μ+≈0.6827，P（μ-2≤X≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.158653≈0.004．
【答案】(1)总样本的均值为17，方差为23；据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23
(2)
【分析】（1）根据均值方差的计算公式代入计算即可求解；
（2）利用正态分布的性质和所给数据即可求解计算.
【详解】（1）把男性样本记为，其平均数记为，方差记为；
把女性样本记为，其平均数记为，方差记为．则．
记总样本数据的平均数为，方差为．
由，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
可得总样本平均数为．
根据方差的定义，总样本方差为
由可得
同理，，
因此，
所以，
所以总样本的均值为17，方差为23，
并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23．
（2）由（1）知，所以，又因为，
所以，
因为，
所以．
所以3位参与者的脂肪含量均小于的概率为．
13．（2023·山东青岛·统考一模）今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就．某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照，，，分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；
(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用表示这10名学生中恰有k名学生的成绩在上的概率，求取最大值时对应的k的值；
(3)从测试成绩在的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析；
【分析】（1）根据题意，由中位数的意义列出方程，即可得到结果；
（2）根据题意可得，当取最大值时，则，
然后求解，即可得到结果；
（3）由题意可得，甲乙分别进入复赛的概率，然后求得的概率，即可得到分布列与期望.
【详解】（1）因为前两个矩形的面积之和为，前三个矩形面积为，
所以中位数在之间，设中位数为，
则，解得，故中位数为.
（2）由题意可得，成绩在上的概率为，则不在的概率为，
所以，即有，，
当取最大值时，则，
即，
解得，即，
且，所以.
（3）由题意可知，从6道题中选4题共有，
因为甲能答对6道题中的4道题，故甲能进复赛的情况共有，
所以甲能进复赛的概率为，则甲不能进复赛的概率为；
因为乙能答对6道题中的3道题，故乙能进复赛的情况共有,
所以乙能进复赛的概率为，则乙不能进复赛的概率为；
依题可得，的可能取值为，
所以，，，
则分布列为:
则.
14．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱．并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．
(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；
(2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率．
【答案】(1)样本均值为1.2，样本方差为0.76
(2)
【分析】（1）首先求分层抽取的两个班的人数，再根据两个班抽取人数的平均数和方差，结合总体平均数和方差公式，代入求值；
（2）根据全概率公式和条件概率公式，即可求解.
【详解】（1）一班抽取人，二班抽取人，
一班样本平均数为，样本方差为；二班样本的平均数为，样本方差为；总样本的平均数为．
记总样本的样本方差为，
则．
所以，这20人答对题目的样本均值为1.2，样本方差为0.76．
（2）设事件A为“李明同学从乙箱中抽出的第1个题是选择题”，
事件为“王刚同学从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件为“王刚同学从甲箱中取出1个选择题1个填空题"，
事件为“王刚同学从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则、、，彼此互斥，且，
，，，
，，，
所求概率即是A发生的条件下发生的概率：
．
15．（2023·山东聊城·统考一模）某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目．选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表：
(1)利用上述样本数据填写以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异．
(2)假设该校高一所有学生中有的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为．若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量的均值．
附：
【答案】(1)存在
(2)16
【分析】（1）根据题意完善列联表，根据表中数据求，并与临界值对比分析；
（2）根据全概率公式求，可得，再根据二项分布求.
【详解】（1）由题意可得：选择物理类的总人数有600，其中选择生物学科的人数为180，不选择生物学科的人数为420；选择历史类的总人数有400，其中选择生物学科的人数为80，不选择生物学科的人数为320；据此完善列联表
零假设：两类学生对生物学科的选法没有差异，
可得，
由于，根据小概率值可知假设不成立，
故可以认为两类学生对生物学科的选法存在差异，且犯错误的概率不大于.
（2）记“学生选择物理类”为事件M，“学生选择历史类”为事件N，“同时选择的地理和化学”为事件C，
则，
故，
由题意可得，则，
故随机变量的均值.
16．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.
(1)记总的抽取次数为X，求E（X）；
(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
【答案】(1)
(2)6，答案见解析
【分析】（1）确定X可能取值为4，5，6，7，分别求出概率后，由期望公式计算出期望；
（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和，利用独立事件概率公式求得的概率，再由期望公式计算出期望，根据白球对取到黒球的影响说明期望的大小关系．
【详解】（1）X可能取值为4，5，6，7，
，
；
（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和 ，
，
，
，
，
.
在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其它球，则该球的干扰作用已经消失，所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低.
17．（2023·湖北·统考模拟预测）某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；
(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数；
(3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值．
附：若随机变量X服从正态分布，则：，，．
【答案】(1)
(2)人
(3)分布列见解析，均值为
【分析】(1)根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解；
(2)由可知即可求解；
(3)根据题意确定Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，利用独立性可求得分布列，进而求得均值.
【详解】（1）样本平均数的估计值为．
（2）因为学生初试成绩X服从正态分布，其中，，
则，
所以，
所以估计初试成绩不低于88分的人数为人．
（3）Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，
则，
，
，
，
，
，
故Y的分布列为：
所以数学期望为．
18．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．
若年份x（2015年记为，2016年记为，以此类推）与发展总指数y存在线性关系．
(1)求年份x与发展总指数y的回归方程；
(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X表示赋分之和，求X的分布列和数学期望．
参考公式：回归方程，其中，，，．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用已知数据求，，利用公式和参考数据求，，由此可得回归方程；
（2）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由均值公式求均值.
【详解】（1）由已知，
所以
又
所以，
因为，
所以，
∴．
（2）由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个．
∴，，．
所以X的分布列为
数学期望为．
19．（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知识测试”，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该校“不合格”的人数不超过总人数的，则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，并将这10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有6名学生，乙组有4名学生．甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）．
(1)求这10名学生测试成绩的平均分和标准差；
(2)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布．将上述10名学生的成绩作为样品，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．利用估计值估计：高一学生知识达标是否“合格”？
(3)已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求的分布列及数学期望．
附：①个数的方差；
②若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】(1)；；
(2)能；
(3)分布列见解析；．
【分析】（1）计算出，以及与的值，再利用标准差公式即可；
（2）首先由题得，，再根据正态分布的对称性计算出，最后得到不合格人数，得到合格率.
（3）的可能取值为0，2，5，分别计算出其概率，得到分布列，最后得到期望.
【详解】（1），
，解得，
，解得，
这40名学生的方差为
，
．
（2）由，，得的估计值，的估计值，
，
，
从而高三年级1000名学生中，不合格的有（人），
又，所以高三年级学生体能达标为“合格”．
（3）由题意得，的可能取值为0，2，5，
，
，
，
的分布列为
．
20．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.
