二轮复习【数列专题】专题2数列的最大项与最小项微点3判断数列的最大（小）项之导数法

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微点3 判断数列的最大（小）项之导数法
【微点综述】
数列最值问题比较常见，常要求求数列的最大（小）项或者前n项和的最值．运用导数法求解数列最值问题，需要把数列的通项公式或前n项的和看作关于n的函数，然后对其进行求导，分析导函数与0之间的关系，得出函数的单调性和最值．
【典例刨析】
例1．
1．等差数列的前项和为，已知，则的最小值为 ．
例2．
2．已知数列满足则的最小值为__________.
例3．（2022浙江6月高考数学仿真模拟）
3．已知各项均为正数的数列满足，，则数列（ ）
A．无最小项，无最大项B．无最小项，有最大项
C．有最小项，无最大项D．有最小项，有最大项
例4．（2023江苏南师大学苏州实验学校月考）（多选题）
4．设，正项数列满足，则（ ）
A．为中的最小项B．为中的最大项
C．成等差数列D．存在，使得成等差数列
例5．
5．已知数列的通项公式为，则的最大值为 ．
例6．
6．已知等比数列的前项和为．若等差数列的通项公式为．对任意，都有恒成立，试求实数的取值范围．
例7．（2018年高考江苏卷18）
7．设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
【总结与反思】
运用导数法解答数列最值问题，较为简便、直接．我们只需先将问题转化为函数最值问题，然后分析导函数与0之间的关系，判断出函数的单调性，即可求得顺利最值．
【针对训练】
8．已知数列的通项公式为，则取得最大值时n为（ ）
A．2B．3C．4D．不存在
9．已知数列的通项公式为 （其中），若第项是数列中的最小项，则 ．
（2023福建连城一中月考）
10．记为等差数列的前项和，若，数列满足，当最大时，的值为 .
11．已知数列各项为正数，其前项和．若等比数列各项均为正数，对任意，都有成立，且存在整数，使得，求数列的公比的取值范围（用表示）
（2023甘肃白银二中月考）
12．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．
参考答案：
1．-49
【分析】利用导数求出函数的单调性，据此判断数列的单调性，即可得出最小值.
【详解】设数列的公差为，则解得
于是，设，则，
当时，有；当时，，
在上递减，在上递增，
∴数列前6项单调递减，第7项以后单调递增．经计算当时，；当时，，故当时，的最小值为．
故答案为：-49.
【反思】本题由，构造三次函数，利用导数研究三次函数的单调性，求的最小值．
2．
【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，设f（n），由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．
【详解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33
且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+33．
从而
设f（n），令f′（n），
则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，
因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．
又因为，，
所以的最小值为
故答案为
【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．
3．D
【分析】由数学归纳法得数列从第2项开始都大于1，这样是最小项，利用不等式放缩得出，引入函数利用导数证明其在时是减函数，得数列有上界，时，，再引入函数，由零点存在定理说明，从而确定这6项中的最大值是数列的最大项．
【详解】数列各项均为正，
，由得，一般地由数学归纳法知当时，由得（否则若，则，，，矛盾），
所以数列中，时，，是最小项．
又，，所以，，
记，则，两边求导得，即，
时，，是减函数，
所以时，是递减数列，因此有上界，时，，
即，
设，，时，，是增函数，
经过计算，得，而，所以时满足的满足，即，
从而，而这6个数中一定有最大值，此最大值也是数列的最大项．
故选：D．
【点睛】本题考查由数列的递推关系确定最大项和最小项，解题关键一是由数学归纳法证明数列有下界，再利用不等式的性质确定数列每一项满足，难点在于引入函数，利用导数证明在时是单调递减数列，再引入函数利用零点存在定理证明，从而说明有上界并在最大项．对学生的逻辑思维能力，创新意识要求较高，属于困难题．
4．AB
【分析】由，可得，构造函数，由函数的单调性即可判断A；构造函数，由函数的单调性即可判断B；再根据AB选项，分析即可判断CD.
【详解】由，可得，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
因为，所以，
所以为中的最小项，故A正确；
令，
则，
所以函数在上递减，
所以，
所以，
所以为中的最大项，故B正确；
对于C，因为为中的最小项，为中的最大项，
所以不可能成等差数列，故C错误；
对于D，因为，
所以，则，
即，所以，
又不可能成等差数列，
所以不存在，使得成等差，故D错误.
故选：AB.
【点睛】关键点睛：涉及单调性的某些数列问题，数列是一类特殊的函数，准确构造相应的函数，借助函数导数研究其单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.
5．
【分析】由数列前几项，可以猜想数列是先增后减，然后构造函数，利用导数证明其单调性，由此即可得到本题答案.
