数学选择性必修 第二册4.2 等差数列教学设计

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问题1：我们知道，数列是一种特殊的函数，那么数列有哪些表示方法呢？如何类比函数的研究思路来研究数列？
答案：数列是一种特殊的函数，它的定义域是正整数集或其有限子集。数列的表示与函数的表示方法类似,有列表法,图像法,解析式法.数列的通项公式就是数列的函数解析式.由于数列的特殊性，还可以用相邻两项或多项之间的关系来表示，即数列的递推公式来表示数列.
函数的整体研究路径：函数概念→特殊函数，所以类比得到数列的研究路径：数列概念→特殊数列。这也是数学概念研究从一般到特殊的过程。
课堂探究
问题2：观察下列几个实例中的数列，它们有何共同的取值规律?
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板组铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81. = 1 \* GB3 ①
2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是38，40，42，44，46，48. = 2 \* GB3 ②
3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度(单位：摄氏度)依次为25，24，23，22，21. = 3 \* GB3 ③
4.某人向银行贷款10万元，贷款时间为n，如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b，每月支付给银行的利息(单位：元)依次为10r，10r-br，10r-2br， 10r-3br，….④
答案：从第2项起，每一项与它前一项的差不变.
追问1：这种取值规律，可以通过运算体现吗？
答案：对于 = 1 \* GB3 ①，我们发现18=9+9.27=18+9，…，81=72+9，换一种写法可以体现出数列中每连续两项的取值规律，就是18-9=9，27-18=9，…，81-72=9.如果用字母代替数列中的具体项，用表示数列 = 1 \* GB3 ①，那么有…，这种表达方式使数列的取值规律呈现出了一般性，表明数列 = 1 \* GB3 ①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数9.
数列 = 2 \* GB3 ②~④，我们同样可以通过这种表达方式体现同样的取值规律，分别为从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数2、-1、-br.
在实际生活，我们可以的得到很多“相等间隔”的数，那么面对就这样的一列数，应该怎样研究它的取值规律呢?对于取值规律比较明显的数列，可以通过观察、猜想得出数列的整体规律；对于取值规律不明显的数列，可以进行运算进行代数推理得到规律.利用等差数列的研究过程，为学生研究一种新的数列做出完整的示范.
结论：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列(arithmetic prgressin)，这个常数叫做等差数列的公差(cmmn difference)，公差通常用字母d表示.例如数列 = 1 \* GB3 ①的公差d=9.
追问2：由三个数组成的等差数列，三个数之间的数量关系是什么？
答案：2A=a+b.
结论：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项(arithmetic mean).根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.
追问3：你能表达等差数列中任意连续三项之间的数量关系吗？
答案：设等差数列中任意连续三项为，则 .
问题3：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
答案：.
由等差数列的定义可知，等差数列满足：….将n-1个等式左右两边分别依次相加，得到…即，从而得到等差数列的通项公式；
追问1：你还有其他方法得到等差数列通项公式吗？
通过等差数列定义，得到它的递推公式，再将第1项后面的每一项，都用它和公差表示，得到，，的形式，归纳得到.
第二种方法属于归纳推理，正确性还需要后续学习了第4.4节数学归纳法后予以严格 证明.
追问2：观察等差数列的通项公式，你认为它与哪一类函数有关？
答案：一次函数.
等差数列与一次函数的关系可以从正反两方面探究.一方面可以通过把的等差数列的通项公式变形为的形式，说明当时，等差数列的第n项是一次函数当时的函数值，即.因此，等差数列是自变量取整数的一次函数.
另一方面，对于一个任意的一次函数(，k ，b是常数)，则…，， …，由于从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数k，根据等差数列的定义，…，…，构成的是一个首项为，公差为的等差数列.
追问3：你能画出等差数列的图像吗？
答案：等差数列的图像是斜率为，截距为的直线上，自变量取正整数的点组成的集合.
通过函数的图像上画出自变量取正整数的点，可以得到等差数列的图像，这就从表达式和图像两个方面阐明了等差数列与相应的一次函数之间的关系.数列是一类特殊的离散型的函数，以函数模型解释数列模型、用函数的视角看待数列，用研究函数的思路研究数列，是贯穿于本单元乃至整个数列章节学习中的.等差数列的图像问题的提出与解决，也为日后的学习中用函数图像研究数列性质奠定了基础.
追问4：类比确定一次函数的方法，确定一个等差数列需要哪几个独立的条件？
答案：确定一个等差数列需要两个独立的条件—首项和公差.
确定一次函数需要两个独立的条件，可以是直线的斜率和一个点，可以是两个点.由于等差数列是特殊的一次函数，确定它的独立的条件和一次函数是一致的，即等差数列的公差和首项，或者等差数列中的任意两项.
追问5：如果已知等差数列中的任意两项，是否可以确定这一数列首项与公差？
答案：已知等差数列中的任意两项，则，，两式相减，得，变形得：().即等差数列中，可以通过两项之差除以项数之差得到公差.
例如:已知等差数列中，，则.
此外，由也可得，这也可以看成等差数列的另一个通项公式，即除了基本量之外，也可以用任意项来求出等差数列的通项.例如上面例子中，.
可见，等差数列可以通过两个独立条件确定.这两个独立条件可以是两个基本量—首项与公差，也可以是数列中的任意两项.类比一次函数的确定方法与表示方法，可以由一点和直线斜率确定，表达为直线的点斜式或斜截式，也可以由两点确定，表达为直线的两点式.
知识应用
例1 (1)已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项.
(2)求等差数列8，5，2，…的第20项.
解：(1)当时，由的通项公式，可得.于是公差.把代入通项公式，得首项.所以的公差为，首项为.
(2)由已知条件，得.把代入，得.把代入上式，得.所以，这个数列的第20项是.
练习：1.判断下列数列是否为等差数列，如果是请写出它的公差.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2.根据下列条件确定等差数列的通项公式.
(1)
(2)
(3)
3.求等差数列…的第11项.
答案：1.(1)是，公差是；(2)是，公差是0；(3)不是；(4)不是
(5)是，公差是.
2.(1)；(2)；(3).
3.43.
例2 是不是等差数列，…的项？如果是，是第几项？
解：由，得这个数列的通项公式为.令，解得.由于,所以是这个等差数列中的项，是第100项.