1．3　正方形的性质与判定

第1课时　正方形的性质

1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理；(重点)

2．会利用正方形的性质进行相关的计算和证明．(难点)

一、情景导入

如图(1)所示，把可以活动的矩形框架ABCD的BC边平行移动，使矩形的邻边AD，DC相等，观察这时矩形ABCD的形状．

如图(2)所示，把可以活动的菱形框架ABCD的∠A变为直角，观察这时菱形ABCD的形状．

图(1)中图形的变化可判断矩形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？图(2)中图形变化可判断菱形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？经过观察，你发现既是矩形又是菱形的图形是什么四边形？

引入正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．

注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形．

二、合作探究

探究点一：正方形的性质

如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.

在Rt△AOD中，由勾股定理，得

AD＝＝＝.

∴正方形的周长为4AD＝4＝8，面积为AD2＝()2＝8.

方法总结：结合勾股定理，充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线相等且互相垂直平分的性质，是解决与正方形有关的题目的关键．

探究点二：正方形的性质的应用

【类型一】 利用正方形的性质求角度

四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．

解析：等边△ADE可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，因此本题分两种情况．

解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.

∴∠AEB＝15°.

同理可得∠DEC＝15°.

∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；

当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，

∴∠AEB＝75°.

同理可得∠DEC＝75°.

∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.

综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.

易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．

【类型二】 利用正方形的性质求线段长

如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．

解析：线段BE是Rt△ABE的一边，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由条件可证△ABE≌△AFE，问题转化为求EF的长，结合已知条件易获解．

解：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.

∵EF⊥AC，

∴∠EFA＝∠EFC＝90°.

又∵∠ECF＝45°，

∴△EFC是等腰直角三角形，

∴EF＝FC.

∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，

∴△ABE≌△AFE，

∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.

∴FC＝BE.

在Rt△ABC中，

AC＝＝＝(cm)，

∴FC＝AC－AF＝－1(cm)，

∴BE＝－1(cm)．

方法总结：正方形被对角线分成4个等腰直角三角形，因此在正方形中解决问题时常用到等腰三角形的性质与直角三角形的性质．

【类型三】 利用正方形的性质证明线段相等

如图，已知过正方形ABCD的对角线BD上一点P，作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，求证：AP＝EF.

解析：由PE⊥BC，PF⊥CD知四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需说明AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分可知AP＝CP.

证明：连接AC，PC，如图．

∵四边形ABCD为正方形，

∴BD垂直平分AC，

∴AP＝CP.

∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，

∴四边形PECF为矩形，

∴PC＝EF，∴AP＝EF.

方法总结：(1)在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；(2)无论是正方形还是矩形，经常连接对角线，这样可以使分散的条件集中．

三、板书设计

正方形

经历正方形有关性质的探索过程，把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．