(1)若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；
(2)经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为，18班代表队胜的概率为，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X，求随机变量X的数学期望.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据古典概型概率公式、全概率公式可得2班代表队从乙箱中取出1个选择题的概率，然后根据条件概率公式计算即可；
（2）由题意知：X的可能取值为3，4，5，分别计算对应的概率，利用数学期望的公式计算.
【详解】（1）设事件A为“2班代表队从乙箱中取出1个选择题”，事件为“1班代表队从甲箱中取出2个都是选择题”，事件为“1班代表队从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“I班代表队从甲箱中取出2个题都是填空题”
则、、彼此互斥，且，
因为 ，，
所以 ，，，
，
所求概率即是A发生的条件下发生的概率：
.
（2）由题意知：X的可能取值为3、4、5，
两班代表队打完三局恰好结束比赛的基本事件有{三局6班胜}，{三局18班胜}，
而第一局比赛6班获胜的概率为，则第一局比赛18班获胜的概率为，又胜者在接下来一局获胜的概率为，
所以，
当时，前三局{两局6班胜，一局18班胜，最后6班胜}，{两局18班胜，一局6班胜，最后18班胜}，
最后6班胜概率为，
最后18班胜概率为 ，
所以，
则有，
综上，.
21．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某学校食堂中午和晩上都会提供两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；在中午选择类套餐的前提下，晩上还选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；在中午选择类套餐的前提下，晩上选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为.
(1)若同学甲晩上选择类套餐，求同学甲中午也选择类套餐的概率；
(2)记某宿舍的4名同学在晩上选择类套餐的人数为，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【分析】（1）根据条件概率和全概率公式计算即可；
（2）分别求出,1,2,3,4时的概率，得到分布列，然后求期望即可.
【详解】（1）设事件为同学甲晩上选择类套餐，事件为同学甲中午选择类套餐，事件为同学甲中午选择类套餐，则，
，
所以，即同学甲晩上选择类套餐，中午也选择类套餐的概率为.
（2）晩上选择类套餐的概率；
晩上选择类套餐的概率.
所以4名同学在晩上有个人选择类套餐，的所有可能取值为，
则，
所以，，，，，
所以的分布列为
故.
22．（2023·湖南·校联考模拟预测）基础学科招生改革试点，也称强基计划，强基计划是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（x）和物理成绩（y），绘制成如图散点图：
根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：，，，，，其中分别表示这50名考生的数学成绩､物理成绩，，2，…，50，y与x的相关系数.
(1)若不剔除A，B两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为.试判断与r的大小关系（不必说明理由）；
(2)求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到0.1）
附：线性回归方程中：.
【答案】(1)
(2)，估计B考生的物理成绩约为81.2分
【分析】（1）根据已知条件，结合散点图，即可求解．
（2）根据已知条件，结合最小二乘法，以及线性回归方程的公式，求出线性回归方程，再将代入，即可求解．
【详解】（1）
理由如下：由图可知，与成正相关关系，
①异常点，会降低变量之间的线性相关程度，
②52个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，
③50个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，
④50个数据点更贴近其回归直线，
⑤52个数据点与其回归直线更离散．
（2）由题中数据可得：，
所以，所以，
，
所以，
将代入，得，
所以估计B考生的物理成绩约为81.2分.
23．（2023·湖南常德·统考一模）某水表制造有限公司，是一家十分优质的水表制造公司，该公司有3条水表表盘生产线.
(1)某检验员每天从其中的一条水表表盘生产线上随机抽取100个表盘进行检测，根据长期生产经验，可以认为该条生产线正常状态下生产的水表表盘尺寸服从正态分布N（μ，）.记X表示一天内抽取的100个表盘中其尺寸在之外的个数，求P及X的数学期望；
(2)该公司的3条水表表盘生产线其次品率和生产的表盘所占比例如下表：
现从所生产的表盘中随机抽取一只，若已知取到的是次品，试求该次品分别由三条生产线所生产的概率，并分析该次品来自哪条生产线的可能性最大（用频率代替概率）.
附：若随机变量Z服从正态分布N（），则，
【答案】(1)，；
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意得到抽取的一个表盘的尺寸在之内的概率为0.9973，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0027，判断服从二项分布，结合参考数据，即可求解；
（2）设A表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第i条生产线生产”，根据题目所给数据结合全概率公式得到，再分别求出次品分别由三条生产线所生产的概率，比较大小即可.
【详解】（1）抽取的一个表盘的尺寸在之内的概率为0.9973，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0027，
由题可知，
所以，
且X的数学期望为，
（2）设A表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第i条生产线生产”，
由题意得：，，，
，
，
所以，
，
，
故该次品来自第1条生产线的可能性最大.
24．（2023·湖南邵阳·统考二模）为响应习近平总书记“全民健身”的号召，促进学生德智体美劳全面发展，某校举行校园足球比赛．根据比赛规则，淘汰赛阶段，参赛双方有时需要通过“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：
①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；
②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为，则不需要再踢第5轮）；
③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．
假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确，左右两边将球扑出的可能性为，中间方向扑出的可能性为．若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数的分布列和数学期望．
(2)现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，需要通过“点球大战”来决定胜负．设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，若甲队先踢，求甲队恰在第4轮取得胜利的概率．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为；
(2)
【分析】（1）根据二项分布的概率计算公式即可求解
（2）根据前3轮比分为，，，，时，结合相互独立事件的概率乘法计算公式即可逐一求解.
【详解】（1）（每次扑出点球）．
的所有可能取值为0，1，2，3，4．∴．
．
．
．
．
∴的分布列
∴．
（2）若甲队恰在第4轮取得胜利，则前3轮结束时比分可能为，，，，．分别记前3轮比分为，，，，且甲队恰在第4轮取得胜利，事件分别为A，B，C，D，E．
．
．
．
．
．
故（甲队恰在第4轮取得胜利）．
∴甲队恰在第4轮取得胜利的概率为．
25．（2023秋·浙江宁波·高三期末）甲、乙两位棋手，与同一台智能机器人进行国际象棋比赛，相互独立，互不影响，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率0.5.记甲在一轮比赛中的得分记为X，在两轮比赛中的得分为Y.
(1)若甲单独与机器人进行三次比赛，求甲恰有两次赢的概率；
(2)求X的分布列；
(3)求Y的均值.
【答案】(1)0.432
(2)分布列见解析
(3)
【分析】（1）利用独立重复试验求概率公式进行求解；
（2）写出X的可能取值及相应的概率，得到分布列；
（3）在第二问的基础上，写出Y的可能取值及相应的概率，得到分布列，得到均值.
【详解】（1）设甲恰有两次赢的概率为，
；
（2）X的可能取值为，0，1.
根据记分规则，得，
，
，
所以X的分布列为
（3）两轮比赛甲的得分Y的可能取值为.
由于两轮比赛的结果是独立的，所以
，
，
，
所以Y的分布列为
故.
