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【备战2024年中考】一轮复习 初中数学 真题分项汇编 专题15 圆 教师版+学生版
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考点1 圆
一、单选题
1．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023年云南省中考数学真题）如图，是的直径，是上一点．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·四川巴中·统考中考真题）如图，在中，点在圆上，，则的半径的长是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023年河南省中考数学真题）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023年安徽中考数学真题）如图，正五边形内接于，连接，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于，，，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023年福建省中考真题数学试题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A．B．C．3D．
二、填空题
11．（2022·海南·统考中考真题）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB= ．
12．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
13．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ．
14．（2019·江苏泰州·统考中考真题）如图，的半径为5，点在上，点在内，且，过点作的垂线交于点、．设，，则与的函数表达式为 ．
15．（2020·四川阿坝·中考真题）如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为 ．
16．（2023年河南省中考数学真题）如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为 ．
17．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．
三、解答题
18．（2021·山东济南·统考中考真题）已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点，，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
19．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图，在中，，D是边上一点，以为直径的与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，求直径．
20．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为4，，求的长．
21．（2023年湖北省武汉市数学真题）如图，都是的半径，．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
22．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．
(1)求证：是切线；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
23．（2023年江西省中考数学真题）如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．
(1)求的长；
(2)若，求证：为的切线．
24．（2023年安徽中考数学真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．
(1)如图1，连接，若，求证；平分；
(2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．
25．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．
(1)求的度数；
(2)若，求的半径．
26．（2019·河北·统考中考真题）如图1和2，中，AB=3，BC=15，．点为延长线上一点，过点作切于点，设．
（1）如图1，为何值时，圆心落在上？若此时交于点，直接指出PE与BC的位置关系；
（2）当时，如图2，与交于点，求的度数，并通过计算比较弦与劣弧长度的大小；
（3）当与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
27．（2023年云南省中考数学真题）如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．
(1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，求常数的值．
28．（2023年广东省中考数学真题）综合探究
如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)以点为圆心，为半径作圆．
①如图2，与相切，求证：；
②如图3，与相切，，求的面积．
29．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）如图，点A，B，C在上运动，满足，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）．
(1)是的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
(2)记的面积分别为，若，求的值；
(3)若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
30．（2023·山东济宁·校联考三模）同一平面内的两个圆，他们的半径分别为2和3，圆心距为d，当时，两圆的位置关系是（ ）
A．外离B．相交
C．内切或外切D．内含
31．（2023·山东济宁·校联考三模）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为( )
A．B．2C．D．3
32．（2023·湖南湘西·统考三模）如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
33．（2023·贵州黔东南·统考二模）如图，点A，B，C在上，若，则等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．140°
34．（2023·吉林四平·校联考三模）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外
35．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，，是的弦，连接，，，延长交于点E，连接，若，，则（ ）
A．B．C．D．
36．（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
37．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考二模）如图，内接于，是的直径，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
38．（2023·安徽六安·校考模拟预测）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是（ ）
A．B．C．D．3cm
39．（2023·湖北宜昌·统考二模）如图，是的直径，是上两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
40．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）如图，与相切于点，交直径的延长线于点，为圆上一点，．若的长度为3，则的长度为（ ）．
A．B．C．D．2
41．（2023·四川成都·校考三模）如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
42．（2023·四川宜宾·统考三模）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
43．（2023·四川成都·统考二模）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5cm，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC的长是 ．
44．（2023·湖南株洲·校考模拟预测）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度．
45．（2023·福建福州·校考二模）如图，是的直径，上的点C，D在直径的两侧，连接，若，，则的长等于 ．
46．（2023·浙江金华·统考一模）如图，已知正方形的边长为，以为直径作两个半圆，分别取，的中点，连接．则阴影部分的周长为 ．
47．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE、CE，若CF＝2，AF＝3，给出下列结论：
①△ADF∽△AED； ②FG＝2； ③tan∠AED＝；④CD平分∠ADE；⑤S△DEF＝4．
其中正确的是 ．（填序号）
48．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）如图，点P是上一点，是一条弦，点C是上一点，与点D关于对称，交于点E，与交于点F，且．给出下面四个结论：①平分； ②； ③； ④为的切线．其中所有正确结论的序号是 ．
49．（2023·广西·统考三模）如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦交小圆于点C，D．若，则的长为 ．
50．（2023·甘肃酒泉·统考三模）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为 ．
51．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，为⊙O的直径，弦于点E，若，则 ．
52．（2023·山东济宁·校联考三模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作
⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长．
53.（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，已知的半径为，四边形内接于，连结，，．
(1)求的长；
(2)求证：平分的外角．
54．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
55．（2023·安徽六安·校考模拟预测）已知：如图，在中，为延长线上一点，连接交的外接圆于点，连接
（1）求证：平分；
（2）若，求的长．
56．（2023·广西南宁·南宁市第二十六中学校考二模）如图，是的直径，C为延长线上一点．为切线，D为切点，于点H，交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
57．（2023·广西·统考三模）如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上的三点A，B，C．
(1)用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在中，连接交于点E，连接，当时，求图片的半径R；
(3)若直线l到圆心的距离等于，则直线l与圆________（填“相交”“相切”或“相离”）
58．（2023·辽宁本溪·统考二模）如图，是的直径，点C是弧的中点，过点C作于点E，连接．
(1)判断与的位置关系，并证明；
(2)若，，求的半径．
59．（2023·四川成都·校考三模）如图，是以为直径的上的点，且，弦交于点平分于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
60．（2023·河南信阳·校考三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________．
(2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长．
61．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图1，内接于中，为直径，点在弧上，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点，若，求证：；
