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专题14 函数的基本性质小题综合（单调性、奇偶性、周期性、对称性）-备战2024年数学新高考一轮复习之专题知识归纳和题型技巧大综合
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这是一份专题14 函数的基本性质小题综合（单调性、奇偶性、周期性、对称性）-备战2024年数学新高考一轮复习之专题知识归纳和题型技巧大综合，文件包含专题14函数的基本性质小题综合原卷版docx、专题14函数的基本性质小题综合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
冲刺秘籍
单调性的常见运算
单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗
②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘
④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘
⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
复合函数的单调性
奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：，图象关于原点对称
偶函数：，图象关于轴对称
③奇偶性的运算
周期性（差为常数有周期）
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
冲刺训练
一、单选题
1．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.
【详解】因为，在上单调递减，是偶函数，是奇函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，
对于A，，但无法判断的正负，故A不正确；
对于B，，但无法判断的正负，故B不正确；
对于C，，在上单调递减，所以，故C不正确；
对于D，，在上单调递减，，故D正确.
故选：D.
2．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期性，求出即可求解作答.
【详解】因为函数是定义域为上的奇函数，则，即，
由，得，因此，即，
则，于是函数是以4为周期的周期函数，
由，得，由，得，，
从而，
所以.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及较大自变量的抽象函数的函数值问题，根据给定的函数性质，求出函数的周期是解题的关键.
3．（2023·广东梅州·统考三模）已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．10B．20C．15D．5
【答案】A
【分析】首先由条件确定，即可判断函数的周期，再结合特殊值
，，即可求和.
【详解】因为函数为偶函数，所以，所以函数的图象关于
对称，又因为是定义在上的奇函数，所以，
即，即，则，
那么，所以2是函数的一个周期，
因为是定义在上的奇函数，所以，且，
所以，，
所以.
故选:A
4．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知函数与的定义域均为，为偶函数，且，，则下面判断错误的是( )
A．的图象关于点中心对称
B．与均为周期为4的周期函数
C．
D．
【答案】C
【分析】由为偶函数可得函数关于直线轴对称，结合和可得的周期为4，继而得到的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项
【详解】因为为偶函数，所以①，所以的图象关于直线轴对称，
因为等价于②，
又③，②+③得④，即，即，
所以，故的周期为4，
又，所以的周期也为4，故选项B正确，
①代入④得，故的图象关于点中心对称，且，故选项正确，
由，可得，且，故，
故，
因为与值不确定，故选项错误，
因为，所以，
所以，故，
故，所以选项D正确，
故选:.
5．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知定义在上的函数，分别为函数，的导函数，若为偶函数，且，，则（ ）
A．2023B．4C．D．0
【答案】D
【分析】由为偶函数列式并求导、赋值可得，再由求导，并结合可得、的周期为4，再通过赋值即可求得结果.
【详解】因为为偶函数，
所以，
所以，
令，则，
因为，
所以，①
所以，②
又因为，③
由②③得：，④
所以，
所以，
所以的周期为4，
又因为，
所以的周期为4，
在①中令得：，
在③中令得：，
在④中令得：，
所以，
所以，
故选：D.
6．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，，则（ ）
A．关于直线对称B．关于点中心对称
C．D．
【答案】C
【分析】对于A，由是偶函数，且，可得为偶函数，可求得其对称轴，对于B，再结合，可得关于点中心对称，对于CD，由前面的计算可得的周期为4，然后根据已知条件求出，从而可判断.
【详解】对于A，是偶函数，，
又，
，是偶函数，∴关于直线对称，所以A错误，
对于B，关于点中心对称，所以B错误，
对于CD，又，即4是的一个周期；
令，可得
，又，
，
，
所以C正确，D错误，
故选：C.
7．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知函数是上的单调函数，且，则在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性，建立方程，可得答案.
【详解】因为是上的单调函数，所以存在唯一的，使得，
则．
因为为上的增函数，且，所以，
所以．因为在上单调递增，所以，得．
故选：D.
8．（2023·福建三明·统考三模）已知函数，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先分析函数的单调性和对称性，根据函数的性质，再研究与对称轴的距离即可求解.