26．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）糟蛋是新鲜鸭蛋（或鸡蛋）用优质糯米糟制而成，是中国别具一格的特色传统美食，以浙江平湖糟蛋、陕州糟蛋和四川宜宾糟蛋最为著名.平湖糟蛋采用优质鸭蛋、上等糯米和酒糟糟渍而成，经过糟渍蛋壳脱落，只有一层薄膜包住蛋体，其蛋白呈乳白色，蛋黄为橘红色，味道鲜美.糟蛋营养丰富，每百克中约含蛋白质15.8克、钙24.8克、磷11.1克、铁0.31克，并含有维持人体新陈代谢必须的18种氨基酸.现有平湖糟蛋的两家生产工厂，产品按质量分为特级品、一级品和二级品，其中特级品和一级品都是优等品，二级品为合格品.为了比较两家工厂的糟蛋质量，分别从这两家工厂的产品中各选取了200个糟蛋，产品质量情况统计如下表：
(1)从400个糟蛋中任取一个，记事件表示取到的糟蛋是优等品，事件表示取到的糟蛋来自于工厂甲.求；
(2)依据小概率值的独立性检验，从优等品与合格品的角度能否据此判断两家工厂生产的糟蛋质量有差异？
附：参考公式：，其中.
独立性检验临界值表：
【答案】(1)
(2)认为两家工厂生产的糟蛋质量有差异
【分析】（1）根据条件概率的知识求得.
（2）先绘制列联表，然后计算的值，从而作出判断.
【详解】（1）.
（2）列联表：
零假设为：两家工厂生产的糟蛋质量没有差异.
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为两家工厂生产的糟蛋质量有差异.
27．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）据第19届亚运会组委会消息，杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日举行，为此，某校开展了青少年亚运会知识问答竞赛，有400名学生参赛，竞赛成绩所得分数的分组区间为，由此得到如下的频数统计表：
(1)若某学生得分不低于80分则认为他亚运会知识掌握良好，若某学生得分低于80分则认为他亚运会知识掌握一般，那么是否有95%的把握认为该校学生对亚运会知识的掌握情况与性别有关？
(2)利用对不同分数段进行分层抽样的方式从参赛学生中随机抽取20名学生作进一步调研.
（i）从这20名学生中依次再抽取3名进行调查分析，求在第一次抽出的1名学生分数在区间内的条件下，后两次抽出的2名学生分数都在内的概率；
（ii）从这20名学生中再任取3名进行调查分析，记取出的3人中分数在[90,100]内的人数为，求的分布列和数学期望.
附：
【答案】(1)有95%的把握认为该校学生对亚运会知识的掌握情况与性别有关；
(2)（i）；（ii）分布列见解析，.
【分析】（1）由题设完善列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论；
（2）（i）分层抽样性质求、抽取的人数，应用排列、组合及古典概率求法求第一次抽出1名学生分数在区间内、同时后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间内的概率，应用条件概率公式求概率；
（ii）由题意的可能取值有，进而求其分布列并求期望值.
【详解】（1）根据题意得如下2×2列联表
因此，有95%的把握认为该校学生对亚运会知识的掌握情况与性别有关.
（2）
分层抽样得分位于的共有6人，得分位于的有5人，
（i）记事件：第一次抽出1名学生分数在区间内，
记事件：后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间内，
则，
由条件概率公式得；
（ii）由题意知，的可能取值有，
故，
故的分布列如下，
.
28．（2023·浙江·校联考三模）大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽工程．为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为的渗压计，随机收集个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：
并计算得，，．
(1)估计该水库中号渗压计管内平均水位与水库的平均水位；
(2)求该水库号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到）；
(3)某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为．利用以上数据给出此时号渗压计管内水位的估计值．
附：相关系数，，，．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据平均数的计算方法直接求解即可；
（2）根据表格数据计算得到相关系数公式中的各个数据，代入公式即可；
（3）由最小二乘法可求得经验回归方程，代入即可求得预估值.
【详解】（1）水库的平均水位，
号渗压计管内平均水位.
（2），
同理可得：，
，
（3），，
号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为，
当时，预测值，
即水库的水位为时，号渗压计管内水位的估计值为.
29．（2023·浙江温州·统考二模）在一次全市的联考中，某校高三有100位学生选择“物化生”组合，100位学生选择“物化地”组合，现从上述的学生中分层抽取100人，将他们此次联考的化学原始成绩作为样本，分为6组：，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中的值；
(2)在抽取的100位学生中，规定原始成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“不够优秀"，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为成绩是否优秀与所选的组合有关？
(3)浙江省高考的选考科目采用等级赋分制，等级赋分的分差为1分，具体操作步骤如下：
第一步：将原始成绩从高到低排列，按人数比例划分为20个赋分区间．
第二步：对每个区间的原始成绩进行等比例转换，公式为：
其中分别是该区间原始成绩的最低分､最高分；分别是该区间等级分的最低分､最高分；为某考生原始成绩，为转换结果．
第三步：将转换结果四舍五入，确定为该考生的最终等级分．
本次联考采用浙江选考等级赋分制，已知全市所有的考生原始成绩从高到低前的考生被划分至的赋分区间，甲､乙两位考生的化学原始成绩分别为，最终的等级分为98､99．试问：本次联考全市化学原始成绩的最高分是否可能是91分？请说明理由．
附：，其中．
【答案】(1)；
(2)填表见解析；没有的把握认为成绩是否优秀与所选的组合有关；
(3)最高分不可能是91分，理由见解析.
【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积和为1，列式计算作答.
（2）利用频率分布直方图求出“优秀”人数，完善列联表，再求出的预测值并作答.
（3）假定最高分是91分，求出甲乙的等级分成绩即可判断作答.
【详解】（1）由频率分布直方图得：，解得，
所以直方图中的值是.
（2）由频率分布直方图“优秀”人数为人，则不够优秀的为85人，
所以列联表为：
零假设：成绩是否优秀与所选的组合无关，
因此，
所以没有的把握认为成绩是否优秀与所选的组合有关．
（3）假设本次联考全市化学原始成绩的最高分是91分，
则有，
此时99.73四舍五入后变为100分，与99分矛盾，因此假设不成立，
所以本次联考全市化学原始成绩的最高分不可能是91分.
30．（2023·江苏南通·二模）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：
并计算得
(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；
(2)规定：数组（xi ，yi）满足| xi yi | < 0.1为“Ⅰ类误差”；满足0.1≤| xi yi | < 0.3为“Ⅱ类误差”；满足| xi yi |≥0.3为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望．
附：相关系数
【答案】(1)0.98，汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据公式求出样本相关系数，由数据判断线性相关关系的强弱；
（2）由的所有可能取值，计算相应的概率，得到分布列，再求数学期望.
