人教版 (五四制)八年级下册第24章 勾股定理24.1 勾股定理单元测试练习题

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1．（本题3分）论证几何，源于希腊数学家的一本数学著作，这部著作以公理和原始概念为基础推演出更多的结论．这种做法为人们提供了一种研究问题的方法(称为公理化方法)，这本数学著作是（ ）
A．B．
C．D．
2．（本题3分）下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的为（ ）
A．B．
C．，，D．
3．（本题3分）如图，在中，，若，，则的长是（ ）
A．1B．C．2D．
4．（本题3分）以下列数组为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，C．D．1，2，3
5．（本题3分）下列各组数据中，不能组成直角三角形的三条边的是（ ）
A．B．3，4，5C．5，12，13D．6，7，8
6．（本题3分）如图，在中，，为上一点，且，又的面积为10，则的长是（ ）
A．2B．3C．D．4
7．（本题3分）勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形）的面积为（ ）
A．7B．10C．11D．13
8．（本题3分）如图是一个底面半径为，高为的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（ ）
A．B．C．D．
9．（本题3分）一个三角形的三边长都是整数，它的周长为，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．以上三种情况都有可能
10．（本题3分）如图，四边形的对角线与互相垂直，若，则的长为（ ）
A．B．4C．D．
11．（本题3分）如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得，则边上的高为 ．
12．（本题3分）如图，在直角三角形中，，则 ．
13．（本题3分）若三角形的三边之比为，则此三角形为 三角形．
14．（本题3分）如图，在中，，，以、为边作正方形，这两个正方形的面积和为 ．
15．（本题3分）如图，在中，，点在上，作交于点，若，，则的长度为 ．
16．（本题3分）在中，，，，则的长为 ．
17．（本题3分）如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米．
18．（本题3分）如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则的取值范围是 ．
（本题8分）如果表示大于的整数，，，，求证：，，为勾股数．
20．（本题8分）如图，湖的两岸有两棵景观树，在与垂直的方向上取一点，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．

21．（本题10分）高安浮桥位于锦河之上，大观楼耸立在锦河北边，与浮桥相互映衬，形成美丽的文化风景带．在浮桥旁边有一艘游船，如图所示，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少？（假设绳子是直的，结果保留根号）