【详解】由题意：，
，
是的对称轴；
设，，并且， 则，显然是增函数，，
，，，即当时，是增函数，，根据复合函数单调性规则：同增异减，在时是增函数，
根据对称性，当时，是减函数；
下面分析自变量时与的距离，显然距离越大，对应的函数值越大，
；
设 ，则 ，是增函数，又，所以当时，，即，，
；
设，则，当时，是减函数，又，所以时，，
即，，又，；
；
故选：C.
【点睛】本题难度较大，分析问题的出发点是函数的图像，然后要运用缩放法对自变量x与对称轴的距离做出比较，其中是对正切函数和对数函数的一个常用的缩放，需要掌握.
9．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用导数得在上为减函数，在上为增函数，由可得，利用恒成立，得，再根据可得.
【详解】的定义域为，，
令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
因为，所以，所以，即.
因为
，
所以，
所以，
因为，所以，
又因为在上为增函数，所以，即，
所以，
综上所述：.
故选：B
【点睛】关键点点睛：推出恒成立，得是解题关键.
10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）函数、的定义域为，的导函数的定义域为，若，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，可得出，则（为常数），由可得出，再结合已知等式可推导出函数是周期为的周期函数，计算出、、、的值，结合函数的周期性可求得的值.
【详解】设，则，
所以，函数为常值函数，设（为常数），
又因为，则，即，
所以，函数的图象关于直线对称，则，
因为，，
且函数、的定义域为，
所以，，所以，，则，
所以，，所以，函数是周期为的周期函数，
因为，则，
所以，，
所以，函数是周期为的周期函数，
因为，则，
所以，，故，
所以，函数为偶函数，
因为，所以，，故，
在等式中，令可得，则，
在等式中，令可得，
在等式中，令可得，
所以，，故，则，
所以，，，，，
因此，
.
故选：D.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；
（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；
（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.
二、多选题
11．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称
【答案】AD
【分析】根据抽象函数的奇偶性与对称性即可判断得答案.
【详解】因为为奇函数，所以，所以函数关于点对称，
又为偶函数，所以，所以函数关于直线对称.
故选：AD.
12．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数定义域为，是奇函数，，函数在上递增，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．函数在上递减
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据是奇函数判断A，再判断即可得到的图象关于直线对称，从而判断B、C，根据对称性得到，即可判断D.
【详解】对于A，因为是奇函数，所以，故A错误；
因为是奇函数，所以的图象关于点对称，即有，
所以，所以的图象关于直线对称，
函数在上单调递增，所以在上单调递减，故B正确；
因为，所以，即，故C正确；
因为，且，由函数的图象关于直线对称，得，解得，故C正确.
故选：BCD.
13．（2023·广东东莞·校考三模）已知函数及其导函数的定义域均为.，，当时，，，则（ ）
A．的图象关于对称B．为偶函数
C．D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】A.由得到判断；B.由得到，再结合判断；C.由得到再结合判断；D.由为偶函数且得到是周期函数，且周期为8，再结合当时，，可知在单调递减，画出的大致图象，利用数形结合法求解.
【详解】由可得，故可知的图象关于对称，故A错误，
由得，由得，故为偶函数，故B正确，
由可得，所以，又为偶函数，所以，即，故C正确，
由为偶函数且可得，所以是周期函数，且周期为8，又当时，，可知在单调递减
故结合的性质可画出符合条件的的大致图象：
由性质结合图可知：当，时，，故D正确，
故选：BCD
14．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，．下列说法正确的是（ ）
A．3是函数的一个周期
B．函数的图象关于直线对称
C．函数是偶函数
D．
【答案】ACD
【分析】根据可得即可确定周期求解选项A；根据为奇函数，可得即可求解选项B；根据题设条件可得即可求解选项C；利用函数的周期性和函数值可求解选项D.
【详解】对A，因为，
所以，即，
所以3是函数的一个周期，A正确；
对B，因为为奇函数，所以，
所以函数的图象关于点中心对称，B错误；
对C，因为，
所以，
即，即，
所以函数是偶函数，C正确；
对D，，
所以，
所以，D正确；
故选:ACD.
15．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由题意可知4是的一个周期，所以，即可判断B；由，得结合，可知4也是的一个周期，由此求出可判断C；取特值可判断AD.
