二轮复习【数列专题】专题3等差数列的判断（证明）方法微点1定义法、等差中项法

这是一份二轮复习【数列专题】专题3等差数列的判断（证明）方法微点1定义法、等差中项法，共24页。

微点1 定义法、等差中项法
【微点综述】
数列是高中数学的重要内容，也是高考的必考点，其中等差、等比数列又是两种特殊的数列，在高考中，经常会考查其定义及其性质的运用，本文就重点来谈谈等差数列的判断与证明．等差数列的证明可以用定义法，也可以利用等差中项来证明，但是一般情况下都是考虑直接用定义去证明．
【典例刨析】
一、定义法判断（证明）某数列是等差数列：
数列是等差数列（常数）．
充分把握等差数列的定义，把问题转化为其对应的定义模式来处理，通过定义或定义的等价命题来判定或证明一个数列是等差数列是最常见的方法．
例1．
1．若数列是公差为1的等差数列，则数列是（ ）
A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列
C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列
【反思】定义法的主要思想是证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数，易错点在于不能仅仅是常数，必须是同一个常数．
例2．
2．已知数列满足．证明：是等差数列，并求出数的通项公式．
【反思】判断或者证明数列为等差数列，最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最后都会回到定义．
例3．
3．已知数列满足，求证：数列为等差数列的充要条件是．
【反思】数列{an}的奇数项和偶数项都成公差相等的等差数列，当前三项也成等差时，数列{an}是等差数列．
二、等差中项公式法证明某数列是等差数列：
是等差数列．
巧用等差数列的中项性质：，即三个数成等差数列的充要条件是，把问题转化为对应的中项模式来处理．利用中项法，可以用来比较巧妙快捷地判定或证明一个数列是等差数列．
例4．
4．已知数列的前n项和为．
（Ⅰ）若为等差数列，求证：；
（Ⅱ）若，求证：为等差数列．
【反思】第（2）小题利用Sn与an的关系，将条件转化an与an－1的递推关系，再次作差（消去a1），转化为2an－1＝an－2＋an，进而证明等差数列．
例5．
5．在数列中，若，，，则该数列的通项为 ．
6．设数列的前项和为，已知，且其中为常数．
（1）求与的值；
（2）证明数列为等差数列；
（3）证明不等式对任何正整数都成立．
【反思】（1）经过两次作差后，才能用Sn与an的关系，将条件转化为2an－1＝an－2＋an，进而证明等差数列；（2）由于多次退位，会导致n取值范围的变化，要验证前三项也成等差．
本题主要有两个难点：一是要得到关系式实在不易，我们从上面的解答过程可以看出，该题解答的关键就是寻找关系式；二是说明，很多考生在得到后，在高兴之余常忘记说明，或者说根本就没想到需要说明，从而导致解答不完整．
例6．
7．已知数列满足：．若数列是等差数列，且，试判断数列是否为等差数列？并证明结论．
【反思】将数列相邻四项的递推关系转化为相邻三项的递推关系．
8．已知数列{an}的前三项分别为a1＝5，a2＝6，a3＝8，且数列{an}前n项和Sn满足，其中m，n为任意正整数．求数列{an}的通项公式an．
【反思】当递推关系中含有多个变量时，应利用特殊和一般的关系，通过合理的特殊化，将递推关系转化为一个变量．
例7．
9．数列，，满足：，，．
（1）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列；
（2）若数列，都是等差数列，求证：数列从第二项起为等差数列；
（3）若数列是等差数列，试判断当时，数列是否成等差数列？证明你的结论．
【反思】（3）中针对条件bn＝an－2an＋1，本题选择中项关系证明等差数列．
三、搭“桥数列”，再求通项公式
有些数列问题需要通过题中已知数列的变形，一般为某些项的和、差、积、商或某些项的倒数等，要求证明新数列是等差或等比数列．得到新数列的通项是解题的关键．由于这类问题需考虑的问题较多，涉及的知识点也较多，故对考生的要求较高，着重考查考生的综合分析问题能力和解决问题能力．
例8．
10．已知数列的满足，前项的和为，且.
（1）求的值；
（2）设，证明：数列是等差数列；
（3）设，若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围.
