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第9章《中心对称图形—平行四边形》-2023-2024学年数学八年级下册章节复习讲义（苏科版）
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2023-2024学年苏科版数学八年级下册章节知识讲练1. 掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角.2. 理解中心对称图形的定义和性质.3. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.4. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.5. 掌握三角形中位线定理.知识点01：确定事件与随机事件【高频考点精讲】 1.不可能事件在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件．2.必然事件在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件.3.随机事件在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.【易错点剖析】知识点01：旋转的概念和性质【高频考点精讲】 将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.知识点02：中心对称与中心对称图形【高频考点精讲】 一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心．成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．知识点03：平行四边形【高频考点精讲】 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形.3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.【易错点剖析】平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.知识点04：矩形【高频考点精讲】 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形.知识要点：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．知识点05：菱形【高频考点精讲】 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.知识点06：正方形【高频考点精讲】 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.49一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023秋•石狮市期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，且点E恰好落在BC上．若∠DAE＝95°，则∠AEC的度数是（ ）A．50° B．55° C．60° D．65°2．（2分）（2023秋•雷州市期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（ ）A．30° B．35° C．40° D．45°3．（2分）（2023秋•武城县期末）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，已知AD＝6（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），DF＝2，则S△AEF＝（ ）A．6 B．12 C．15 D．304．（2分）（2023秋•富平县期末）如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是BC，DC上的点，E，F分别是AP，PQ的中点．BC＝12，DQ＝5，则线段EF的长为（ ）A．6 B．6.5 C．7 D．55．（2分）（2023秋•富平县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为（ ）A．（5，4） B．（8，4） C．（5，3） D．（8，3）6．（2分）（2023秋•靖宇县期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°7．（2分）（2023秋•宝鸡期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）A．4 B．4.5 C．5 D．5.58．（2分）（2023秋•叶县期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点（不与点A、C重合），且AE＝CF，分别连接BE、BF、DE、DF，则下列结论错误的是（ ）A．四边形BFDE是平行四边形 B．若四边形ABCD是菱形，那么四边形BFDE也是菱形 C．若四边形ABCD是正方形，那么四边形BFDE是菱形 D．若四边形ABCD是矩形，那么四边形BFDE也是矩形9．（2分）（2023秋•富锦市校级期末）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①OM+ON的值不变；②∠PNM＝∠POB；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④10．（2分）（2022秋•汝州市期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（ ）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•海南模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B的坐标为 ．12．（2022秋•丰城市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，点M为EF的中点，则AM的最小值为 ．13．（2分）（2023秋•四会市期末）如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G．若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝ ．14．（2分）（2023秋•礼县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为 ．15．（2分）（2023春•栖霞区校级月考）如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，AE交BC于点E，AF＝AB，若AB＝5，BF＝6，则AE的长为 ．16．（2分）（2023秋•未央区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E在边AD上，点F在边BC上，且BF＝DE，连接CE，DF，则CE+DF的最小值为 ．17．（2分）（2023春•武侯区校级月考）如图，在△ABC中，将边AB，AC分别绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，AE，连接DE，与BC交于点F，连接AF，CD，BE，BD，CE．下列结论：①BC＝DE；②BC⊥DE；③AF平分∠BFE；④BE2+CD2＝BD2+CE2，其中正确的结论为 ．18．（2分）（2023秋•青羊区校级期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，D、E两点分别是边AC、AB上的动点，且BE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转45°得到线段DF，连接BF，若BC＝6，则线段BF长度的最小值为 ．19．（2分）（2023秋•东西湖区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，D、E两点分别是边AC、AB上的动点，且式BE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转45°得到线段DF，连接BF，当线段BF最短时，∠ABF＝ °．20．（2分）（2023秋•莲湖区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 ．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023秋•硚口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，点B的对应点B'恰好落在线段BC上，求证：AB∥B'C'．22．（6分）（2023秋•旌阳区期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，A、B的对应点分别是D、E．（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠ADE的大小．（2）如图2，若α＝60°，点F在AC上，且∠FBC＝30°，求证：四边形BFDE为平行四边形．23．（8分）（2023秋•富平县期末）已知：如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE＝BC，EF⊥BD，交DC于点F．求证：DE＝CF．24．（8分）（2023秋•宁江区期末）如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形．（1）画出将Rt△ABC向右平移5个单位长度后的Rt△A1B1C1；（2）再将Rt△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt△A2B2C1．25．（8分）（2023•西陵区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作EF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形ABFE是菱形；（2）若AB＝5，BE＝8，，求平行四边形ABCD的面积．26．（8分）（2023秋•德化县期末）在同一平面内，三角形ABC和三角形DBE，∠ACB＝30°，∠A＝60°，∠BDE＝∠DBE＝45°，∠ABC＝∠E＝90°．三角形ABC保持不动，三角形DBE绕点B顺时针旋转α（0°≤α≤90°），即∠CBD＝α．（1）如图1，当BC与BD重合时，写出∠ACE和∠ABE的度数；（2）三角形DBE从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的α度数；如图2，若BM和BN分别是∠ABD和∠CBE的平分线，写出∠MBN的大小，并说明理由．27．（8分）（2023•未央区校级三模）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．28．（8分）（2023春•贵州期末）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图1，当点Q在DC边上时，探究PB与PQ所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过P点作PE⊥DC于E点，PF⊥BC于F点，根据正方形的性质和角平分线的性质，得出PE＝PF，再证明△PEQ≌△PFB，可得出结论，他的结论应是 ；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