【详解】因为是奇函数，所以，且．
又，所以，
即．令等价于，所以，
所以4是的一个周期，所以，得，
即，故B正确．
由，得．又，
所以，所以，即．
所以，所以4也是的一个周期，
所以，得，故C正确．
取，则，显然是奇函数，符合题意．
此时，但，故A错误；
因为，所以，得，故D错误．
故选：BC.
16．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（ ）
A．
B．函数是奇函数
C．对，有
D．若，则
【答案】AB
【分析】对代入特殊值，求出的性质，最后运用构造法求出的解析式，运用错位相减法求和即可.
【详解】对于A，令，则有，
，正确；
对于B，因为的定义域为，
因为对于，，
当时，令，则有，
当时，，
所以是奇函数，正确；
对于C，由B知，当时，，错误；
对于D，，令，，
则有，，令，则，
，是首项为1，公差为1的等差数列，
，即，，
令…①，
则…②，
①-②得：，
故，错误；
故选：AB.
17．（2023·云南·校联考模拟预测）已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．直线为函数图象的一条对称轴
C．函数在区间上存在3个零点
D．若在区间上的根为，则
【答案】AB
【分析】根据周期函数的定义可得周期，故A正确；由，，推出，可得B正确；若当时，无零点，可推出无零点，可得C错误；根据的图象关于直线对称，推出，可得D错误.
【详解】对于A，因为，所以周期，故A正确；
对于B，因为为偶函数，所以，又，
所以，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，若当时，无零点，则根据周期性和对称性可推出无零点，故C错误；
对于D，因为的图象关于直线对称，且的周期，
又在区间上的根为，所以，故D错误.
故选：AB.
18．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为R，若，且，则（ ）
A．
B．是奇函数
C．点是图象的对称中心
D．点是图象的对称中心
【答案】BC
【分析】根据函数，可得其周期为4，又可得函数关于点对称，结合可判断函数其他对称性，根据导数运算可得，从而得导函数的对称性，从而逐项判断即可得结论.
【详解】因为，故，
若，又，则，所以，
这与矛盾，故A不正确；
若，则，所以，
故函数的周期为，即
因为，则，即
于是有，故函数关于点对称，由周期为4，可知点是图象的对称中心，故C正确；
函数关于点对称得，又，所以，所以函数为奇函数，故B正确；
对两边求导可得，则导函数关于直线对称，故D不正确.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：本题考查抽象函数的对称性、周期性，可按如下规则判断：
（1）若函数满足，则函数是以为周期的周期函数；
（2）若函数满足，则函数关于直线对称；
（3）若函数满足，则函数关于点对称.
19．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（ ）
A．是奇函数
B．关于对称
C．周期为4
D．
【答案】ABD
【分析】对于选项A，利用已知条件，即得结果.对于选项B，由题意可推导出为偶函数，为奇函数，所以，即即可证明；对于选项C，由关于对称和关于对称，即得结果.对于选项D，通过赋值，利用C中推导的结论和已知条件，由等差数列的前项和即得结果.
【详解】因为可得为偶函数，所以，则为奇函数，故A正确；
因为，偶函数，时偶函数，
所以为偶函数，所以关于对称，
因为，为奇函数，为奇函数，
所以为奇函数，关于对称，
，
则其中为常数，又故，有关于对称，B正确；
令等价于，，所以，
因为关于对称，所以，
所以令等价于，所以，所以，
故可看成数列，
而因为关于对称，所以，，
故是以为首项，为公差的等差数列，
是以为首项，为公差的等差数列，
所以没有周期性，故C不正确；
，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：
①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；
②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称.
20．（2023·吉林白山·统考二模）设函数的定义域为R，且满足，，当时，，则（ ）．
A．是周期为2的函数
B．
C．的值域是
D．方程在区间内恰有1011个实数解
【答案】BD
【分析】根据已知条件推出函数是奇函数．且以为周期，得A错误；根据周期计算，得B正确；利用导数和函数的周期性求出函数的值域可得C错误；根据函数图象与的图象交点个数，可得D正确．
【详解】函数的定义域为R，关于原点对称，
因为，所以，
又因为，所以，所以是奇函数．
由，得，
所以以4为周期，故A错误．
因为是奇函数，且定义域为R，所以．
因为，所以，故B正确．
因为当时，，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，所以．
因为为奇函数，所以当时，，
因为的图象关于直线对称，所以当时，，
因为的周期为4，所以当时，，故C错误．
方程的解的个数，即的图象与的图象交点个数．
因为的周期为2，且当时，与有2个交点，
所以当时，与有1011个交点，故D正确．
故选：BD.