【详解】（1）因为，…
代入已知数据，
得．
所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.
（2）依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组．
若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，抽到“I类误差”的组数
的所有可能取值为.
则，
，
，
.
所以的概率分布为
所以X的数学期望.
另解：因为，所以.
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
0
2500
7500
10000
折
折
折
折
天数
[0，5]
（5，10]
（10，15]
（15，20]
（20，25]
（25，30]
人数
4
15
33
31
11
6
性别
活动天数
合计
[0，15]
（15，30]
男生
女生
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
活动天数
合计
男生
20
30
50
女生
32
18
50
合计
52
48
100
1
6
0.904
0.096
1
12
0.801
0.199
思想政治
地理
化学
生物
物理类
100
120
200
180
历史类
120
140
60
80
科类
生物学科选法
选
不选
合计
物理类
历史类
合计
0.1
0.05
0.001
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
科类
生物学科选法
选
不选
合计
物理类
180
120
300
历史类
80
120
200
合计
260
240
500
Y
0
5
10
15
20
25
P
X
3
4
5
P
0
2
5
0
1
2
3
4
生产线编号
次品率
所占比例
1
0.02
35%
2
0.01
50%
3
0.04
15%
0
1
2
3
4
X
0
1
P
0.2
0.5
0.3
Y
0
1
2
P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
优等品
合格品
合计
特级品
一级品
二级品
工厂甲
100
75
25
200
工厂乙
120
30
50
200
合计
220
105
75
400
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
优等品
合格品
合计
工厂甲
175
25
200
工厂乙
150
50
200
合计
325
75
400
分数区间
性别
男生/名
10
70
75
45
女生/名
10
90
45
55
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
男生
女生
合计
掌握良好
120
100
220
掌握一般
80
100
180
合计
200
200
400
分数区间
频率
0.05
0.4
0.3
0.25
0
1
2
3
样本号
总和
水库水位
渗压计管内水位
优秀
不够优秀
总计
“物化生”组合
40
“物化地”组合
总计
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
优秀
不够优秀
总计
“合物化生”组
10
40
50
“物化地”组
5
45
50
合总计
15
85
100
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工测雨量xi
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
遥测雨量yi
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
| xi yi |
0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
0
1
2
3
P
1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】 专题04 概率统计与期望方差分布列大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）
1．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；
（ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X =99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n．
参考公式：（其中为样本容量）
【答案】(1)表格见解析，可以认为
(2)（i）；（ii）109或110．
【分析】(1)根据独立性检验的方法求解即可；
(2)根据二项分布的概率公式列出不等式即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只），
在内有（只）．
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；
而指标值小于60的小白鼠共有只，
所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
故列联表如下：单位：只
零假设为:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联．
根据列联表中数据，得，
根据的独立性检验，推断不成立，
即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，
此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，
事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，
事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，
记事件A，B，C发生的概率分别为，
则，，
，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率，
（ii）由题意，知随机变量，
，
因为最大，
所以，
解得
是整数，所以或，
接受接种试验的人数为109或110．
2．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如图数据：
(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；
(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用组合数，计算情况数，根据古典概型的概率计算公式，可得答案；
（2）根据离散性分布列的计算方法，结合数学期望的计算公式，可得答案.
【详解】（1）由图可知，参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6所，能抽取的情况数有，
这6所学校中参与“自由式滑雪”的人数超过30人有4所，能抽到的情况数为，
则在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率为.
（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校有所，所以可能的取值为，
，，，，
的分布列为：
.
3．（2023·广东广州·统考一模）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
(2)记甲第i次答题所得分数的数学期望为.
①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若，求i的最小值.
【答案】(1)；
(2)①，，且；②5.
【分析】（1）甲甲前3次答题得分之和为40分的事件是甲前3次答题中恰答对一次的事件，再利用相互独立事件概率的乘法公式计算作答.
（2）①求出，再分析、写出与满足的等量关系式作答；②利用构造法求出的通项，列出不等式并结合单调性作答.
【详解】（1）甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.
（2）①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，
则，显然，
，甲第次答题所得分数的数学期望为，
因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，
于是甲第i次答题所得分数的数学期望为，
所以与满足的等量关系式是：，，且；
②由①知，，当时，，而，
因此数列以为首项，为公比的等比数列，，
于是，由得：，显然数列是递增数列，
而，则有正整数，
所以i的最小值是5.
4．（2023·广东湛江·统考一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值s作为估计值．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及X的数学期望．
参考公式：直方图的方差，其中为各区间的中点，为各组的频率．
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，，．
【答案】(1)
(2)（i）需停止生产并检查设备；（ii），
【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的计算公式，即可求得，继而结合方差的计算公式求得；
（2）（i）根据，，确定，，判断抽查的零件关键指标有无在之外的情况，即可得结论；（ii）求出抽测一个零件关键指标在之外的概率，确定，根据二项分布的概率公式以及期望公式，即可求得答案.
【详解】（1）由频率分布直方图，得．
．
（2）（i）由（1）可知，，
所以，，
显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备．
（ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为，
所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为，
故，所以，
X的数学期望．
5．（2023·江苏·统考一模）某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占a%，若逐个化验需化验2000次.为减轻化验工作量，随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.
(1)若，，试估算该小区化验的总次数；
(2)若，每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费元.求n为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小.
（注：当时，）
【答案】(1)180次；
(2)10.
【分析】（1）设每位居民需化验的次数为，则可取，，分别求概率，进而可得期望，即得；
（2）设每组n人总费用为Y元，结合条件计算，然后表示出结合基本不等式即得.
【详解】（1）设每位居民需化验的次数为X，
若混合血样为阴性，则，若混合血样呈阳性，则，
所以，，
，
所以2000名居民总化验次数约为次；
（2）设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性则，若混合血样为阳性，则，
所以，，
所以，
每位居民的化验费用为：
元，
当且仅当，即时取等号，
故时，每位居民化验费用的期望最小.
6．（2023·江苏·统考一模）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
【答案】(1)
(2)①；②方案二中取到红球的概率更大.
【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题；
（2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论.
【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，
（1）.
所以试验一次结果为红球的概率为.
（2）①因为，是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
②由①得，
所以方案一中取到红球的概率为：
，
方案二中取到红球的概率为：
，
因为，所以方案二中取到红球的概率更大.
7．（2023·辽宁沈阳·统考一模）2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金．已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的概率为，黄政/孙艺赢的概率为，且每场比赛相互独立．
(1)若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率；
(2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况？
(3)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲/陈宇组合获得奖金数X的分布列．
【答案】(1)
(2)28
(3)分布列见详解
【分析】（1）根据题意结合对立事件的概率求法运算；
（2）根据题意可得有四则可能，再结合组合数运算求解；
（3）根据题意分析可得奖金数X的可能取值，结合（2）求相应的概率，即可得结果.
