【备战2024年中考】一轮复习 初中数学 真题分项汇编 专题08 坐标系与函数 教师版+学生版

这是一份【备战2024年中考】一轮复习 初中数学 真题分项汇编 专题08 坐标系与函数 教师版+学生版，文件包含备战2024年中考一轮复习初中数学真题分项汇编专题08坐标系与函数教师版docx、备战2024年中考一轮复习初中数学真题分项汇编专题08坐标系与函数学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共84页， 欢迎下载使用。

考点1 坐标系与函数
一、单选题
1．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的平移规律求解即可．
【详解】解：正比例函数的图象向右平移3个单位长度得：
，
故选：B．
【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键．
2．（2023年山西省中考数学真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标．
【详解】解：连接，如图，设正六边形的边长为a，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点P的坐标为，
∴，
即；
∴，，
∴点M的坐标为．
故选：A．

【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．
3．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ）
A．海拔越高，大气压越大
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
【答案】D
【分析】根据图象中的数据回答即可．
【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意；
B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)，
∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，
∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意；
C．∵图象经过点 (4，60)，
∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意；
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
4．（2023年安徽中考数学真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
5．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可．
【详解】解：点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点，
，即，
点的横坐标和纵坐标相等，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．
6．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ）
A．3B．C．4D．6
【答案】C
【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，得出的横坐标为，的纵坐标为，设，，则，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，
依题意，的横坐标为，的纵坐标为，设，
∴，
则，
又∵，，
∴
∴（负值已舍去）
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2023年天津市中考数学真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：，，
∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大；
∵，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
8．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点B作轴，根据题意得出，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，D三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可．
【详解】解：如图所示，过点B作轴，

∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵与关于直线对称，
∴，
∴，
∴，B，D三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将其代入得：，
故选：A．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
9．（2019·内蒙古·统考中考真题）在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从两地同时出发，相向而行．快车到达地后，停留3秒卸货，然后原路返回地，慢车到达地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离（米）与行驶时间（秒）的函数图象，根据图象信息，计算的值分别为（ ）
A．39，26B．39，26.4C．38，26D．38，26.4
【答案】B
【分析】根据函数图象可得：速度和为：米/秒，由题意得：，可解得：，
因此慢车速度为：米/秒，快车速度为：米/秒，
快车返回追至两车距离为24米的时间：秒，可进一步求秒．
【详解】速度和为：米/秒，
由题意得：，解得：，
因此慢车速度为：米/秒，快车速度为：米/秒，
快车返回追至两车距离为24米的时间：秒，因此秒．
故选B．
【点睛】考核知识点：从函数图象获取信息.理解题意，从图象获取信息是关键.
10．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分0≤x≤1，1【详解】解：当0≤x≤1时，过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠A=60°，AE=AF=x，
∴AG=x，
由勾股定理得FG=x，
∴y=AE×FG=x2，图象是一段开口向上的抛物线；
当1∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1，
∴AH=，
由勾股定理得DH=，
∴y=(DF+AE)×DH=x-，图象是一条线段；
当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，
∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，
同理求得EI=(3-x)，
∴y= AB×DH -CF×EI=-(3-x)2=-x2+x-，图象是一段开口向下的抛物线；
观察四个选项，只有选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象．
11．（2023年河北省中考数学真题）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变，
当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．
【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．
12．（2023年安徽中考数学真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，

设，则，根据图象可得，
将点代入，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
对称轴为直线，
当时，，
∴抛物线经过点，
∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点，
当时，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键．
13．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）设二次函数是实数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为D．当时，函数的最小值为
【答案】A
【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解．
【详解】解：令，则，
解得：，，
∴抛物线对称轴为直线
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为．
故A正确，B错误；
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为，
故C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．
14．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：
①；②；③；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（ ）

A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．
【详解】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，即②错误；
∴，即①正确，
二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为
，即，故③正确；
∵关于x的一元二次方程，，，
∴，，
∴无法判断的正负，即无法确定关于x的一元二次方程的根的情况，故④错误；
∵
∴点，关于直线对称
∵点，均在该二次函数图像上，
∴，即⑤正确；
综上，正确的为①③⑤，共3个
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．
15．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
，
故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出与之间函数关系式，再判断与之间函数类型．
二、填空题
16．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）请写出一个函数的表达式，使得它的图象经过点： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据一次函数的定义，可以先给出k值等于1，再找出符合点的b的值即可，答案不唯一．
【详解】解：设，则，
∵它的图象经过点，
∴代入得：，
解得：，
∴一次函数解析式为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查对一次函数的常数k、b的理解和待定系数法的运用，是开放型题目．
17．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为 ．
【答案】2
【分析】将点代入函数解析式求解即可．
【详解】解：点在上，
∴，
，
解得：(舍去)
故答案为：2．
【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键．
18．（2023年河北省中考数学真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ．
【答案】
【分析】把代入得，可求得a的值；把分别代入和，据此求解即可．
【详解】解：当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键．
19．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 ．
【答案】6
【分析】应用k的几何意义及中线的性质求解．
【详解】解：D为AC的中点，的面积为3，
的面积为6，
所以，
解得：m＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，关键是利用的面积转化为三角形AOC的面积．
20．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为 ．