【点睛】方法点睛：求函数零点或方程实根根的个数常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；
（2）数形结合法：先对解析式或方程变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、填空题
21．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数是上的奇函数，则实数 ．
【答案】
【分析】利用奇函数的定义可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】因为函数是上的奇函数，
则，即，
所以，，
所以，，
所以，.
故答案为：.
22．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）定义在R上的函数满足，且当，则＝ ．
【答案】/0.25
【分析】根据函数的周期性即可代入求解.
【详解】由可得，所以，故为周期函数，且周期为8，
，
故答案为：
23．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集的函数 .
①最小正周期为2；②；③无零点.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据周期,对称性,零点等性质判断写出符合条件的一个函数即可.
【详解】的定义域为，
最小正周期为，
因为，所以，
所以无零点，
综上，符合题意
故答案为：.
24．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数且，若，则的解集为 .
【答案】
【分析】构造函数，求导得函数的单调性，即可由单调性求解.
【详解】令，则 ，
由于，所以，故在上单调递减，又是定义在上的偶函数且，故，所以，
等价于，因此，
故的解集为，
故答案为：
25．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）已知函数，则使得成立的实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】函数 的 定义域为 ,
因为 ,
所以 ,
故函数 为偶函数，
当 时, , 且 在 上单调递减,
当 时, , 且 在 上单调递减,
而 ,
故 在 上单调递减, 且 .
则使得成立，
需，
所以且，
所以且，
所以且
解得或，
故答案为：.
26．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知定义在R上的函数 ，若 有解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分析 的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性求解.
【详解】 ，所以 是奇函数，
又 ， 在R的范围内是增函数，
有解等价于 ， 有解，
令 ，
当 时， 是增函数，当x趋于 时， 趋于 ，满足题意；
当 时，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数，
；
令 ，则 ，当 时， ，
是增函数，当 时， 是减函数，
并且当 时， ， ，
当 时 ，即当 时， 满足题意，
所以a的取值范围是 ；
故答案为：.
27．（2023·江苏·江苏省邗江中学校联考模拟预测）已知定义在上的函数为奇函数，且满足.当时，，则 .
【答案】
【分析】利用周期性和奇偶性可把转化到已知范围上，代入表达式可求，，即可求出答案.
【详解】函数为定义在上的奇函数，所以，
，
所以，所以2为的周期，
所以，，
故答案为：.
28．（2023·四川成都·树德中学校考三模）已知函数，定义域均为，且，，，，则 .
【答案】
【分析】根据已知条件及函数值的定义，结合函数的周期性即可求解.
【详解】由，得，
所以.
将代入，并整理得，
所以，
所以是以为周期的周期函数.
由可知，也是以为周期的周期函数，
所以.
由得，
又因为，
所以，解得，
所以.
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件求出函数，的周期，利用函数的周期性即可.
29．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）设为定义在上的可导函数，其导函数为偶函数，若对任意有，且，则 .
【答案】9
【分析】导函数为偶函数可知有对称中心，可知有对称轴，所以是周期函数，然后根据周期性和对称性求解即可.
【详解】导函数为偶函数，
所以，
，为常数；
，
，即，
所以，即，
，
两式相减得：，故函数周期为2，
，
，
，
；
；
.
故答案为：9
30．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，都为偶函数，则 ．
【答案】2525
【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于点对称，即可依次求得的值，根据等差数列的求和公式，即可求得答案.
【详解】因为为偶函数，则，即，
则，即，
故的图象关于点对称，且；
又为偶函数，则，
则，即，
故的图象关于点对称，且，
又将代入得，则；
令，由可得，则；
同理可得，则；，则，
由此可得组成了以0为首项，为公差的等差数列，
故，
故答案为：2525
【点睛】关键点睛：解答此类关于抽象函数的性质类问题，要能综合利用函数的性质进行求解，比如函数的奇偶性和对称性以及周期性等，解答本题的关键就在于要根据函数的奇偶性推出函数的对称性，从而采用赋值法求值，发现规律，进而求解.