2023-2024学年苏科版数学八年级下册章节知识讲练1. 掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角.2. 理解中心对称图形的定义和性质.3. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.4. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.5. 掌握三角形中位线定理.知识点01：确定事件与随机事件【高频考点精讲】 1.不可能事件在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件．2.必然事件在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件.3.随机事件在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.【易错点剖析】知识点01：旋转的概念和性质【高频考点精讲】 将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.知识点02：中心对称与中心对称图形【高频考点精讲】 一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心．成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．知识点03：平行四边形【高频考点精讲】 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形.3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.【易错点剖析】平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.知识点04：矩形【高频考点精讲】 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形.知识要点：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．知识点05：菱形【高频考点精讲】 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.知识点06：正方形【高频考点精讲】 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.49一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023秋•石狮市期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，且点E恰好落在BC上．若∠DAE＝95°，则∠AEC的度数是（ ）A．50° B．55° C．60° D．65°2．（2分）（2023秋•雷州市期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（ ）A．30° B．35° C．40° D．45°3．（2分）（2023秋•武城县期末）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，已知AD＝6（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），DF＝2，则S△AEF＝（ ）A．6 B．12 C．15 D．304．（2分）（2023秋•富平县期末）如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是BC，DC上的点，E，F分别是AP，PQ的中点．BC＝12，DQ＝5，则线段EF的长为（ ）A．6 B．6.5 C．7 D．55．（2分）（2023秋•富平县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为（ ）A．（5，4） B．（8，4） C．（5，3） D．（8，3）6．（2分）（2023秋•靖宇县期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°7．（2分）（2023秋•宝鸡期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）A．4 B．4.5 C．5 D．5.58．（2分）（2023秋•叶县期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点（不与点A、C重合），且AE＝CF，分别连接BE、BF、DE、DF，则下列结论错误的是（ ）A．四边形BFDE是平行四边形 B．若四边形ABCD是菱形，那么四边形BFDE也是菱形 C．若四边形ABCD是正方形，那么四边形BFDE是菱形 D．若四边形ABCD是矩形，那么四边形BFDE也是矩形9．（2分）（2023秋•富锦市校级期末）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①OM+ON的值不变；②∠PNM＝∠POB；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④10．（2分）（2022秋•汝州市期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（ ）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•海南模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B的坐标为 ．12．（2022秋•丰城市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，点M为EF的中点，则AM的最小值为 ．13．（2分）（2023秋•四会市期末）如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G．若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝ ．14．（2分）（2023秋•礼县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为 ．15．（2分）（2023春•栖霞区校级月考）如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，AE交BC于点E，AF＝AB，若AB＝5，BF＝6，则AE的长为 ．16．（2分）（2023秋•未央区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E在边AD上，点F在边BC上，且BF＝DE，连接CE，DF，则CE+DF的最小值为 ．17．（2分）（2023春•武侯区校级月考）如图，在△ABC中，将边AB，AC分别绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，AE，连接DE，与BC交于点F，连接AF，CD，BE，BD，CE．下列结论：①BC＝DE；②BC⊥DE；③AF平分∠BFE；④BE2+CD2＝BD2+CE2，其中正确的结论为 ．18．（2分）（2023秋•青羊区校级期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，D、E两点分别是边AC、AB上的动点，且BE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转45°得到线段DF，连接BF，若BC＝6，则线段BF长度的最小值为 ．19．（2分）（2023秋•东西湖区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，D、E两点分别是边AC、AB上的动点，且式BE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转45°得到线段DF，连接BF，当线段BF最短时，∠ABF＝ °．20．（2分）（2023秋•莲湖区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 ．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023秋•硚口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，点B的对应点B'恰好落在线段BC上，求证：AB∥B'C'．22．（6分）（2023秋•旌阳区期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，A、B的对应点分别是D、E．（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠ADE的大小．（2）如图2，若α＝60°，点F在AC上，且∠FBC＝30°，求证：四边形BFDE为平行四边形．23．（8分）（2023秋•富平县期末）已知：如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE＝BC，EF⊥BD，交DC于点F．求证：DE＝CF．24．（8分）（2023秋•宁江区期末）如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形．（1）画出将Rt△ABC向右平移5个单位长度后的Rt△A1B1C1；（2）再将Rt△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt△A2B2C1．25．（8分）（2023•西陵区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作EF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形ABFE是菱形；（2）若AB＝5，BE＝8，，求平行四边形ABCD的面积．26．（8分）（2023秋•德化县期末）在同一平面内，三角形ABC和三角形DBE，∠ACB＝30°，∠A＝60°，∠BDE＝∠DBE＝45°，∠ABC＝∠E＝90°．三角形ABC保持不动，三角形DBE绕点B顺时针旋转α（0°≤α≤90°），即∠CBD＝α．（1）如图1，当BC与BD重合时，写出∠ACE和∠ABE的度数；（2）三角形DBE从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的α度数；如图2，若BM和BN分别是∠ABD和∠CBE的平分线，写出∠MBN的大小，并说明理由．27．（8分）（2023•未央区校级三模）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．28．（8分）（2023春•贵州期末）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图1，当点Q在DC边上时，探究PB与PQ所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过P点作PE⊥DC于E点，PF⊥BC于F点，根据正方形的性质和角平分线的性质，得出PE＝PF，再证明△PEQ≌△PFB，可得出结论，他的结论应是 ；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
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