初中数学华师大版八年级下册1. 分式随堂练习题

这是一份初中数学华师大版八年级下册1. 分式随堂练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各式：eq \f(1,5)(1－x)，eq \f(4x,π－3)，eq \f(x2－y2,2)，eq \f(5x2,x).其中分式共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列式子中，从左到右变形不正确的是( )
A.eq \f(－a,b)＝eq \f(a,－b) B.eq \f(mx,my)＝eq \f(x,y)C.eq \f(－a－b,a＋b)＝－1 D.eq \f(b,a)－eq \f(a,b)＝eq \f(b－a,a－b)
3．若分式eq \f(a2－1,a－1)的值为0，则a的值为( )
A．±1 B．0 C．－1 D．1
4．下列计算正确的是( )
A．26÷2－2＝24 B．(x－4)0＝0 C．(－5)－1＝5 D．(x－1)2·x3＝x
5．将分式eq \f(x2,x＋y)中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值( )
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．缩小到原来的eq \f(1,2)
6．卵细胞是人体细胞中最大的细胞，其直径约为0.000 2 m．将数据0.000 2用科学记数法表示为( )
A．0.2×10－3 B．0.2×10－4C．2×10－3 D．2×10－4
7．若式子(a－1)0＋eq \f(1,a＋1)有意义，则a的取值范围是( )
A．a≠1且a≠－1 B．a≠1或a≠－1
C．a＝1或a＝－1 D．a≠0且a≠－1
8．有一个关于农妇卖鸡蛋的故事：两个农妇共带100个鸡蛋上集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同．第一个农妇对第二个农妇说：“如果咱们两人的鸡蛋交换，我可以卖15钱．”第二个农妇道：“可是如果我们俩的鸡蛋交换，我就只能卖6eq \f(2,3)钱．”这两个农妇各带了多少个鸡蛋？设第一个农妇带了x个鸡蛋，则可列方程为( )
A.eq \f(20x,100－x)＝eq \f(15（100－x）,3x) B.eq \f(15x,100－x)＝eq \f(20（100－x）,3x)
C.eq \f(15x,100＋x)＝eq \f(20（100－x）,3x) D.eq \f(15x,100－x)＝eq \f(20（100＋x）,3x)
9．若关于x的分式方程eq \f(1,x－2)＋eq \f(x＋m,x2－4)＝eq \f(3,x＋2)无解，则m的值为( )
A．－6 B．－10C．0或－6 D．－6或－10
10．对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”：a⊗b＝eq \f(1,a－b2)，例如：1⊗3＝eq \f(1,1－32)＝－eq \f(1,8).则方程x⊗(－2)＝eq \f(2,x－4)－1的解是( )
A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7
二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)
11．计算：a＋b＋eq \f(b2,a－b)＝________．
12．轮船在静水中的速度是a km/h，水流速度是b km/h，轮船在逆流中航行s km所需要的时间为________h.
13．如果a2＋2a－1＝0，那么eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(4,a)))·eq \f(a2,a－2)的值是________．
14．若关于x的分式方程eq \f(2,x－3)＋eq \f(x＋m,3－x)＝2有增根，则m的值是___________．
15．使等式(2x＋3)x＋2 024＝1成立的x的值为________．
16．数学的美无处不在．数学家们研究发现，在弦的粗细相同的前提下，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度．如三根弦的长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出乐声d、mi、s.研究15，12，10这三个数的倒数发现：eq \f(1,12)－eq \f(1,15)＝eq \f(1,10)－eq \f(1,12)，我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组两两各不相等的数：4，6，x，若要使这三个数能组成调和数，则x的值为________．
三、解答题(本题共9小题，共86分)
17．(8分)计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2－2－2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－π))0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))2 024.
18．(8分)解方程：eq \f(2x－5,x－2)＋3＝eq \f(3x－3,x－2).
19．(8分)先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,a－1)))÷eq \f(a2＋2a＋1,a－1)，其中a＝19.
20．(8分)设A＝eq \f(a－2,1＋2a＋a2)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(3a,a＋1))).
