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新高考数学一轮复习微专题专练03不等式的概念及基本性质（含详解）
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这是一份新高考数学一轮复习微专题专练03不等式的概念及基本性质（含详解），共5页。
一、选择题
1．如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是( )
A．a－b＞0 B．ac＜bc
C．a2＞b2 D． eq \f(1,a) ＜ eq \f(1,b)
2．下列不等式中，正确的是( )
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若a>b，则a＋cC．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b，c>d，则 eq \f(a,c) > eq \f(b,d)
3．使得a＞b＞0成立的一个充分不必要条件是( )
A． eq \f(1,b) ＞ eq \f(1,a) B．ea＞eb
C．ab＞ba D．ln a＞ln b＞0
4．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则( )
A． eq \f(1,x) － eq \f(1,y) ＞0 B．sin x－sin y＞0
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(y) ＜0 D．ln x＋ln y＞0
5．若a，b∈R，且a>|b|，则( )
A．a<－b B．a>b
C．a2 eq \f(1,b)
6．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式一定成立的是( )
A．ac>bc B．ab>bc
C．ab7．若α，β满足－ eq \f(π,2) <α<β< eq \f(π,2) ，则2α－β的取值范围是( )
A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π
C．－ eq \f(3π,2) <2α－β< eq \f(π,2) D．0<2α－β<π
8．已知实数a，b，c，满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
9．(多选)[2023·山东淄博实验中学检测]若a>b>0，则下列不等式中一定不成立的是( )
A． eq \f(b,a) > eq \f(b＋1,a＋1) B．a＋ eq \f(1,a) >b＋ eq \f(1,b)
C．a＋ eq \f(1,b) >b＋ eq \f(1,a) D． eq \f(2a＋b,a＋2b) > eq \f(a,b)
二、填空题
10．若a<0，b<0，则p＝ eq \f(b2,a) ＋ eq \f(a2,b) 与q＝a＋b的大小关系为________．
11．若实数a，b满足012．[2023·山东济南外国语学校检测]已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：①若ab>0，bc－ad>0，则 eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0；②若ab>0， eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0，则bc－ad>0；③若bc－ad>0， eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0，则ab>0.其中正确的命题是________．
[能力提升]
13．已知下列四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，能推出 eq \f(1,a) ＜ eq \f(1,b) 成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
14．(多选)若a＜b＜－1，c＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a－ eq \f(1,a) ＞b－ eq \f(1,b) B．a－ eq \f(1,b) ＜b－ eq \f(1,a)
C．ln (b－a)＞0 D．( eq \f(a,b) )c＞( eq \f(b,a) )c
15．已知有三个条件：①ac2>bc2；② eq \f(a,c) > eq \f(b,c) ；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件是________．(填序号)
16．已知2b专练3 不等式的概念及基本性质
1．C ∵a＜b＜0，∴a2＞b2.
2．A ∵ac2>bc2，c2>0，∴a>b.A正确．
3．D 当a＞b＞0时， eq \f(1,b) ＞ eq \f(1,a) ，ea＞eb成立，即 eq \f(1,b) ＞ eq \f(1,a) ，ea＞eb是a>b>0的必要条件，不符合题意，排除A，B.当ab＞ba时，可取a＝1，b＝－1，
但a>b>0不成立，故ab＞ba不是a＞b＞0的充分条件，排除C.函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，当ln a＞ln b＞0时，a＞b＞1＞0；当a＞b＞0时，取a＝ eq \f(1,e) ，b＝ eq \f(1,e2) ，则ln b＜ln a＜0.综上，ln a＞ln b＞0是a＞b＞0的充分不必要条件．
4．C 方法一 (取特殊值进行验证)因为x＞y＞0，选项A，取x＝1，y＝ eq \f(1,2) ，则 eq \f(1,x) － eq \f(1,y) ＝1－2＝－1＜0，排除A；选项B，取x＝π，y＝ eq \f(π,2) ，则sin x－sin y＝sin π－sin eq \f(π,2) ＝－1＜0，排除B；选项D，取x＝2，y＝ eq \f(1,2) ，则ln x＋ln y＝ln (xy)＝ln 1＝0，排除D.
