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【备战2024年中考】一轮复习 初中数学 真题分项汇编 专题14 多边形与四边形 教师版+学生版
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考点1 多边形与平行四边形
一、单选题
1．（2023年山西省中考数学真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·四川德阳·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB＝ADB．OEABC．∠DOE＝∠DEOD．∠EOD＝∠EDO
3．（2023年河北省中考数学真题）综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
4．（2021·四川德阳·统考中考真题）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
5．（2022·贵州遵义·统考中考真题）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）已知在菱形中，，，则菱形的面积为（ ）
A．B．126C．63D．
7．（2020·四川巴中·统考中考真题）如图，在矩形中，，对角线，交于点，，为上一动点，于点，于点，分别以，为边向外作正方形和，面积分别为，．则下列结论：①；②点在运动过程中，的值始终保持不变，为；③的最小值为6；④当时，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
8．（2022·江苏泰州·统考中考真题）正八边形一个外角的大小为 度．
9．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是 ．
10．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件： ，使四边形成为菱形．
11．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．
12．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 ．
13．（2020·四川阿坝·中考真题）如图，有一张长方形片ABCD，，．点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边恰好经过点D，则线段DE的长为 cm．
14．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，，，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则的最小值为 ．
15．（2022·山东临沂·统考中考真题）如图，在正六边形中，，是对角线上的两点，添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是 （填上所有符合要求的条件的序号）．
16．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论：
①平分； ②； ③四边形是菱形； ④
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
17．（2023年河北省中考数学真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中
（1） 度．
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．
18．（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，在矩形中，，把边沿对角线平移，点分别对应点，的最小值为 ．
三、解答题
19．（2019·湖南娄底·中考真题）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA(不包括端点)上运动，且满足，．
(1)求证：；
(2)试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
(3)请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．
20．（2019·江苏常州·统考中考真题）【阅读】：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【理解】：（1）如图，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：________；
【运用】：（3）边形有个顶点，在它的内部再画个点，以（）个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以．
①当，时，如图， ；当， 时，；
②对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得 （用含、的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
21．（2019·广西玉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使，连接EG，FH．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）已知：，，，求四边形EHFG的周长．
22．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，已知在△ABC中AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．
（1）求证：AD∥CF；
（2）求证：四边形ADCF是矩形．
23．（2023年吉林省长春市中考数学真题）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，当四边形是菱形时．的长为__________．
24．（2023年山西省中考数学真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）
(3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．
25．（2023年北京市中考数学真题）如图，在中，点E，F分别在，上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)，，，求的长．
26．（2020·广西贵港·中考真题）已知：在矩形中，，，是边上的一个动点，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
（1）如图1，当点与点重合时，则线段_______________，_____________；
（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接，，．
①求证：四边形是平行四边形：
②当时，求四边形的面积．
27．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为铅直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，记作“L图形ABC﹣DEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．
【活动】
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线．请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）
【思考】
如图3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ （填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．
【应用】
在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．
（1）如图4，CD＝AF＝1．
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为 ．
（2）设＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD相交的面积平分线，直接写出t的取值范围 ．
28．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
(1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
29．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图，四边形是边长为的菱形，，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形．
(1)当时，求四边形的面积；
(2)当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式．
30．（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
31．（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）如图，在圆内接正六边形中，分别交于点G，H，若该圆的半径为12，则线段的长为（ ）
A．6B．C．D．8
32.（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）已知在菱形中，，，则菱形的面积为（ ）
A．B．126C．63D．
33．（2023·新疆和田·和田市第三中学校考二模）如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ）
A．B．若，则
C．D．
34．（2023·辽宁·校联考三模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=AB•AC④OE=AD⑤S△APO=，正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
35．（2023·广西玉林·统考一模）如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是( )
A．1B．2C．3D．4
36．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点为线段的中点，为上一点，连接，将沿折叠得到．当时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
37．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，正方形的对角线刚好与正六边形最长的对角线重合，则（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
38．（2023·安徽滁州·校考三模）如图，以正方形的对角线为一边作菱形，点F在的延长线上，连接交于点G，则 ．
39．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）图1、图2的两个正方形网格的面积分别为、，正方形、满足，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
