二轮复习【数列专题】专题2数列的最大项与最小项微点2判断数列的最大（小）项之函数图象法与性质法

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专题2 数列的最大项与最小项
微点2 判断数列的最大（小）项之函数图象法与性质法
【微点综述】
在高考中，数列中的很多问题最终都可转化为求数列的最大项和最小项．利用数列是一种特殊的函数，从函数的角度求数列的最值项是一种重要的思路．本文谈谈如何构造函数，利用函数的图象与性质判断函数的单调性，从而求得数列的最大（小）项．
【典例刨析】
一、构建反比例函数模型
例1．
1．已知,则数列的前50项中最小项和最大项分别是（ ）
A．B．C．D．
二、构建二次函数模型
例2．
2．已知等差数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令（），问数列是否有最大项或最小项，若有，请求出最大项或最小项；若没有，请说明理由．
例3．
3．通项公式为的数列，若满足，且对恒成立，则实数a的取值范围是
例4．
4．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若对数列，恒成立，则实数的取值范围是 .
三、构建三次函数模型
例5．
5．已知定义在R上的函数满足，当时，．设在区间（）上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ．
四、构建对勾函数模型
例6．（2023上海延安中学月考）
6．已知数列满足，；
(1)设，，，求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，，，数列是否有最大项，最小项？若有，分别指出第几项最大，最小；若没有，试说明理由；
例7．
7．已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的最大项的值与最小项的值．
五、构建和有关的函数模型
例8．（2023北京大兴上学期期末考）
8．记为等比数列的前n项和．已知，则数列（ ）
A．无最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，无最小项D．有最大项，有最小项
例9．（2023湖北武汉期末考试）
9．已知函数的定义域为R，且满足，对任意实数都有，若，则中的最大项为（ ）
A．B．C．和D．和
【总结与反思】
通过构建函数求数列的最值项，是解决数列最大值与最小值的一种重要的解题策略．在教学中，我们要善于启发学生思考函数与数列之间的关系，引导学生把握数列的本质，激发学生探求数列的兴趣，从而不断地提高学生数学学科的核心素养．
【针对训练】
10．已知，（），则在数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ）
A．B．C．D．
11．已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
（2023浙江衢州五校联盟期末联考）
12．等比数列中，，，记为数列的前项积，则的最大值是（ ）
A．256B．512C．1024D．2048
（2023西新高考高三上学期期中）
13．已知数列满足，，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
14．已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（ ）
A．B．C．D．
15．已知是直角三角形，是直角，内角所对的边分别为，面积为．若，则下列选项错误的是（ ）
A．是递增数列B．是递减数列
C．数列存在最大项D．数列存在最小项
16．已知数列的通项公式为，则数列最大项的值为 ．
（2023江苏连云港高三上学期期中考试）
17．已知数列的通项公式，前n项和是，对于，都有，则k＝ ．
参考答案：
1．D
【分析】要求出数列的最大项最小项，只需分析的单调性和注意分式正负的分界.
【详解】由题意得，
其中，当 时，，且此数列单调递减；当时，，且此时数列为单调减，因此此数列中最小项和最大项分别为第项.
故选：D.
2．(1);(2).
【分析】利用等差数列的通项公式即可求得结果
由可知的通项，然后代入求出最值
【详解】（1）由题有： 解得 ∴.
(2)
根据二次函数的性质，有最小项为.
【点睛】本题考查了求等差数列通项及判断数列的最小项，在求通项时根据题意将其转化为关于和的方程组来求解，本题较为简单
3．
【分析】由an＝an2+n，得an+1﹣an＝2na+a+1，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，得当n≤4时，a＞，由an＞an+1对n≥8恒成立，得当n≥8时，a＜，即可得答案．
【详解】∵an＝an2+n，∴an+1﹣an＝a（n+1）2+n+1﹣an2﹣n＝2na+a+1．
∵a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴当n≤4时，an+1﹣an＝2na+a+1＞0，即a（2n+1）＞﹣1，
∵n∈N*，∴a＞﹣，∵n≤4，∴a＞，
∵an＞an+1对n≥8恒成立，∴当n≥8时，2na+a+1＜0，a＜，
∴﹣ ．
故答案为（﹣）．
【点睛】本题考查数列的性质和应用，恒成立求参数的问题，属于中档题．
4．.
【详解】，因为，则，
所以，所以，
即的取值范围是．
点睛：本题考查数列的单调性．数列的单调性主要体现在其函数形式的单调性，但差别是数列为其中的点集，所以要注意差异性．本题首先考查数列的化简，为函数，结合点集的特点，通过图象得到答案．
5．
【分析】先利用换元法分别求出当，，，时的的解析式，进而求出，由存在使得有解得到有解，进而转化为，再通过的单调性进行即可求解.
【详解】当时，，
因为定义在上的函数满足，
所以，
令，则，
当时，有，
即当时，，
又，
令，则，，有，
所以当时，，
同理可得，时，，
根据规律，得当，，
且此时的在单调递增，
又因为为在区间上的最小值，
所以，，，，，
若存在，使得有解，
则有有解，进而必有，
令，设最大，则，
即，即，即最大；
所以当时，有，
所以.
故答案为：
【点睛】易错点睛：本题的易错点在由有解得到，而不是，要注意不等式恒成立和不等式有解的等价条件的区别：
若恒成立，则；
若有解，则.
6．(1)证明见解析，，；
(2)最大项为第3、4项，没有最小项.