(1)化简A；
(2)当a＝3时，记此时A的值为f(3)；当a＝4时，记此时A的值为f(4)……解关于x的不等式eq \f(x－2,2)－eq \f(7－x,4)≤f(3)＋f(4)＋…＋f(11)，并将解集在数轴上表示出来．
21．(8分)在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若eq \f(a,a－b＋c)＝eq \f(a＋b＋c,2c)，求证：三角形ABC是直角三角形．
22．(10分)王老师带领同学们对异分母分式加减和解分式方程进行了对比学习，请仔细阅读下面两名同学的解题过程，并完成相应的任务．
任务一：①小亮同学第一步的运算是________(从下列四个选项中选出正确的一项)；其依据是________________________________________________；
A．通分 B．约分 C．去分母 D．因式分解
②小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是______________________．
任务二：小茵同学的解题步骤不完整，请你补充缺少的步骤．
23．(10分)为进一步推进美丽乡村建设，安溪县准备修建一条公路．开工后每天的平均进度要比原计划提高20%，结果提前20天完成了任务，设该工程队原计划每天修建公路x km.
(1)设这条公路长为a km，请用含a，x的代数式填表；
(2)若这条要修建的公路长度为50 km，该工程队实际平均每天修建公路多少千米？
24．(12分)甲、乙两人同时从A地沿同一路线走到B地．甲有一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；乙有一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走．设甲、乙两人从A地到B地所走的路程都为单位“1”，且a≠b.
(1)试用含a，b的式子分别表示甲、乙两人从A地到B地所用的时间t1和t2；
(2)请问甲、乙两人谁先到达B地？并说明理由．
25．(14分)阅读材料，并解答相应的问题．
欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见．在分式中，就有这样一个欧拉分式：
eq \f(an,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－c)))＋eq \f(bn,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－c))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－a)))＋eq \f(cn,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－a))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－b)))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(0\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＝0或1))，,1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＝2))，,a＋b＋c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＝3)).)))
(1)请你对欧拉分式中，当n＝2时的情况进行证明；
(2)请你利用欧拉分式解决下列问题：
计算eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋a))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－a)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－c)))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋b))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－b)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋a))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋c)))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋c))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－c)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－a))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋b)))的值．
答案
一、1.A 2.D 3.C 4.D 5.B 6.D 7.A
8．B 思路点拨：根据两个农妇卖鸡蛋的钱数相等，单价和数量不同可列分式方程．
9．D 10.B
二、11.eq \f(a2,a－b) 12.eq \f(s,a－b) 13.1 14.－1
15．－1，－2或－2 024 16.12，eq \f(24,5)或3
三、17.解：原式＝eq \f(1,4)－eq \f(1,4)－1＋1＝0.
18．解：去分母，得2x－5＋3(x－2)＝3x－3，解得x＝4.
检验：将x＝4代入x－2，得x－2≠0.
所以x＝4为原方程的解．
19．解：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－1,a－1)＋\f(2,a－1)))÷eq \f(a2＋2a＋1,a－1)＝eq \f(a＋1,a－1)·eq \f(a－1,a2＋2a＋1)＝eq \f(a＋1,a－1)·eq \f(a－1,（a＋1）2)＝eq \f(1,a＋1).
当a＝19时，原式＝eq \f(1,19＋1)＝eq \f(1,20).
20．解：(1)A＝eq \f(a－2,（a＋1）2)÷eq \f(a2＋a－3a,a＋1)＝eq \f(a－2,（a＋1）2)·eq \f(a＋1,a（a－2）)＝eq \f(1,a（a＋1）)＝eq \f(1,a2＋a).
(2)由(1)可知A＝eq \f(1,a（a＋1）).根据题意，得
f(3)＝eq \f(1,3×4)＝eq \f(1,3)－eq \f(1,4)，f(4)＝eq \f(1,4×5)＝eq \f(1,4)－eq \f(1,5)……
f(11)＝eq \f(1,11×12)＝eq \f(1,11)－eq \f(1,12)，所以f(3)＋f(4)＋…＋f(11)＝eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,5)＋…＋eq \f(1,11)－eq \f(1,12)＝eq \f(1,3)－eq \f(1,12)＝eq \f(1,4).
