二轮复习【数列专题】专题3等差数列的判断（证明）方法微点2通项公式法、前n项和公式法

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微点2 通项公式法、前项和公式法
【微点综述】
等差数列的判定或证明是高考中比较常见的一类问题，只有正确确定数列类型后，才能结合其通项公式、相关性质或前n和公式等来解决其他相关的问题．下面结合实例剖析判定或证明一个数列为等差数列的常见类型:通项公式法、前n和公式法．
【典例刨析】
一、通项公式法：
数列是等差数列（为常数，）．
结合等差数列的通项规律：若数列的通项公式为n的一次函数，即（为常数，），则是公差为的等差数列，把问题转化为对应的通项模式来处理．它是在定义法的基础上结合等差数列的通项公式的性质得到的．
例1．
1．在数列中，已知，令为数列的前项和．问是否有最值?若有，请求出最值．
【反思】若数列的通项公式是（为常数），则数列是以为公差、为首项的等差数列．当时，数列为递增数列;当，数列为递减数列．
例2．
2．定义一种新运算，满足 为非零实常数，对任意给定的，设 ，求证:数列是等差数列．
【反思】关键是领会定义的新运算的特点，当给定时，新运算中由于为非零实常数，所以它是关于的一次函数，根据等差数列的通项法给出证明．
二、前项和公式法：
是等差数列（为常数，）
例3．（2023上海市回民中学2023届高三上学期期中）
3．已知数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
例4．
4．已知数列{}的前项和，则其通项 ；
若它的第项满足，则
例5．
5．已知数列的各项均为正数，且，则数列的前n项和（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2023北京市八一学校12月月考）
6．设数集满足：①任意，有；②任意x，，有或，则称数集具有性质.
(1)判断数集和是否具有性质，并说明理由；
(2)若数集且具有性质.
（i）当时，求证：，，…，是等差数列；
（ii）当，，…，不是等差数列时，求的最大值.
【反思】方法点睛：等差数列的三种判定方法：
定义法：（为常数）
等差中项法：
通项公式法：（a，b为常数），但如果要证明一个数列是等差数列，
则必须用定义法或等差中项法进行证明．
例7．（2023北京房山零模）
7．设和是两个等差数列，记 ，其中表示这个数中最小的数.
(1)若，，求的值；
(2)若，，证明是等差数列；
(3)证明：或者对任意实数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列.
【反思】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题．解决该问题应该注意的事项：
（1）数列是一类特殊的函数，它的图像是一群孤立的点；
（2）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
（3）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化．
【针对训练】
8．现有下列命题：①若，则数列是等差数列；
②若，则数列是等差数列；
③若（b、c是常量），则数列是等差数列．
其中真命题有（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
（2023天津西青区上学期期末）
9．若直线与圆C：相切，则①；②数列为等差数列；③圆C可能经过坐标原点；④数列的前10项和为23.以上结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
（2023河南南阳高三上学期期末）
10．如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（ ）
A．5052B．5057C．5058D．5063
（2023河南安阳林虑中学期末考试）
11．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（ ）
A．172B．183C．191D．211
（2023福建泉州高二上学期期末）
12．记是数列的前n项和，且，则下列说法正确的有（ ）
A．数列是等差数列B．数列是递减数列
C．D．当 时，取得最大值
（2023山东泰安期末考试）
13．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．数列不是等差数列
C．，，成等差数列D．，，成等差数列
14．在数列中，，，已知该数列的通项公式是关于n的一次函数，则 .
15．已知数列的通项公式为(p，q为常数，)，若是等差数列，则p，q应满足 .
（2023江苏扬州江都中学高二上学期期末）
16．设数列的前n项和为，则下列能判断数列是等差数列的是 ．①；②；③；④．
17．已知数列满足，令，设的前项和为，则 .
18．判断下列数列是否为等差数列，若是，首项和公差分别是多少？
(1)在数列中；
(2)在数列中；
(3)在数列中，其中p，q为常数．
19．已知数列的前项和，问当实数a，b，满足何条件时数列为等差数列．
（2023宁夏六盘山高中期中考试）
20．已知各项均为正数的等差数列的首项为，前项和为，且满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明数列是等差数列．
（2023广东深圳南山区高二上学期期末）
21．已知数列，满足，，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，求．
（2023重庆十一中月考）
22．在①数列的前n项和；②且，，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
(1)已知数列满足__________，求的通项公式；
(2)已知正项等比数列满足，，求数列的前n项和．
参考答案：
1．有最大值，没有最小值
【分析】由，可得数列是等差数列，再根据等差数列前项和公式即可得解.