22．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，有两点和．求这两点之间的距离．

（本题10分）若的三边长分别是a、b、c，且a、b、c满足，判断的形状．
24．（本题10分）如图，每个小正方形的边长为1．
(1)求四边形的面积和各边边长．
(2)是直角吗？说明理由．
25．（本题10分）如图，中，平分，交于点D，延长至点E，使，连接．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的面积．
评卷人
得分
一、单选题（共30分）
评卷人
得分
二、填空题（共24分）
评卷人
得分
三、解答题（共66分）
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了数学著作．熟练掌握《几何原本》中公理化思想是解题的关键．
根据《几何原本》体现了公理化思想进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，数学著作为《几何原本》，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故选项A符合题意；
∵，
∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故选项B不符合题意；
∵，
∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故选项C不符合题意；
∵，
∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由题意得：．
故选；B．
4．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，理解“三角形的三边符合，则此三角形是直角三角形”是解决问题的关键．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故选项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意．
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
【详解】A、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能组成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
6．B
【分析】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形．由和可得，然后在中运用勾股定理解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查勾股定理的应用．可设直角三角形的斜边长为，较长的直角边长为，较短的直角边长为．根据勾股定理可得：．根据图2可得四边形的面积两个较小正方形的面积和最大正方形的面积，代入计算即可．
【详解】解：设直角三角形的斜边长为，较长的直角边长为，较短的直角边长为．
，
．
四边形的面积两个较小正方形的面积和最大正方形的面积，
四边形的面积．
，，，
四边形的面积．
故选：C．
8．B
【分析】本题是勾股定理在实际生活中的应用，把花茎、圆柱形花器的直径、圆柱形花器高三者转化成一个直角三角形是解决问题的关键．圆柱形花器内容下的花茎最长时，花茎、圆柱形花器的直径、圆柱形花器高三者正好构成一个直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，
为圆柱形花器底面直径，是圆柱形花器高，
∴，
∴线段的长度就是圆柱形花器内所能容下的最长花茎的长度，
∴．
故圆柱形花器内所能容下的最长花茎的长度为．
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等知识点，设最长边为x，另外两边之和为，则；根据题意求出的取值范围是解题关键．
【详解】解：设最长边为x，另外两边之和为，则
由三角形的三边关系得：，
∴，即：
∵三角形的三边长都是整数，
∴，即，
∴
∴x可以取4或5，
当时，三边只能是4，4，4，为等边三角形；
当时，三边有两种情况：①3，4，5，为直角三角形，②5，5，2，为等腰三角形．
故选：D
10．A
【分析】根据勾股定理可得，在中可得，；在中可得：；在中可得：；即可得，代入数值计算后，即可求得的长.．本题考查了勾股定理的知识，熟练运用勾股定理是解决问题的关键．
【详解】解：如图，
∵四边形的对角线与互相垂直，
∴，
在中可得，；
在中可得：；
在中可得：；
∴
，
∴ ．
故选：A．
11．
【分析】本题考查了勾股定理，由图形，根据勾股定理可得，然后根据三角形的面积和正方形的面积，求得，进而根据等面积法，即可求解．
【详解】解：依题意，，
，
∴边上的高为，
故答案为：．
12．8
【分析】根据勾股定理进行求解即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】∵，
∴．
故答案为：8
13．直角
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的内容是解此题的关键．
【详解】解：三角形的三边之比为，
，
此三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
14．36
【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：，
所以这两个正方形的面积和为36．
故答案为：36．
15．6
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，连接，得出，得出，求出，设，则，，在中，，解得：，即可得出答案．
【详解】解：连接，
∵，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
设，则，，
在中，，
解得：，
∴，
故答案为：6．
16．/厘米
【分析】本题考查勾股定，根据直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求在直角三角形中，已知，，根据勾股定理即可求得的值，根据题意求地毯长度即求得即可．
【详解】解：将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形的两直角边之和，即，
根据勾股定理可得米，
故地毯长度为米，
故答案为：．
18．
【分析】分点与点C重合，此时的值最大，点与点D重合，此时的值最小，求出两个极值即可．
【详解】解：作交的延长线于点F，则，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图1，点与点C重合，此时的值最大，
∵点与点B关于直线对称，
∴点C与点B关于直线对称，
∴垂直平分，
∴；
如图2，点与点D重合，此时的值最小，
∵点A与点B关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19．证明见解析
【分析】根据，，，勾股定理的逆定理，即可．
【详解】证明：如下，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，，为正整数，
∴，，为勾股数．
【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理．
20．两棵景观树之间的距离是12米
【分析】根据勾股定理：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方计算即可．
【详解】解：在Rt中，由勾股定理，得：
，
（米）．
答：两棵景观树之间的距离是12米．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是熟练应用勾股定理．
21．
【分析】在中，根据勾股定理可求出的值，以的速度收绳，后船移动到点的位置，可求出的长，中，可求出的长，根据，即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，
∴，
∴中，，
∴，
∴船向岸边移动了．
【点睛】本题主要考查勾股定理在实际生活中的运用，掌握勾股定理求线段长度是解题的关键．
22．
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵和，
∴，，
在中，根据勾股定理，得：，
∴，
∴A，B两点之间的距离为．
【点睛】本题考查了勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23．直角三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．将变形为，根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴为直角三角形．
24．(1)，，，，；
(2)是直角，理由见详解；
【分析】（1）本题考查勾股定理，根据勾股定理直接求解及割补法求解即可得到答案；
（2）本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理直接判断即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
，，，，
综上所述：，，，，
由图形可得，
；
（2）解：是直角，理由如下，
由勾股定理得，
，
∵，
∴是直角．
25．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据等边对等角得到，由外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，既可以证得，进而得到结论；
（2）根据三线合一得到，，然后根据勾股定理得到，然后利用解题即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，，
∴，
又∵，
∴．