统考版2024高考数学二轮专题复习第二篇必备知识为基第1讲集合复数与常用逻辑用语理

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这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习第二篇必备知识为基第1讲集合复数与常用逻辑用语理，共8页。

1.
[2023·广州市第六中学高三三模]设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{y eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(y＝sin （πx＋\f(π,2)）))，x∈N}，B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{－1，1，2} B．{－2，－1，0，2}
C.{1} D．{－2，0}
2．[2023·江苏省无锡市天一中学一模]已知集合A＝{x∈Z|－1A.(0，4) B．(0，4]
C.(0，3] D．(0，3)
3．[2023·四川省成都市四七九名校高三全真模拟考试(一)]已知全集U＝{x||x|<5}，集合A＝{x|(x＋5)(x－1)<0}，B＝{x|lg2x≤1}，则∁U(A∪B)＝( )
A.[2，5) B．(－5，0]∪[1，5)
C.(2，5) D．(－5，0]∪(2，5)
4．[2023·河南省开封市杞县三模]已知M＝{x|y＝2 eq \r(2x－3)}，N＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－2)<1))))，则M∩N＝( )
A.(3，＋∞) B．(1，2)
C.[ eq \f(3,2)，3) D．[ eq \f(3,2)，2)∪(3，＋∞)
练后领悟
1．解决集合问题的三个注意点
(1)集合含义要明确：构成集合的元素及满足的性质．
(2)空集要重视：已知两个集合的关系，求参数的取值，要注意对空集的讨论．
(3)“端点”要取舍：要注意在利用两个集合的子集关系确定不等式组时，端点值的取舍问题，一定要代入检验，否则可能产生增解或漏解现象．
2．记准以下常见结论
(1)A＝A，A＝A，A＝B
＝A，A＝∅，A＝B∩A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
(4)A＝A⇔A⊆B，A＝A⇔B⊆A.
考点二复数——求实、虚部是根本
1.[2023·湖南高一期中]已知复数z＝m＋i(m∈R)，则“|z|>”是“m>3”的( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2．[2023·内蒙古赤峰模拟]若复数z满足z(1－2i)＝10，则( )
A.＝2＋4i
B.z＋2是纯虚数
C.复数z在复平面内对应的点在第三象限
D.若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α＝
3．[2023·河南新乡高二期中]若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则( )
A.z2不可能为纯虚数
B.z2在复平面内对应的点可能位于第二象限
C.z2在复平面内对应的点一定位于第三象限
D.z2在复平面内对应的点可能位于第四象限
4．已知(－1＋i)n＝＋…＋bn(－2＋i)n(n≥2，i为虚数单位)，又数列{an}满足：当n＝1时，a1＝－2；当n≥2时，an为b2(－2＋i)2的虚部．若数列的前n项和为Sn，则S2 018＝( )
A. B．
C. D．
5．[2023·河南省开封市杞县三模]“a< eq \r(3)”是“复数z＝ eq \f(3＋ai,2＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点在第四象限”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6．[2023·湖南省衡阳市田家炳中学测试]已知复数z＝ eq \f(2,1－i)， eq \(OZ,\s\up6(→))关于y轴对称的复数z1，则下列结论正确的是( )
A.z1的虚部为i
B.|z1|＝2
C.z1的共轭复数 eq \x\t(z)1＝－1＋i
D.z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) 为纯虚数
7．[2023·湖南省湘潭第一子弟中学开学考试]欧拉公式exi＝cs x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，则( )
A.eπi＝1
B.e eq \s\up6(\f(πi,2))为实数
C. eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(exi,\r(3)＋i)))＝ eq \f(1,2)
D.复数e2i对应的点位于第三象限
8．[2023·江苏省扬州市高三考前调研测试]复数z＝x＋yi(x，y∈R，i为虚数单位)在复平面内对应点Z(x，y)，则下列为真命题的是( )
A.若|z＋1|＝|z－1|，则点Z在圆上
B.若|z＋1|＋|z－1|＝2，则点Z在椭圆上
C.若|z＋1|－|z－1|＝2，则点Z在双曲线上
D.若|x＋1|＝|z－1|，则点Z在抛物线上
练后领悟
1．复数的概念及运算问题的解题技巧
(1)与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为mi(m∈R且m≠0)，利用复数相等求解．
(2)与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用待定系数法求解．
2．复数运算中常见的结论