【详解】（1）“比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金”的对立事件为“黄政/孙艺组合再连赢2场”，
故比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率.
（2）设5场比赛中韩菲/陈宇组合赢场、黄政/孙艺组合赢场，用表示比赛结果，
若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则有：，
故共有种不同的情况.
（3）若韩菲/陈宇组合赢1场、黄政/孙艺组合赢4场，则韩菲/陈宇组合获得奖金数为0元；
若韩菲/陈宇组合赢2场、黄政/孙艺组合赢3场，则韩菲/陈宇组合需再连赢2场，其概率为，故韩菲/陈宇组合获得奖金数为元；
若韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，则韩菲/陈宇组合需再赢1场，其概率为，故韩菲/陈宇组合获得奖金数为元；
若韩菲/陈宇组合赢4场、黄政/孙艺组合赢1场，则韩菲/陈宇组合获得奖金数为10000元；
即奖金数X的可能取值有，则有
，
故奖金数X的分布列为：
8．（2023·江苏·二模）为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费商场在春节期间推出“你摸球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的个红球和个黑球，乙盒内有大小相同的个红球和个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取个球．具体规则如下：摸出个红球记为一等奖，没有红球记为二等奖，个红球记为三等奖，个红球记为鼓励奖.
(1)获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为折、折、折和折．记随机变量为获得各奖次的折扣率，求随机变量的分布列及期望；
(2)某一时段内有人参加该促销活动，记随机变量为获得折及以下资格的人数，求．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）根据古典概型和相互独立事件的概率乘法公式可求得分布列，进而求出离散型随机变量的期望；
（2）根据随机变量服从二项分布，利用二项分布概率公式即可得解．
【详解】（1）设事件为“从甲盒中取出i个红球”，事件为“从乙盒中取出个红球”，
则，,
记为取出的个球中红球的个数，
则，
，
，
，
由题意得的分布列为
则；
（2）由（1）可知，获得折及以下资格的概率为．
由题意得，则.
9．（2023·辽宁·哈尔滨三中校联考一模）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：
(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；
(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：
并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.
附：参考数据：；；.
【答案】(1)476人
(2)答案见解析
【分析】（1）利用频数分布表，求得样本的平均数，从而写出X近似服从正态分布，利用参考数据求得参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数；
（2）根据频数分布表和已知条件，完善列联表，根据独立性检验的公式，求出学生性别与获得“运动达人”称号是否有关联和它们之间如何相互影响.
【详解】（1）由频数分布表知
，则，，
，
，
参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人.
（2）由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为：，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有20名男生，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：
由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：
列联表如下：
零假设为：学生性别与获得“运动达人”称号无关
依据的独立性检验，我们推断不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；
而且此推断犯错误的概率不大于，根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为：和，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号.
10．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为．
(1)求甲队第二场比赛获胜的概率；
(2)用表示比赛结束时比赛场数，求的期望；
(3)已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3．
根据对立事件的概率公式即可求解；
（2）由题意知的可能取值为2，3，结合对立事件和独立事件的概率公式和数学期望的计算公式即可求解；
（3）根据对立事件、独立事件的概率公式和条件概率公式计算即可求解.
【详解】（1）设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3．
由全概率公式．
（2）的可能取值为2，3．
由题意知，由（1）知，
则，，
，
，．
（3），此时，
．
11．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果呈阳性的概率为2%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.
(1)假设该疾病患病的概率是0.3%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；
(2)根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：
方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人，试分析哪一个方案的工作量更少？
参考数据：，.
【答案】(1)14.7%
(2)方案二的工作量更少
【分析】（1）设事件为“核酸检测呈阳性”，事件为“患疾病”，利用条件概率公式求解即可；
（2）设方案一和方案二中每组的检测次数为，分别求出两种方案检测次数的分布列，进而得出期望，通过比较期望的大小即可得出结论.
【详解】（1）设事件为“核酸检测呈阳性”，事件为“患疾病”.
由题意可得，，，
由条件概率公式得：，
即，
故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为14.7%.
（2）设方案一中每组的检测次数为，则的取值为1，6，
，，
所以的分布列为
所以，
即方案一检测的总次数的期望为.
设方案二中每组的检测次数为，则的取值为1，12，
，，
所以的分布列为
所以，
即方案二检测的总次数的期望为.
由，则方案二的工作量更少.
12．（2023·福建福州·统考二模）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．
(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）
(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X~N（17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．
附：若随机变量×服从正态分布N（μ，2），则P（μ-≤X≤μ+≈0.6827，P（μ-2≤X≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.158653≈0.004．
【答案】(1)总样本的均值为17，方差为23；据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23
(2)
【分析】（1）根据均值方差的计算公式代入计算即可求解；
（2）利用正态分布的性质和所给数据即可求解计算.
【详解】（1）把男性样本记为，其平均数记为，方差记为；
把女性样本记为，其平均数记为，方差记为．则．
记总样本数据的平均数为，方差为．
由，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
可得总样本平均数为．
根据方差的定义，总样本方差为
由可得
同理，，
因此，
所以，
所以总样本的均值为17，方差为23，
并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23．
（2）由（1）知，所以，又因为，
所以，
因为，
所以．
所以3位参与者的脂肪含量均小于的概率为．
13．（2023·山东青岛·统考一模）今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就．某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照，，，分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；
(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用表示这10名学生中恰有k名学生的成绩在上的概率，求取最大值时对应的k的值；
(3)从测试成绩在的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析；
【分析】（1）根据题意，由中位数的意义列出方程，即可得到结果；
（2）根据题意可得，当取最大值时，则，
然后求解，即可得到结果；
（3）由题意可得，甲乙分别进入复赛的概率，然后求得的概率，即可得到分布列与期望.
【详解】（1）因为前两个矩形的面积之和为，前三个矩形面积为，
所以中位数在之间，设中位数为，
则，解得，故中位数为.
（2）由题意可得，成绩在上的概率为，则不在的概率为，
所以，即有，，
当取最大值时，则，
即，
解得，即，
且，所以.
（3）由题意可知，从6道题中选4题共有，
因为甲能答对6道题中的4道题，故甲能进复赛的情况共有，
所以甲能进复赛的概率为，则甲不能进复赛的概率为；
因为乙能答对6道题中的3道题，故乙能进复赛的情况共有,
所以乙能进复赛的概率为，则乙不能进复赛的概率为；
依题可得，的可能取值为，
所以，，，
则分布列为:
则.
14．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱．并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．
(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；
(2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率．
【答案】(1)样本均值为1.2，样本方差为0.76
(2)
【分析】（1）首先求分层抽取的两个班的人数，再根据两个班抽取人数的平均数和方差，结合总体平均数和方差公式，代入求值；
（2）根据全概率公式和条件概率公式，即可求解.