【详解】由，得，
所以数列是以为公差，为首项的等差数列，
，
当时，有最大值，
有最大值，但没有最小值．
2．证明见解析
【分析】根据新运算的定义和等差数列的定义证明.
【详解】由题意： 为非零实常数，所以对任意给定的，
都是常数， 是常数，
所以数列是公差为的等差数列．
3．C
【分析】由数列的前项和求出通项，可得数列是等差数列，利用首项和公差求其前项和.
【详解】数列中，前项和，
时，，
时， ，时，也满足，
∴，则有，∴数列中是首项为1公差为4 的等差数列，
则数列中是首项为1公差为8的等差数列，其前项和.
故选：C
4． 2n-10， 8
【详解】当n=1时，,经检验当n=1时，也满足上式，因而,由所以.
5．B
【分析】根据给定条件，结合数列前n项和的意义求出，进而得，再利用等差数列前n项和公式计算作答.
【详解】因，当时，，
则，而满足上式，因此，，即，
则，，即是首项为4、公差为4的等差数列，
所以．
故选：B
6．(1)数集不具有性质，数集具有性质，证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）4
【分析】(1)根据性质的定义判断可得出结论
(2)（i）推导出，再根据性质的定义推导出从而证明
（ii）根据性质的定义得出在均为等差数列，再令进行验证，可以不是等差数列，
所以得出的最大值.
【详解】（1）证明：对于数集，，，所以数集不具有性质，
对于数集，任意，，所以数集具有性质.
（2）（i）当时，数集具有性质，
，所以，即，因为，
则，又因为，所以，则
，因为，所以得
，，，
因为，所以，则，
又因为，所以或，因为，
所以(舍去)，即，，
所以，即当时，，，…，是等差数列.
（ii）若数集且具有性质，按照(1)推导的方式得出
一般结论，具体如下：因为，
所以，即，
因为，所以
①，所以，，
因为，
所以，即，
因为，
根据，
分两种情况：
第一种情况为，，…，，
第二种情况为，，
先考虑第二种情况，与题意矛盾，
，与题意矛盾，
所以只能为第一种情况，可得②，
由①-②，得
，
即，
即当时，，，…，是等差数列，
当时，，所以，即，
由前面得出，所以，，
当成立时，，，，不是等差数列，
所以的最大值为4.
【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法：
定义法：(为常数)
等差中项法：
通项公式法：（a，b为常数），但如果要证明一个数列是等差数列，
则必须用定义法或等差中项法进行证明.
7．(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）把代入即可求得；
（2）在（1）的启发下，证明当时，，所以关于单调递增. 所以，从而得证；
（3）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明.
【详解】（1），，
；
（2），，
当时，
当时，，
所以关于单调递增，
所以，
所以对任意，因此，
所以是等差数列；
（3）设数列和的公差分别为，则
，
所以，
①当时，取正整数，则当时，，因此，
此时，是等差数列；
②当时，对任意，
此时，是等差数列；
③当时，
当时，有，
所以
，
对任意正数，取正整数，
故当时，.
【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
(1)数列是一类特殊的函数，它的图像是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
8．C
【分析】由等差数列的定义即可得出结论.
【详解】由，得，满足等差数列的定义，故①正确；
，不是常数，不满足等差数列的定义，故②错误；
，，，满足等差数列的定义，故③正确.
故选：C
9．C
【分析】利用距离公式可求，从而可判断①②的正误，由可判断③的正误，计算出后可判断④的正误.
【详解】因为直线与圆 相切，
所以圆C的圆心(2，0)到直线的距离 ，
故 ，则 ，故①错误；
数列是首项为公差为的等差数列，故②正确;
当时，，圆C经过坐标原点，故③正确；
因为 ，所以的前10项和为 ，故④正确.
故选：C.
10．B
【分析】根据题意得到，再列举得到整数项构成的数列，根据其规律求解.