(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i；
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；
(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
警示复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点为Z(a，b)，不是Z(a，bi)，当且仅当O为坐标原点时，向量与点Z对应的复数相同．
考点三常用逻辑用语——盯“词”依“表”正反推
1.[2023·四川省成都市四七九名校模拟]“0A.充分不必要条件
B.必要不充分条
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2．[2023·江苏省南通市如皋中学模拟]正项等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“q>1”是“S2 021＋S2 023>2S2 022”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3．[2023·吉林省长春外国语学校测试]下列命题正确的是( )
A.“∃x∈R，lg eq \s\d9(\f(1,2))(x2＋1)>0” 的否定为假命题
B.若a>0，b>0，a＋b＋ab＝3，则a＋b≥2
C.若“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”为真命题，则a≤4
D.a＋b＝0的必要不充分条件是 eq \f(a,b)＝－1
4．[2023·湖北省高中名校联盟联合测评]设命题p：若数列{an}是公差不为0的等差数列，则点P(n，an)必在一次函数图象上；命题q：若正项数列{an}是公比不为1的等比数列，则点Q(n，an)必在指数函数图象上．下列说法正确的是( )
A.p、q均为真命题 B．p、q均为假命题
C.p真q假 D．p假q真
5．[2023·四川省绵阳市三台中学模拟]下列命题正确的是( )
A.命题“p∧q”为假命题，则命题p与命题q都是假命题
B.命题“若x＝y，则sin x＝sin y” 的逆否命题为真命题
C.若x0使得函数f(x)的导函数f′(x0)＝0，则x0为函数f(x)的极值点
D.命题“∃x0∈R，使得x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋x0＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”
6．[2023·宁夏回族自治区银川一中模拟]有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“有些常数数列不是等比数列”的否定．其中真命题为( )
A.①② B．②③
C.③④ D．①③
练后领悟
1．判断充分、必要条件的方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”与“若q，则p”的真假．并注意和图示相结合，例如：“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．
(2)等价法：利用p⇒q与¬q⇒¬p，q⇒p与¬p⇒¬q，p⇔q与¬q⇔¬p的等价关系．
(3)集合法：如果A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；如果A＝B，则A是B的充要条件．
2．含逻辑联结词的命题真假的等价关系
(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(¬p)∧(¬q)假；
(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(¬p)∧(¬q)真；
(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(¬p)∧(¬q)假；
(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(¬p)∨(¬q)真；
(5)¬p真⇔p假；¬p假⇔p真．
3．命题的否定与否命题
(1)命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定只否定命题的结论．
(2)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
(3)p或q的否定：¬p且¬q；p且q的否定：¬p或¬q.
第1讲集合、复数与常用逻辑用语
考点一
1．解析：由题设得A＝{－1，1}，B＝{1，2}，则A∪B＝{－1，1，2}，
由图知：阴影部分为∁U（A∪B）＝{－2，0}．故选D.
答案：D
2．解析：由集合A＝{x∈Z|－1可得∁RB＝{x|x≥ eq \f(a,3)}，
因为A∩（∁RB）＝{1，2}，所以0< eq \f(a,3)≤1，解得0答案：C
3．解析：因为全集U＝{x|－5所以A∪B＝{x|－5答案：C
4．解析：依题可知：集合M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|y＝2\r(2x－3)))＝{x|x≥ eq \f(3,2)}，
N＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－2)<1))))＝{x|x<2或x>3}，M∩N＝[ eq \f(3,2)，2）∪（3，＋∞）.故选D.
答案：D
考点二
1．解析：由|z|＝ eq \r(m2＋1)> eq \r(10)，得m2>9，解得m>3或m<－3.故“|z|> eq \r(10)”是“m>3”的必要不充分条件．故选C.