方法二 (利用函数的单调性)因为函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 在R上单调递减，且x＞y＞0，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) ＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(y) ，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(y) ＜0.故选C.
5．B 可取a＝2，b＝±1逐一验证，B正确．
6．D ∵a>b>c且a＋b＋c＝0
∴a>0，c<0，b不确定
∴ac7．C ∵－ eq \f(π,2) <α<β< eq \f(π,2) ，
∴－ eq \f(π,2) <α< eq \f(π,2) ，－π<α－β<0，
∴－ eq \f(3π,2) <2α－β< eq \f(π,2) .
8．A 因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，
所以c≥b.
又b＋c＝6－4a＋3a2，
所以2b＝2＋2a2，b＝a2＋1，
所以b－a＝a2－a＋1＝(a－ eq \f(1,2) )2＋ eq \f(3,4) >0，
所以b>a，
所以c≥b>a.
9．AD ∵a>b>0，则 eq \f(b,a) － eq \f(b＋1,a＋1) ＝ eq \f(b（a＋1）－a（b＋1）,a（a＋1）) ＝ eq \f(b－a,a（a＋1）) <0，∴ eq \f(b,a) > eq \f(b＋1,a＋1) 一定不成立；a＋ eq \f(1,a) －b－ eq \f(1,b) ＝(a－b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,ab))) ，当ab>1时，a＋ eq \f(1,a) －b－ eq \f(1,b) >0，故a＋ eq \f(1,a) >b＋ eq \f(1,b) 可能成立；a＋ eq \f(1,b) －b－ eq \f(1,a) ＝(a－b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,ab))) >0，故a＋ eq \f(1,b) >b＋ eq \f(1,a) 恒成立； eq \f(2a＋b,a＋2b) － eq \f(a,b) ＝ eq \f(b2－a2,b（a＋2b）) <0，故 eq \f(2a＋b,a＋2b) > eq \f(a,b) 一定不成立．故选AD.
10．p≤q
解析：p－q＝( eq \f(b2,a) ＋ eq \f(a2,b) )－(a＋b)＝( eq \f(b2,a) －a)＋( eq \f(a2,b) －b)＝( eq \f(1,a) － eq \f(1,b) )(b2－a2)＝ eq \f(（b－a）2（b＋a）,ab) ，
又a<0，b<0，所以b＋a<0，ab>0，(b－a)2≥0，
所以( eq \f(b2,a) ＋ eq \f(a2,b) )－(a＋b)≤0，所以p≤q.
11．(－1，2)
解析：∵0又∵0∴－112．①②③
解析：对于①，若ab>0，bc－ad>0，不等式两边同时除以ab得 eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0，所以①正确；对于②，若ab>0， eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0，不等式两边同时乘以ab得bc－ad>0，所以②正确；对于③，若 eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0，当两边同时乘以ab时可得bc－ad>0，所以ab>0，所以③正确．
13．C ①中，因为b＞0＞a，所以 eq \f(1,b) ＞0＞ eq \f(1,a) ，因此①能推出 eq \f(1,a) ＜ eq \f(1,b) 成立，所以①正确；②中，因为0＞a＞b，所以ab＞0，所以 eq \f(a,ab) ＞ eq \f(b,ab) ，所以 eq \f(1,b) ＞ eq \f(1,a) ，所以②正确；③中，因为a＞0＞b，所以 eq \f(1,a) ＞0＞ eq \f(1,b) ，所以 eq \f(1,a) ＞ eq \f(1,b) ，所以③不正确；④中，因为a＞b＞0，所以 eq \f(a,ab) ＞ eq \f(b,ab) ，所以 eq \f(1,b) ＞ eq \f(1,a) ，所以④正确．故选C.
