统考版2024高考数学二轮专题复习第二篇必备知识为基第3讲平面向量算法初步文

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习第二篇必备知识为基第3讲平面向量算法初步文，共8页。试卷主要包含了故选A，4x与y＝x0等内容，欢迎下载使用。


1.[2023·山东泰安模拟]已知向量m，n不共线，向量 eq \(OA,\s\up6(→))＝5m－3n， eq \(OB,\s\up6(→))＝xm＋n，若O，A，B三点共线，则x＝( )
A.－ eq \f(5,3) B． eq \f(5,3) C．－ eq \f(3,5) D． eq \f(3,5)
2.
[2023·宁夏回族自治区高三第四次模拟]已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设 eq \(AD,\s\up6(→))＝a， eq \(BE,\s\up6(→))＝b，则 eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A. eq \f(4,3)a＋ eq \f(2,3)b B． eq \f(2,3)a＋ eq \f(4,3)b
C. eq \f(2,3)a－ eq \f(4,3)b D．－ eq \f(2,3)a＋ eq \f(4,3)b
3．[2023·青海海东市模拟]已知在△ABC中， eq \(AD,\s\up6(→))＝－3 eq \(BD,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))＝λ eq \(CE,\s\up6(→))， eq \(AE,\s\up6(→))＝μ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))，则μ＝( )
A. eq \f(1,4) B． eq \f(1,2) C． eq \f(3,4) D．1
4．[2023·河南郑州模拟]在△ABC中，D是BC上一点， eq \(BD,\s\up6(→))＝2 eq \(DC,\s\up6(→))，M是线段AD上一点， eq \(BM,\s\up6(→))＝t eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→))，则t＝( )
A. eq \f(1,2) B． eq \f(2,3) C． eq \f(3,4) D． eq \f(5,8)
练后领悟
运算遵法则 基底定分解
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量归结到相关的三角形中，利用三角形法则列出三个向量之间的关系．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．
警示 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
考点二 平面向量的数量积——代数运算用坐标
1.[2023·四川成都七中模拟]已知 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))均为单位向量，且满足 eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))的值为( )
A. eq \f(3,8) B． eq \f(5,8) C． eq \f(7,8) D． eq \f(19,8)
2．[2023·全国乙卷]正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 eq \(EC,\s\up6(→))· eq \(ED,\s\up6(→))＝( )
A. eq \r(5) B．3 C．2 eq \r(5) D．5
3.[2023·海南省海南中学高三三模]勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知AB＝2，P为弧AC上的一点，且∠PBC＝ eq \f(π,6)，则 eq \(BP,\s\up6(→))· eq \(CP,\s\up6(→))的值为( )
A.4－ eq \r(2) B．4＋ eq \r(2)
C.4－2 eq \r(3) D．4＋2 eq \r(3)
4．[2023·湖南省长沙市实验中学高三二模]已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若A＝ eq \f(π,4)，则 eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))的最大值为( )
A. eq \r(2)＋1 B．2 eq \r(2)
C.2 D．1－ eq \r(2)
5．[2023·安徽淮南二模]已知公比为q的等比数列{an}中，a1a2a3＝3，a2a3a4＝24，平面向量a＝(1，q)，b＝(2，3q)，则下列c与2a＋b共线的是( )
A.c＝(1，4) B．c＝(1，5)
C.c＝(5，2) D．c＝(2，5)
练后领悟
解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法
(1)选择平面图形中模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解．
(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决．
警示 求两向量夹角应注意：夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况．
考点三 算法与程序框图——按“步”就“搬”
1.[2023·江西师范大学高三三模]已知a＝0.40.5，b＝0.50.4，c＝lg328，执行下列程序框图，则输出的是( )
A.a B．b
C.c D．不能确定
2．[2023·江西省新余市高三二模]更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”，如图是该算法的程序框图，如果输入a＝115，b＝161，则输出的a是( )
A.17 B．23
C.33 D．43
3．[2023·江西省景德镇市高三质检]德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年(1736年)开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式计算π的近似值(其中P表示π的近似值)”．若输入n＝9，输出的结果P可以表示为( )
A.P＝4(1－ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,5)－ eq \f(1,7)＋…＋ eq \f(1,13))
B.P＝4(1－ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,5)－ eq \f(1,7)＋…－ eq \f(1,15))
C.P＝4(1－ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,5)－ eq \f(1,7)＋…＋ eq \f(1,17))
D.P＝4(1－ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,5)－ eq \f(1,7)＋…－ eq \f(1,19))
4．[2023·甘肃省张掖市高三模拟]对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，如[2.3]＝2，[0.618]＝0，[－1.7]＝－2，我们把函数f(x)＝[x]叫做取整函数，也称之为高斯函数．执行下面与高斯函数有关的程序框图，则输出的结果为( )
A.1 129 B．1 130
C.1 131 D．1 132
练后领悟
解答程序框图(流程图)问题的方法
(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构．
(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．
(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．
警示 (1)在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别．
(2)解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应．
第3讲 平面向量、算法初步
考点一
1．解析：因为O，A，B三点共线，则 eq \(OA,\s\up6(→))∥ eq \(OB,\s\up6(→))，所以∃λ∈R， eq \(OB,\s\up6(→))＝λ eq \(OA,\s\up6(→))，即xm＋n＝λ（5m－3n），
整理得（5λ－x）m＝（3λ＋1）n.