【详解】解：由题意得：，
所以，
则数列即为，
其整数项为即，
所以的奇数项是以2为首项，以5为公差的等差数列，则；
的偶数项是以3为首项，以5为公差的等差数列，则，
所以，
故选：B
11．C
【分析】构造数列，并利用等差数列的性质即可求得原数列的第20项为191
【详解】高阶等差数列： 1，2，4，7，11，16，22，，
令，则数列：1，2，3，4，5，6，，
则数列为等差数列，首项，公差，，则
则
故选：C
12．ACD
【分析】由等差数列的定义可判断A；求出可判断B、C；根据的表达式结合二次函数的性质可判断D.
【详解】∵，∴数列是等差数列，故A正确；
，
∵，从而，可知数列不是递减数列，故B错误，C正确；
∵，，∴当 时，取得最大值，故D正确.
故选：ACD.
13．BCD
【分析】由与的关系推导出数列的通项公式，判断选项A，B，分别计算出，，和，，，结合等差数列的定义判断选项C，D.
【详解】，
时，，
时，，即，.
，因此数列不是单调递增数列，故A错误；
又时，不满足，
数列不是等差数列，故B正确；
，，，
因此，，成等差数列，故C正确；
，，
．
成等差数列，故D正确.
故选：BCD.
14．4039
【分析】由等差数列通项公式的函数性质知为等差数列，结合已知条件求公差，并写出其通项公式，再求.
【详解】因为数列的通项公式是关于n的一次函数，
所以数列为等差数列.
设等差数列的公差为d，则.
所以，则.
故答案为：
15．，q为实常数
【分析】利用等差数列的定义即可求解.
【详解】若为等差数列，
则为常数，
所以，为实常数.
故答案为：，为实常数
16．①②
【分析】根据可以求出，再结合可以判断是否是等差数列.
【详解】①当时，；当也符合，所以，数列为等差数列；
②当时，；当时，，符合，所以，数列为等差数列；
③当时，；当时，，不符合，所以，数列不是等差数列；
④当时，；当时，，不符合，所以，数列不是等差数列.
故答案为：①②.
17．5050
【分析】由已知求出，由通项公式确定数列是等差数列，由等差数列的前项和公式计算．
【详解】由已知，
因此数列是等差数列，公差为4，首项是，
．
故答案为：5050．
18．(1)是；首项，公差d＝3．
(2)不是.
(3)是；首项，公差d＝p．
【分析】(1)由条件求出，结合等差数列的定义判断其是否为等差数列即可；(2)由条件求出，结合等差数列定义判断其是否为等差数列即可；(3) 由条件求出，结合等差数列定义判断其是否为等差数列即可.
【详解】（1）因为．
所以数列为等差数列，
所以数列的首项，公差d＝3．
（2），不是常数，
所以数列不是等差数列．
（3）因为，所以，
则，p为常数，所以数列是等差数列．
所以数列的首项，公差d＝p．
19．当时为等差数列
【分析】利用数列的前n项和与通项之间的关系求解.
【详解】解：当时，，
当时，，
则时，是以为公差的等差数列，
要使是等差数列，则，
解得，
所以当时为等差数列.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，，，利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程，即可求出和，由此即可求出结果；
（2）由（1）即可求出，即，再根据等差数列的定义即可证明结果.
【详解】（1）解：设各项均为正数的等差数列的公差为，
因为，
所以，解得，即，
所以； 即.
（2）解：由（1）知，所以，
因为，
又因为
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
21．(1)
(2)130
【分析】（1）首先证明是等差数列，求出其公差，写出通项即可；
（2）当时，，则，利用等差数列求和公式即可.
【详解】（1）由题可知,,都有,
数列是等差数列,
设的公差为,
（2）由(1)可知，令，则,
当时，，
当时,,
22．(1)；
(2).
【分析】（1）若选①，时，利用和的关系可求出，检验即可得出答案；若选②，由已知可推得是等差数列，根据已知求出公差，即可得出的通项公式；
（2）由（1）知，进而根据已知可得，.代入整理裂项可得 ，求和即可得出结果.
【详解】（1）若选①：数列的前n项和.
当时，，
当时，，上式仍成立，
∴的通项公式为．
若选②：且，.
由可得，所以是和的等差中项，
所以是等差数列.
设公差为，则由，可得，所以.
所以的通项公式为．
（2）解：设的公比为.
由（1）知，
又，所以，
即，又，所以，
所以，的通项公式为.
则，
所以．