40．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，已知四边形是平行四边形，下列三个结论：①当时，它是菱形，②当时，它是矩形，③当时，它是正方形．其中结论正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
41．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是 ．
42．（2023·云南丽江·统考二模）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是 ．
43．（2023·辽宁本溪·统考二模）如图，一正六边形的对角线的长为，则正六边形的边长为 ．
44．（2023·山东济南·统考三模）将正六边形与正方形按如图所示摆放，公共顶点为，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ．
45．（2023·山东济南·统考三模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是
46．（2023·山东济宁·济宁学院附属中学校考三模）如图，从一个边长为的铁皮正六边形上，剪出一个扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
47．（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，在矩形中，，把边沿对角线平移，点分别对应点，的最小值为 ．
48．（2023·浙江杭州·校考二模）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为 ．
49．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝17，点E是线段AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，AE的长为 ．
50．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点，分别在边，上，点，的对应点分别在，，且点在矩形内部，的延长线交边于点，交边于点．，，当点为三等分点时，的长为 ．
51．（2023·福建福州·校考二模）如图，在平行四边形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，且．判断四边形的形状并证明；
52．（2023·山东济宁·济宁学院附属中学校考三模）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．
下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．
操作1：将正方形沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线上的点G处，折痕为．
操作2：将沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边，上，折痕为，则四边形为矩形．
设正方形的边长为1，则．
由折叠性质可知，，则四边形为矩形，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴四边形为矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）在图①中，所有与相等的线段是 ，的值是 ；
（2）已知四边形为矩形，模仿上述操作，得到四边形，如图②，求证：四边形是矩形；
（3）将图②中的矩形沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是 ．
53．（2023·北京昌平·统考二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．4
54．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为（ ）
A．9B．12C．15D．20
55.（2023·四川攀枝花·统考二模）用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形，测得，活动学具成图（2）所示的四边形，测得，则图（2）中的长是（ ）
A．B．C．D．
56．（2023·江苏无锡·统考三模）若正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
57．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S2，则=（ ）
A．B．C．D．1
58．（2023·北京昌平·统考二模）一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个正多边形是正 边形.
59．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝17，点E是线段AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，AE的长为 ．
60．（2023·山东济南·统考三模）如图，折叠矩形纸片，使点D落在边的点M处，为折痕，，．则四边形面积的最小值是 ．
（1）作的垂直平分线交于点O；
（2）连接，在的延长线上截取；
（3）连接，，则四边形即为所求．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点．
∵分别为的中点，∴．（依据1）
∴．∵，∴．
∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即．
∵，即，
∴四边形是平行四边形．（依据2）∴．
∵，∴．同理，…
考点1 多边形与平行四边形
一、单选题
1．（2023年山西省中考数学真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·四川德阳·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB＝ADB．OEABC．∠DOE＝∠DEOD．∠EOD＝∠EDO
3．（2023年河北省中考数学真题）综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
4．（2021·四川德阳·统考中考真题）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
5．（2022·贵州遵义·统考中考真题）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）已知在菱形中，，，则菱形的面积为（ ）
A．B．126C．63D．
7．（2020·四川巴中·统考中考真题）如图，在矩形中，，对角线，交于点，，为上一动点，于点，于点，分别以，为边向外作正方形和，面积分别为，．则下列结论：①；②点在运动过程中，的值始终保持不变，为；③的最小值为6；④当时，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
8．（2022·江苏泰州·统考中考真题）正八边形一个外角的大小为 度．
9．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是 ．
10．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件： ，使四边形成为菱形．
11．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．
12．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 ．
13．（2020·四川阿坝·中考真题）如图，有一张长方形片ABCD，，．点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边恰好经过点D，则线段DE的长为 cm．
14．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，，，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则的最小值为 ．
15．（2022·山东临沂·统考中考真题）如图，在正六边形中，，是对角线上的两点，添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是 （填上所有符合要求的条件的序号）．
16．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论：
①平分； ②； ③四边形是菱形； ④
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
17．（2023年河北省中考数学真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中
（1） 度．
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．
18．（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，在矩形中，，把边沿对角线平移，点分别对应点，的最小值为 ．
三、解答题
19．（2019·湖南娄底·中考真题）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA(不包括端点)上运动，且满足，．
(1)求证：；
(2)试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
(3)请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．
20．（2019·江苏常州·统考中考真题）【阅读】：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【理解】：（1）如图，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：________；
【运用】：（3）边形有个顶点，在它的内部再画个点，以（）个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以．
①当，时，如图， ；当， 时，；
②对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得 （用含、的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
21．（2019·广西玉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使，连接EG，FH．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）已知：，，，求四边形EHFG的周长．
22．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，已知在△ABC中AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．
（1）求证：AD∥CF；
（2）求证：四边形ADCF是矩形．
