新高考数学一轮复习微专题专练43圆的方程（含详解）

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一、选择题
1．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
2．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
3．已知点A是直角△ABC的直角顶点，且A(2a，2)，B(－4，a)，C(2a＋2，2)，则△ABC外接圆的方程是( )
A．x2＋(y－3)2＝5
B．x2＋(y＋3)2＝5
C．(x－3)2＋y2＝5
D．(x＋3)2＋y2＝5
4．已知方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，1)
5．点P(5a＋1，12a)在(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．|a|<1 B．a< eq \f(1,13)
C．|a|< eq \f(1,5) D．|a|< eq \f(1,13)
6．直线y＝kx－2k＋1恒过定点C，则以C为圆心，以5为半径的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝25
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝25
D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
7．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
8．圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
9．(多选)已知点A(－1，0)，B(1，0)，若圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1上存在点M满足 eq \(MA,\s\up6(→)) · eq \(MB,\s\up6(→)) ＝3，则实数a的值为( )
A．－2 B．－1
C．2 D．0
二、填空题
10．若a∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，1，\f(3,4))) ，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为________．
11．[2022·全国甲卷(文)，14]设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________．
12．直线l： eq \f(x,4) ＋ eq \f(y,3) ＝1与x轴、y轴分别相交于点A、B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为________．
[能力提升]
13．已知一个圆的圆心在曲线y＝ eq \f(2,x) (x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切，则当圆的面积最小时，该圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y－1)2＝25
14．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列说法正确的是( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3，0)
C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4
15．已知直线l：x－ eq \r(3) y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________．
16．已知点P(x，y)在(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，则x＋y的取值范围是________．
专练43 圆的方程
1．D 设所求的直线l的方程为x－y＋C＝0，∵直线l过圆心(0，3)，∴－3＋C＝0，C＝3，故所求的直线方程为x－y＋3＝0.
2．D 半径r＝ eq \r(（1－0）2＋（1－0）2) ＝ eq \r(2) ，
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．D ∵A为直角，∴AB⊥AC，∴2a＝－4，a＝－2，
∴△ABC外接圆的圆心(－3，0)，半径r＝ eq \f(|BC|,2) ＝ eq \f(\r(（－4＋2）2＋（－2－2）2),2) ＝ eq \r(5) ，
∴所求的圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5.
4．C 由题意得D2＋E2－4F>0，∴4＋4－4a>0，
∴a<2.
5．D 由题意得25a2＋144a2<1，∴a2< eq \f(1,132) ，得|a|< eq \f(1,13) .
6．B ∵y＝kx－2k＋1可化为y＝k(x－2)＋1，恒过定点(2，1)，
则所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.
7．C 3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离为d＝ eq \f(|10－0|,\r(32＋（－4）2)) ＝2，显然圆的半径r＝ eq \f(2,2) ＝1，与3x－4y＝0和3x－4y＋10＝0的距离相等的直线为3x－4y＋5＝0，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1，))
∴圆心(－3，－1)，
∴所求的圆的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
8．B 由题意得圆心(1，1)在直线y＝kx＋3上，∴k＝－2.
9．BD 设点M(x，y)，则 eq \(MA,\s\up6(→)) ＝(－x－1，－y)， eq \(MB,\s\up6(→)) ＝(－x＋1，－y)，
所以 eq \(MA,\s\up6(→)) · eq \(MB,\s\up6(→)) ＝(－x－1)(－x＋1)＋y2＝3，
所以点M的轨迹方程为圆x2＋y2＝4，圆心为(0，0)，半径为2.
由此可知圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1与圆x2＋y2＝4有公共点．
又圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1的圆心为(2a－1，2a＋2)，半径为1，
所以1≤ eq \r(（2a－1）2＋（2a＋2）2) ≤3，解得－1≤a≤ eq \f(1,2) .故选BD.
10．1
解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件是a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－211．(x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设M(a，1－2a).由点(3，0)，(0，1)均在⊙M上，可得点(3，0)，(0，1)到圆心M的距离相等且为⊙M的半径，所以r＝ eq \r(（a－3）2＋（1－2a）2) ＝ eq \r(a2＋（1－2a－1）2) ，解得a＝1.所以M(1，－1)，r＝ eq \r(5) ，所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
12．(x－1)2＋(y－1)2＝1
解析：设△AOB内切圆的圆心为M(m，m)(m>0)，半径为m，直线 eq \f(x,4) ＋ eq \f(y,3) ＝1可化为3x＋4y－12＝0，由题意得 eq \f(|3m＋4m－12|,\r(32＋42)) ＝m，得m＝1或m＝6(舍去).∴△AOB内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
13．A 设圆心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(2,x))) (x>0)，r＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2,x)＋1)),\r(5)) ≥ eq \f(5,\r(5)) ＝ eq \r(5) ，当且仅当x＝1时等号成立，所以当圆的面积最小时，即圆的半径最小时，此时圆心(1，2)，半径为 eq \r(5) ，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
14．ABD 对于A选项，圆心(k，k)一定在直线y＝x上，故A正确；对于B选项，将(3，0)代入圆Ck的方程整理得2k2－6k＋5＝0，其中Δ＝－4<0，方程无解，故所有圆Ck均不经过点(3，0)，故B正确；对于C选项，将(2，2)代入圆Ck的方程整理得k2－4k＋2＝0，其中Δ＝16－8＝8>0，故经过点(2，2)的圆Ck有两个，故C错误；对于D选项，所有圆的半径均为2，面积均为4，故D正确．故选ABD.
15．4
解析：如图：
∵y＝ eq \f(\r(3),3) x＋2 eq \r(3) ，∴kAC＝－ eq \r(3) ，
∴∠ACD＝60°，过D作DE⊥AC于E，则|DE|＝|AB|.
∵圆心到直线l的距离d＝ eq \f(6,\r(1＋3)) ＝3，
∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2))) eq \s\up12(2) ＝r2－d2＝12－9＝3.
∴|AB|2＝12，则|AB|＝2 eq \r(3) .
在Rt△DEC中，|CD|＝ eq \f(|AB|,sin 60°) ＝ eq \f(2\r(3),\f(\r(3),2)) ＝4.
16．[－ eq \r(2) －1， eq \r(2) －1]
解析：设x＝2＋cs α，y＝－3＋sin α
∴x＋y＝sin α＋cs α－1＝ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))) －1∈[－ eq \r(2) －1， eq \r(2) －1].