第14讲 一元一次不等式（核心考点讲与练)-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第14讲一元一次不等式（核心考点讲与练) 一．不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 二．不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 三．不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 四．在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 五．一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 六．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 七．一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 八．由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 九．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 十．一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 十一．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 十二．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 十三．由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 十四．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 1．（2021春•靖江市月考）下列各式：①1﹣x：②4x+5＞0；③x＜3；④x2+x﹣1＝0，不等式有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断． 【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以不等式有②4x+5＞0； ③x＜3，有2个． 故选：B． 【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式． 二．不等式的性质（共2小题） 2．（2022春•泰兴市校级月考）若a＞b成立，则下列不等式成立的是（　　） A．﹣a＞﹣b B．﹣a+1＞﹣b+1 C．2a﹣1＞2b﹣1 D．m2a＞m2b 【分析】利用不等式的性质对每个选项进行判断即可． 【解答】解：∵a＞b， ∴﹣a＜﹣b． ∴A选项不成立； ∵a＞b， ∴﹣a＜﹣b． ∴﹣a+1＜﹣b+1． ∴B选项不成立； ∵a＞b， ∴2a＞2b． ∴2a﹣1＞2b﹣1． ∵a＞b，m2≥0， ∴当m2＞0时，m2a＞m2b．当m2＝0时，m2a＝m2b． ∴D选项不成立． 综上，不等式成立的是：2a﹣1＞2b﹣1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，利用不等式的性质对每个选项进行判断是解题的关键． 3．（2022•黔东南州模拟）知识阅读：我们知道，当a＞2时，代数式a﹣2＞0；当a＜2时，代数式a﹣2＜0；当a＝2时，代数式a﹣2＝0． 基本应用：当a＞2时，用“＞，＜，＝”填空． （1）a+5　＞　0； （2）（a+7）（a﹣2）　＞　0； 理解应用： 当a＞1时，求代数式a2+2a﹣15的值的大小； 灵活应用： 当a＞2时，比较代数式a+2与a2+5a﹣19的大小关系． 【分析】本题主要考查不等式的基本逻辑计算． 【解答】解：（1）∵a＞2， ∴a+5＞0； （2）∵a＞2， ∴a﹣2＞0，a+7＞0， （a+7）（a﹣2）＞0． 理解应用： a2+2a﹣15＝（a+1）2﹣16，当a＝1时，a2+2a﹣15＝﹣12，当a＞1时，a2+2a﹣15＞﹣12． 灵活运用： 先对代数式作差，（a2+5a﹣19）﹣（a+2）＝a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25， 当（a+2）2﹣25＞0时，a＜﹣7或a＞3．因此，当a≥3时，a2+5a﹣19≥a+2； 当2＜a＜3时，a2+5a﹣19＜a+2． 【点评】本题主要考查不等式的基本逻辑计算．在比较大小时，注意给定范围内进行不等式的相减运算． 三．不等式的解集（共2小题） 4．（2021春•江都区期末）若x＝3是关于x的不等式x＞2（x﹣a）的一个解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件即可． 【解答】解：解不等式x＞2（x﹣a），得：x＜2a， ∵x＝3是不等式的一个解， ∴3＜2a， 解得：． 故选：B． 【点评】本题考查一元一次不等式的解集，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集． 5．（2022春•海安市月考）如果关于x的不等式组无解，则常数a的取值范围是　a≤2　． 【分析】根据不等式组解集的表示方法，可得答案． 【解答】解：由关于x的不等式组无解，得 a+2≥3a﹣2， 解得a≤2， 则常数a的取值范围是a≤2， 故答案为：a≤2． 【点评】本题考查了不等式的解集，利用不等式组无解得出关于a的不等式解题关键． 四．在数轴上表示不等式的解集（共2小题） 6．（2021春•新吴区月考）满足﹣3＜x≤1的数在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】﹣3＜x≤1表示不等式x＞﹣3与不等式x≤1的公共部分．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解：由于x＞﹣3，所以表示﹣3的点应该是空心点，折线的方向应该是向右． 由于x≤1，所以表示1的点应该是实心点，折线的方向应该是向左． 所以数轴表示的解集为： 故选：A． 【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 7．（2021春•兴化市期末）如图，数轴上表示关于x的不等式组的解集是 　﹣1＜x≤3　． 【分析】从数轴可得不等式组的解集为﹣1＜x≤3． 【解答】解：从图可知，不等式组的解集为﹣1＜x≤3， 故答案为﹣1＜x≤3． 