【答案】
【分析】如图：由题意可得，再根据进行计算即可解答．
【详解】解：如图：

∵点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，
∴
∵四边形是面积为9的正方形，
∴，即，解得：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数图像线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值．
21．（2019·内蒙古·统考中考真题）如图，有一条折线，它是由过，，组成的折线依次平移8，16，24，…个单位得到的，直线与此折线有（且为整数）个交点，则的值为 ．
【答案】
【分析】观察可得，由直线与此折线恰有（且为整数）个交点，得点在直线上，故.
【详解】∵，，，，…，
∴．
∵直线与此折线恰有（且为整数）个交点，
∴点在直线上，
∴，
解得：．
故答案为．
【点睛】考核知识点：一次函数图象和点的坐标规律.数形结合分析问题，寻找规律是关键.
22．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为 ．

【答案】
【分析】根据题意，结合图形依次求出的坐标，再根据其规律写出的坐标即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，
是等腰直角三角形，，
，
是等腰直角三角形，
同理可得：均为等腰直角三角形，
，
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，
依次可得：
由此可推出：点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出的坐标，找出其坐标的规律．
23．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是 ．

【答案】和
【分析】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标．
【详解】解：在中，当时，，则有，
令，则有，
解得：，
∴，
根据点坐标，有
所以点坐标

设所在直线解析式为，其过点、
有，
解得
∴所在直线的解析式为：
当点在线段上时，设
而
∴
∴
因为：，，
有
解得：，
所以点的坐标为:
当在的延长线上时，
在中，，,
∴
∴
如图延长至，取，

则有为等腰三角形，，
∴
又∵
∴
则为符合题意的点，
∵
∴
的横坐标：，纵坐标为；
综上E点的坐标为：或，
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置，是求解此题的关键．
三、解答题
24．（2020·广西贵港·中考真题）如图，双曲线（为常数，且）与直线交于和两点．
（1）求，的值；
（2）当时，试比较函数值与的大小．
【答案】（1），；（2）当时，；当时，；当时，
【分析】将B点坐标代入直线，便可求b，再将A点坐标代入直线，便可求m，最后代入，便可求出k
根据图形特征和A的坐标，便可直接写出答案．
【详解】解：（1）∵点在直线上，
∴，则，
∵点在直线上，∴，
又点在双曲线，∴．
（2）∵点的坐标为，
∴由图象可知，当时，；
当时，；
当时，．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，关键在于合理利用点的坐标才是关键．
25．（2021·四川内江·统考中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足的的取值范围；
（3）若点在线段上，且，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数为；（2）或；（3），．
【分析】(1) 将A点坐标代入反比例函数求得，再将B点代入反比例函数求得n，再把A 、B两点坐标代入一次函数求得从而得出两函数解析式；
(2)观察图案结合（1）题求得A、B两点坐标即可求出所求x的范围；
(3)连接BO、AO，则△AOP和△BOP高相同，面积之比就是底边长度之比，因此BP：AP=4：1，再用AB之间横坐标差值按比例分配求得P点横坐标，再把横坐标代入一次函数求得纵坐标从而求出P点坐标.
【详解】解：（1）反比例函数经过，
，
反比例函数为，
在比例函数的图象上，
，
，
直线经过，，
，解得，
一次函数的解析式为；
（2）观察图象，的的取值范围是或；
（3）设，
，
，
即，
，
解得，（舍去），
点坐标为(，)．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.
26．（2023·甘肃平凉·校考三模）小明和妈妈十一假期去看望外婆，返回时，他们先搭乘顺路车到A地，约定小明爸爸驾车到A地接他们回家，一家人恰好同时到达A地，休息半小时后，小明爸爸驾车返回家中．已知小明他们与外婆家的距离与小明从外婆家出发的时间之间的函数关系如图所示．