冲刺秘籍
单调性的常见运算
单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗
②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘
④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘
⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
复合函数的单调性
奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：，图象关于原点对称
偶函数：，图象关于轴对称
③奇偶性的运算
周期性（差为常数有周期）
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
冲刺训练
一、单选题
1．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.
【详解】因为，在上单调递减，是偶函数，是奇函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，
对于A，，但无法判断的正负，故A不正确；
对于B，，但无法判断的正负，故B不正确；
对于C，，在上单调递减，所以，故C不正确；
对于D，，在上单调递减，，故D正确.
故选：D.
2．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期性，求出即可求解作答.
【详解】因为函数是定义域为上的奇函数，则，即，
由，得，因此，即，
则，于是函数是以4为周期的周期函数，
由，得，由，得，，
从而，
所以.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及较大自变量的抽象函数的函数值问题，根据给定的函数性质，求出函数的周期是解题的关键.
3．（2023·广东梅州·统考三模）已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．10B．20C．15D．5
【答案】A
【分析】首先由条件确定，即可判断函数的周期，再结合特殊值
，，即可求和.
【详解】因为函数为偶函数，所以，所以函数的图象关于
对称，又因为是定义在上的奇函数，所以，
即，即，则，
那么，所以2是函数的一个周期，
因为是定义在上的奇函数，所以，且，
所以，，
所以.
故选:A
4．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知函数与的定义域均为，为偶函数，且，，则下面判断错误的是( )
A．的图象关于点中心对称
B．与均为周期为4的周期函数
C．
D．
【答案】C
【分析】由为偶函数可得函数关于直线轴对称，结合和可得的周期为4，继而得到的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项
【详解】因为为偶函数，所以①，所以的图象关于直线轴对称，
因为等价于②，
又③，②+③得④，即，即，
所以，故的周期为4，
又，所以的周期也为4，故选项B正确，
①代入④得，故的图象关于点中心对称，且，故选项正确，
由，可得，且，故，
故，
因为与值不确定，故选项错误，
因为，所以，
所以，故，
故，所以选项D正确，
故选:.
5．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知定义在上的函数，分别为函数，的导函数，若为偶函数，且，，则（ ）
A．2023B．4C．D．0
【答案】D
【分析】由为偶函数列式并求导、赋值可得，再由求导，并结合可得、的周期为4，再通过赋值即可求得结果.
【详解】因为为偶函数，
所以，
所以，
令，则，
因为，
所以，①
所以，②
又因为，③
由②③得：，④
所以，
所以，
所以的周期为4，
又因为，
所以的周期为4，
在①中令得：，
在③中令得：，
在④中令得：，
所以，
所以，
故选：D.
6．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，，则（ ）
A．关于直线对称B．关于点中心对称
C．D．
【答案】C
【分析】对于A，由是偶函数，且，可得为偶函数，可求得其对称轴，对于B，再结合，可得关于点中心对称，对于CD，由前面的计算可得的周期为4，然后根据已知条件求出，从而可判断.
【详解】对于A，是偶函数，，
又，
，是偶函数，∴关于直线对称，所以A错误，
对于B，关于点中心对称，所以B错误，
对于CD，又，即4是的一个周期；
令，可得
，又，
，
，
所以C正确，D错误，
故选：C.
7．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知函数是上的单调函数，且，则在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性，建立方程，可得答案.
【详解】因为是上的单调函数，所以存在唯一的，使得，
则．
因为为上的增函数，且，所以，
所以．因为在上单调递增，所以，得．
故选：D.
8．（2023·福建三明·统考三模）已知函数，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先分析函数的单调性和对称性，根据函数的性质，再研究与对称轴的距离即可求解.
【详解】由题意：，
，
是的对称轴；
设，，并且， 则，显然是增函数，，
，，，即当时，是增函数，，根据复合函数单调性规则：同增异减，在时是增函数，
根据对称性，当时，是减函数；
下面分析自变量时与的距离，显然距离越大，对应的函数值越大，
；
设 ，则 ，是增函数，又，所以当时，，即，，
；
设，则，当时，是减函数，又，所以时，，
即，，又，；
；
故选：C.