【点评】本题考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上解集的特点，注意实心与空心点的区别是解题的关键． 五．一元一次不等式的定义（共1小题） 8．（2021春•诸城市期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A．x2+3x＞1 B．x﹣＜0 C． D．≤5 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐一判断即可得． 【解答】解：A．x2+3x＞1中x2的次数为2，不是一元一次不等式； B．x﹣＜0含有2个未知数x、y，不是一元一次不等式； C．是一元一次不等式； D．≤5中是分式，不是一元一次不等式； 故选：C． 【点评】本题主要考查一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 六．解一元一次不等式（共1小题） 9．（2021春•广陵区校级月考）如图，是关于x的不等式2x﹣m＜﹣1的解集，则m的值为（　　） A．m≤﹣2 B．m≤﹣1 C．m＝﹣2 D．m＝﹣1 【分析】根据不等式的解集，可得关于m的方程，解方程，可得答案． 【解答】解：解不等式，得x＜， 又不等式的解集是x＜﹣1，得＝﹣1， 解得m＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于m的方程是解题关键． 七．一元一次不等式的整数解（共2小题） 10．（2021春•东台市月考）不等式2x﹣1≤5的非负整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 【解答】解：2x﹣1≤5， 移项合并得：2x≤6， 系数化为1得：x≤3， 则非负整数解有：0，1，2，3，一共4个． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，属于基础题，解答此题不仅要明确不等式的解法，还要知道非负整数的定义． 11．（2022春•市中区校级月考）已知不等式3（x﹣2）﹣5＞6（x+1）﹣7的最大整数解是方程2x﹣mx＝﹣10的解，求m的值． 【分析】解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最大整数解，然后代入方程方程2x﹣mx＝﹣10，从而可以得到m的值． 【解答】解：3（x﹣2）﹣5＞6（x+1）﹣7， 3x﹣6﹣5＞6x+6﹣7， ﹣3x＞10， ∴x＜﹣， ∴最大整数解为﹣4， 把x＝﹣4代入2x﹣mx＝﹣10，得：﹣8+4m＝﹣10， 解得m＝﹣． 【点评】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法． 八．由实际问题抽象出一元一次不等式（共1小题） 12．（2021春•牧野区校级期末）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2016﹣2017赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是（　　） A．2x+（32﹣x）≥48 B．2x﹣（32﹣x）≥48 C．2x+（32﹣x）≤48 D．2x≥48 【分析】根据题意表示出胜与负所得总分数大于等于48，进而得出不等关系． 【解答】解：这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是： 2x+（32﹣x）≥48． 故选：A． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键． 九．一元一次不等式的应用（共3小题） 13．（2021春•镇江期末）小明一家6人去公园游玩，小明爸爸给了小明100元买午饭，有12元套餐和18元套餐可供选择，若至少有2个人要吃18元套餐，请问小明购买的方案有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【分析】设要吃18元套餐的有x人，由题意：小明爸爸给了小明100元买午饭，有12元套餐和18元套餐可供选择，列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：设要吃18元套餐的有x人， 由题意得：18x+12（6﹣x）≤100， 解得：x≤， 又∵2≤x＜6， ∴2≤x≤， ∴x的取值为2，3，4， ∴小明购买的方案有3种． 故选：B． 【点评】此题考查一元一次不等式的应用，找出不等关系，列出一元一次不等式是解题的关键． 14．（2021秋•阜宁县期末）某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展．学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元． （1）求1个甲种乒乓球和1个乙种乒乓球的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的乒乓球共200个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【分析】（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元，根据“购买3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，购买2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元， 依题意，得：， 解得：． 答：1个甲种乒乓球的售价是5元，1个乙种乒乓球的售价是7元． （2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个， 依题意，得：w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400． ∵a≤3（200﹣a）， ∴a≤150． ∵﹣2＜0， ∴w值随a值的增大而减小， ∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50． 答：当购买甲种乒乓球150个，乙种乒乓球50个时最省钱． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的最值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）利用各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． 