人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案，共6页。

引入新课
问题1：德国的天文学家提丢斯于1766年研究了一列数：3，6，12，24，48，96，192，…这列数的后一个数字恰好是前一个数字的两倍. 提丢斯发现：如果将0加在这列数字的最前面，再将每个数字加4除以10，就得到了如下的数列：
0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，19.6，…
这个数列能够反映太阳系诸行星与太阳的平均距离.
如果你是天文学家，通过这列数，你有什么大胆的猜测？
答案：猜测距离太阳19.6个天文单位和2.8个天文单位的地方也分别有两个天体. 果然，天文学家后来在这两个位置分别发现了天王星和谷神星. 由此可见数列在科学研究中的重要作用.
课堂探究
问题2：如何研究“数列”这一新的概念？
答案：数列是一种特殊的函数，类比函数，可按照“事实——下定义——表示方法——性质——特殊元素”的路径研究数列.
问题3：如何给“数列”下定义？
答案：类比给函数下定义的思路，归纳几个具体的例子所满足的共同特征，通过“事实—概念（定义、表示）”的数学抽象过程，给数列下定义.
现象1：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
现象2：在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.
现象3：的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：，，，，….
它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
答案：记王芳第i岁时的身高为hi，i=1的时候，就表示1岁时的身高h1，也就是75.同理，h2＝87，h3=96，h17＝168．hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即h1＝75是排在第１位的数，h2＝87是排在第２位的数……h17＝168是排在第17位的数. 如果它们之间交换位置，那么表示的意义就不一样了．所以，这是具有确定顺序的一列数.
答案：记第i天月亮可见部分的数为si，那么s1＝5，s2＝10，…，s15＝240．这里，si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置. s1＝5是排在第1位的数，s2＝10是排在第2位的数……s15＝240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置．所以，这也是具有确定顺序的一列数.
答案：记n=i时，的n次幂为ti，那么t1＝，t2＝，…．这里，t1＝是排在第1位的数，t2＝是排在第2位的数……，它们之间不能交换位置．所以，这也是具有确定顺序的一列数.
追问1：上述3个现象的共同特征是什么？
答案：从构成上来看，都是一列数，并且数字之间不能交换位置，所以这列数具有确定的顺序.
问题4：数列的定义是什么？
答案：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
追问1：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？
答案：不是同一个数列. 根据数列的概念，数列中的数是有先后顺序的，两个数列即使所含的数完全相同，只要排列的顺序不同，就是两个不同的数列.
追问2：1，1，1，1，1…是不是一个数列？
答案：是一个数列. 数列中的数只要求按一定顺序排列，并没有规定数列中的数必须不同，同一个数可以在数列中重复出现．
问题5：如何用一般的符号来表示数列？
答案：可用正整数表示数列确定的顺序，即用，，···，，…分别表示数列的第1项（或称为首项）、第2项、…，第n项，…. 数列的一般形式可以写成，，···，，···，简记为．
追问：在数列中，符号与所表示的意义是否相同？
答案：不同. 仅表示数列中的第n项这一个数值．而表示一个数列，通常要在其前面写上“数列”这两个字，即“数列”.
问题6：对于不同的数列，它们的项数有何特点呢？
答案：回顾第一个例子，一共有17项，第二个例子有15项，这都是含有有限项的数列.而第三个数列就不同了，它有无穷多个项. 因此，可以根据数列中项数的有限和无限，将数列分成以下两类：有穷数列（项数有限的数列）；无穷数列（项数无限的数列）．
问题7：数列中的各项与各项序号k （k＝1，2，3，···，n，···）之间的对应关系是什么关系？
答案：数列各项与序号一一对应：

对于每一个正整数n，都有唯一的数与之对应，所以数列中的各项与各项序号k （k＝1，2，3，···，n，···）之间的对应关系是函数关系. 由此可见，数列实际上是由序号和项构成的函数.
追问：，，，，···，，…和，，，是同一个数列吗？能否从函数的角度解释一下？
答案：第一个数列的n可取一切正整数，所以定义域就是正整数集，它是个无穷数列. 而第二个数列是个有穷数列，它的定义域实际上是正整数集的一个有限子集. 因为定义域不同，所以不是同一个数列. 由此可见研究数列的函数特性是很有必要的. 不难得出：数列的定义域是正整数集或它的有限子集，值域是实数集的子集. 所以数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数.
问题8：数列有哪些表示方法？
答案：函数的表示方法有列表法、图象法、解析法. 数列作为一种特殊的函数，也有这三种表示方法．
追问1：数列的图象有什么特点？
答案：数列的图象是离散的，由一些孤立的点构成，不能连在一起，根源在定义域：以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列的自变量只能取一个一个的整数，是离散的数，所以画出的图象自然也就是离散的.
追问2：数列通项公式的定义和作用是什么？
答案：如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个数列的通项公式．有了通项公式，就可以写出数列的各项．
问题9：数列的单调性是怎样定义的？
答案：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列. 类比递增数列的定义，可以给出递减数列的定义：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．特别地，各项都相等的数列叫做常数列，如前面提到过的1，1，1，1，1…．
知识应用
例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．
（1）；（2）
解：根据通项公式，令n=1，就得到了首项，令n=2，就得到，以此类推，就可分别求出这两个数列的前5项：1，3，6，10，15和1，0，-1，0，1. 根据前5项的数据进行描点.

注意：描点后不能连线，因为数列图象就是由一些孤立的点构成的.
例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，，，，…；
（2）2，0，2，0，…．
解：第一个数列的特点是有正有负，正负相间. 我们常常用或 来表示正负相间的变化规律．除了正负方面的特征之外，（1）中数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为. （2）中的数列前４项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为.
例3 根据下列数列的通项公式，判断数列的增减性.
（1） （2）
（3） （4）
解：通过一个数列的通项公式判断数列的增减项，通常可以将其前几项写出，然后观察比较.（1）数列每一项的分子为1不变，分母越来越大，因此数列随n的增大而减小，是递减数列；（2）数列随n的增大而增大，是递增数列；（3）数列随n的增大而减小，是递减数列，是后续要学习的等差数列；（4）数列随n的增大而增大，是递增数列，是后续要学习的等比数列.
课堂小结
问题10：回顾本节课所学的知识，思考：
什么是数列？数列的本质是什么？
我们研究数列的基本路径是什么？
答案：（1）一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列本质上是一种离散的函数. （2）我们研究数列的基本路径是“事实——下定义——表示方法——性质——特殊元素”.