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新高考数学一轮复习微专题专练42两条直线的位置关系及距离公式（含详解）
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这是一份新高考数学一轮复习微专题专练42两条直线的位置关系及距离公式（含详解），共3页。
一、选择题
1．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
2．若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(3,2) C． eq \f(1,4) D． eq \f(3,4)
3．“a＝3”是“直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．当0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．“C＝2”是“点(1， eq \r(3) )到直线x＋ eq \r(3) y＋C＝0的距离为3”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．过点P(2，1)且与原点O距离最远的直线方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x－y－3＝0
C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0
7．若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是 eq \r(5) ，则m＋n＝( )
A．0 B．1
C．－2 D．－1
8．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是( )
A．k∈R
B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10
D．k∈R且k≠±5，k≠1
9．(多选)已知直线l： eq \r(3) x－y＋1＝0，则下列结论正确的是( )
A．直线l的倾斜角是 eq \f(π,6)
B．若直线m：x－ eq \r(3) y＋1＝0，则l⊥m
C．点( eq \r(3) ，0)到直线l的距离是2
D．过点(2 eq \r(3) ，2)与直线l平行的直线方程是 eq \r(3) x－y－4＝0
二、填空题
10．若曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则A到直线x＋y－3＝0的距离为________．
11．[2022·全国甲卷(理)，14]若双曲线y2－ eq \f(x2,m2) ＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
12．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则两点间的距离|AB|＝________．
专练42 两条直线的位置关系及距离公式
1．A 设所求的直线方程为x－2y＋c＝0，又(1，0)在直线l上，∴1＋c＝0，∴c＝－1，故所求的直线方程为x－2y－1＝0.
2．D ∵l1与l2垂直，∴3(a－1)＋a＝0，得a＝ eq \f(3,4) .
3．A 由两条直线平行，∴ eq \f(a,3) ＝ eq \f(2,a－1) ≠ eq \f(2a,7－a) ，
得a＝－2或a＝3.
∴a＝3是两条直线平行的充分不必要条件．
4．B 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1)．))
又∵0∴x＝ eq \f(k,k－1) <0，y＝ eq \f(2k－1,k－1) >0，
故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．
5．B 由点(1， eq \r(3) )到直线x＋ eq \r(3) y＋C＝0的距离为3，
得 eq \f(|1＋\r(3)×\r(3)＋C|,\r(12＋（\r(3)）2)) ＝ eq \f(|4＋C|,2) ＝3，得C＝2或C＝－10.
∴C＝2是点(1， eq \r(3) )到直线x＋ eq \r(3) y＋C＝0的距离为3的充分不必要条件．
6．A 过点P(2，1)且与原点O距离最远的直线就是过点P且与OP垂直的直线，因为直线OP的斜率为 eq \f(1－0,2－0) ＝ eq \f(1,2) ，所以所求直线的斜率为－2，即所求直线方程为y－1＝－2(x－2)，得2x＋y－5＝0.
7．C ∵l1∥l2，∴ eq \f(1,2) ＝ eq \f(－2,n) ，∴n＝－4，
∴l2：2x－4y－6＝0可化为x－2y－3＝0
∴ eq \f(|m＋3|,\r(12＋（－2）2)) ＝ eq \f(|m＋3|,\r(5)) ＝ eq \r(5) ，又m>0，∴m＝2，
∴m＋n＝2－4＝－2.
8．C 由l1∥l3，得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，若(1，1)在l3上，则k＝－10.若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10，故选C.
9．CD 对于A，直线l： eq \r(3) x－y＋1＝0的斜率k＝ eq \r(3) ，故直线l的倾斜角是 eq \f(π,3) ，故A错误；对于B，因为直线m：x－ eq \r(3) y＋1＝0的斜率k′＝ eq \f(\r(3),3) ，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；对于C，点( eq \r(3) ，0)到直线l的距离d＝ eq \f(|\r(3)×\r(3)－0＋1|,\r(（\r(3)）2＋（－1）2)) ＝2，故C正确；对于D，过点(2 eq \r(3) ，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝ eq \r(3) (x－2 eq \r(3) )，整理得 eq \r(3) x－y－4＝0，故D正确．
10. eq \r(2)
解析：由题意得A(0，1)，由点A(0，1)到直线x＋y－3＝0的距离为 eq \f(|1－3|,\r(12＋12)) ＝ eq \r(2) .
11. eq \f(\r(3),3)
解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝ eq \f(x,m) ，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得 eq \f(|0－2m|,\r(m2＋1)) ＝1，解得m＝± eq \f(\r(3),3) .又因为m＞0，所以m＝ eq \f(\r(3),3) .