14．BD 利用取特殊值法，令a＝－3，b＝－2，代入各选项，验证可得正确的选项为BD.
15．①
解析：①由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，ab的充分条件．
16．(－1，2)
解析：∵2b∴－ eq \f(b,b) < eq \f(a,b) < eq \f(2b,b) ，即－1< eq \f(a,b) <2.
一、选择题
1．如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是( )
A．a－b＞0 B．ac＜bc
C．a2＞b2 D． eq \f(1,a) ＜ eq \f(1,b)
2．下列不等式中，正确的是( )
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若a>b，则a＋c
D．若a>b，c>d，则 eq \f(a,c) > eq \f(b,d)
3．使得a＞b＞0成立的一个充分不必要条件是( )
A． eq \f(1,b) ＞ eq \f(1,a) B．ea＞eb
C．ab＞ba D．ln a＞ln b＞0
4．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则( )
A． eq \f(1,x) － eq \f(1,y) ＞0 B．sin x－sin y＞0
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(y) ＜0 D．ln x＋ln y＞0
5．若a，b∈R，且a>|b|，则( )
A．a<－b B．a>b
C．a2
6．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式一定成立的是( )
A．ac>bc B．ab>bc
C．ab
A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π
C．－ eq \f(3π,2) <2α－β< eq \f(π,2) D．0<2α－β<π
8．已知实数a，b，c，满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
9．(多选)[2023·山东淄博实验中学检测]若a>b>0，则下列不等式中一定不成立的是( )
A． eq \f(b,a) > eq \f(b＋1,a＋1) B．a＋ eq \f(1,a) >b＋ eq \f(1,b)
C．a＋ eq \f(1,b) >b＋ eq \f(1,a) D． eq \f(2a＋b,a＋2b) > eq \f(a,b)
二、填空题
10．若a<0，b<0，则p＝ eq \f(b2,a) ＋ eq \f(a2,b) 与q＝a＋b的大小关系为________．
11．若实数a，b满足0
[能力提升]
13．已知下列四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，能推出 eq \f(1,a) ＜ eq \f(1,b) 成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
14．(多选)若a＜b＜－1，c＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a－ eq \f(1,a) ＞b－ eq \f(1,b) B．a－ eq \f(1,b) ＜b－ eq \f(1,a)
C．ln (b－a)＞0 D．( eq \f(a,b) )c＞( eq \f(b,a) )c
15．已知有三个条件：①ac2>bc2；② eq \f(a,c) > eq \f(b,c) ；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件是________．(填序号)
16．已知2b
1．C ∵a＜b＜0，∴a2＞b2.
2．A ∵ac2>bc2，c2>0，∴a>b.A正确．
3．D 当a＞b＞0时， eq \f(1,b) ＞ eq \f(1,a) ，ea＞eb成立，即 eq \f(1,b) ＞ eq \f(1,a) ，ea＞eb是a>b>0的必要条件，不符合题意，排除A，B.当ab＞ba时，可取a＝1，b＝－1，
但a>b>0不成立，故ab＞ba不是a＞b＞0的充分条件，排除C.函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，当ln a＞ln b＞0时，a＞b＞1＞0；当a＞b＞0时，取a＝ eq \f(1,e) ，b＝ eq \f(1,e2) ，则ln b＜ln a＜0.综上，ln a＞ln b＞0是a＞b＞0的充分不必要条件．
4．C 方法一 (取特殊值进行验证)因为x＞y＞0，选项A，取x＝1，y＝ eq \f(1,2) ，则 eq \f(1,x) － eq \f(1,y) ＝1－2＝－1＜0，排除A；选项B，取x＝π，y＝ eq \f(π,2) ，则sin x－sin y＝sin π－sin eq \f(π,2) ＝－1＜0，排除B；选项D，取x＝2，y＝ eq \f(1,2) ，则ln x＋ln y＝ln (xy)＝ln 1＝0，排除D.
