新高考数学一轮复习微专题专练44直线与圆、圆与圆的位置关系（含详解）

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一、选择题
1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )
A．相切 B．相交但不过圆心
C．相交过圆心 D．相离
2．已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋16＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是( )
A.相离 B．外切 C．相交 D．内切
3．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是( )
A．1＋ eq \r(2) B．2
C．1＋ eq \f(\r(2),2) D．2＋2 eq \r(2)
4．两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
5．已知直线l：y＝k(x＋ eq \r(3) )和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝( )
A．0 B． eq \r(3)
C． eq \f(\r(3),3) 或0 D． eq \r(3) 或0
6．已知直线l经过点(0，1)且与圆(x－1)2＋y2＝4相交于A、B两点，若|AB|＝2 eq \r(2) ，则直线l的斜率k的值为( )
A．1 B．－1或1
C．0或1 D．1
7．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A.－2 B．－4 C．－6 D．－8
8．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A.2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
9．若直线l与曲线y＝ eq \r(x) 和圆x2＋y2＝ eq \f(1,5) 都相切，则l的方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋ eq \f(1,2)
C．y＝ eq \f(1,2) x＋1 D．y＝ eq \f(1,2) x＋ eq \f(1,2)
二、填空题
10．若圆x2＋y2－4x－4y＝0上至少有3个不同的点到直线l：y＝kx的距离为 eq \r(2) ，则直线l的斜率k的取值范围是________．
11．[2023·新课标Ⅱ卷]已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为 eq \f(8,5) ”的m的一个值________．
12．过点P(1，－3)作圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A，B，则切线方程为______________．
[能力提升]
13．(多选)[2021·新高考Ⅰ卷]已知点P在圆(x－5)2＋ (y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 eq \r(2)
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 eq \r(2)
14．[2023·新课标Ⅰ卷]过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A．1 B． eq \f(\r(15),4) C． eq \f(\r(10),4) D． eq \f(\r(6),4)
15．[2022·新高考Ⅰ卷，14]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．
16．已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝4，若点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，则 eq \f(1,a) ＋ eq \f(9,b) 的最小值为________．
专练44 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．B 圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝ eq \f(|2－2－5|,\r(22＋12)) ＝ eq \r(5) < eq \r(6) ，
∴两圆相交但不过圆心．
2．B ∵x2＋y2＝4的圆心C1(0，0)，半径r1＝2，
又x2＋y2＋6x－8y＋16＝0可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝9，其圆心C2(－3，4)，半径r2＝3，又圆心距|C1C2|＝ eq \r(（0＋3）2＋（0－4）2) ＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切．
3．A x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心C(1，1)，半径为1，圆心C到直线x－y－2＝0的距离d＝ eq \f(|1－1－2|,\r(12＋（－1）2)) ＝ eq \r(2) ，∴圆上的点到直线距离的最大值为d＋r＝ eq \r(2) ＋1.
4．B 圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圆心C1(2，－1)，C2(－2，2)，半径r1＝2，r2＝3，圆心距|C1C2|＝ eq \r(（－2－2）2＋（2＋1）2) ＝5，
r1＋r2＝5，
∴|C1C2|＝r1＋r2，∴两圆C1与C2外切，∴它们有3条公切线．
5．D 由题意得圆心(0，1)到直线kx－y＋ eq \r(3) k＝0的距离为1，即： eq \f(|－1＋\r(3)k|,\r(k2＋1)) ＝1得k＝0或k＝ eq \r(3) .
6．D 由题意得圆心(1，0)到直线l：y＝kx＋1的距离d为d＝ eq \f(|k＋1|,\r(k2＋1)) ＝ eq \r(4－（\r(2)）2) ，得(k＋1)2＝2(k2＋1)，得k＝1.
7．B x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，
则圆心(－1，1)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝ eq \f(|－1＋1＋2|,\r(12＋12)) ＝ eq \r(2) ，
由题意得2＋22＝2－a，∴a＝－4.
8．D 如图，由题可知，AB⊥PM，
|PM|·|AB|＝2S四边形APBM＝2(S△PAM＋S△PBM)＝2(|PA|＋|PB|)，
∵|PA|＝|PB|，
∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝4 eq \r(|PM|2－|AM|2) ＝4 eq \r(|PM|2－4) ，
当|PM|最小时，|PM|·|AB|最小，易知|PM|min＝ eq \f(5,\r(4＋1)) ＝ eq \r(5) ，此时|PA|＝1，AB∥l，设直线AB的方程为y＝－2x＋b(b≠－2)，
圆心M到直线AB的距离为d＝ eq \f(|3－b|,\r(5)) ，
|AB|＝ eq \f(4|PA|,|PM|) ＝ eq \f(4,\r(5)) ，∴d2＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(AB,2))) eq \s\up12(2) ＝|MA|2，
即 eq \f(（3－b）2,5) ＋ eq \f(4,5) ＝4，解得b＝－1或b＝7(舍).
综上，直线AB的方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.故选D.
9．D 方法一(直接计算法) 由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l为y＝kx＋m，直线l与曲线y＝ eq \r(x) 的切点为A(x0，y0).由导数的几何意义可知 eq \f(1,2\r(x0)) ＝k，即 eq \r(x0) ＝ eq \f(1,2k) ，点A既在直线l上，又在曲线y＝ eq \r(x) 上，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝kx0＋m，,y0＝\r(x0)．)) ∴kx0＋m＝ eq \r(x0) ，即k· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2k))) eq \s\up12(2) ＋m＝ eq \f(1,2k) ，化简可得m＝ eq \f(1,4k) ，又∵直线l与圆x2＋y2＝ eq \f(1,5) 相切，∴ eq \f(|m|,\r(1＋k2)) ＝ eq \f(\r(5),5) ，将m＝ eq \f(1,4k) 代入化简得16k4＋16k2－5＝0，解得k2＝ eq \f(1,4) 或k2＝－ eq \f(5,4) (舍去).∵y＝ eq \r(x) 的图象在第一象限，∴k>0，∴k＝ eq \f(1,2) ，∴m＝ eq \f(1,2) ，∴l的方程为y＝ eq \f(1,2) x＋ eq \f(1,2) .故选D.