又因为向量m，n不共线，则5λ－x＝3λ＋1＝0，则x＝－ eq \f(5,3)，故选A.
答案：A
2．解析：AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，
则 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(BD,\s\up6(→))－ eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(BA,\s\up6(→))，
eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)（ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))）＝ eq \f(1,2)（ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))），
由于 eq \(AD,\s\up6(→))＝a， eq \(BE,\s\up6(→))＝b，所以a＝ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(BA,\s\up6(→))，b＝ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))，
故解得 eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)a＋ eq \f(4,3)b，故选B.
答案：B
3．解析：因为 eq \(AD,\s\up6(→))＝－3 eq \(BD,\s\up6(→))，所以 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(4,3) eq \(AD,\s\up6(→))，
因为 eq \(AE,\s\up6(→))＝μ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))，所以 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(4μ,3) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))，
又 eq \(CD,\s\up6(→))＝λ eq \(CE,\s\up6(→))，所以 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,λ) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(λ－1,λ) eq \(AC,\s\up6(→))，
又 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(4μ,3) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,λ)＝\f(4,3)μ,\f(λ－1,λ)＝\f(2,3)))，得μ＝ eq \f(1,4).故选A.
答案：A
4．解析：因为 eq \(BD,\s\up6(→))＝2 eq \(DC,\s\up6(→))，则 eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝2（ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))），所以 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))，
因为 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))－t eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4)（ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))）＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)－t)) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→))，
M是线段AD上一点，设 eq \(AM,\s\up6(→))＝λ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)λ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3)λ eq \(AC,\s\up6(→))，其中0≤λ≤1，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)λ＝\f(3,4)－t,\f(2,3)λ＝\f(1,4)))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(3,8),t＝\f(5,8))).故选D.
答案：D
考点二
1．解析： eq \(AO,\s\up6(→))＝2（ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))）， eq \(AB,\s\up6(→))＝3 eq \(OB,\s\up6(→))＋2 eq \(OC,\s\up6(→))，同理 eq \(AC,\s\up6(→))＝2 eq \(OB,\s\up6(→))＋3 eq \(OC,\s\up6(→))，
eq \(AO,\s\up6(→))2＝4（ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))）2，∴ eq \(OB,\s\up6(→))· eq \(OC,\s\up6(→))＝－ eq \f(7,8)， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝（3 eq \(OB,\s\up6(→))＋2 eq \(OC,\s\up6(→))）（2 eq \(OB,\s\up6(→))＋3 eq \(OC,\s\up6(→))）＝6 eq \(OB,\s\up6(→))2＋6 eq \(OC,\s\up6(→))2＋13 eq \(OB,\s\up6(→))· eq \(OC,\s\up6(→))＝6＋6－ eq \f(91,8)＝ eq \f(5,8).故选B.
答案：B
2．解析：方法一 由题意知， eq \(EC,\s\up6(→))＝ eq \(EB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(ED,\s\up6(→))＝ eq \(EA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))，所以 eq \(EC,\s\up6(→))· eq \(ED,\s\up6(→))＝（ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))）·（－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))）＝| eq \(AD,\s\up6(→))|2－ eq \f(1,4)| eq \(AB,\s\up6(→))|2，由题意知| eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，所以 eq \(EC,\s\up6(→))· eq \(ED,\s\up6(→))＝4－1＝3，故选B.