所以不等式eq \f(x－2,2)－eq \f(7－x,4)≤f(3)＋f(4)＋…＋f(11)可化为eq \f(x－2,2)－eq \f(7－x,4)≤eq \f(1,4)，解得x≤4.
所以原不等式的解集是x≤4，解集在数轴上表示如图．
(第20题)
21．证明：∵eq \f(a,a－b＋c)＝eq \f(a＋b＋c,2c)，
∴(a－b＋c)(a＋b＋c)＝2ac，
∴[(a＋c)＋b][(a＋c)－b]＝2ac，
∴(a＋c)2－b2＝2ac，
∴a2＋2ac＋c2－b2＝2ac，
∴a2＋c2－b2＝0，
∴a2＋c2＝b2，
∴三角形ABC是直角三角形．
22．解：任务一：①A；分式的基本性质
②等式的基本性质
任务二：检验：把x＝－6代入x(x－3)，
得－6×(－6－3)≠0，所以x＝－6是原方程的解．
23．解：(1)(1＋20%)x；eq \f(a,（1＋20%）x)
(2)由题意，得eq \f(50,x)－eq \f(50,（1＋20%）x)＝20，解得x＝eq \f(5,12).
经检验，x＝eq \f(5,12)是原分式方程的解．(1＋20%)x＝0.5.
答：该工程队实际平均每天修建公路0.5 km.
24．解：(1)由题意得t1＝eq \f(\f(1,2),a)＋eq \f(\f(1,2),b)＝eq \f(a＋b,2ab)，
eq \f(1,2)t2a＋eq \f(1,2)t2b＝1，∴t2＝eq \f(2,a＋b).
(2)乙先到达B地．理由：
eq \f(a＋b,2ab)－eq \f(2,a＋b)＝eq \f(（a＋b）2－4ab,2ab（a＋b）)＝eq \f(（a－b）2,2ab（a＋b）).
∵a≠b，a，b为正数，
∴(a－b)2>0，ab(a＋b)>0，
∴eq \f(（a－b）2,2ab（a＋b）)>0，∴eq \f(a＋b,2ab)>eq \f(2,a＋b)，即t1>t2，
∴乙先到达B地．
25．(1)证明：当n＝2时，
原式＝eq \f(a2,（a－b）（a－c）)＋eq \f(b2,（b－c）（b－a）)＋eq \f(c2,（c－a）（c－b）)
＝eq \f(a2（b－c）,（a－b）（b－c）（a－c）)－eq \f(b2（a－c）,（b－c）（a－b）（a－c）)＋eq \f(c2（a－b）,（a－c）（b－c）（a－b）)
＝eq \f(a2b－a2c－ab2＋b2c＋ac2－bc2,（a－b）（b－c）（a－c）)
＝eq \f(a2b－a2c－ab2＋b2c＋ac2－bc2,a2b－a2c－ab2＋ac2＋b2c－bc2)＝1.
(2)解：原式＝eq \f(1－a2,（a＋b）（a－c）)＋eq \f(1－（－b）2,（－b－a）（－b－c）)＋eq \f(1－c2,（c－a）（c＋b）)＝eq \f(1,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a－（－b）))（a－c）)＋eq \f(1,（－b－a）（－b－c）)＋eq \f(1,（c－a）\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(c－（－b）)))－eq \f(a2,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a－（－b）))（a－c）)－eq \f(（－b）2,（－b－a）（－b－c）)－eq \f(c2,（c－a）\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(c－（－b）)))＝0－1＝－1.
小亮同学：
eq \f(3,x－3)＋eq \f(x－12,x（x－3）)
＝eq \f(3x,x（x－3）)＋eq \f(x－12,x（x－3）)…第一步
＝eq \f(4（x－3）,x（x－3）)…第二步
＝eq \f(4,x).…第三步
小茵同学：
eq \f(x,x－3)－eq \f(x－12,x（x－3）)＝1，
x2－x＋12＝x(x－3)，…第一步
x2－x＋12＝x2－3x，…第二步
2x＝－12，…第三步
x＝－6.…第四步
平均每天修建公路的长度(km)
完成全部工程所需的天数(天)
原计划
x
eq \f(a,x)
实际