(1)小明家与外婆家的距离是______；
(2)小明爸爸驾车返回时的平均速度是______；
(3)求他们从A地驾车返回家的过程中，s与t之间的函数关系式．
【答案】(1)300
(2)60
(3)
【分析】（1）图中纵坐标表示的即为与外婆家的距离，从图中可直接读取两地的距离；
（2）根据返回时爸爸开车的总路程除以总时间即可求得平均速度；
（3）先确定返回刚出发时的时间与距离，再利用待定系数法求解即可
【详解】（1）从图中可知：小明家与外婆家的距离为，
故答案为：300；
（2）解：小明坐顺路车的速度为：，
则后小明他们到达距外婆家处与爸爸相遇，
又∵他们休息了，
∴他们一起返回时的时间是第，
∴返回的过程中爸爸的平均速度为：，
故答案为：60；
（3）∵小明他们与爸爸在地见面后，休息，
∴他们从地回家时出发的时间为．
设与之间的函数关系式为，
由图象可知，函数的图象过点、，
则
解得
与之间的函数关系式为．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，准确分析图象中的数据与对应实际意义之间的联系是解题关键．
27．（2023·河南南阳·统考三模）如图，反比例函数的图像经过点A．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段OA的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)过点A作y轴的平行线与（1）中所作的垂直平分线相交于点，与x轴相交于点C，求反比例函数的表达式．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可；
（2）连接OB，先利用勾股定理，求得，再根据垂直平分线的性质，得到，进而得到，最后利用反比例函数上点的坐标特征求出值，即可得到反比例函数的表达式．
【详解】（1）解：如图，直线m即为所求；

（2）解：如图，连接OB，

由题意可知，轴，，
，，，
由勾股定理得：，
直线m垂直平分，
，
，
，
反比例函数的图象经过点A，
，
反比例函数的解析式为．
【点睛】本题考查了基本作图，勾股定理，垂直平分下的性质，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
28．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，为线段上一动点（不与点重合），过点作轴交直线于点．与的重叠面积为．关于的函数图象如图2所示．

(1)的长为_______________；的面积为_______________．
(2)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数图象即可求解．
（2）根据（1）的结论，分，，根据与的重叠面积为，分别求解即可．
【详解】（1）解：当时，点与重合，此时，
当时，，即点与点重合，
∴，则，
故答案为：，．
（2）∵在上，则设，
∴
∴,则
当时，如图所示，设交于点，
∵，，
则
∴

当时，如图所示，

∵，
设直线的解析式为，
∴
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，则，
∴，
∵，
∵，则，
∴，
综上所述：．
【点睛】本题考查了正切的定义，动点问题的函数图象，一次函数与坐标轴交点问题，从函数图象获取信息是解题的关键．
29．（2023年上海市中考数学真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求b，c的值；
(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
【答案】(1)，
(2)，
(3)或
【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线即可求得；
（2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得b，c；
（3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即列式求得，，然后得到抛物线N解析式为：，将代入可得，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B，
当时，代入得：，故，
当时，代入得：，故，
（2）设，
则可设抛物线的解析式为：，
∵抛物线M经过点B，
将代入得：，
∵，
∴，
即，
∴将代入，
整理得：，
故，；
（3）如图：
∵轴，点P在x轴上，
∴设，，
∵点C，B分别平移至点P，D，
∴点，点向下平移的距离相同，
∴，
解得：，
由（2）知，
∴，
∴抛物线N的函数解析式为：，
将代入可得：，
∴抛物线N的函数解析式为：或．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值．
30．（海南省海口市美兰区第七中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵
∴位于第三象限，
∴
∵
∴
∵
∴点位于第一象限，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
31．（2023·湖南株洲·校考模拟预测）如图的坐标平面上有A、B、C、D四点根据图中各点位置判断，哪一个点在第二象限（ ）
A．AB．BC．CD．D
【答案】A
【分析】根据坐标平面的划分解答，坐标平面的划分：建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
【详解】解：A、点A在第二象限，故此选项符合题意；
B、点B在第三象限，故此选项不符合题意；
C、点C在y轴上，故此选项不符合题意；
D、点D在第四象限，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记坐标平面的划分方法是解题的关键．
32．（2023·黑龙江绥化·统考三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△，则点的坐标是（ ）
A．（，4）B．（4，）C．（，3）D．（+2，）
【答案】A
【分析】根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再求出∠OAB＝30°，利用勾股定理列式求出AB，然后根据旋转角是60°判断出AB′⊥x轴，再写出点B′的坐标即可．
【详解】解：令y＝0，则，
解得，
令x＝0，则y＝2，
∴点A（，0），B（0，2），
∴OA＝，OB＝2，
∵tan∠OAB＝，
∴∠OAB＝30°，
由勾股定理得，
∵旋转角是60°，
∴∠OAB′＝30°＋60°＝90°，
∴AB′⊥x轴，
∴点B′（，4）．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质−旋转，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求出AB′⊥x轴是解题的关键．
33．（2023·山东临沂·统考二模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．I与R的函数关系式是
C．当时，D．当时，I的取值范围是
【答案】D
【分析】设I与R的函数关系式是，利用待定系数法求出，然后求出当时， ，再由，得到随增大而减小，由此对各选项逐一判断即可．
【详解】解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，
∴，
∴，
∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意；
当时， ，
∵，
∴随增大而减小，
∴当时，，当时，，当时，I的取值范围是，故A、C不符合题意，D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
34．（2023·贵州贵阳·统考二模）近来，“围炉煮茶”这一别具仪式感和氛围感的喝茶方式成为时下新晋网红，如图为淘宝某商家从2023年2月开始共7周的“围炉”周销量y（个）随时间t（周）变化的图象，则下列说法错误的是（ ）