【反思】常用的结论有：
（1）数列{}中=1，=，则是等差数列，
（2）数列{}中=1，是{}的前n项和，=-2（n≥2），则是等差数列
（3）数列{}中=1，=（1+）+2n+2，则是等差数列
（4）数列{}中=1，=2+-1，则是等差数列
（5）数列{}中=2，=+1+，则是等差数列
四、等差数列的逆向探究问题
例9．
11．数列满足
(1)求的值；
(2)记，是否存在一个实数t，使数列为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；
【针对训练】
12．下列说法中正确的是（ ）
A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列，
D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
13．已知数列中，， （），则数列的前9项和等于 ．
14．已知数列{an}满足＝＋4，且a1＝1，an>0，则an＝ .
15．在数列中，且对任意大于1的正整数，点在直线上，则 .
16．已知数列满足.若点在直线上，则 .
17．若，，是等差数列，求证：成等差数列．
18．已知数列满足，.数列是否为等差数列？请说明理由.
19．若数列的前项和为，且满足，，试求数列的通项公式.
20．在正项数列中，对正整数恒成立，求证为等差数列
【反思】利用Sn与an的关系，将条件转化为an与an－1的递推关系，再次作差（消去a1），转化为2an－1＝an－2＋an，进而证明等差数列．
21．已知数列满足，记．求证：数列是等差数列．
22．已知成等差数列,并且均为正数,求证:也成等差数列.
23．已知数列满足，且．
(1)求，；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求数列的通项公式．
24．对于给定的正整数k，若数列满足：，对任意正整数总成立，则称数列是“P（k）数列”．若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：是等差数列．
25．已知数列的前n项和为，，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)令，求数列的前n项和.
26．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*).
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.
27．已知数列的各项均不为0，其前n项和为，且满足，．
（1）求的值；
（2）求证是等差数列；
（3）若，求数列的通项公式，并求
28．已知都是各项不为零的数列，且满足，其中是数列的前n项和，是公差为的等差数列．若（是不为零的常数），求证：数列是等差数列．
【反思】（1）当问题中出现多个数列相互限制的关系时，字母符号会比较多，要合理运用所给条件，化简所给条件；（2）针对条件d＋cn＝bn，本题选择用定义证明等差数列．
29．设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1＝1，前n项的和为Sn，已知对任意整数k∈M，当n＞k时，Sn＋k＋Sn－k＝2（Sn＋Sk）都成立．设M＝{3，4}，求数列{an}的通项公式．
参考答案：
1．C
【分析】构造新数列，求出相邻两项的差，利用等差数列的定义，即可得到结论．
【详解】设的公差为，则，
设，则，
，
故选：．
【点睛】本题重点考查等差关系的确定，考查等差数列的定义，直接利用等差数列的定义判断是关键．
2．证明见解析，
【分析】利用数列的递推式推得，从而证得是等差数列，进而利用等差数列的通项公式即可求得，由此得解.
【详解】因为，所以，
则，即，
又，则，
所以是首项为2，公差为1的等差数列，
所以．
3．证明见解析
【分析】先证明必要性，再证明充分性.
【详解】必要性：数列为等差数列，公差为，
则，，
所以
满足恒成立，
所以，解得；
充分性：
因为时，①，②，
①－②得：时，．
即的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列．
因为，，所以．
所以，，
所以，数列为等差数列．
综上，数列为等差数列的充要条件是．
4．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】（1）根据为等差数列，利用倒序相加法证明即可；
（2）由前n项和公式有、，相加后整理可得，为等差数列得证．
【详解】（Ⅰ）证明：已知数列为等差数列，设其公差为d，
则有，
于是，①
又，②
①+②得：，即．
（Ⅱ）证明：∵，当时，，
∴，③
，④
④-③并整理，得，即，
∴数列是等差数列．
【点睛】本题考查了已知等差数列的通项公式，应用倒序相加法求证前n项和公式，由前n项和公式，结合等差数列的定义证明等差数列，属于基础题.
5．
【分析】由题设知是等差数列，根据等差数列通项公式有，即可写出的通项.
【详解】∵，
∴数列是等差数列，又且，
∴，故．
故答案为：.
6．（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.