方法二 以点A为坐标原点， eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AD,\s\up6(→))的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则E（1，0），C（2，2），D（0，2），则 eq \(EC,\s\up6(→))＝（1，2）， eq \(ED,\s\up6(→))＝（－1，2）， eq \(EC,\s\up6(→))· eq \(ED,\s\up6(→))＝－1＋4＝3，故选B.
答案：B
3.
解析：如图所示，
以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B（0，0），C（2，0），由∠PBC＝ eq \f(π,6)，得P（ eq \r(3)，1），所以 eq \(BP,\s\up6(→))＝（ eq \r(3)，1）， eq \(CP,\s\up6(→))＝（ eq \r(3)－2，1），所以 eq \(BP,\s\up6(→))· eq \(CP,\s\up6(→))＝ eq \r(3)（ eq \r(3)－2）＋1×1＝4－2 eq \r(3).故选C.
答案：C
4．解析：由圆O是△ABC的外接圆，且A＝ eq \f(π,4)，故OB⊥OC，
所以 eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))，
则 eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝（ eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))）·（ eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))）＝ eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))· eq \(OC,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))2
＝cs ∠AOC－cs ∠AOB＋1＝cs ∠AOC－cs （ eq \f(3π,2)－∠AOC）＋1＝cs ∠AOC＋sin ∠AOC＋1＝ eq \r(2)sin （∠AOC＋ eq \f(π,4)）＋1≤ eq \r(2)＋1，
仅当∠AOC＝ eq \f(π,4)时等号成立．
故选A.
答案：A
5．解析：等比数列{an}公比为q，而a1a2a3＝3，a2a3a4＝24，
则q3＝ eq \f(a2a3a4,a1a2a3)＝8，解得q＝2，
a＝（1，2），b＝（2，6），则2a＋b＝（4，10），
对于A，c＝（1，4），因4×4－1×10≠0，则A不是；
对于B，c＝（1，5），因4×5－1×10≠0，则B不是；
对于C，c＝（5，2），因4×2－5×10≠0，则C不是；
对于D，c＝（2，5），因4×5－2×10＝0，则D是．
故选D.
答案：D
考点三
1．解析：由函数y＝0.4x与y＝x0.4的图象与性质，可得0.50.4>0.40.4>0.40.5，即b>a，
又由c＝lg328＝ eq \f(lg28,lg232)＝ eq \f(3,5)，且a＝0.40.5＝ eq \r(0.4)＝ eq \r(\f(2,5))＝ eq \f(\r(10),5)> eq \f(3,5)，所以a>c，输入a，b，c，当x＝a时，满足判断条件b>a，不满足判断条件c>x，所以x＝c，所以输出结果c.故选C.
答案：C
2．解析：根据程序框图，输入的a＝115，b＝161，因为a≠b，且a第二次循环，a＝115－46＝69；
第三次循环，a＝69－46＝23；
第四次循环，b＝46－23＝23，此时a＝b＝23，输出a＝23.
故选B.
答案：B
3．解析：因为输入n＝9, 所以跳出循环的 i 值为 10，由程序框图知算法的功能是求
P＝4S＝4[ eq \f(（－1）0,2×1－1)＋ eq \f(（－1）1,2×2－1)＋ eq \f(（－1）2,2×3－1)＋…＋ eq \f(（－1）8,2×9－1)]＝4（1－ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,5)－…＋ eq \f(1,17)）.
故选C.
答案：C
4．解析：根据已知可知，当1≤i<10时，A＝[lg i－1]＝－1，满足的i值有9个；
当10≤i<100时，A＝[lg i－1]＝0，满足的i值有90个；
当100≤i<1 000时，A＝[lg i－1]＝1，满足的i值有900个；
当i＝1 000时，A＝[lg i－1]＝2，跳出循环，
所以S＝2 023－（－1×9＋0＋1×900＋2）＝1 130.故选B.
答案：B
导向性
强调能力立意，综合考查学科素养．
原则性
多与三角形、四边形交汇，高频考点．
导向性
强调数学运算与转化思想．
原则性
在直角坐标系中运算，属高频考点．
导向性
考查有规律性的推理运算．
原则性
多与数列、数学文化等交汇．