【详解】（1）一班抽取人，二班抽取人，
一班样本平均数为，样本方差为；二班样本的平均数为，样本方差为；总样本的平均数为．
记总样本的样本方差为，
则．
所以，这20人答对题目的样本均值为1.2，样本方差为0.76．
（2）设事件A为“李明同学从乙箱中抽出的第1个题是选择题”，
事件为“王刚同学从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件为“王刚同学从甲箱中取出1个选择题1个填空题"，
事件为“王刚同学从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则、、，彼此互斥，且，
，，，
，，，
所求概率即是A发生的条件下发生的概率：
．
15．（2023·山东聊城·统考一模）某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目．选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表：
(1)利用上述样本数据填写以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异．
(2)假设该校高一所有学生中有的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为．若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量的均值．
附：
【答案】(1)存在
(2)16
【分析】（1）根据题意完善列联表，根据表中数据求，并与临界值对比分析；
（2）根据全概率公式求，可得，再根据二项分布求.
【详解】（1）由题意可得：选择物理类的总人数有600，其中选择生物学科的人数为180，不选择生物学科的人数为420；选择历史类的总人数有400，其中选择生物学科的人数为80，不选择生物学科的人数为320；据此完善列联表
零假设：两类学生对生物学科的选法没有差异，
可得，
由于，根据小概率值可知假设不成立，
故可以认为两类学生对生物学科的选法存在差异，且犯错误的概率不大于.
（2）记“学生选择物理类”为事件M，“学生选择历史类”为事件N，“同时选择的地理和化学”为事件C，
则，
故，
由题意可得，则，
故随机变量的均值.
16．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.
(1)记总的抽取次数为X，求E（X）；
(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
【答案】(1)
(2)6，答案见解析
【分析】（1）确定X可能取值为4，5，6，7，分别求出概率后，由期望公式计算出期望；
（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和，利用独立事件概率公式求得的概率，再由期望公式计算出期望，根据白球对取到黒球的影响说明期望的大小关系．
【详解】（1）X可能取值为4，5，6，7，
，
；
（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和 ，
，
，
，
，
.
在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其它球，则该球的干扰作用已经消失，所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低.
17．（2023·湖北·统考模拟预测）某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；
(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数；
(3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值．
附：若随机变量X服从正态分布，则：，，．
【答案】(1)
(2)人
(3)分布列见解析，均值为
【分析】(1)根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解；
(2)由可知即可求解；
(3)根据题意确定Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，利用独立性可求得分布列，进而求得均值.
【详解】（1）样本平均数的估计值为．
（2）因为学生初试成绩X服从正态分布，其中，，
则，
所以，
所以估计初试成绩不低于88分的人数为人．
（3）Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，
则，
，
，
，
，
，
故Y的分布列为：
所以数学期望为．
18．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．
若年份x（2015年记为，2016年记为，以此类推）与发展总指数y存在线性关系．
(1)求年份x与发展总指数y的回归方程；
(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X表示赋分之和，求X的分布列和数学期望．
参考公式：回归方程，其中，，，．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用已知数据求，，利用公式和参考数据求，，由此可得回归方程；
（2）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由均值公式求均值.
【详解】（1）由已知，
所以
又
所以，
因为，
所以，
∴．
（2）由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个．
∴，，．
所以X的分布列为
数学期望为．
19．（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知识测试”，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该校“不合格”的人数不超过总人数的，则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，并将这10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有6名学生，乙组有4名学生．甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）．
(1)求这10名学生测试成绩的平均分和标准差；
(2)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布．将上述10名学生的成绩作为样品，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．利用估计值估计：高一学生知识达标是否“合格”？
(3)已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求的分布列及数学期望．
附：①个数的方差；
②若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】(1)；；
(2)能；
(3)分布列见解析；．
【分析】（1）计算出，以及与的值，再利用标准差公式即可；
（2）首先由题得，，再根据正态分布的对称性计算出，最后得到不合格人数，得到合格率.
（3）的可能取值为0，2，5，分别计算出其概率，得到分布列，最后得到期望.
【详解】（1），
，解得，
，解得，
这40名学生的方差为
，
．
（2）由，，得的估计值，的估计值，
，
，
从而高三年级1000名学生中，不合格的有（人），
又，所以高三年级学生体能达标为“合格”．
（3）由题意得，的可能取值为0，2，5，
，
，
，
的分布列为
．
20．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.
(1)若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；
(2)经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为，18班代表队胜的概率为，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X，求随机变量X的数学期望.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据古典概型概率公式、全概率公式可得2班代表队从乙箱中取出1个选择题的概率，然后根据条件概率公式计算即可；
（2）由题意知：X的可能取值为3，4，5，分别计算对应的概率，利用数学期望的公式计算.
【详解】（1）设事件A为“2班代表队从乙箱中取出1个选择题”，事件为“1班代表队从甲箱中取出2个都是选择题”，事件为“1班代表队从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“I班代表队从甲箱中取出2个题都是填空题”
则、、彼此互斥，且，
因为 ，，
所以 ，，，
，
所求概率即是A发生的条件下发生的概率：
.
（2）由题意知：X的可能取值为3、4、5，
两班代表队打完三局恰好结束比赛的基本事件有{三局6班胜}，{三局18班胜}，
而第一局比赛6班获胜的概率为，则第一局比赛18班获胜的概率为，又胜者在接下来一局获胜的概率为，
所以，
当时，前三局{两局6班胜，一局18班胜，最后6班胜}，{两局18班胜，一局6班胜，最后18班胜}，
最后6班胜概率为，
最后18班胜概率为 ，
所以，
则有，
综上，.
21．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某学校食堂中午和晩上都会提供两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；在中午选择类套餐的前提下，晩上还选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；在中午选择类套餐的前提下，晩上选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为.
(1)若同学甲晩上选择类套餐，求同学甲中午也选择类套餐的概率；
(2)记某宿舍的4名同学在晩上选择类套餐的人数为，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【分析】（1）根据条件概率和全概率公式计算即可；
（2）分别求出,1,2,3,4时的概率，得到分布列，然后求期望即可.
【详解】（1）设事件为同学甲晩上选择类套餐，事件为同学甲中午选择类套餐，事件为同学甲中午选择类套餐，则，
，
所以，即同学甲晩上选择类套餐，中午也选择类套餐的概率为.
（2）晩上选择类套餐的概率；
晩上选择类套餐的概率.
所以4名同学在晩上有个人选择类套餐，的所有可能取值为，
则，
所以，，，，，
所以的分布列为
故.
22．（2023·湖南·校联考模拟预测）基础学科招生改革试点，也称强基计划，强基计划是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（x）和物理成绩（y），绘制成如图散点图：
根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：，，，，，其中分别表示这50名考生的数学成绩､物理成绩，，2，…，50，y与x的相关系数.