【分析】（1）由递推式得，再对应化简即可证结论，根据等差数列定义写出通项公式；
（2）由（1）得，令且，研究单调性，进而求最值，即可得结果.
【详解】（1）由题设，则，
所以，故，
故是公差为的等差数列，又，
所以，.
（2）由（1）知：，则，故，
所以，
令且，若，
易知：上递增，上递减，所以，
在上，在上，
由，则，此时或，有最大项，而没有最小项；
综上，最大项为第3、4项，没有最小项.
【点睛】关键点点睛：第一问应用凑配法得，结合应用作差法求公差；第二问有，结合对勾函数的单调性求最值.
7．(1)
(2)最大项的值为，最小项的值为
【分析】（1）根据等比数列的基本量列方程求解.
(2) 根据单调性求最值.
【详解】（1）设等比数列的公比为q，
成等差数列，
∴，即，
故.
又∵数列不是递减数列，且等比数列的首项为，∴，
∴数列的通项公式
（2）
由（1）得，
当时，随的增大而减小，
∴，故；
当时，随的增大而增大，
∴，故．
综上，对于，总有，故数列的最大项的值为，最小项的值为．
8．D
【分析】求出公比，求出，然后分析的性质即可．
【详解】设公比为，则，，
，
当为偶数时，，对应函数为减函数，即，
当为奇数时，，对应函数为增函数，即，
所以有最大项为，最小项为．
故选：D．
【点睛】本题考查等比数列的前项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得后按奇偶数分类，得出奇数项递增，偶数项递减，但所有偶数项比大，所有奇数项比小，即可确定最值．
9．D
【分析】方法一：由条件变形为，采用赋值法令可得，推出数列是首项为，公差为10的等差数列，求得，判断其单调性，即可求得答案.
【详解】方法一：由题意，
可得，
令，而，得，
即，即
即数列是首项为，公差为10的等差数列，
所以，则，
则，
当时，；当 时，；当时，，
所以中最大项为和，
故选：D.
方法二：
由，
得，
设，
则，故可设，由，
得，所以，则，
所以，因为，
所以当时，，；
当时，，；当时，，,
所以中的最大项为和，故选：D.
【点睛】关键点点睛：
方法一：构造等差数列，利用等差数列的通项公式以及数列的单调性判断，即可求出中的最大项；
方法二：熟悉相关二级结论，即可知晓抽象函数的原型，根据具体函数的性质以及数列的单调性判断求出．若，则对任意实数，有；若，则对任意实数，有；若（，），则对任意实数，有．
10．C
【分析】根据函数单调性确定数列｛｝的前50项中最小项和最大项.
【详解】因为在上单调减，在单调减，
所以当时，此时，当时，此时，因此数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别为，选C.
【点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用对应函数性质，如等差数列通项与一次函数，等差数列和项与二次函数，等比数列通项、和项与指数函数.本题利用了函数性质.
11．D
【分析】根据题意，由变形可得，进而由，由等差数列的前项和公式计算可得数列的通项公式，化简的表达式，再根据对勾函数的性质计算可得．
【详解】解：根据题意，数列满足，，即，
，
则，
因为在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，因为，所以；
故选：D．
12．C
【分析】根据等比数列的通项公式求出和，得和，再根据二次函数知识与指数函数单调性可求出结果.
【详解】设公比为，由，得，
所以，
所以，
因为，
所以当或时，取得最大值，
又，所以的最大值是.
故选：C
13．A
【分析】根据递推公式求得，再根据的单调性，即可判断和选择.
【详解】因为，，所以当时，；
当时，，故，
因为函数在区间上单调递减，
所以当，时，是递减数列.
又，所以，且，故数列的最小项为，最大项为.
故选：A.
14．B
【分析】求出数列的前5项，再由对勾函数的性质可得，的单调性，从而即可得最大值.
【详解】解：由，得，，，，．
又，，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为．
故选：B．
15．B
【分析】根据已知条件可得，即得，由，得，由数列的单调性可判断选项A，B；由关系式可得，，从而可判断数列的最大项和最小项.
【详解】由题意知，所以，所以，即，所以，则，故，，由，得，
即，所以，则，而，
故，则，
所以，由于随着n的增大而减小，
所以随着n的增大而增大，
由题意可知，所以数列是递增数列，故选项A正确；
同理随着n的增大而增大，数列是递增数列，
故选项B错误；
又，由于，且，所以数列是首项为7，公比为的等比数列，故，结合，可以解得，，
所以，
所以，其中所以，
，其中所以，
因为数列随着k的增大而减小，数列随着k的增大而增大，所以数列随着k的增大而减小，故为数列中所有正项中最大的，同理数列随着k的增大而增大，故为数列中所有负项中最小的．综上所述，数列的最大项为，最小项为．故选项C，选项D均正确．
故选：B．
【点睛】关键点睛：涉及数列的单调性以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度较大，解答时要结合几何知识，能熟练的应用数列的相关知识作答，关键是要注意构造新数列解决问题.
16．
【分析】利用函数单调性法或作差法即可得解.
【详解】解法一：由已知得．
其对应母函数为对勾型函数，结合函数的单调性可知，
当时， 取最小值，取最大值，
．
解法二：令，
可得，即．故．
故答案为：
17．5
【分析】结合， 的函数图象和特殊值的思路，得到数列正负情况，即可得到当时，取得最大值，即.
【详解】
如图，为和的图象，设两个交点为，，
因为，所以，
因为，，所以，
结合图象可得，当时，，即，
当时，，即，所以当时，取得最大值，即.
故答案为：5.