4.2++正比例和反比例(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版
展开第四单元 比例 第2课时 正比例和反比例 一、学习目标 1、通过具体问题认识成正比例的量,理解正比例的意义。(重点) 2、认识正比例关系的图像,会根据一个量在图像中找出或估计出另一个量的值,并能在方格纸上画图像。(难点) 3、理解反比例的意义,掌握成反比例的量的变化规律,能找出生活中成反比例的实例。(重难点) 4、培养观察、分析、比较、抽象、概括能力,以及学习方法的迁移能力,渗透函数思想。 二、知识点梳理 温故而知新 1、比例的意义:表示两个比相等的式子。 2、比例的基本性质:在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。 知识点一 成正比例的量 问题 文具店有一种彩带,销售的数量与总价的关系如下表。 观察上表,回答下面的问题。 (1)表中有哪两种量? (2)总价是怎样随着数量的变化而变化的? (3)相应的总价与数量的比分别是多少?比值是多少? 讲解 (1)表中有数量与总价这两种相关联的量。 (2)总价随着数量的增加而增加,随着数量的减少而减少。 (3)相应的总价与数量的比分别是3.5:1,7:2,10.5:3,……比值都是3.5。 总结 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作正比例关系。 如果用字母和表示两种相关联的量,用k表示它们的比值(一定),正比例关系可以用式子(一定)来表示。 知识点二 正比例图像 问题 知识点一的表中的数据还可以用图像(如下图)表示: 根据图像回答下面的问题: (1)从图中你发现了什么? (2)把数对(10,35)和(12,42)所在的点描出来,并和上面的图像连起来并延长,你还能发现什么? (3)不计算,根据图像判断,如果买9 m彩带,总价是多少?49元能买多少米彩带? (4)小明买的彩带的米数是小丽的2倍,他花的钱是小丽的几倍? (5)你能举出生活中正比例关系的例子吗? 讲解 (1)发现:图象是一条过原点的直线,彩带米数增加,总价也相应增加。 (2) 发现:这两个数对表示的点在经过原点的这条直线上。 (3)根据图像判断,买9 m彩带的总价是31.5元;49元能买14 m彩带。 (4)他花的钱是小丽的2倍。 (5)①因为=4(一定),所以正方形的周长与边长成正比例关系; ②如果汽车行驶的速度一定,即路程/时间=速度(一定),路程与时间成正比例关系。 知识点三 成反比例的量 问题 杯子的底面积与水的高度的变化情况如下表。 观察上表,回答下面的问题。 (1)表中有哪两种量? (2)水的高度是怎样随着杯子底面积的大小变化而变化的? (3)相对应的杯子的底面积与水的高度的成绩分别是多少? (4)你能举出生活中反比例关系的例子吗? 讲解 (1)表中有两种相关联的量:水的高度和杯子的底面积。 (2)水的高度随着杯子的底面积的增大而不断减小。 (3)相对应的杯子的底面积与水的高度的乘积都是300 cm2。 (4)总价一定,即单价×数量=总价(一定),单价与数量成反比例关系; 如果长方形的面积一定,长与宽成反比例关系。 总结 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量种相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫作反比例的量,它们的关系叫作反比例关系。 如果用字母和表示两种相关联的量,用表示它们的积(一定),则反比例关系可以用式子=(一定)来表示。 三、典型例题 例1 判断表中两种量成什么比例。 (1)文文看《三国演义》这本书,她看书的天数和页数如下表。 (2)小白兔贮藏了一些萝卜,每天吃的质量和吃的天数如下表。 解:(1) 因为页数/天数=每天看的页数(一定),所以她看书的天数和页数成正比例。 (2)1×240=2×120=3×80=……=240 因为每天吃的质量×吃的天数=萝卜的总质量(一定),所以每天吃的质量和吃的天数成反比例。 例2 下面的图像反映的是刘奇和李英的睡眠情况。 (1)刘奇的睡眠时间和天数是否成正比例?李英的呢? (2)刘奇和李英7天分别能睡多少小时? (3)谁每天的睡眠时间长些?长多少? 解:(1)刘奇:,比值一定。 李英:,比值一定。 所以,刘奇和李英的睡眠时间和天数都成正比例。 (2)由(1)得,刘奇每天睡10小时,李英每天睡10小时,李英每天睡8小时。 10×7=70(时) 8×7=56(时) 答:刘奇和李英7天分别能睡70小时、56小时。 (3)10-8=2(时) 答:刘奇每天的睡眠时间长些,每天长2小时。 例3 一个长方形的面积是36 cm2,用和表示它的长和宽。和成什么比例关系?如果把它们的关系用图像表示出来,图像是一条直线吗? 解:长方形的面积=长×宽=×=36 ×=36(一定),所以与成反比例。 画出它们的关系图象如上图,所以它的图像是一条曲线,而不是一条直线。 例4 判断:圆的面积与半径成正比例。( ) 解:× 因为圆的面积/半径2=π(一定),圆的面积与半径的比值不是一个定值,与半径的平方的比值是一个定值,所以圆的面积与半径的平方成正比例。 例5 把一根长铁管锯成6段需要10分钟,照这样计算,锯成18段需要多少分钟? 解:设锯成18段需要分钟。 答:锯成18段需要34分钟。 四、课堂练习 1、填空。 (1)因为(一定),所以( )和( )成正比例。 (2)因为除数×商=( )(一定),所以( )和( )成反比例。 (3)如果,那么和成( )比例;如果,那么和成( )比例。 2、分别判断下面两种量成不成比例,成什么比例。 (1)小美从学校到家,走路的平均速度和所需的时间。( ) (2)圆锥的体积一定,底面积和高。( ) (3)修路的总长度一定,已修的长度和没修的长度。( ) (4)长方形的周长一定,长和宽。( ) (5)正方形的周长和边长。( ) (6)圆的周长和直径。( ) (7)一个人的体重和他的身高。( ) 3、选择 (1)表示和成反比例的式子是( )。 A、 B、 C、 (2)甲数是乙数的,那么甲数与乙数( )。 A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 (3)乐乐从1楼爬到3楼共用了3分钟,那么从1楼爬到5楼要用( )分钟。 A、8 B、6 C、4 (4)下面各项中,成反比例的是( )。 A、 B、 C、 (5),和( )。 A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 4、填表。 (1)已知和成正比例。 (2)已知和成反比例。 5、磁悬浮列车行驶的路程与时间的关系如下表。 (1)下图中点A表示时间为1分时磁悬浮列车行驶的路程为7千米,请你试着描出其他各点,并连接各点。 (2)列车运行2分半时,行驶的路程是多少千米? 6、自然数A,B满足,且,求的值。 数量/m12345678……总价/元3.5710.51417.52124.528……杯子的底面积/cm21015203060……水的高度/cm302015105……天数/天123456……页数/页255075100125150……每天吃的质量/克123456……吃的天数/天24012080604840……1.5314.50.150.2100.2593.2时间/分123456…路程/千米71421283542…