数学浙教版第二章 二元一次方程组2.4 二元一次方程组的应用学案及答案

这是一份数学浙教版第二章 二元一次方程组2.4 二元一次方程组的应用学案及答案，共8页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

1. 理解消元的思想；
2. 会用代入法解二元一次方程组.
【要点梳理】
要点一、消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数由多变少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
要点二、代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
特别说明：
(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；
(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．
【典型例题】
类型一、解二元一次方程组➽➼”用含x代入式表示y”型
1．已知二元一次方程.
（1）用含有x的代数式表示y；
（2）用含有y的代数式表示x.
【答案】(1) (2) x＝4－6y.
试题分析：（1）把x看做已知数表示出y即可；（2）把y看做已知数表示出x即可；
解：(1) 将方程变形为3y＝2－，
化y的系数为1，得y＝－ .
将方程变形为＝2－3y，
化x的系数为1，得x＝4－6y.
举一反三：
【变式】把下列方程改写成用含的式子表示的形式：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）y=-3x+1
【分析】用一个未知数表示另一个未知数，可先移项，再系数化为1即可．
解：（1）由2x-y=3，可得：y=2x-3；
（2）由3x+y-1=0，可得：y=-3x+1．
【点拨】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
类型二、解二元一次方程组➽➼用代入法解二元一次方程组
2．用代入消元法解方程组：
； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先将②代入①得，再把代入②求解即可；
（2）先由②得③，再把③代入①得，最后把代入③求解即可．
解：（1），
把②代入①得，
解得，
把代入②得，
∴方程组的解为；
（2），
由②得③，
把③代入①得，，
解得，，
把代入③得，
所以方程组的解为．
【点拨】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个方程为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形，使其具备这种形式．
举一反三：
【变式1】用代入消元法解下列方程组：
（2）
【答案】（1） （2）
【分析】(1) 将①代入②，即可消去x，求出y值，再把y值代入①，求出x即可得解；
将②代入①消去y，求出x的值，然后把x值代入②求出y值，即可得解．
解：（1）把①代入②，得，解得.
把代入①，得.
故原方程组的解为.
（2）把②代入①得，解得.
把代入②，得，解得.
故原方程组的解为.
【点拨】本题考查代入消元法解二元一次方程组．解题关键是掌握运用代入法解二元一次方程组的方法．
【变式2】用代入法解下列方程组
(2)
【答案】(1) (2)
【分析】代入法的步骤：先选其中的一个方程用其中一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程，从而达到消元的目的.
解：（1），
变形得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
所以方程组的解是：.
（2）可化为：，
变形得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
所以方程组的解是：.
【点拨】本题主要考查利用代入消元法解二元一次方程组的方法与步骤，可以结合代入法的特征进行解答.
类型三、解二元一次方程组➽➼纠错问题
3．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”.
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答.
【答案】（1）解法一中的计算有误；（2）原方程组的解是.
解：【分析】根据加减消元法和代入消元法进行判断即可.
【解答】（1）解法一中的计算有误（标记略）.
（2）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
由①-②，得，解得，
把代入①，得，解得，
所以原方程组的解是.
【点拨】考查加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握两种方法是解题的关键.
举一反三：
【变式】判断方程组的解法是否正确，如果不正确，请写出正确的解法.
解法①：由①，得.③，把③代入①，得.可以为任意实数，从而y也为任意实数，原方程组有无数组解.
解法②：由①，得.③，把③代入②，得.解得.把代入③，得. 原方程组的解为.
【分析】解法①中应把③代入②，可知解法错误，解法②代入后去括号时-2x没有变号,可知解法错误，利用代入消元法解方程组即可得出正确的方程组的解．
解：解法都不正确，其正确的解法如下：
由①，得.③
把③代入②，得.
解得.把代入③，得.
原方程组的解为.
【点拨】此题考查了代入法解二元一次方程组．熟练掌握代入法解二元一次方程组方法是解本题的关键．
类型四、解二元一次方程组➽➼整体代入法解二元一次方程组
4．先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组
由①，得x－y＝1.③
把③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1.
把y＝－1代入③，得x＝0.
∴原方程组的解为
这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：
【答案】．
【分析】由第一个方程求出2x-3y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
解：由①，得：2x－3y＝2．③
把③代入②，得：＋2y＝9，解得：y＝4．
把y＝4代入③，得2x－3×4＝2，解得：x＝7．
∴原方程组的解为．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
举一反三：
【变式1】阅读以下材料：
解方程组：．
小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得③，将③代入②得：
请你替小亮补全完整的解题过程；
请你用这种方法解方程组：．
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】（1）根据阅读材料补全完整的解题过程即可；
（2）由①得代入②得到关于y的方程，求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
（1）解：由①得③，
将③代入②得：，
解得，
将代入③得：，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解：，
由①得③，
将③代入②得：，
解得，
将代入③得：，
解得，
∴方程组的解为．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式2】数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
请结合他们的对话，解答下列问题：
按照小云的方法，的值为______，的值为______．
老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）利用整体代入的方法求解即可．
（1）解：，得，
把代入，得，
解得，
故答案为：；
（2）解：，得，
即，
∴
∵
∴
解得：．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题关键是掌握消元以及整体代入的思想方法． 已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．