15．（2021秋•惠山区期末）甲、乙两家超市同价销售同一款可拆分式驱蚊器，1套驱蚊器由1个加热器和1瓶电热蚊香液组成．电热蚊香液作为易耗品可单独购买，1瓶电热蚊香液的售价是1套驱蚊器的．已知电热蚊香液的利润率为20%，整套驱蚊器的利润率为25%．张阿姨从甲超市买了1套这样的驱蚊器，并另外买了4瓶电热蚊香液，超市从中共获利10元． （1）求1套驱蚊器和1瓶电热蚊香液的售价； （2）为了促进该款驱蚊器的销售，甲超市打8.5折销售，而乙超市采用的销售方法是顾客每买1套驱蚊器送1瓶电热蚊香液．在这段促销期间，甲超市销售2000套驱蚊器，而乙超市在驱蚊器销售上获得的利润不低于甲超市的1.2倍．问乙超市至少销售多少套驱蚊器？ 【分析】（1）设1套驱蚊器售价5x元，1瓶电热蚊香液的售价x元，根据题意列出方程解答即可； （2）设乙超市销售x套驱蚊器，根据乙超市在驱蚊器销售上获得的利润不低于甲超市的1.2倍列出方程解答即可． 【解答】解：（1）设1套驱蚊器售价5x元，1瓶电热蚊香液的售价x元； ， 解得x＝6， 所以设1套驱蚊器售价30元，1瓶电热蚊香液的售价6元． （2）设乙超市销售x套驱蚊器． W甲＝2000×（30×0.85﹣24）＝3000元； W乙＝x×（30﹣24）﹣x×5＝x 由题意知W乙＝1.2W甲 解得x＝3000． 乙超市至少销售3000套驱蚊器． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 一十．一元一次不等式组的定义（共1小题） 16．下面给出的不等式组中①②③④⑤，其中是一元一次不等式组的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据两个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1次的，可得答案． 【解答】解：①是一元一次不等式组，故①正确； ②是一元一次不等式组，故②正确； ③是一元二次不等式组，故③错误； ④是一元一次不等式组，故④正确； ⑤是二元一次不等式组，故⑤错误； 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 一十一．解一元一次不等式组（共2小题） 17．（2021春•东台市月考）关于x的一元一次不等式组无解，求m的取值范围（　　） A．m＜0 B．m＞0 C．m≤0 D．m≥0 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定关于m的不等式． 【解答】解：由2（x+1）＞3x+1，得：x＜1， 由x﹣m＞1，得：x＞m+1， ∵不等式组无解， ∴m+1≥1， 则m≥0， 故选：D． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．（2021春•简阳市 月考）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来： （1）＜﹣1 （2）． 【分析】（1）先去分母，再去括号得到4x+4＜5x﹣5﹣6，然后移项后合并，再把x的系数化为1得到x＞15，最后用数轴表示解集； （2）先分别解两个不等式得到x≥7和x＜2，再利用大大小小找不到确定不等式组的解集，然后利用数轴表示解集． 【解答】解：（1）去分母得4（x+1）＜5（x﹣1）﹣6， 去括号得4x+4＜5x﹣5﹣6， 移项得4x﹣5x＜﹣5﹣6﹣4， 合并得﹣x＜﹣15， 系数化为1得x＞15， 用数轴表示为： （2）， 解①得x≥7， 解②得x＜2， 所以不等式组无解， 用数轴表示为： 【点评】本题考查了解元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了在数轴上表示不等式的解集． 一十二．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 19．（2021春•天宁区校级月考）若关于x的不等式组的所有整数解的和是15，则m的取值范围是（　　） A．5＜m＜6 B．5≤m＜6 C．5＜m≤6 D．5≤m≤6 【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为15，可以确定整数解为1、2、3、4、5，再根据解集确定m的取值范围． 【解答】解：解不等式组得：1≤x＜m， ∵所有整数解的和是15，15＝1+2+3+4+5， ∴不等式组的整数解为1、2、3、4、5， ∴5＜m≤6； 故选：C． 【点评】考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确． 一十三．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题） 20．（2016春•戚墅堰区校级期末）小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为25cm，面积不小于500cm2，则宽的长度xcm应满足的不等式组为（　　） A． B． C． D． 【分析】由于长方形的相片框架的长为25cm，而长总大于宽，由此得到x＜25，又面积不小于500，根据面积公式可以得到25x≥500，联立两个不等式组成不等式组，解不等式组即可求解． 【解答】解：根据题意，得． 故选：A． 【点评】此题中要注意隐含的不等关系：长总大于宽．熟悉长方形的面积公式． 一十四．一元一次不等式组的应用（共3小题） 21．（2021春•崇川区期末）农场利用一面墙（墙的长度不限），用50m的护栏围成一块如图所示的长方形花园，设花园的长为am，宽为bm． （1）若a比b大5，求a的值； （2）若受场地条件的限制，b的取值范围为12≤b≤16，求a的取值范围． 【分析】（1）根据护栏的总长度为50，a比b大5，列出方程组，解方程组即可； （2）根据a+2b＝50，得到b的表达式，根据12≤b≤16，列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：， ∴a的值为20； （2）∵a+2b＝50， ∴b＝， ∵12≤b≤16， ∴12≤≤16， ∴a的取值范围为：18≤a≤26． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，注意第（1）问只是一种假设，与第（2）问无关． 22．（2021春•镇江期末）又是一年瑞阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽．今年端午节前，某校开展“学党史、感党恩、悟思想”活动，购买了一批粽子送给镇上养老院老人品尝．结算时发现：购买4盒A种品牌粽子的费用与购买3盒B种品牌的粽子的费用相同；此次购买A种品牌的粽子30盒，B种品牌的粽子20盒共花费3400元． （1）求A、B两种品牌粽子的单价各多少元？ （2）根据活动需要，该校决定再次购买A、B两种品牌的粽子50盒，正逢某超市“优惠促销”活动，A种品牌的粽子每盒单价优惠4元，B种品牌的粽子每盒单价打8折．如果此次购买A、B两种品牌粽子50盒的总费用不超过3000元，且购买B种品牌的粽子不少于23盒，则有几种购买方案？ 【分析】（1）设A种品牌粽子的单价是x元，B种品牌粽子的单价是y元，由题意：购买4盒A种品牌粽子的费用与购买3盒B种品牌的粽子的费用相同；购买A种品牌的粽子30盒，B种品牌的粽子20盒共花费3400元．列出方程组，解方程组即可； （2）设购买B品牌粽子n个，则购买B品牌粽子（50﹣n）个，由题意：A种品牌的粽子每盒单价优惠4元，B种品牌的粽子每盒单价打8折．购买A、B两种品牌粽子50盒的总费用不超过3000元，且购买B种品牌的粽子不少于23盒，列出不等式组，求出不等式组的正整数解即可． 【解答】解：（1）设A种品牌粽子的单价是x元，B种品牌粽子的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种品牌粽子的单价是60元，B种品牌粽子的单价是80元； （2）设此次购买A品牌粽子n个，则购买B品牌粽子（50﹣n）个， 由题意得：， 解得：23≤n≤25， ∵n是正整数， ∴n可取23或24或25， 则50﹣n＝27或26或25， 答：共有三种购买方案：方案一、A种品牌的粽子 23个，B种品牌的粽子27个； 方案二、A种品牌的粽子 24个，B种品牌的粽子26个； 方案三、A种品牌的粽子 25个，B种品牌的粽子25个． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式组． 23．（2022春•临川区校级月考）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： （1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 【分析】（1）设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10﹣x）件，列出方程即可解决． （2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10﹣m）件，列出不等式组解决问题． （3）得出利润y与A产品数量x的函数关系式，根据增减性可得，B产品生产越多，获利越大，因而B取最大值时，获利最大，据此即可求解． 【解答】解：（1）设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10﹣x）件， 由题意，x+3（10﹣x）＝14， 解得x＝8， ∴10﹣x＝2， ∴A种产品应生产8件，B种产品应生产2件． （2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10﹣m）件， 由题意得， 解这个不等式组，得2≤m＜5， ∵m为正整数，m可以取2或3或4； ∴生产方案有3种： ①生产A种产品2件，B种产品8件； ②生产A种产品3件，B种产品7件． ③生产A种产品4件，B种产品6件． （3）设总利润为y万元，生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件， 则利润y＝x+3（10﹣x）＝﹣2x+30， 则y随x的增大而减小，即可得，A产品生产越少，获利越大， 所以当生产A种产品2件，B种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3＝26（万元）． 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型． 分层提分 题组A 基础过关练 一．选择题（共4小题） 1．（2021春•金坛区期末）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a+1＜b+1 B．a﹣1＜b﹣1 C．2a＞2b D．﹣2a＞﹣2b 【分析】根据不等式的性质进行分析判断． 【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上1，不等号的方向不变，即a+1＞b+1，原变形错误，故此选项不符合题意； B、在不等式a＞b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a﹣1＞b﹣1，原变形错误，故此选项不符合题意； C、在不等式a＞b的两边同时乘2，不等号的方向改变，即2a＞2b，原变形正确，故此选项符合题意； D、在不等式a＞b的两边同时乘﹣2，不等号的方向不变，即﹣2a＜﹣2b，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质： ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； ②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； ③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2．（2021春•广陵区校级月考）如图，是关于x的不等式2x﹣m＜﹣1的解集，则m的值为（　　） A．m≤﹣2 B．m≤﹣1 C．m＝﹣2 D．m＝﹣1 【分析】根据不等式的解集，可得关于m的方程，解方程，可得答案． 【解答】解：解不等式，得x＜， 又不等式的解集是x＜﹣1，得＝﹣1， 解得m＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于m的方程是解题关键． 3．（2021春•广陵区校级月考）对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4，（10]＝9，如果（x]＝﹣3，则x的取值范围为（　　） A．﹣3＜﹣x＜﹣2 B．﹣3≤x＜﹣2 C．﹣3＜x≤﹣2 D．﹣3≤x≤﹣2 【分析】（x]表示小于x的最大整数，依此即可求解． 【解答】解：∵（x]＝﹣3， ∴﹣3＜x≤﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，根据（x]的定义得到关于x的不等式是解题的关键． 