【点睛】本题难度较大，分析问题的出发点是函数的图像，然后要运用缩放法对自变量x与对称轴的距离做出比较，其中是对正切函数和对数函数的一个常用的缩放，需要掌握.
9．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用导数得在上为减函数，在上为增函数，由可得，利用恒成立，得，再根据可得.
【详解】的定义域为，，
令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
因为，所以，所以，即.
因为
，
所以，
所以，
因为，所以，
又因为在上为增函数，所以，即，
所以，
综上所述：.
故选：B
【点睛】关键点点睛：推出恒成立，得是解题关键.
10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）函数、的定义域为，的导函数的定义域为，若，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，可得出，则（为常数），由可得出，再结合已知等式可推导出函数是周期为的周期函数，计算出、、、的值，结合函数的周期性可求得的值.
【详解】设，则，
所以，函数为常值函数，设（为常数），
又因为，则，即，
所以，函数的图象关于直线对称，则，
因为，，
且函数、的定义域为，
所以，，所以，，则，
所以，，所以，函数是周期为的周期函数，
因为，则，
所以，，
所以，函数是周期为的周期函数，
因为，则，
所以，，故，
所以，函数为偶函数，
因为，所以，，故，
在等式中，令可得，则，
在等式中，令可得，
在等式中，令可得，
所以，，故，则，
所以，，，，，
因此，
.
故选：D.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；
（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；
（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.
二、多选题
11．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称
【答案】AD
【分析】根据抽象函数的奇偶性与对称性即可判断得答案.
【详解】因为为奇函数，所以，所以函数关于点对称，
又为偶函数，所以，所以函数关于直线对称.
故选：AD.
12．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数定义域为，是奇函数，，函数在上递增，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．函数在上递减
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据是奇函数判断A，再判断即可得到的图象关于直线对称，从而判断B、C，根据对称性得到，即可判断D.
【详解】对于A，因为是奇函数，所以，故A错误；
因为是奇函数，所以的图象关于点对称，即有，
所以，所以的图象关于直线对称，
函数在上单调递增，所以在上单调递减，故B正确；
因为，所以，即，故C正确；
因为，且，由函数的图象关于直线对称，得，解得，故C正确.
故选：BCD.
13．（2023·广东东莞·校考三模）已知函数及其导函数的定义域均为.，，当时，，，则（ ）
A．的图象关于对称B．为偶函数
C．D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】A.由得到判断；B.由得到，再结合判断；C.由得到再结合判断；D.由为偶函数且得到是周期函数，且周期为8，再结合当时，，可知在单调递减，画出的大致图象，利用数形结合法求解.
【详解】由可得，故可知的图象关于对称，故A错误，
由得，由得，故为偶函数，故B正确，
由可得，所以，又为偶函数，所以，即，故C正确，
由为偶函数且可得，所以是周期函数，且周期为8，又当时，，可知在单调递减
故结合的性质可画出符合条件的的大致图象：
由性质结合图可知：当，时，，故D正确，
故选：BCD
14．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，．下列说法正确的是（ ）
A．3是函数的一个周期
B．函数的图象关于直线对称
C．函数是偶函数
D．
【答案】ACD
【分析】根据可得即可确定周期求解选项A；根据为奇函数，可得即可求解选项B；根据题设条件可得即可求解选项C；利用函数的周期性和函数值可求解选项D.
【详解】对A，因为，
所以，即，
所以3是函数的一个周期，A正确；
对B，因为为奇函数，所以，
所以函数的图象关于点中心对称，B错误；
对C，因为，
所以，
即，即，
所以函数是偶函数，C正确；
对D，，
所以，
所以，D正确；
故选:ACD.
15．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由题意可知4是的一个周期，所以，即可判断B；由，得结合，可知4也是的一个周期，由此求出可判断C；取特值可判断AD.
【详解】因为是奇函数，所以，且．
又，所以，
即．令等价于，所以，
所以4是的一个周期，所以，得，
即，故B正确．
由，得．又，
所以，所以，即．
所以，所以4也是的一个周期，
所以，得，故C正确．
取，则，显然是奇函数，符合题意．
此时，但，故A错误；
因为，所以，得，故D错误．
故选：BC.
