新高考数学一轮复习微专题专练11对数与对数函数（含详解）

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一、选择题
1．lg eq \f(5,2) ＋2lg 2－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－1) ＝( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
2．函数y＝ eq \r(lg\f(1,2)（3x－2）) 的定义域是( )
A．[1，＋∞) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
3．函数f(x)＝lg eq \f(1,2) (x2－2x)的单调递增区间是( )
A．(－∞，0) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，1)
4．若函数f(x)＝(m－2)xa是幂函数，则函数g(x)＝lga(x＋m)(a>0且a≠1)的图象过点( )
A．(－2，0) B．(2，0)
C．(－3，0) D．(3，0)
5．已知55<84，134<85，设a＝lg53，b＝lg85，c＝lg138，则( )
A．aC．b6．若a>b，则( )
A．ln (a－b)>0 B．3a<3b
C．a3－b3>0 D．|a|>|b|
7．已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则( )
A．f(x)在(0，2)单调递增
B．f(x)在(0，2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
8．若函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
9．若函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lgax，x>3，,－2x＋8，x≤3)) 存在最小值，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[ eq \r(3) ，＋∞)
C．(1， eq \r(3) ] D．(0， eq \f(\r(3),3) ]
二、填空题
10．已知函数f(x)＝lg2(x2＋a).若f(3)＝1，则a＝________.
11．函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) －lg2(x＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________．
12．函数f(x)＝lg2(－x2＋2 eq \r(2) )的值域为________．
[能力提升]
13．若2a＋lg2a＝4b＋2lg4b则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a14．(多选)对于函数f(x)＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,|x－2|)＋1)) ，下列说法正确的有( )
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x＋2)是奇函数
C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D．f(x)没有最小值
15．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg eq \f(p,p0) ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
16．已知函数f(x)＝lga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________．
专练11 对数与对数函数
1．B 原式＝lg eq \f(5,2) ＋lg 4－2＝lg ( eq \f(5,2) ×4)－2＝1－2＝－1．
2．D 由题意得lg eq \f(1,2) (3x－2)≥0，即0<3x－2≤1.
∴ eq \f(2,3) 3．A 函数f(x)＝lg eq \f(1,2) (x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数f(x)＝lg eq \f(1,2) (x2－2x)的单调增区间为(－∞，0).
4．A ∵f(x)＝(m－2)xa为幂函数，∴m－2＝1，m＝3，
∴g(x)＝lga(x＋3)，又g(－2)＝0，
∴g(x)的图象过(－2，0).
5．A a＝lg53∈(0，1)，b＝lg85∈(0，1)，则 eq \f(a,b) ＝ eq \f(lg53,lg85) ＝lg53·lg58< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg53＋lg58,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg524,2))) eq \s\up12(2) <1，∴a又∵134<85，∴135<13×85，两边同取以13为底的对数得lg13135 eq \f(4,5) ，∴c> eq \f(4,5) .
又∵55<84，∴8×55<85，两边同取以8为底的对数得lg8(8×55)综上所述，c>b>a，故选A.
6．C 通解：由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b优解：当a＝0.3，b＝－0.4时，ln (a－b)<0，3a＞3b，|a|<|b|，故排除A，B，D.故选C.
7．C f(x)的定义域为(0，2)，
f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln [x(2－x)]＝ln (－x2＋2x).
设u＝－x2＋2x，x∈(0，2)，
则u＝－x2＋2x在(0，1)上单调递增，
在(1，2)上单调递减．
又y＝ln u在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln (－x2＋2x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．
∴选项A、B错误；
∵f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴选项C正确；
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln (2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln (2－x)]＝2[ln x＋ln (2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图象不关于点(1，0)对称，
∴选项D错误．
8．B 由y＝lgax的图象可知lga3＝1，
所以a＝3.对于选项A：y＝3－x＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) 为减函数，A错误；
对于选项B：y＝x3，显然满足条件；
对于选项C：y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，C错误；
对于选项D：y＝lg3(－x)，当x＝－3时，y＝1，D错误．
故选B.
9．C 当x≤3时，f(x)＝－2x＋8单调递减，则f(x)≥f(3)＝2；当x>3时，f(x)＝lgax，必须满足a>1，且lga3≥2，得110．－7
解析：∵f(3)＝lg2(9＋a)＝1，∴9＋a＝2，a＝－7.
11．8
解析：因为函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) ，y＝－lg2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) －lg2(x＋4)在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f(－2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(－2) －lg2(－2＋4)＝9－1＝8．
12. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))
解析：∵0<－x2＋2 eq \r(2) ≤2 eq \r(2) ，∴lg2(－x2＋2 eq \r(2) )≤lg22 eq \r(2) ＝ eq \f(3,2) .
13．B 2a＋lg2a＝22b＋lg2b<22b＋lg2(2b)，
令f(x)＝2x＋lg2x，则f(a)又易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以a<2b，故选B.
14．AD 对于A，B，因为f(x)＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,|x－2|)＋1)) ，故f(x＋2)＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,|x|)＋1)) ，
又f(－x＋2)＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,|－x|)＋1)) ＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,|x|)＋1)) ，故f(x＋2)为偶函数，故A正确，B错误．
对于C，因为f(x)＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,|x－2|)＋1)) ＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－2)＋1))，x＞2，,lg \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2－x)＋1))，x＜2，))
当x∈(2，＋∞)时，因为y＝ eq \f(1,x－2) 在x∈(2，＋∞)时单调递减，故y＝ eq \f(1,x－2) ＋1单调递减，所以y＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－2)＋1)) 在区间(2，＋∞)上单调递减，故C错误．
对于D，因为当x∈(2，＋∞)时，y＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－2)＋1)) 单调递减，同理当x∈(－∞，2)时，y＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2－x)＋1)) 单调递增，当x→＋∞时，y→0，当x→－∞时，y→0，
故f(x)没有最小值．故D正确．
15．ACD 因为Lp＝20×lg eq \f(p,p0) 随着p的增大而增大，且L eq \a\vs4\al(p1) ∈[60，90]，L eq \a\vs4\al(p2) ∈[50，60]，所以L eq \a\vs4\al(p1) ≥L eq \a\vs4\al(p2) ，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg eq \f(p,p0) ，得，因为L eq \a\vs4\al(p3) ＝40，所以＝100p0，故C正确；假设p2>10p3，则，所以，所以L eq \a\vs4\al(p2) －L eq \a\vs4\al(p3) >20，不可能成立，故B不正确；因为≥1，所以p1≤100p2，故D正确．综上，选ACD.
16．[－1，＋∞)
解析：∵函数f(x)＝lga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，而f(0)＝0，∴f(－2)＝lga3＝－1，∴a＝ eq \f(1,3) ，∴g(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(x＋m) －3，令g(x)＝0，得x＝－m－1，则－m－1≤0，求得m≥－1，故m的取值范围为[－1，＋∞).
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40