【分析】（1）令分别代入上式，得到关于的方程组，求得结果；
（2）将代入上式，得到，整理得出，类比写出当时有，两式相减，整理得出，再验证，从而证得结果；
（3）利用基本不等式可得，由都是正整数可得，根据题意，整理式子得出结果.
【详解】（1）由已知，得
即，解方程组，得
（2），于是有．
当时有，
则两式相减可得，即，并有，
，即．
又．
而又有，
∴数列是等差数列．
（3），
由都是正整数可得，于是，，
即．
∴不等式对任何正整数都成立．
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据题意求参数，证明数列是等差数列，利用题意证明不等式恒成立，属于较难题目.
7．是等差数列，证明见解析
【分析】利用等差中项法证得是等差数列.
【详解】是等差数列，证明如下：
由得，
由得，，
由于是等差数列，所以，
即，
整理得，
所以，
所以，所以是等差数列.
8．
【分析】根据题意，对进行赋值，求出和，作差求出数列的通项公式即可.
【详解】依题意可得，，，
令n＝1，m＝2，，S4＝29，a4＝10，
令m＝1，，
令m＝2，，
所以，
所以．
又符合，不符合，
所以.
9．（1）详见解析（2）详见解析（3）数列成等差数列．
【分析】试题分析：（１）证明一个数列为等差数列，一般从等差数列定义出发：，其中为等差数列的公差（2）同（1），先根据关系式，解出，再从等差数列定义出发，其中分别为等差数列，的公差（3）探究性问题，可将条件向目标转化，一方面，所以，即，另一方面，所以，整理得，从而，即数列成等差数列．
试题解析：证明：（1）设数列的公差为，
∵，
∴，
∴数列是公差为的等差数列．
（2）当时，，
∵，∴，∴，
∴，
∵数列，都是等差数列，∴为常数，
∴数列从第二项起为等差数列．
（3）数列成等差数列．
解法１ 设数列的公差为，
∵，
∴，∴， ，，
∴，
设，∴，
两式相减得：，
即，∴，
∴，
∴，
令，得，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴数列（）是公差为的等差数列，
∵，令，，即，
∴数列是公差为的等差数列．
解法2 ∵，，
令，，即，
∴，，
∴，
∵数列是等差数列，∴，
∴，
∵，∴，
∴数列是等差数列．
考点：等差数列定义
【详解】请在此输入详解！
10．（1）；（2）证明见解析；（3）.
【详解】（1）令得.
（2）因为，所以①.
所以②，
由②-①，得.
因为，所以.
所以，即，
即，所以数列是公差为1的等差数列.
（3）由（2）知，因为，所以数列的通项公式为.
因为，所以，
所以，所以数列是常数列.
由，所以.
所以.
因为
所以数列为单调递增数列
当时，，即的最小值为
由，所以，
而当时，在递减，递增，所以，
当且仅当或时取得，故.
点睛：本题考查了数列中与的关系，对式子变形处理能力要求较高，考查了利用定义证明数列是等差数列，考查了数列中恒成立问题，变量分离是常用方法,综合性强，属于难题.
11．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据递推关系求得.
（2）根据等差中项的知识列方程，化简求得的值.
【详解】（1）依题意，，
.
（2）假设存在实数，使得为等差数列，
则，即，
即，
所以，，
所以存在使数列为等差数列.
12．C
【分析】选项A、B、D举反例即可判断，选项C可用等差数列的定义判断
【详解】对于A选项，成等差数列，但不成等差数列，故A错误；
对于B选项，成等差数列，但为不成等差数列，故B错误；
对于C选项，由于a，b，c成等差数列，故，则，即a+2，b+2，c+2成等差数列，C正确；
对于D选项， 成等差数列，但不成等差数列, 故D错误
故选：C
13．27
【解析】先判断数列是以1为首项，以为公差的等差数列，再利用等差数列求和公式求解即可.
【详解】因为（）所以（），
又因为，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，
则数列的前9项和，
故答案为：27.
14．
【分析】首先判断数列是等差数列，利用等差数列的通项公式，即可求得.
【详解】由已知－＝4，∴{}是等差数列，且首项＝1，公差d＝4，∴＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
又an>0，∴an＝.
故答案为：.