(3)在（2）的条件下，如图3，点在线段上，连接交于点，若，，，求线段的长．
考点1 圆
一、单选题
1．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023年云南省中考数学真题）如图，是的直径，是上一点．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·四川巴中·统考中考真题）如图，在中，点在圆上，，则的半径的长是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023年河南省中考数学真题）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023年安徽中考数学真题）如图，正五边形内接于，连接，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于，，，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023年福建省中考真题数学试题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A．B．C．3D．
二、填空题
11．（2022·海南·统考中考真题）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB= ．
12．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
13．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ．
14．（2019·江苏泰州·统考中考真题）如图，的半径为5，点在上，点在内，且，过点作的垂线交于点、．设，，则与的函数表达式为 ．
15．（2020·四川阿坝·中考真题）如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为 ．
16．（2023年河南省中考数学真题）如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为 ．
17．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．
三、解答题
18．（2021·山东济南·统考中考真题）已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点，，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
19．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图，在中，，D是边上一点，以为直径的与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，求直径．
20．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为4，，求的长．
21．（2023年湖北省武汉市数学真题）如图，都是的半径，．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
22．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．
(1)求证：是切线；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
23．（2023年江西省中考数学真题）如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．
(1)求的长；
(2)若，求证：为的切线．
24．（2023年安徽中考数学真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．
(1)如图1，连接，若，求证；平分；
(2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．
25．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．
(1)求的度数；
(2)若，求的半径．
26．（2019·河北·统考中考真题）如图1和2，中，AB=3，BC=15，．点为延长线上一点，过点作切于点，设．
（1）如图1，为何值时，圆心落在上？若此时交于点，直接指出PE与BC的位置关系；
（2）当时，如图2，与交于点，求的度数，并通过计算比较弦与劣弧长度的大小；
（3）当与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
27．（2023年云南省中考数学真题）如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．
(1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，求常数的值．
28．（2023年广东省中考数学真题）综合探究
如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)以点为圆心，为半径作圆．
①如图2，与相切，求证：；
②如图3，与相切，，求的面积．
29．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）如图，点A，B，C在上运动，满足，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）．
(1)是的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
(2)记的面积分别为，若，求的值；
(3)若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
30．（2023·山东济宁·校联考三模）同一平面内的两个圆，他们的半径分别为2和3，圆心距为d，当时，两圆的位置关系是（ ）
A．外离B．相交
C．内切或外切D．内含
31．（2023·山东济宁·校联考三模）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为( )
A．B．2C．D．3
32．（2023·湖南湘西·统考三模）如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
33．（2023·贵州黔东南·统考二模）如图，点A，B，C在上，若，则等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．140°
34．（2023·吉林四平·校联考三模）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外
35．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，，是的弦，连接，，，延长交于点E，连接，若，，则（ ）
A．B．C．D．
36．（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
37．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考二模）如图，内接于，是的直径，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
38．（2023·安徽六安·校考模拟预测）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是（ ）
A．B．C．D．3cm
39．（2023·湖北宜昌·统考二模）如图，是的直径，是上两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
40．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）如图，与相切于点，交直径的延长线于点，为圆上一点，．若的长度为3，则的长度为（ ）．
A．B．C．D．2
41．（2023·四川成都·校考三模）如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
42．（2023·四川宜宾·统考三模）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
43．（2023·四川成都·统考二模）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5cm，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC的长是 ．
44．（2023·湖南株洲·校考模拟预测）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度．
45．（2023·福建福州·校考二模）如图，是的直径，上的点C，D在直径的两侧，连接，若，，则的长等于 ．
46．（2023·浙江金华·统考一模）如图，已知正方形的边长为，以为直径作两个半圆，分别取，的中点，连接．则阴影部分的周长为 ．
47．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE、CE，若CF＝2，AF＝3，给出下列结论：
①△ADF∽△AED； ②FG＝2； ③tan∠AED＝；④CD平分∠ADE；⑤S△DEF＝4．
其中正确的是 ．（填序号）
48．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）如图，点P是上一点，是一条弦，点C是上一点，与点D关于对称，交于点E，与交于点F，且．给出下面四个结论：①平分； ②； ③； ④为的切线．其中所有正确结论的序号是 ．
49．（2023·广西·统考三模）如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦交小圆于点C，D．若，则的长为 ．
50．（2023·甘肃酒泉·统考三模）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为 ．
51．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，为⊙O的直径，弦于点E，若，则 ．
52．（2023·山东济宁·校联考三模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作
⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长．
53.（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，已知的半径为，四边形内接于，连结，，．
(1)求的长；
(2)求证：平分的外角．
54．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
55．（2023·安徽六安·校考模拟预测）已知：如图，在中，为延长线上一点，连接交的外接圆于点，连接
（1）求证：平分；
（2）若，求的长．
56．（2023·广西南宁·南宁市第二十六中学校考二模）如图，是的直径，C为延长线上一点．为切线，D为切点，于点H，交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
57．（2023·广西·统考三模）如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上的三点A，B，C．
(1)用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在中，连接交于点E，连接，当时，求图片的半径R；
(3)若直线l到圆心的距离等于，则直线l与圆________（填“相交”“相切”或“相离”）
58．（2023·辽宁本溪·统考二模）如图，是的直径，点C是弧的中点，过点C作于点E，连接．
(1)判断与的位置关系，并证明；
(2)若，，求的半径．
59．（2023·四川成都·校考三模）如图，是以为直径的上的点，且，弦交于点平分于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
60．（2023·河南信阳·校考三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________．
(2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长．
61．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图1，内接于中，为直径，点在弧上，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点，若，求证：；
(3)在（2）的条件下，如图3，点在线段上，连接交于点，若，，，求线段的长．
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