16．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（ ）
A．
B．函数是奇函数
C．对，有
D．若，则
【答案】AB
【分析】对代入特殊值，求出的性质，最后运用构造法求出的解析式，运用错位相减法求和即可.
【详解】对于A，令，则有，
，正确；
对于B，因为的定义域为，
因为对于，，
当时，令，则有，
当时，，
所以是奇函数，正确；
对于C，由B知，当时，，错误；
对于D，，令，，
则有，，令，则，
，是首项为1，公差为1的等差数列，
，即，，
令…①，
则…②，
①-②得：，
故，错误；
故选：AB.
17．（2023·云南·校联考模拟预测）已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．直线为函数图象的一条对称轴
C．函数在区间上存在3个零点
D．若在区间上的根为，则
【答案】AB
【分析】根据周期函数的定义可得周期，故A正确；由，，推出，可得B正确；若当时，无零点，可推出无零点，可得C错误；根据的图象关于直线对称，推出，可得D错误.
【详解】对于A，因为，所以周期，故A正确；
对于B，因为为偶函数，所以，又，
所以，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，若当时，无零点，则根据周期性和对称性可推出无零点，故C错误；
对于D，因为的图象关于直线对称，且的周期，
又在区间上的根为，所以，故D错误.
故选：AB.
18．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为R，若，且，则（ ）
A．
B．是奇函数
C．点是图象的对称中心
D．点是图象的对称中心
【答案】BC
【分析】根据函数，可得其周期为4，又可得函数关于点对称，结合可判断函数其他对称性，根据导数运算可得，从而得导函数的对称性，从而逐项判断即可得结论.
【详解】因为，故，
若，又，则，所以，
这与矛盾，故A不正确；
若，则，所以，
故函数的周期为，即
因为，则，即
于是有，故函数关于点对称，由周期为4，可知点是图象的对称中心，故C正确；
函数关于点对称得，又，所以，所以函数为奇函数，故B正确；
对两边求导可得，则导函数关于直线对称，故D不正确.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：本题考查抽象函数的对称性、周期性，可按如下规则判断：
（1）若函数满足，则函数是以为周期的周期函数；
（2）若函数满足，则函数关于直线对称；
（3）若函数满足，则函数关于点对称.
19．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（ ）
A．是奇函数
B．关于对称
C．周期为4
D．
【答案】ABD
【分析】对于选项A，利用已知条件，即得结果.对于选项B，由题意可推导出为偶函数，为奇函数，所以，即即可证明；对于选项C，由关于对称和关于对称，即得结果.对于选项D，通过赋值，利用C中推导的结论和已知条件，由等差数列的前项和即得结果.
【详解】因为可得为偶函数，所以，则为奇函数，故A正确；
因为，偶函数，时偶函数，
所以为偶函数，所以关于对称，
因为，为奇函数，为奇函数，
所以为奇函数，关于对称，
，
则其中为常数，又故，有关于对称，B正确；
令等价于，，所以，
因为关于对称，所以，
所以令等价于，所以，所以，
故可看成数列，
而因为关于对称，所以，，
故是以为首项，为公差的等差数列，
是以为首项，为公差的等差数列，
所以没有周期性，故C不正确；
，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：
①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；
②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称.
20．（2023·吉林白山·统考二模）设函数的定义域为R，且满足，，当时，，则（ ）．
A．是周期为2的函数
B．
C．的值域是
D．方程在区间内恰有1011个实数解
【答案】BD
【分析】根据已知条件推出函数是奇函数．且以为周期，得A错误；根据周期计算，得B正确；利用导数和函数的周期性求出函数的值域可得C错误；根据函数图象与的图象交点个数，可得D正确．
【详解】函数的定义域为R，关于原点对称，
因为，所以，
又因为，所以，所以是奇函数．
由，得，
所以以4为周期，故A错误．
因为是奇函数，且定义域为R，所以．
因为，所以，故B正确．
因为当时，，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，所以．
因为为奇函数，所以当时，，
因为的图象关于直线对称，所以当时，，
因为的周期为4，所以当时，，故C错误．
方程的解的个数，即的图象与的图象交点个数．
因为的周期为2，且当时，与有2个交点，
所以当时，与有1011个交点，故D正确．
故选：BD.