方法二(选项分析法) 由选项知直线l的斜率为2或 eq \f(1,2) ，不妨假设为2，设直线l与曲线y＝ eq \r(x) 的切点为P(x0，y0)，则 eq \f(1,2) x0－ eq \f(1,2) ＝2.解得x0＝ eq \f(1,16) ，则y0＝ eq \f(1,4) ，即P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，\f(1,4))) ，显然点P在圆x2＋y2＝ eq \f(1,5) 内，不符合题意，所以直线l的斜率为 eq \f(1,2) ，又直线l与圆x2＋y2＝ eq \f(1,5) 相切，所以只有D项符合题意，故选D.
10．[2－ eq \r(3) ，2＋ eq \r(3) ]
解析：x2＋y2－4x－4y＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝8，∴圆心为(2，2)，半径为2 eq \r(2) .当圆心到直线l的距离为 eq \r(2) 时，圆上恰好存在3个点到直线l的距离为 eq \r(2) ，∴圆心到直线l的距离应小于或等于 eq \r(2) ，∴ eq \f(|2k－2|,\r(1＋k2)) ≤ eq \r(2) ，∴2－ eq \r(3) ≤k≤2＋ eq \r(3) .
11．2(答案不唯一，可以是± eq \f(1,2) ，±2中任意一个)
解析：设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，C到直线l的距离d＝ eq \f(2,\r(1＋m2)) ，|AB|＝2 eq \r(R2－d2) ＝2 eq \r(4－（\f(2,\r(1＋m2))）2) ＝ eq \f(4|m|,\r(1＋m2)) .由S△ABC＝ eq \f(8,5) ，得 eq \f(1,2) × eq \f(4|m|,\r(1＋m2)) × eq \f(2,\r(1＋m2)) ＝ eq \f(8,5) ，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝± eq \f(1,2) ，故答案可以为2.
12．x＝1或8x－15y－53＝0
解析：当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝1，
当切线的斜率存在时，设切线方程为y＋3＝k(x－1)，
即：kx－y－k－3＝0，由题意得
eq \f(|4k－2－k－3|,\r(k2＋1)) ＝3，得k＝ eq \f(8,15) ，
∴切线方程为8x－15y－53＝0.
13．ACD 圆 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－5)) 2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－5)) 2＝16的圆心为M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，5)) ，半径为4，
直线AB的方程为 eq \f(x,4) ＋ eq \f(y,2) ＝1，即x＋2y－4＝0，
圆心M到直线AB的距离为 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(5＋2×5－4)),\r(12＋22)) ＝ eq \f(11,\r(5)) ＝ eq \f(11\r(5),5) >4，
所以，点P到直线AB的距离的最小值为 eq \f(11\r(5),5) －4<2，最大值为 eq \f(11\r(5),5) ＋4<10，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BM)) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－5))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－5))2) ＝ eq \r(34) ， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MP)) ＝4，由勾股定理可得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BP)) ＝ eq \r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BM))2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MP))2) ＝3 eq \r(2) ，CD选项正确．故选ACD.
14．B
解析：如图，x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝ eq \r(5) ，所以圆心到点(0，－2)的距离为 eq \r(（2－0）2＋（0＋2）2) ＝2 eq \r(2) ，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin eq \f(α,2) ＝ eq \f(r,2\r(2)) ＝ eq \f(\r(5),2\r(2)) ＝ eq \f(\r(10),4) ，所以cs eq \f(α,2) ＝ eq \f(\r(6),4) ，所以sin α＝2sin eq \f(α,2) cs eq \f(α,2) ＝2× eq \f(\r(10),4) × eq \f(\r(6),4) ＝ eq \f(\r(15),4) .故选B.
15．3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)
解析：由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图．设切点为A(x，y).由＝ eq \f(1,5) ，得A( eq \f(3,5) ， eq \f(4,5) ).因为kO1O2＝ eq \f(4,3) ，所以切线l1的斜率k1＝－ eq \f(3,4) ，所以l1：y－ eq \f(4,5) ＝－ eq \f(3,4) (x－ eq \f(3,5) )，即3x＋4y－5＝0.由图象易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝ eq \f(4,3) x.联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,3)x，,x＝－1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－\f(4,3)．)) 故直线l与l2的交点为P(－1，－ eq \f(4,3) ).由切线定理，得两圆的另一公切线l3过点P.设l3：y＋ eq \f(4,3) ＝k(x＋1).由点到直线的距离公式，得 eq \f(k－\f(4,3),\r(k2＋1)) ＝1，解得k＝ eq \f(7,24) ，所以l3：y＋ eq \f(4,3) ＝ eq \f(7,24) (x＋1)，即7x－24y－25＝0.
16．8
解析：由题意将两圆的方程相减，可得公共弦方程为x＋y＝2.
点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，∴a＋b＝2，∴ eq \f(1,a) ＋ eq \f(9,b) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(9,b))) (a＋b)＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋\f(b,a)＋\f(9a,b))) ≥ eq \f(1,2) ×(10＋6)＝8，当且仅当 eq \f(b,a) ＝ eq \f(9a,b) ，即b＝3a时取等号，所以 eq \f(1,a) ＋ eq \f(9,b) 的最小值为8.