【详解】
由已知得，，，，…，
易得，，猜想：当时，是递减数列．
下面构造函数对其进行证明．
令，则．
当时，，则，即．
在内，为单调递减函数．所以，当时，是递减数列，
即是递减数列．又，所以数列中的最大项为．
【反思】
两个重要的数列单调性结论：
①先增后减（可用斜率的几何意义来说明）；
②单调递增（可取对数后用导数法来证明）
6．
【分析】思路一，数列是一种特殊的函数，因此数列最值问题可转化为函数最值问题来求解．在求数列的最大项时，可将通项公式看作关于的函数，借助导数法来讨论函数的单调性，即可确定函数的最值，求出数列的最大项．对于本题，我们可将看作函数，对其求导，分析导函数与函数单调性之间的关系，即可求得数列的最大项；
思路二，若（非首项、末项）为数列的最大项，则有，解出的取值范围，便可确定（注意）的值，求得数列的最大项；
思路三，作差比较法，是指将数列前后的两项作差，把差值与0比较，便可通过比较来求出数列的最大项．若，则数列的最大项为；若，则数列的最大项为．对于本题，我们可直接将数列的第项与第项作差，比较它们的大小，便可确定数列中各项的变化趋势，求得最大项．
【详解】解法一（导数法）：由题意可知，则．
对任意恒成立，即．对任意恒成立，只需使，求得数列的最大项即可．
令，，则，由可得；由可得，则函数在上单调递增；在上单调递减，在处取得最大值．
又，，，
∴数列的最大项为，故实数的取值范围为．
解法二（不等式组法）：由题意可知，
则．对任意恒成立，即．对任意恒成立，
只需使，求得数列的最大项即可．
令，则由 解得而，，
∴数列的最大项为第3项，且，实数的取值范围为．
解法三（作差法）：由上述解法可知，则，
当时，；当时，的最大项为，实数的取值范围为．
【反思】第二种思路是一种通法，也用得最多；第三种思路一般适用于求解通项公式为多项式的问题；第一种思路也是一种常见的思路，只是很多同学很难将函数与数列关联起来，还要注意数列的最大（小）项与函数最大（小）值的区别．
7．（1）d的取值范围为；
（2）d的取值范围为，证明见解析．
【分析】（1）根据题意结合并分别令n=1，2，3，4列出不等式组，即可解得公差d的取值范围；
（2）方法一：先根据绝对值定义将不等式转化为，根据条件易得左边不等式恒成立，再利用数列单调性确定右边单调递增，转化为最小值问题，即得公差d的取值范围.
【详解】（1）由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，
即对n=1，2，3，4均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范围为．
（2）［方法一］：分参求最值
由条件知：．
若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，
即，
即当时，d满足．
因为，则，
从而，，对均成立．
因此，取d=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．
①当时，，
当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，当x>0时，，
所以单调递减，从而当时，，
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为．
［方法二］：
． ①
记，
则由①知，．
下面探究的单调性．
先探究数列的单调性．
．
因为，所以，所以，
即为单调递增数列，所以．
再探究数列的单调性．
，记，由知单调递增，所以．
下面证当时，，即证．
因为，所以只要证．
设，则，即为．
设，则．
所以．
所以在内单调递减，故，由上可知数列为单调递减数列，所以．
即，d的取值范围为．
［方法三］：
前面步骤同方法二，只是探究数列的单调性方式不同，
因为，所以．
设，则．
因为，所以，所以在上单调递减．
由上可知数列为单调递减数列，所以．后略．
［方法四］：
前面步骤同方法二，只是探究数列的单调性方式不同，
，则．
令，则，所以在上单调递减．所以为单调递减数列，．
综上所述，存在满足要求的d，且．
【整体点评】（2）方法一：根据绝对值定义将不等式转化为，再根据恒成立问题的解法，分别求出不等式左右两式的最大值和最小值，即可证出，并得到的范围；
方法二：利用分参思想得到，与方法一相比，判断数列单调性最小值的方式不同，方法一用作商法，方法二用作差法；
方法三：利用分参思想得到，与方法二相比，判断数列单调性最小值的方式不同，借助导数，判断数列对应函数的单调性，从而求出数列的最小值；
方法四：利用分参思想得到，与方法二相比，判断数列单调性最小值的方式不同，利用对数性质，构造函数，利用导数研究其单调性，从而求出数列的最小值．
8．B
【分析】先求得，利用导数求得当时，的单调性，从而确定正确答案.
【详解】依题意，
构造函数，
，
由于，所以在上恒成立，
所以在区间上递减，
所以当时，是单调递减数列，
所以的最大值为.
所以取得最大值时n为.
故选：B
9．
【详解】设，得，，当时，，当时，，所以当时，取得最小值．
10．3
【分析】先求出等差数列的通项公式，得到，取对数后，由的单调性判断出最大.
【详解】设等差数列的公差为d，
由题意可得：.
所以，两边同时取对数得：
令，则.
令得：；令得：，
所以在上单增，在上单减，
所以的最大值在或处取得.
而，所以.所以当最大时，的值为3.
故答案为：3．
11．
【分析】根据已知求出，，再求出，得到，再对分三种情况讨论利用导数研究得解.
【详解】解：，解得，
当时，由，
得，又，所以，
故是首项为1，公差为2的等差数列，所以．．
．由，得．
由，得，两边取自然对数，得．
当时，上式恒成立；当时，有．
令，则．
设，则，易见在上单调递减，，
即在上单调递减，于是当时，数列单调递减，其最大项为，解得；当时，同理可得．
综上所述：．
12．（1）见解析；
（2）①bn=n；②5.
【分析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；
（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{bn}是等差数列，据此即可确定其通项公式；
②由①确定的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m的最大值．
【详解】（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
由，得，解得．
因此数列为“M—数列”.
（2）①因为，所以．
由得，则.
由，得，
当时，由，得，
整理得．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.
②由①知，bk=k，.
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.
因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.
当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有．
设f（x）=，则．
令，得x=e.列表如下：
因为，所以．
取，当k=1，2，3，4，5时，，即，
经检验知也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5．
【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．
x
e
(e，+∞)
+
0
–
f（x）
极大值