4．（2021•武进区校级自主招生）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0， ∵， ∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0． 若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解； 若三个整数解为0，1，2，则； 解得． 故选：B． 【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出合理的答案． 二．填空题（共6小题） 5．（2021春•东台市月考）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出结果，则输入的整数x有 　3　种情况． 【分析】根据经过两次运算才能运算出结果，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出结论． 【解答】解：依题意得：， 解得：＜x≤． 又∵x为整数， ∴x可以为2，3，4， ∴输入的整数x有3种情况． 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 6．（2021春•金坛区期末）若代数式x+1的值小于代数式2x的值，则x的取值范围是 　x＞1　． 【分析】由题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围． 【解答】解：根据题意，得x+1＜2x， 移项、合并同类项，得﹣x＜﹣1， 系数化为1，得x＞1， 故答案为x＞1． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 7．（2021春•金坛区期末）若关于x，y的方程组的解满足x+y≤2，则2m+5的最大值是 　6　． 【分析】由x+y≤2得出关于m的不等式，解之可得m的取值，得出m的最大值，即可求得结论． 【解答】解：解方程组， ①+②得，2x+2y＝2+4m， ∵x+y≤2， ∴1+2m≤2， 解得：m≤， ∴2m+5的最大值为2×+5＝6， 故答案为6． 【点评】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的能力，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 8．（2021春•邗江区校级期末）如果m不是不等式的解，则m的取值范围是 　m＜1　． 【分析】求得不等式的解集，根据题意即可求得m＜1． 【解答】解：， 4x﹣2≥3x﹣1， x≥1， ∵m不是不等式的解， ∴m＜1， 故答案为m＜1． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，解此题的关键是能得出不等式的解集． 9．（2021春•亭湖区校级期末）若不等式组的解集是x＞m，则m的取值范围是 　m≥3　． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大并结合不等式组的解集可得答案． 【解答】解：解不等式x+8＜4x﹣1，得：x＞3， 由﹣x＜﹣m，得：x＞m， ∵不等式组的解集为x＞m， ∴m≥3， 故答案为：m≥3． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 10．（2021春•东台市月考）若关于x的不等式组的所有整数解之和等于9，则a的取值范围是 　﹣2≤a＜3或﹣17≤a＜﹣12　． 【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为5，可以确定不等式组的整数解为2，3，4或﹣1，0，1，2，3，4，再根据解集确定a的取值范围． 【解答】解：， 解不等式①得x＞， 解不等式②得x＜5， ∵所有整数解的和是9， ∴不等式组的整数解为2，3，4或﹣1，0，1，2，3，4， ∴1≤＜2或﹣2≤＜﹣1， ∴﹣2≤a＜3或﹣17≤a＜﹣12 故答案为：﹣2≤a＜3或﹣17≤a＜﹣12． 【点评】本题考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确． 三．解答题（共12小题） 11．（2020•晋江市模拟）某校举行“讲文明、爱卫生”知识竞赛，共有20道题，答对一道题得10分，答错或不答扣5分，若小明同学得分要超过100分，那么他至少要答对几道题？ 【分析】设小明答对了x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，根据得分＝10×答对题目数﹣5×答错或不答题目数结合得分超过100分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【解答】解：设小明答对了x道题，则答错或不答（20﹣x）道题， 依题意，得：10x﹣5（20﹣x）＞100， 解得：x＞， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为14． 答：他至少要答对14道题． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 12．（2020春•鼓楼区校级期中）油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车．它将行驶过程中部分原本被浪费的能量回收储存于内置的蓄电池中，汽车在低速行驶时，使用蓄电池带动电动机驱动汽车，节约燃油．某品牌油电混动汽车与普通汽车的相关成本数据估算如下： 某人计划购入一辆上述品牌的汽车．他估算了用车成本，在只考虑车价和燃油成本的情况下，发现选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本，则他在估算时，预计行驶的公里数至少为多少公里？ 【分析】设行驶的公里数为x公里，根据选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【解答】解：设行驶的公里数为x公里， 依题意，得：168800+x≤150800+x， 解得：x≥120000． 答：行驶的公里数至少为120000公里． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 13．（2021春•平川区校级期末）解不等式组并求出它的所有整数解的和． 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后求出整数解的和即可． 