(1)若不剔除A，B两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为.试判断与r的大小关系（不必说明理由）；
(2)求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到0.1）
附：线性回归方程中：.
【答案】(1)
(2)，估计B考生的物理成绩约为81.2分
【分析】（1）根据已知条件，结合散点图，即可求解．
（2）根据已知条件，结合最小二乘法，以及线性回归方程的公式，求出线性回归方程，再将代入，即可求解．
【详解】（1）
理由如下：由图可知，与成正相关关系，
①异常点，会降低变量之间的线性相关程度，
②52个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，
③50个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，
④50个数据点更贴近其回归直线，
⑤52个数据点与其回归直线更离散．
（2）由题中数据可得：，
所以，所以，
，
所以，
将代入，得，
所以估计B考生的物理成绩约为81.2分.
23．（2023·湖南常德·统考一模）某水表制造有限公司，是一家十分优质的水表制造公司，该公司有3条水表表盘生产线.
(1)某检验员每天从其中的一条水表表盘生产线上随机抽取100个表盘进行检测，根据长期生产经验，可以认为该条生产线正常状态下生产的水表表盘尺寸服从正态分布N（μ，）.记X表示一天内抽取的100个表盘中其尺寸在之外的个数，求P及X的数学期望；
(2)该公司的3条水表表盘生产线其次品率和生产的表盘所占比例如下表：
现从所生产的表盘中随机抽取一只，若已知取到的是次品，试求该次品分别由三条生产线所生产的概率，并分析该次品来自哪条生产线的可能性最大（用频率代替概率）.
附：若随机变量Z服从正态分布N（），则，
【答案】(1)，；
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意得到抽取的一个表盘的尺寸在之内的概率为0.9973，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0027，判断服从二项分布，结合参考数据，即可求解；
（2）设A表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第i条生产线生产”，根据题目所给数据结合全概率公式得到，再分别求出次品分别由三条生产线所生产的概率，比较大小即可.
【详解】（1）抽取的一个表盘的尺寸在之内的概率为0.9973，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0027，
由题可知，
所以，
且X的数学期望为，
（2）设A表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第i条生产线生产”，
由题意得：，，，
，
，
所以，
，
，
故该次品来自第1条生产线的可能性最大.
24．（2023·湖南邵阳·统考二模）为响应习近平总书记“全民健身”的号召，促进学生德智体美劳全面发展，某校举行校园足球比赛．根据比赛规则，淘汰赛阶段，参赛双方有时需要通过“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：
①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；
②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为，则不需要再踢第5轮）；
③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．
假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确，左右两边将球扑出的可能性为，中间方向扑出的可能性为．若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数的分布列和数学期望．
(2)现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，需要通过“点球大战”来决定胜负．设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，若甲队先踢，求甲队恰在第4轮取得胜利的概率．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为；
(2)
【分析】（1）根据二项分布的概率计算公式即可求解
（2）根据前3轮比分为，，，，时，结合相互独立事件的概率乘法计算公式即可逐一求解.
【详解】（1）（每次扑出点球）．
的所有可能取值为0，1，2，3，4．∴．
．
．
．
．
∴的分布列
∴．
（2）若甲队恰在第4轮取得胜利，则前3轮结束时比分可能为，，，，．分别记前3轮比分为，，，，且甲队恰在第4轮取得胜利，事件分别为A，B，C，D，E．
．
．
．
．
．
故（甲队恰在第4轮取得胜利）．
∴甲队恰在第4轮取得胜利的概率为．
25．（2023秋·浙江宁波·高三期末）甲、乙两位棋手，与同一台智能机器人进行国际象棋比赛，相互独立，互不影响，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率0.5.记甲在一轮比赛中的得分记为X，在两轮比赛中的得分为Y.
(1)若甲单独与机器人进行三次比赛，求甲恰有两次赢的概率；
(2)求X的分布列；
(3)求Y的均值.
【答案】(1)0.432
(2)分布列见解析
(3)
【分析】（1）利用独立重复试验求概率公式进行求解；
（2）写出X的可能取值及相应的概率，得到分布列；
（3）在第二问的基础上，写出Y的可能取值及相应的概率，得到分布列，得到均值.
【详解】（1）设甲恰有两次赢的概率为，
；
（2）X的可能取值为，0，1.
根据记分规则，得，
，
，
所以X的分布列为
（3）两轮比赛甲的得分Y的可能取值为.
由于两轮比赛的结果是独立的，所以
，
，
，
所以Y的分布列为
故.
26．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）糟蛋是新鲜鸭蛋（或鸡蛋）用优质糯米糟制而成，是中国别具一格的特色传统美食，以浙江平湖糟蛋、陕州糟蛋和四川宜宾糟蛋最为著名.平湖糟蛋采用优质鸭蛋、上等糯米和酒糟糟渍而成，经过糟渍蛋壳脱落，只有一层薄膜包住蛋体，其蛋白呈乳白色，蛋黄为橘红色，味道鲜美.糟蛋营养丰富，每百克中约含蛋白质15.8克、钙24.8克、磷11.1克、铁0.31克，并含有维持人体新陈代谢必须的18种氨基酸.现有平湖糟蛋的两家生产工厂，产品按质量分为特级品、一级品和二级品，其中特级品和一级品都是优等品，二级品为合格品.为了比较两家工厂的糟蛋质量，分别从这两家工厂的产品中各选取了200个糟蛋，产品质量情况统计如下表：
(1)从400个糟蛋中任取一个，记事件表示取到的糟蛋是优等品，事件表示取到的糟蛋来自于工厂甲.求；
(2)依据小概率值的独立性检验，从优等品与合格品的角度能否据此判断两家工厂生产的糟蛋质量有差异？
附：参考公式：，其中.
独立性检验临界值表：
【答案】(1)
(2)认为两家工厂生产的糟蛋质量有差异
【分析】（1）根据条件概率的知识求得.
（2）先绘制列联表，然后计算的值，从而作出判断.
【详解】（1）.
（2）列联表：
零假设为：两家工厂生产的糟蛋质量没有差异.
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为两家工厂生产的糟蛋质量有差异.
27．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）据第19届亚运会组委会消息，杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日举行，为此，某校开展了青少年亚运会知识问答竞赛，有400名学生参赛，竞赛成绩所得分数的分组区间为，由此得到如下的频数统计表：
(1)若某学生得分不低于80分则认为他亚运会知识掌握良好，若某学生得分低于80分则认为他亚运会知识掌握一般，那么是否有95%的把握认为该校学生对亚运会知识的掌握情况与性别有关？
(2)利用对不同分数段进行分层抽样的方式从参赛学生中随机抽取20名学生作进一步调研.