23．（2023年吉林省长春市中考数学真题）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，当四边形是菱形时．的长为__________．
24．（2023年山西省中考数学真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）
(3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．
25．（2023年北京市中考数学真题）如图，在中，点E，F分别在，上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)，，，求的长．
26．（2020·广西贵港·中考真题）已知：在矩形中，，，是边上的一个动点，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
（1）如图1，当点与点重合时，则线段_______________，_____________；
（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接，，．
①求证：四边形是平行四边形：
②当时，求四边形的面积．
27．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为铅直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，记作“L图形ABC﹣DEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．
【活动】
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线．请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）
【思考】
如图3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ （填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．
【应用】
在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．
（1）如图4，CD＝AF＝1．
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为 ．
（2）设＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD相交的面积平分线，直接写出t的取值范围 ．
28．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
(1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
29．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图，四边形是边长为的菱形，，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形．
(1)当时，求四边形的面积；
(2)当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式．
30．（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
31．（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）如图，在圆内接正六边形中，分别交于点G，H，若该圆的半径为12，则线段的长为（ ）
A．6B．C．D．8
32.（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）已知在菱形中，，，则菱形的面积为（ ）
A．B．126C．63D．
33．（2023·新疆和田·和田市第三中学校考二模）如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ）
A．B．若，则
C．D．
34．（2023·辽宁·校联考三模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=AB•AC④OE=AD⑤S△APO=，正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
35．（2023·广西玉林·统考一模）如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是( )
A．1B．2C．3D．4
36．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点为线段的中点，为上一点，连接，将沿折叠得到．当时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
37．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，正方形的对角线刚好与正六边形最长的对角线重合，则（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
38．（2023·安徽滁州·校考三模）如图，以正方形的对角线为一边作菱形，点F在的延长线上，连接交于点G，则 ．
39．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）图1、图2的两个正方形网格的面积分别为、，正方形、满足，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
40．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，已知四边形是平行四边形，下列三个结论：①当时，它是菱形，②当时，它是矩形，③当时，它是正方形．其中结论正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
41．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是 ．
42．（2023·云南丽江·统考二模）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是 ．
43．（2023·辽宁本溪·统考二模）如图，一正六边形的对角线的长为，则正六边形的边长为 ．
44．（2023·山东济南·统考三模）将正六边形与正方形按如图所示摆放，公共顶点为，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ．
45．（2023·山东济南·统考三模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是
46．（2023·山东济宁·济宁学院附属中学校考三模）如图，从一个边长为的铁皮正六边形上，剪出一个扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
47．（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，在矩形中，，把边沿对角线平移，点分别对应点，的最小值为 ．
48．（2023·浙江杭州·校考二模）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为 ．
49．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝17，点E是线段AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，AE的长为 ．
50．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点，分别在边，上，点，的对应点分别在，，且点在矩形内部，的延长线交边于点，交边于点．，，当点为三等分点时，的长为 ．
51．（2023·福建福州·校考二模）如图，在平行四边形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，且．判断四边形的形状并证明；
52．（2023·山东济宁·济宁学院附属中学校考三模）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．
下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．
操作1：将正方形沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线上的点G处，折痕为．
操作2：将沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边，上，折痕为，则四边形为矩形．
设正方形的边长为1，则．
由折叠性质可知，，则四边形为矩形，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴四边形为矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）在图①中，所有与相等的线段是 ，的值是 ；
（2）已知四边形为矩形，模仿上述操作，得到四边形，如图②，求证：四边形是矩形；
（3）将图②中的矩形沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是 ．
53．（2023·北京昌平·统考二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．4
54．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为（ ）
A．9B．12C．15D．20
55.（2023·四川攀枝花·统考二模）用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形，测得，活动学具成图（2）所示的四边形，测得，则图（2）中的长是（ ）
A．B．C．D．
56．（2023·江苏无锡·统考三模）若正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
57．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S2，则=（ ）
A．B．C．D．1
58．（2023·北京昌平·统考二模）一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个正多边形是正 边形.
59．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝17，点E是线段AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，AE的长为 ．
60．（2023·山东济南·统考三模）如图，折叠矩形纸片，使点D落在边的点M处，为折痕，，．则四边形面积的最小值是 ．
（1）作的垂直平分线交于点O；
（2）连接，在的延长线上截取；
（3）连接，，则四边形即为所求．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点．
∵分别为的中点，∴．（依据1）
∴．∵，∴．
∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即．
∵，即，
∴四边形是平行四边形．（依据2）∴．
∵，∴．同理，…
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