【解答】解：解不等式3x+6≥5（x﹣1），得：x≤5.5， 解不等式﹣＜1，得：x＞﹣3， 则不等式组的解集为﹣3＜x≤5.5， 所以不等式组所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 14．（2020春•玄武区期末）解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案． 【解答】解：解不等式①，得：x＜2， 解不等式②，得：x≥﹣1， 则不等式组的解集为﹣1≤x＜2， ∴不等式组的整数解为﹣1、0、1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15．（2020春•崇川区校级期中）启秀中学初一年级组计划将m本书奖励给本次期中考试取得优异成绩的n名同学，如果每人分4本，那么还剩下78本；如果每人分8本，那么最后一人分得的书不足8本，但不少于4本，最终，年级组经讨论后决定，给这n名同学每人发6本书，那么将剩余多少本书？ 【分析】由“如果每人分4本，那么还剩下78本”可得出m＝4n+78，结合“如果每人分8本，那么最后一人分得的书不足8本”，即可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围，再结合n为正整数即可得出m，n的值，将其代入（m﹣6n）中即可求出结论． 【解答】解：依题意，得：， 解得：＜n≤． 又∵n为正整数， ∴n＝20， ∴m＝4n+78＝158， ∴m﹣6n＝158﹣6×20＝38． 答：将剩余38本书． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 16．（2020•苏州）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a（m），宽为b（m）． （1）当a＝20时，求b的值； （2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围． 【分析】（1）由护栏的总长度为50m，可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）由a的取值范围结合a＝50﹣2b，即可得出关于b的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）依题意，得：20+2b＝50， 解得：b＝15． （2）∵18≤a≤26，a＝50﹣2b， ∴， 解得：12≤b≤16． 答：b的取值范围为12≤b≤16． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 17．（2021春•滨海县月考）已知2x﹣y＝4．若﹣2＜y≤3，求x的取值范围． 【分析】题意题意得到﹣2＜2x﹣4≤3，然后解关于x的不等式组即可． 【解答】解：根据题意得﹣2＜2x﹣4≤3， 2＜2x≤7， 所以1＜x≤． 故答案为：1＜x≤． 【点评】本题考查了解不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 18．（2021秋•阜宁县期末）某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展．学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元． （1）求1个甲种乒乓球和1个乙种乒乓球的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的乒乓球共200个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【分析】（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元，根据“购买3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，购买2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元， 依题意，得：， 解得：． 答：1个甲种乒乓球的售价是5元，1个乙种乒乓球的售价是7元． （2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个， 依题意，得：w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400． ∵a≤3（200﹣a）， ∴a≤150． ∵﹣2＜0， ∴w值随a值的增大而减小， ∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50． 答：当购买甲种乒乓球150个，乙种乒乓球50个时最省钱． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的最值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）利用各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． 19．（2021春•滨海县月考）由于疫情影响，某校购买了50个A类红外线体温计和25个B类红外线体温计，共花费7500元，已知购买一个B类红外线体温计比购买一个A类红外线体温计多花30元． （1）求购买一个A类红外线体温计和B类红外线体温计各需多少元？ （2）由于疫情影响，学校计划用不超过4650元的经费再次购买两类红外线体温计共50个，若单价不变，则本次至少可以购买A类红外线体温计多少个？ 【分析】（1）设购买一个A类红外线体温计需x元，购买一个B类红外线体温计需y元，根据“购买50个A类红外线体温计和25个B类红外线体温计，共花费7500元，购买一个B类红外线体温计比购买一个A类红外线体温计多花30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A类红外线体温计m个（ m为正整数），则购买B类红外线体温计（ 50﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4650元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【解答】解：（1）设购买一个A类红外线体温计需x元，购买一个B类红外线体温计需y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个A类红外线体温计需90元，购买一个B类红外线体温计需120元． （2）设购买A类红外线体温计m个（ m为正整数），则购买B类红外线体温计（ 50﹣m）个， 依题意得：90m+120（50﹣m）≤4650， 解得：m≥45． 