15．3n2
【分析】根据点在直线上，点的坐标满足直线的方程，代入整理，得出首项和公差，写出数列的通项公式，两边平方，即可得解．
【详解】解：∵点在直线，
即，
又，
∴是以为首项，为公差的等差数列，
∴，
即an＝3n2
故答案为3n2
【点睛】本题考查等差数列，等差数列的通项和性质，是基础题．
16．
【分析】由已知得，故而有数列为等差数列，且公差，根据等差数列的通项公式可求得答案.
【详解】解：由点在直线上，得，即，
∴数列为等差数列，且公差.
又，∴，即.
故答案为：.
17．证明见解析
【分析】利用等差中项的定义化简变形即可.
【详解】证明：已知得通分有进一步变形有
整理，得所以成等差数列．
18．是等差数列，证明见解析.
【分析】对等式两边取倒数整理即可证明.
【详解】解：数列是等差数列，理由如下：
因为，所以，即，
所以根据等差数列的定义可知数列是以为首项，公差为的等差数列.
19．.
【分析】利用等差数列的定义结合证明数列等差并求出通项公式，即可得到数列的通项公式.
【详解】由得即，
又因为，所以是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以数列的通项公式为.
20．证明见解析
【分析】利用数列递推式的性质，结合作差法依次推得，，从而利用等差中项法证得为等差数列．
【详解】因为，所以，
两式相减，得，，
化简得当时，，
则，
两式相减，得，当时，，
在中，令，得，
所以当时，均成立，
从而为等差数列．
21．证明见解析
【分析】利用等差数列的定义或等差中项的知识来证得数列是等差数列．
【详解】（定义法），
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
（等差中项法），，
，
所以，
所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列.
22．证明见解析
【分析】用分析法证明,从结论出发,将对数的真数化出来,结合已知条件即可证明.
【详解】∵成等差数列,∴,即.
要证:也成等差数列,
即证:;
只需证明:;
即证:.
即证:.
,
显然成立.
所以成等差数列.
23．(1)6，20；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）由题设递推式写出，；
（2）根据递推式变形得，结合等差数列的定义即可证结论；
（3）由（2）写出的通项公式，即可得通项公式.
【详解】（1）由题设，，.
（2）证明：因为，
所以，即，
所以数列是首项，公差的等差数列．
（3）由（2）得：，所以．
24．证明见解析
【分析】做差得到利用等差中项的性质，即可证明.
【详解】数列既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，因此，
当时， ①
当时， ②
由①知， ③
④
将③④代入②，得其中，
所以，，，…是等差数列，设其公差为．
在①中，取，则
所以
在①中，取，则
所以所以数列是等差数列．
25．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)将原式化简后两边同除可得等差关系；
(2)利用数列的通项解出，再用错位相减法求解；
【详解】（1）,两边同除，
得，
又，
所以数列是首项为5，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可知，所以.
当时，.
又也符合上式，所以（），
所以，
所以，①
，②
所以②①得
.
26．(1)λ＝，a3＝
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）先由a2＝－1，求出λ，在由递推公式求出a3的值；
（2）先表示出a1，a2，a3，求解λ，即可判断.
【详解】（1）∵an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)及a1＝2，a2＝－1，∴a2＝(λ－3)a1＋2，
∴λ＝.
∴a3＝－a2＋22，∴a3＝.
（2）不存在.
∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，
∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.
若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)，
∴λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解，
∴λ不存在，即不存在λ使{an}为等差数列.
27．（1）；
（2）证明见解析；
（3），．
【分析】（1）在式中将代入即可求出的值；
（2）由，可得时，，两式相减可得递推关系式，因为，所以，即可证数列为等差数列；
（3）由（2）都是公差为2的等差数列，分为奇数与偶数分别求通项公式与和即可．
【详解】解：（1）因为，所以，即，
因为，所以；
（2）因为，所以时，，两式相减，
得到，
因为，所以，
所以，
当时，有,
所以是公差为2，首项为2的等差数列，
（3）由（2）（）都是公差为2的等差数列，
当时，()，
所以，为偶数
当时，，
所以
当时，，
因为，所以.
28．证明见解析
【分析】利用退一作差法，结合等差数列的定义证得数列是等差数列.
【详解】依题意，
当时，，
两式相减得，
则，
，，
由于，
所以，即，
所以当时，，
两式相减得，
所以数列从第二项起是公差为的等差数列.