方法二 (利用函数的单调性)因为函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 在R上单调递减，且x＞y＞0，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) ＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(y) ，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(y) ＜0.故选C.
5．B 可取a＝2，b＝±1逐一验证，B正确．
6．D ∵a>b>c且a＋b＋c＝0
∴a>0，c<0，b不确定
∴ac
∴－ eq \f(π,2) <α< eq \f(π,2) ，－π<α－β<0，
∴－ eq \f(3π,2) <2α－β< eq \f(π,2) .
8．A 因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，
所以c≥b.
又b＋c＝6－4a＋3a2，
所以2b＝2＋2a2，b＝a2＋1，
所以b－a＝a2－a＋1＝(a－ eq \f(1,2) )2＋ eq \f(3,4) >0，
所以b>a，
所以c≥b>a.
9．AD ∵a>b>0，则 eq \f(b,a) － eq \f(b＋1,a＋1) ＝ eq \f(b（a＋1）－a（b＋1）,a（a＋1）) ＝ eq \f(b－a,a（a＋1）) <0，∴ eq \f(b,a) > eq \f(b＋1,a＋1) 一定不成立；a＋ eq \f(1,a) －b－ eq \f(1,b) ＝(a－b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,ab))) ，当ab>1时，a＋ eq \f(1,a) －b－ eq \f(1,b) >0，故a＋ eq \f(1,a) >b＋ eq \f(1,b) 可能成立；a＋ eq \f(1,b) －b－ eq \f(1,a) ＝(a－b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,ab))) >0，故a＋ eq \f(1,b) >b＋ eq \f(1,a) 恒成立； eq \f(2a＋b,a＋2b) － eq \f(a,b) ＝ eq \f(b2－a2,b（a＋2b）) <0，故 eq \f(2a＋b,a＋2b) > eq \f(a,b) 一定不成立．故选AD.
10．p≤q
解析：p－q＝( eq \f(b2,a) ＋ eq \f(a2,b) )－(a＋b)＝( eq \f(b2,a) －a)＋( eq \f(a2,b) －b)＝( eq \f(1,a) － eq \f(1,b) )(b2－a2)＝ eq \f(（b－a）2（b＋a）,ab) ，
又a<0，b<0，所以b＋a<0，ab>0，(b－a)2≥0，
所以( eq \f(b2,a) ＋ eq \f(a2,b) )－(a＋b)≤0，所以p≤q.
11．(－1，2)
解析：∵0
解析：对于①，若ab>0，bc－ad>0，不等式两边同时除以ab得 eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0，所以①正确；对于②，若ab>0， eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0，不等式两边同时乘以ab得bc－ad>0，所以②正确；对于③，若 eq \f(c,a) － eq \f(d,b) >0，当两边同时乘以ab时可得bc－ad>0，所以ab>0，所以③正确．
13．C ①中，因为b＞0＞a，所以 eq \f(1,b) ＞0＞ eq \f(1,a) ，因此①能推出 eq \f(1,a) ＜ eq \f(1,b) 成立，所以①正确；②中，因为0＞a＞b，所以ab＞0，所以 eq \f(a,ab) ＞ eq \f(b,ab) ，所以 eq \f(1,b) ＞ eq \f(1,a) ，所以②正确；③中，因为a＞0＞b，所以 eq \f(1,a) ＞0＞ eq \f(1,b) ，所以 eq \f(1,a) ＞ eq \f(1,b) ，所以③不正确；④中，因为a＞b＞0，所以 eq \f(a,ab) ＞ eq \f(b,ab) ，所以 eq \f(1,b) ＞ eq \f(1,a) ，所以④正确．故选C.
14．BD 利用取特殊值法，令a＝－3，b＝－2，代入各选项，验证可得正确的选项为BD.
15．①
解析：①由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，a
16．(－1，2)
解析：∵2b
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