又∵m为正整数， ∴m的最小值为45． 答：本次至少可以购买A类红外线体温计45个． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 20．（2021•淮阴区校级模拟）利用数轴求不等式组：的解集． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，将不等式的解集表示在数轴上，继而可确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式2x+1＞x，得：x＞﹣1， 解不等式﹣x≥1，得：x≤3， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 则不等式组的解集为﹣1＜x≤3． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21．（2021春•建湖县月考）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x﹣y＞﹣5，求m的取值范围． 【分析】把方程组的两式相加，用含m的代数式表示出x+y，再代入不等式，求解不等式即可． 【解答】解：， ①+②得3x﹣3y＝3m+3， ∴x﹣y＝m+1． ∵x﹣y＞﹣5， ∴m+1＞﹣5． ∴m＞﹣6． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法是解决本题的关键． 22．（2022春•市中区校级月考）已知不等式3（x﹣2）﹣5＞6（x+1）﹣7的最大整数解是方程2x﹣mx＝﹣10的解，求m的值． 【分析】解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最大整数解，然后代入方程方程2x﹣mx＝﹣10，从而可以得到m的值． 【解答】解：3（x﹣2）﹣5＞6（x+1）﹣7， 3x﹣6﹣5＞6x+6﹣7， ﹣3x＞10， ∴x＜﹣， ∴最大整数解为﹣4， 把x＝﹣4代入2x﹣mx＝﹣10，得：﹣8+4m＝﹣10， 解得m＝﹣． 【点评】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法． 题组B 能力提升练 一．选择题（共5小题） 1．（2021春•海州区期末）一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于60分，那么小明至少答对的题数是（　　） A．15道 B．14道 C．13道 D．12道 【分析】设小明答对的题数是x道，答错的为（20﹣2﹣x）道，根据总分才不会低于60分，这个不等量关系可列出不等式求解． 【解答】解：设小明答对的题数是x道，根据题意可得： 5x﹣2（20﹣2﹣x）≥60， 解得：x≥13， 故x应为14． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是设出相应的题目数，以得分作为不等量关系列不等式求解． 2．（2021•望城区模拟）一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式2x＞x﹣1，得：x＞﹣1， 解不等式≤2，得：x≤3， 则不等式组的解集为﹣1＜x≤3， 故选：B． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 3．（2021春•利州区期末）已知非负数a，b，c满足条件a+b＝7，c﹣a＝5，设S＝a+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0；根据a+b＝7和c﹣a＝5推出c的最小值与a的最大值；然后再根据a+b＝7和c﹣a＝5把S＝a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值． 【解答】解：∵a，b，c为非负数； ∴S＝a+b+c≥0； 又∵c﹣a＝5； ∴c＝a+5； ∴c≥5； ∵a+b＝7； ∴S＝a+b+c＝7+c； 又∵c≥5； ∴c＝5时S最小，即S最小＝12，即n＝12； ∵a+b＝7； ∴a≤7； ∴S＝a+b+c＝7+c＝7+a+5＝12+a； ∴a＝7时S最大，即S最大＝19，即m＝19； ∴m﹣n＝19﹣12＝7． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是熟练掌握不等式的性质，求出S的最大值及最小值，难度较大． 4．（2021春•西平县期末）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少12元．”乙说“至多10元．”丙说“至多8元．”小明说：“你们三个人都说错了．”则这本书的价格x（元）所在的范围为（　　） A．8＜x＜10 B．9＜x＜11 C．8＜x＜12 D．10＜x＜12 【分析】根据题意得出不等式组解答即可． 【解答】解：根据题意可得：， ∵三个人都说错了， ∴这本书的价格x（元）所在的范围为10＜x＜12． 故选：D． 【点评】此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答． 5．（2020春•润州区期末）已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④是方程组的解．其中说法错误的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．②③ 【分析】根据题目中的方程组可以判断各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题． 【解答】解：当a＝1时，，解得，，∴x+y＝0≠2﹣1，故①错误， 当a＝﹣2时，，解得，，则x+y＝6，此时x与y不是互为相反数，故②错误， ∵，解得，， ∵x≤1，则≤1，得a≥0， ∴0≤a≤1，则1≤≤，即1≤y≤，故③错误， ∵，解得，，当x＝＝4时，得a＝，y＝，故④错误， 故选：A． 【点评】本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程（组）的解，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程和不等式的性质解答． 