当时，，
当时，，
所以数列是公差为的等差数列.
29．an＝2n－1
【分析】当n＞k时，Sn＋k＋Sn－k＝2（Sn＋Sk）都成立，把n换为n+1，两式相减移项变形后，又k等于3或4得到n≥5时，an＋3＋an－3＝2an此数列每隔3项成等差数列，当n≥6时an＋4＋an－4＝2an，数列每隔4项成等差数列，法一：结合题设条件可推出当n≥8时，2an＝an＋2＋an－2，从而可得从第八项开始成等差数列，设其公差为d，再递推得到，，即可求出通项公式；法二：易得当n≥5时，an＋3＋an－3＝2an，从而可得三组等差数列，分别设公差为d1，d2，d3，再结合当n≥6时，an＋4＋an－4＝2an，可得a2，a6，a10，…成等差数列，设其公差为d，根据递推得到列方程组，从而可得 d1，d2，d3与d的关系，从而可求出通项公式．
【详解】由题意对任意整数k∈{3，4}，当n＞k时，Sn＋k＋Sn－k＝2（Sn＋Sk）都成立，则
当n≥4时，Sn＋3＋Sn－3＝2（Sn＋S3）， ①
当n≥5时，Sn＋4＋Sn－4＝2（Sn＋S4）， ②
由①得当n≥5时，Sn＋2＋Sn－4＝2（Sn－1＋S3）， ③
由①－③得 当n≥5时，an＋3＋an－3＝2an，
由②得当n≥6时，Sn＋3＋Sn－5＝2（Sn－1＋S4）， ④
由②－④得 当n≥6时，an＋4＋an－4＝2an，
方法一：
当n≥8时，an－6，an－3，an，an＋3，an＋6成等差数列，且an－6，an－2，an＋2，an＋6也成等差数列，
从而当n≥8时，2an＝an＋3＋an－3＝an＋6＋an－6 ， ⑤
且an＋2＋an－2＝an＋6＋an－6． ⑥
所以当n≥8时，2an＝an＋2＋an－2， ⑦
于是，当n≥9时，an－3，an－1，an＋1，an＋3成等差数列，
从而an＋3＋an－3＝an＋1＋an－1，故由⑤式知2an＝an＋1＋an－1，即an＋1－an＝an－an－1，
所以{an}从第八项开始成等差数列，设其公差为d．
当2≤m≤8时，m＋6≥8，从而由⑤式知2am＋6＝am＋am＋12，故2am＋7＝am＋1＋am＋13，
从而2（am＋7－am＋6）＝am＋1－am＋（am＋13－am＋12），于是am＋1－am＝2d－d＝d．
因此an＋1－an＝d，对任意都n≥2成立．
在①中，令n＝4得S7＋S1＝2（S4＋S3），即（S7－S4）－（S4－S1）＝2S3，故9d＝2S3．
在②中，令n＝5得S9＋S1＝2（S5＋S4），即（S9－S5）－（S5－S1）＝2S4，故16d＝2S4．
解得，从而，．因此，数列为等差数列，
由a1＝1知d＝2，所以数列的通项公式为an＝2n－1．
方法二：
因为当n≥5时，an＋3＋an－3＝2an，
所以a2，a5，a8，…成等差数列，设其公差为d1，则a3n－1＝a2＋（n－1）d1．
a3，a6，a9，…成等差数列，设其公差为d2，则a3n＝a3＋（n－1）d2．
a4，a7，a10，…成等差数列，设其公差为d3，则a3n+1＝a4＋（n－1）d3．
因为当n≥6时，an＋4＋an－4＝2an，
所以a2，a6，a10，…成等差数列，设其公差为d．
由于a14＝a2＋4d1＝a2＋3d，所以4d1＝3d．
由于a18＝a6＋4d2＝a6＋3d，所以4d2＝3d．
由于a22＝a10＋4d3＝a10＋3d，所以4d3＝3d．
所以．
由a6＝a2＋d＝a3＋d2，所以．
由a10＝a2＋2d＝a4＋2d2，所以．
所以2a3＝a2＋a4．
故2a3n＝a3n-1＋a3n+1，即a3n+1－a3n＝a3n－a3n－1，
所以{an}从第二项开始成等差数列．
下同方法一．