答案：C
2．解析：z（1－2i）＝10，则z＝ eq \f(10,1－2i)＝ eq \f(10（1＋2i）,5)＝2＋4i，
对于A， eq \(z,\s\up6(－))＝2－4i，故A错误；
对于B，z＋2＝4＋4i，不是纯虚数，故B错误；
对于C，复数z在复平面内对应的点在第一象限，故C错误；
对于D，点（2，4）在角α的终边上，则sin α＝ eq \f(4,\r(4＋16))＝ eq \f(2\r(5),5)，故D正确，故选D.
答案：D
3．解析：由z在复平面内对应的点位于第二象限，其对应辐角范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以z2对应辐角为（π，2π），
故z2在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴．所以A、B、C错误，D正确．故选D.
答案：D
4．解析：∵（－1＋i）n＝[1＋（－2＋i）]n的通项公式：Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) （－2＋i）r，
∴T2＋1＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) （－2＋i）2＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) （3－4i），
依题意得：n≥2时，an＝－4C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ，
∴n≥2时， eq \f(－2,an)＝ eq \f(1,n（n－1）)＝ eq \f(1,n－1)－ eq \f(1,n)，
∴S2 018＝ eq \f(－2,－2)＋ eq \f(1,1)－ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)－ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,3)－ eq \f(1,4)＋…＋ eq \f(1,2 017)－ eq \f(1,2 018)＝2－ eq \f(1,2 018)＝ eq \f(4 035,2 018).
故选C.
答案：C
5．解析：因为z＝ eq \f(3＋ai,2＋i)＝ eq \f(6＋a＋（2a－3）i,5)，
又复数z在复平面内所对应的点在第四象限，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6＋a>0,2a－3<0))，解得－6因此a< eq \r(3)是－6答案：B
6．解析：z＝ eq \f(2,1－i)＝ eq \f(2（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝1＋i，根据复数的几何意义，可得z1＝－1＋i，
∴z1的虚部为1，故A错误；
根据复数模计算公式|z1|＝ eq \r(2)，故B错误；
由共轭复数的概念， eq \x\t(z)1＝－1－i，故C错误；
z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝（－1＋i）2＝－2i，为纯虚数，故D正确．故选D.
答案：D
7．解析：对于A，eπi＝cs π＋isin π＝－1，A错；
对于B，e eq \s\up6(\f(πi,2))＝cs eq \f(π,2)＋isin eq \f(π,2)＝i为纯虚数，B错；
对于C，因为 eq \f(exi,\r(3)＋i)＝ eq \f(（cs x＋isin x）（\r(3)－i）,（\r(3)＋i）（\r(3)－i）)＝ eq \f(sin x＋\r(3)cs x,4)＋ eq \f(\r(3)sin x－cs x,4)i，
因此， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(exi,\r(3)＋i)))＝ eq \r(（\f(sin x＋\r(3)cs x,4)）2＋（\f(\r(3)sin x－cs x,4)）2)
＝ eq \r(\f(4（sin 2x＋cs 2x）,16))＝ eq \f(1,2)，C对；
对于D，2∈（ eq \f(π,2)，π），则cs 2<0，sin 2>0，
所以，复数e2i＝cs 2＋isin 2在复平面内对应的点位于第二象限，D错．故选C.
答案：C
8．解析：|z＋1|＝ eq \r(（x＋1）2＋y2)表示点（x，y）与（－1，0）之间的距离，
|z－1|＝ eq \r(（x－1）2＋y2)表示点（x，y）与（1，0）之间的距离，记F1（－1，0），F2（1，0），
对于A，|z＋1|＝|z－1|，表示点Z（x，y）到F1，F2距离相等，则点Z在线段F1F2的中垂线上，故A错误；
或由（x＋1）2＋y2＝（x－1）2＋y2，整理得x＝0，所以点Z在x＝0，故A错误；
对于B，由|z＋1|＋|z－1|＝2得|ZF1|＋|ZF2|＝|F1F2|＝2，这不符合椭圆定义，故B错误；
对于C，若|z＋1|－|z－1|＝2，|ZF1|－|ZF2|＝|F1F2|＝2，这不符合双曲线定义，故C错误；
对于D，若|x＋1|＝|z－1|，则（x＋1）2＝（x－1）2＋y2，整理得y2＝4x，为抛物线，故D正确．故选D.