二．解答题（共5小题） 6．（2021春•沭阳县期末）已知关于x、y的方程组的解x、y满足3x+y≥0，求m的取值范围． 【分析】先把x、y的值用m表示出来，再代入3x+y≥0即可求出m的取值范围． 【解答】解：， ①+②得，3y＝2m，解得y＝m； 代入①得，m﹣x＝m﹣1，解得x＝﹣m+1， 把x、y的值代入3x+y≥0得，3×（﹣m+1）+m≥0， 解得m≤9． 故m的取值范围为：m≤9． 【点评】本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次不等式，解答此题的关键是先把m当作已知表示出x、y的值，即可得到关于m的一元一次不等式，再根据解一元一次不等式的方法求解． 7．（2020春•句容市期末）2020年2月初，由于新型冠状病毒（COVID﹣19）的传播，消毒剂市场出现热卖，某旗舰网店用60000元购进一批甲种品牌的免洗手消毒液和乙种品牌的75%酒精消毒纸巾，销售完后共获利9000元，进价和售价如下表： （1）求该网店购进甲种消毒液和乙种消毒纸巾分别是多少？ （2）该网店第二次以原价购进上述甲、乙两种物品，购进乙种物品袋数不变，而购进甲种物品的数量是第一次的2倍．甲种物品按原售价出售，而乙种物品让利销售．若两种物品销售完毕，要使第二次销售活动获利不少于7600元，乙种物品每袋最低售价为每袋多少元？ 【分析】（1）分别根据旗舰网店用60000元购进进一批甲种品牌的免洗手消毒液和乙种品牌的75%酒精消毒纸巾，销售完后共获利9000元，得出等式组成方程求出即可； （2）根据购进甲种物品的数量是第一次的2倍，要使第二次销售活动获利不少于7600元，得出不等式求出即可． 【解答】解；（1）设网店购进甲种消毒液x瓶，乙种消毒纸巾y袋， 根据题意，得， 解得：， 答：网店购进甲种消毒液600瓶，乙种消毒纸巾1000袋； （2）设乙种物品每袋售价为每袋a元，根据题意得出： 600×2×（35﹣30）+1000×（a﹣42）≥7600， 解得：a≥43.6， 答：乙种物品每袋最低售价为每袋43.6元． 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键． 8．（2020春•锡山区期末）新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为生产更多的口罩满足疫情防控需求，决定拨款560万元购进A，B两种型号的口罩机共30台．两种型号口罩机的单价和工作效率分别如表： （1）求购进A，B两种型号的口罩机各多少台； （2）现有200万只口罩的生产任务，计划安排新购进的口罩机共15台进行生产．若工厂的工人每天工作10h，则至少购进B种型号的口罩机多少台才能在5天内完成任务？ 【分析】（1）设购进A种型号的口罩生产线x台，B种型号的口罩生产线y台，根据财政拨款560万元购进A，B两种型号的口罩机共30台，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据工作总量＝工作效率×时间结合在5天内完成200万只口罩的生产任务，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【解答】（1）设购进A型号口罩机x台，B型号口罩机y台， ． 解之得． 答：购进A型号口罩机10台，B型号口罩机20台； （2）设购进B型口罩机m台，则5×10×[2500（15﹣m）+3000m]≥2000000． 解之得m≥5． 答：至少购进B型号口罩机5台． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 9．（2020春•姜堰区期末）某物流公司安排A、B两种型号的卡车向灾区运送抗灾物资，装运情况如下： （1）求A、B两种型号的卡车平均每辆装运物资多少吨； （2）该公司计划安排A、B两种型号的卡车共15辆装运150吨抗灾物资，那么至少要安排多少辆A种型号的卡车？ 【分析】（1）设A种型号的卡车平均每辆装运物资x吨，B种型号的卡车平均每辆装运物资y吨，根据前两批具体运输情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设要安排m辆A种型号的卡车，根据“该公司计划安排A、B两种型号的卡车共15辆装运150吨抗灾物资”即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论． 【解答】解：（1）设A种型号的卡车平均每辆装运物资x吨，B种型号的卡车平均每辆装运物资y吨， 根据题意，得． 解得． 答：A种型号的卡车平均每辆装运物资12吨，B种型号的卡车平均每辆装运物资8吨； （2）设要安排m辆A种型号的卡车，则需要安排（15﹣m）辆B种型号的卡车， 根据题意，得12m+8（15﹣m）≥150 解得m≥7.5． 由于m是正整数， 所以m最小值是8． 答：至少要安排8辆A种型号的卡车． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 10．（2020春•沭阳县期末）为了更好地保护环境，治理水质，我区某治污公司决定购买12台污水处理设备，现有A、B两种型号设备，A型每台m万元； B型每台n万元，经调查买一台A型设备比买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元． （1）求m、n的值． （2）经预算，该治污公司购买污水处理器的资金不超过158万元．该公司A型设备最多能买台？ 【分析】（1）根据：“买一台A型设备比买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元”列方程组求解可得； （2）根据：“购买污水处理器的资金不超过158万元”列不等式求解可得． 【解答】解：（1）根据题意，得：， 解得：， 答：m的值为14，n的值为11； （2）设A型设备买x台， 根据题意，得：14x+11（12﹣x）≤158， 解得：x≤8， 答：A型设备最多买8台． 【点评】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意，将相等关系或不等关系转化为方程或不等式是关键． A种产品B种产品成本（万元/件）25利润（万元/件）13油电混动汽车普通汽车购买价格（万元）16.8815.08每百公里燃油成本（元）3045甲种免洗手消毒液（元/瓶）乙种75%酒精消毒纸巾（元/袋）进价3042售价3548单价/万元工作效率/（只/h）A种型号162500B种型号203000装运批次卡车数量装运物资重量A种型号B种型号第一批2辆4辆56吨第二批4辆6辆96吨