初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定教学ppt课件
展开1.理解正方形的概念.2.探索并证明正方形的性质,并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别。3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
观察下面两个图形,你能说一说它们的名字和定义吗?
有一个角是直角的平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形
正方形也是特殊的平行四边形,观察这些正方形,你能说一说正方形的定义吗?
有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形是矩形或者是菱形吗?
正方形的四条边都相等,说明正方形既是平行四边形,又是菱形;正方形的四个角都是直角,说明正方形是矩形,即正方形不仅是平行四边形,也是矩形和菱形.
正方形的性质探究和证明
思考:1. 正方形的边、角、对角线有什么特征?请说明理由.2. 正方形是轴对称图形吗?如果是,有几条对称轴?3. 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么样的关系?能用一个直观图进行表示吗?
正方形既是矩形,又是菱形,它具有矩形与菱形的所有性质.
每条对角线平分一组对角
已知:如图,四边形ABCD 是正方形,∠A=90°,AB=AC .求证:正方形ABCD 四边相等,四个角都是直角.
证明:∵正方形是平行四边形 ∴正方形是矩形(正方形的定义) 正方形是菱形(正方形的定义) ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90° AB= BC=CD=AD
正方形的性质1:正方形的四个角都是直角,四条边相等.
符号语言:∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°, AB=BC=CD=AD
已知:如图,四边形ABCD 是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证:AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
D
证明:∵正方形ABCD是矩形 ∴AO=BO=CO=DO ∵正方形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD
正方形的性质2:正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
符号语言:∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系
例1:如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系?请说明理由.
解:BE=DF,且BE⊥DF.理由如下:(1)∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE =90° .∴∠DCF=180°-∠BCE==90°∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M,∵△BCE≌△DCF ,∴∠CBE =∠CDF.∵∠DCF =90° ,∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.
2.一个正方形的对角线长为2cm,则它的面积是 ( )A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是( ) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等
3.在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .
4. 在正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,且AE=AB,则∠EBC的度数是 .
5. 如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,图中有多少个等腰三角形?
解:图中共有 8 个等腰三角形.
△OAB、△OBC、△OCD、△ODA、△ABC、△BCD、△CDA、△DAB
6. 如图,在正方形 ABCD 中,点 F 为对角线 AC 上一点,连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗?选择其中一对进行证明.
解:图中的全等三角形共有 3 对,分别是 △ADC 与 △ABC,△FCD与 △FCB,△FAD 与 △FAB.
选择△FAD≌△FAB 证明,过程如下:∵正方形 ABCD,∴AD = AB,∠DAF =∠BAF,又∵AF = AF,∴△FAD≌△FAB.
7. 对角线长为 2 cm 的正方形,边长是多少?
解:∵ABCD 是正方形,∴AB = BC,∠B = 90°△ABC是等腰直角三角形,AB2 + BC2 = AC2 = 4,∴AB =
8. 如图,四边形 ABCD 是正方形,△CBE 是等边三角形,求∠AEB 的度数.
证明: ∵△BEC 是等边三角形,∴BE = EC = BC = AB,∴△ABE 是等腰三角形,∴ ∠ABE = 90°-60° = 30 °∴∠AEB = = 75 °
9. 如图,A,B,C,D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上.仓库 P 和 Q 分别位于 AD 和 DC 上,且 PD = QC. 证明两条直路 BP = AQ 且 BP⊥AQ.
证明: 如图, AQ 与 BP 交于点 O.在正方形 ABCD 中,∵PD = QC, ∴DQ = AP .又∵AB = AD ,∠D =∠PAB = 90°,∴△ABP ≌△DAQ.∴BP =AQ,∠DAQ=∠ABP .∵∠ABP +∠APB= 90°=∠DAQ+∠APB.∴∠AOP =90°.∴BP =AQ 且 BP ⊥ AQ.
10. 在一个正方形的花坛上,欲修建两条直的小路,使得两条直的小路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法?
正方形同时具备平行四边形,矩形,菱形的所有性质,因此,正方形的四个角都是直角,四条边都相等,对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角,正方形是轴对称图形,有四条对称轴.这些性质为证明线段相等、垂直,角相等提供了重要的依据.
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