答案：D
考点三
1．解析：由lg |a|－b2令f（x）＝lg |x|＋x2，显然函数f（x）为偶函数，且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，
所以f（a）所以“0答案：A
2．解析：依题意，S2 021＋S2 023>2S2 022⇔S2 023－S2 022>S2 022－S2 021⇔a2 023>a2 022，
而{an}是公比为q的正项等比数列，因此a2 023>a2 022⇔a2 022q>a2 022⇔q>1，
所以“q>1”是“S2 021＋S2 023>2S2 022”的充要条件．故选C.
答案：C
3．解析：A选项，“∃x∈R，lg eq \s\d9(\f(1,2))（x2＋1）>0” 的否定是“∀x∈R，lg eq \s\d9(\f(1,2))（x2＋1）≤0”，
因为x2＋1≥1，所以∀x∈R，lg eq \s\d9(\f(1,2))（x2＋1）≤lg eq \s\d9(\f(1,2))1＝0，为真命题，A错误；
B选项，若a>0，b>0，ab＝3－（a＋b），由基本不等式得ab≤ eq \f(（a＋b）2,4)，当且仅当a＝b时，等号成立，
即3－（a＋b）≤ eq \f(（a＋b）2,4)，解得a＋b≥2或a＋b≤－6（舍去），故a＋b≥2，B正确；
C选项，若“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”为真命题，当a＝0时，4x＋1>0，不对任意x恒成立，不合要求，
当a≠0时，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0,Δ＝16－4a<0))，解得a>4，
综上所述，a>4，C错误；
D选项，a＋b＝0，若a＝b＝0，则不能得到 eq \f(a,b)＝－1，必要性不成立，
若 eq \f(a,b)＝－1，则 eq \f(a,b)＋1＝ eq \f(a＋b,b)＝0，故a＋b＝0，充分性成立，D错误．故选B.
答案：B
4．解析：若数列{an}是公差不为0的等差数列，则an＝a1＋（n－1）d＝dn＋（a1－d），
故点P（n，an）必在一次函数y＝dx＋（a1－d）图象上，故p真；
若an＝3×2n－1，则数列{an}是公比为2，首项为3的等比数列，
∵an＝3×2n－1≠an，（∀n∈N*），∴Q（n，an）不恒在指数函数图象上，故q假．故选C.
答案：C
5．解析：对于A：命题“p∧q”为假命题，则命题p与命题q至少有一个假命题，故A错误；
对于B：命题“若x＝y，则sin x＝sin y”显然为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，故B正确；
对于C：若x0使得函数f（x）的导函数f′（x0）＝0，
如果两侧的导函数的符号相反，则x0为函数f（x）的极值点；否则，x0不是函数f（x）的极值点，故C错误；
对于D：命题“∃x0∈R，使得x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋x0＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”．故D错误．故选B.
答案：B
6．解析：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为若x，y互为相反数，则x＋y＝0，命题为真命题；
②原命题的否命题为：两三角形不全等则面积不等，是假命题；
③若x2＋2x＋q＝0有实根，则Δ＝4－4q≥0，解得q≤1，故原命题为真，则逆否命题也是真命题；
④每项都是0的常数列不是等比数列，所以有些常数数列不是等比数列是真命题；“有些常数数列不是等比数列”的否定是“所有的常数数列都是等比数列”，是假命题．
综上所述，真命题为①③.故选D.
答案：D
导向性
考查数学运算、逻辑推理的学科素养及数形结合思想．
原则性
主干知识、强调基础、必考点．
导向性
考查数学运算，逻辑推理核心素养．
原则性
主干知识、必考点、注意概念要点．
导向性
体现综合性，考查逻辑推理素养．
原则性
知识交汇、基础应用、冷考点．

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