12. eq \r(2)
解析：由题意可知，kAB＝ eq \f(b－a,5－4) ＝b－a＝1，
故|AB|＝ eq \r(（5－4）2＋（b－a）2) ＝ eq \r(2) .
一、选择题
1．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
2．若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(3,2) C． eq \f(1,4) D． eq \f(3,4)
3．“a＝3”是“直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．当0
C．第三象限 D．第四象限
5．“C＝2”是“点(1， eq \r(3) )到直线x＋ eq \r(3) y＋C＝0的距离为3”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．过点P(2，1)且与原点O距离最远的直线方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x－y－3＝0
C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0
7．若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是 eq \r(5) ，则m＋n＝( )
A．0 B．1
C．－2 D．－1
8．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是( )
A．k∈R
B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10
D．k∈R且k≠±5，k≠1
9．(多选)已知直线l： eq \r(3) x－y＋1＝0，则下列结论正确的是( )
A．直线l的倾斜角是 eq \f(π,6)
B．若直线m：x－ eq \r(3) y＋1＝0，则l⊥m
C．点( eq \r(3) ，0)到直线l的距离是2
D．过点(2 eq \r(3) ，2)与直线l平行的直线方程是 eq \r(3) x－y－4＝0
二、填空题
10．若曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则A到直线x＋y－3＝0的距离为________．
11．[2022·全国甲卷(理)，14]若双曲线y2－ eq \f(x2,m2) ＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
12．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则两点间的距离|AB|＝________．
专练42 两条直线的位置关系及距离公式
1．A 设所求的直线方程为x－2y＋c＝0，又(1，0)在直线l上，∴1＋c＝0，∴c＝－1，故所求的直线方程为x－2y－1＝0.
2．D ∵l1与l2垂直，∴3(a－1)＋a＝0，得a＝ eq \f(3,4) .
3．A 由两条直线平行，∴ eq \f(a,3) ＝ eq \f(2,a－1) ≠ eq \f(2a,7－a) ，
得a＝－2或a＝3.
∴a＝3是两条直线平行的充分不必要条件．
4．B 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1)．))
又∵0
故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．
5．B 由点(1， eq \r(3) )到直线x＋ eq \r(3) y＋C＝0的距离为3，
得 eq \f(|1＋\r(3)×\r(3)＋C|,\r(12＋（\r(3)）2)) ＝ eq \f(|4＋C|,2) ＝3，得C＝2或C＝－10.
∴C＝2是点(1， eq \r(3) )到直线x＋ eq \r(3) y＋C＝0的距离为3的充分不必要条件．
6．A 过点P(2，1)且与原点O距离最远的直线就是过点P且与OP垂直的直线，因为直线OP的斜率为 eq \f(1－0,2－0) ＝ eq \f(1,2) ，所以所求直线的斜率为－2，即所求直线方程为y－1＝－2(x－2)，得2x＋y－5＝0.
7．C ∵l1∥l2，∴ eq \f(1,2) ＝ eq \f(－2,n) ，∴n＝－4，
∴l2：2x－4y－6＝0可化为x－2y－3＝0
∴ eq \f(|m＋3|,\r(12＋（－2）2)) ＝ eq \f(|m＋3|,\r(5)) ＝ eq \r(5) ，又m>0，∴m＝2，
∴m＋n＝2－4＝－2.
8．C 由l1∥l3，得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，若(1，1)在l3上，则k＝－10.若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10，故选C.
9．CD 对于A，直线l： eq \r(3) x－y＋1＝0的斜率k＝ eq \r(3) ，故直线l的倾斜角是 eq \f(π,3) ，故A错误；对于B，因为直线m：x－ eq \r(3) y＋1＝0的斜率k′＝ eq \f(\r(3),3) ，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；对于C，点( eq \r(3) ，0)到直线l的距离d＝ eq \f(|\r(3)×\r(3)－0＋1|,\r(（\r(3)）2＋（－1）2)) ＝2，故C正确；对于D，过点(2 eq \r(3) ，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝ eq \r(3) (x－2 eq \r(3) )，整理得 eq \r(3) x－y－4＝0，故D正确．
10. eq \r(2)
解析：由题意得A(0，1)，由点A(0，1)到直线x＋y－3＝0的距离为 eq \f(|1－3|,\r(12＋12)) ＝ eq \r(2) .
11. eq \f(\r(3),3)
解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝ eq \f(x,m) ，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得 eq \f(|0－2m|,\r(m2＋1)) ＝1，解得m＝± eq \f(\r(3),3) .又因为m＞0，所以m＝ eq \f(\r(3),3) .
12. eq \r(2)
解析：由题意可知，kAB＝ eq \f(b－a,5－4) ＝b－a＝1，
故|AB|＝ eq \r(（5－4）2＋（b－a）2) ＝ eq \r(2) .
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