（i）从这20名学生中依次再抽取3名进行调查分析，求在第一次抽出的1名学生分数在区间内的条件下，后两次抽出的2名学生分数都在内的概率；
（ii）从这20名学生中再任取3名进行调查分析，记取出的3人中分数在[90,100]内的人数为，求的分布列和数学期望.
附：
【答案】(1)有95%的把握认为该校学生对亚运会知识的掌握情况与性别有关；
(2)（i）；（ii）分布列见解析，.
【分析】（1）由题设完善列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论；
（2）（i）分层抽样性质求、抽取的人数，应用排列、组合及古典概率求法求第一次抽出1名学生分数在区间内、同时后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间内的概率，应用条件概率公式求概率；
（ii）由题意的可能取值有，进而求其分布列并求期望值.
【详解】（1）根据题意得如下2×2列联表
因此，有95%的把握认为该校学生对亚运会知识的掌握情况与性别有关.
（2）
分层抽样得分位于的共有6人，得分位于的有5人，
（i）记事件：第一次抽出1名学生分数在区间内，
记事件：后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间内，
则，
由条件概率公式得；
（ii）由题意知，的可能取值有，
故，
故的分布列如下，
.
28．（2023·浙江·校联考三模）大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽工程．为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为的渗压计，随机收集个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：
并计算得，，．
(1)估计该水库中号渗压计管内平均水位与水库的平均水位；
(2)求该水库号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到）；
(3)某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为．利用以上数据给出此时号渗压计管内水位的估计值．
附：相关系数，，，．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据平均数的计算方法直接求解即可；
（2）根据表格数据计算得到相关系数公式中的各个数据，代入公式即可；
（3）由最小二乘法可求得经验回归方程，代入即可求得预估值.
【详解】（1）水库的平均水位，
号渗压计管内平均水位.
（2），
同理可得：，
，
（3），，
号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为，
当时，预测值，
即水库的水位为时，号渗压计管内水位的估计值为.
29．（2023·浙江温州·统考二模）在一次全市的联考中，某校高三有100位学生选择“物化生”组合，100位学生选择“物化地”组合，现从上述的学生中分层抽取100人，将他们此次联考的化学原始成绩作为样本，分为6组：，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中的值；
(2)在抽取的100位学生中，规定原始成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“不够优秀"，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为成绩是否优秀与所选的组合有关？
(3)浙江省高考的选考科目采用等级赋分制，等级赋分的分差为1分，具体操作步骤如下：
第一步：将原始成绩从高到低排列，按人数比例划分为20个赋分区间．
第二步：对每个区间的原始成绩进行等比例转换，公式为：
其中分别是该区间原始成绩的最低分､最高分；分别是该区间等级分的最低分､最高分；为某考生原始成绩，为转换结果．
第三步：将转换结果四舍五入，确定为该考生的最终等级分．
本次联考采用浙江选考等级赋分制，已知全市所有的考生原始成绩从高到低前的考生被划分至的赋分区间，甲､乙两位考生的化学原始成绩分别为，最终的等级分为98､99．试问：本次联考全市化学原始成绩的最高分是否可能是91分？请说明理由．
附：，其中．
【答案】(1)；
(2)填表见解析；没有的把握认为成绩是否优秀与所选的组合有关；
(3)最高分不可能是91分，理由见解析.
【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积和为1，列式计算作答.
（2）利用频率分布直方图求出“优秀”人数，完善列联表，再求出的预测值并作答.
（3）假定最高分是91分，求出甲乙的等级分成绩即可判断作答.
【详解】（1）由频率分布直方图得：，解得，
所以直方图中的值是.
（2）由频率分布直方图“优秀”人数为人，则不够优秀的为85人，
所以列联表为：
零假设：成绩是否优秀与所选的组合无关，
因此，
所以没有的把握认为成绩是否优秀与所选的组合有关．
（3）假设本次联考全市化学原始成绩的最高分是91分，
则有，
此时99.73四舍五入后变为100分，与99分矛盾，因此假设不成立，
所以本次联考全市化学原始成绩的最高分不可能是91分.
30．（2023·江苏南通·二模）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：
并计算得
(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；
(2)规定：数组（xi ，yi）满足| xi yi | < 0.1为“Ⅰ类误差”；满足0.1≤| xi yi | < 0.3为“Ⅱ类误差”；满足| xi yi |≥0.3为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望．
附：相关系数
【答案】(1)0.98，汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据公式求出样本相关系数，由数据判断线性相关关系的强弱；
（2）由的所有可能取值，计算相应的概率，得到分布列，再求数学期望.
【详解】（1）因为，…
代入已知数据，
得．
所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.
（2）依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组．
若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，抽到“I类误差”的组数
的所有可能取值为.
则，
，
，
.
所以的概率分布为
所以X的数学期望.
另解：因为，所以.
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
0
2500
7500
10000
折
折
折
折
天数
[0，5]
（5，10]
（10，15]
（15，20]
（20，25]
（25，30]
人数
4
15
33
31
11
6
性别
活动天数
合计
[0，15]
（15，30]
男生
女生
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
活动天数
合计
男生
20
30
50
女生
32
18
50
合计
52
48
100
1
6
0.904
0.096
1
12
0.801
0.199
思想政治
地理
化学
生物
物理类
100
120
200
180
历史类
120
140
60
80
科类
生物学科选法
选
不选
合计
物理类
历史类
合计
0.1
0.05
0.001
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
科类
生物学科选法
选
不选
合计
物理类
180
120
300
历史类
80
120
200
合计
260
240
500
Y
0
5
10
15
20
25
P
X
3
4
5
P
0
2
5
0
1
2
3
4
生产线编号
次品率
所占比例
1
0.02
35%
2
0.01
50%
3
0.04
15%
0
1
2
3
4
X
0
1
P
0.2
0.5
0.3
Y
0
1
2
P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
优等品
合格品
合计
特级品
一级品
二级品
工厂甲
100
75
25
200
工厂乙
120
30
50
200
合计
220
105
75
400
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
优等品
合格品
合计
工厂甲
175
25
200
工厂乙
150
50
200
合计
325
75
400
分数区间
性别
男生/名
10
70
75
45
女生/名
10
90
45
55
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
男生
女生
合计
掌握良好
120
100
220
掌握一般
80
100
180
合计
200
200
400
分数区间
频率
0.05
0.4
0.3
0.25
0
1
2
3
样本号
总和
水库水位
渗压计管内水位
优秀
不够优秀
总计
“物化生”组合
40
“物化地”组合
总计
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
优秀
不够优秀
总计
“合物化生”组
10
40
50
“物化地”组
5
45
50
合总计
15
85
100
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工测雨量xi
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
遥测雨量yi
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
| xi yi |
0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
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