【点睛】方法点睛：求函数零点或方程实根根的个数常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；
（2）数形结合法：先对解析式或方程变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、填空题
21．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数是上的奇函数，则实数 ．
【答案】
【分析】利用奇函数的定义可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】因为函数是上的奇函数，
则，即，
所以，，
所以，，
所以，.
故答案为：.
22．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）定义在R上的函数满足，且当，则＝ ．
【答案】/0.25
【分析】根据函数的周期性即可代入求解.
【详解】由可得，所以，故为周期函数，且周期为8，
，
故答案为：
23．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集的函数 .
①最小正周期为2；②；③无零点.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据周期,对称性,零点等性质判断写出符合条件的一个函数即可.
【详解】的定义域为，
最小正周期为，
因为，所以，
所以无零点，
综上，符合题意
故答案为：.
24．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数且，若，则的解集为 .
【答案】
【分析】构造函数，求导得函数的单调性，即可由单调性求解.
【详解】令，则 ，
由于，所以，故在上单调递减，又是定义在上的偶函数且，故，所以，
等价于，因此，
故的解集为，
故答案为：
25．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）已知函数，则使得成立的实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】函数 的 定义域为 ,
因为 ,
所以 ,
故函数 为偶函数，
当 时, , 且 在 上单调递减,
当 时, , 且 在 上单调递减,
而 ,
故 在 上单调递减, 且 .
则使得成立，
需，
所以且，
所以且，
所以且
解得或，
故答案为：.
26．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知定义在R上的函数 ，若 有解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分析 的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性求解.
【详解】 ，所以 是奇函数，
又 ， 在R的范围内是增函数，
有解等价于 ， 有解，
令 ，
当 时， 是增函数，当x趋于 时， 趋于 ，满足题意；
当 时，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数，
；
令 ，则 ，当 时， ，
是增函数，当 时， 是减函数，
并且当 时， ， ，
当 时 ，即当 时， 满足题意，
所以a的取值范围是 ；
故答案为：.
27．（2023·江苏·江苏省邗江中学校联考模拟预测）已知定义在上的函数为奇函数，且满足.当时，，则 .
【答案】
【分析】利用周期性和奇偶性可把转化到已知范围上，代入表达式可求，，即可求出答案.
【详解】函数为定义在上的奇函数，所以，
，
所以，所以2为的周期，
所以，，
故答案为：.
28．（2023·四川成都·树德中学校考三模）已知函数，定义域均为，且，，，，则 .
【答案】
【分析】根据已知条件及函数值的定义，结合函数的周期性即可求解.
【详解】由，得，
所以.
将代入，并整理得，
所以，
所以是以为周期的周期函数.
由可知，也是以为周期的周期函数，
所以.
由得，
又因为，
所以，解得，
所以.
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件求出函数，的周期，利用函数的周期性即可.
29．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）设为定义在上的可导函数，其导函数为偶函数，若对任意有，且，则 .
【答案】9
【分析】导函数为偶函数可知有对称中心，可知有对称轴，所以是周期函数，然后根据周期性和对称性求解即可.
【详解】导函数为偶函数，
所以，
，为常数；
，
，即，
所以，即，
，
两式相减得：，故函数周期为2，
，
，
，
；
；
.
故答案为：9
30．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，都为偶函数，则 ．
【答案】2525
【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于点对称，即可依次求得的值，根据等差数列的求和公式，即可求得答案.
【详解】因为为偶函数，则，即，
则，即，
故的图象关于点对称，且；
又为偶函数，则，
则，即，
故的图象关于点对称，且，
又将代入得，则；
令，由可得，则；
同理可得，则；，则，
由此可得组成了以0为首项，为公差的等差数列，
故，
故答案为：2525
【点睛】关键点睛：解答此类关于抽象函数的性质类问题，要能综合利用函数的性质进行求解，比如函数的奇偶性和对称性以及周期性等，解答本题的关键就在于要根据函数的奇偶性推出函数的对称性，从而采用赋值法求值，发现规律，进而求解.
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