A．第1周销量最低，是500个
B．在这7周中，周销量增长速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周
C．第3周和第5周的销量一样
D．第1周到第5周，周销量（个）随时间t（周）的增大而增大
【答案】D
【分析】根据图象逐项分析即可．
【详解】解：由图象可知：
第1周销量最低，是500个，故选项A不合题意；
在这7周中，周销量增长速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周，均增长1000个，故选项B不合题意；
第3周和第5周的销量一样，故选项C不合题意；
第1周到第4周，周销量（个）随时间t（周）的增大而增大，第4周到第5周，周销量（个）随时间t（周）的增大而减少，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出销量，观察函数图象的横坐标得出第几周，利用数形结合的方法是解答本题的关键．
35．（2023·四川攀枝花·统考二模）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．下图是骑行爱好者老刘2023年2月12日骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．点表示出发4h，老刘共骑行80km
B．老刘的骑行在0～2h的速度比3~4h的速度慢
C．0~2h老刘的骑行速度为15km/h
D．老刘实际骑行时间为4h
【答案】D
【分析】仔细观察图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可．
【详解】解：由图可知，点所对应的路程为80km，时间为4h，即表示出发4h，老刘共骑行80km，故A正确，不符合题意；
0～2h老刘骑行的路程为30km，
0～2h的速度为，
3~4h骑行的路程为，
3~4h的速度为，
，
老刘的骑行在0～2h的速度比3~4h的速度慢，
故B、C正确，不符合题意；
2~3h内的路程没有变化，即老刘处于静止状态，
老刘实际骑行时间为，
故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象的实际应用，读懂题意，从所给的函数图象中获取信息是解题的关键．
36．（2023·河南周口·统考二模）甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为时，甲、乙的溶解度都小于
D．当温度为时，甲、乙的溶解度相等
【答案】D
【分析】利用函数图象的意义可得答案．
【详解】解：由图象可知，A、B、C都正确，
当温度为t1时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
37．（2023·山东济宁·统考三模）如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．
【详解】过点C作CM⊥AB于N，，
在等腰中，，
，
①当时，如图，，
，
，
∴，y随x的增大而增大；
②当时，如图，
，
∴当时，y是一个定值为1；
③当时，如图，，
，
,
当x=3，y=1，当3结合ABCD选项的图象，
故选：B．
【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．
38．（2023·北京顺义·统考二模）某超市一种干果现在的售价是每袋元，每星期可卖出袋，经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价元，每星期就少卖出袋．已知这种干果的进价为每袋元，设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）．则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数，二次函数B．一次函数，反比例函数
C．反比例函数，二次函数D．反比例函数，一次函数
【答案】A
【分析】设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）根据题意列出与，与的函数关系式，即可求解．
【详解】解：设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）根据题意得，
是一次函数，
是二次函数，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键．
39．（2023·河北唐山·统考二模）已知一块蓄电池组的电压为定值，使用蓄电池组时，电流Ⅰ（A）与电阻R（）是反比例函数关系，如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．函数解析式为B．蓄电池组的电压是
C．当A时，D．当时，A
【答案】D
【分析】将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．
【详解】解：设，将代入可得，故A错误；
∴蓄电池的电压是，故B错误；
当时，，故C错误；
当时，，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
40．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中图象如图，A点为（－2，0）．则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数图象知，由一次函数图象所在的象限可以确定a、b的符号，且直线与抛物线均经过点A，所以把点A的坐标代入一次函数或二次函数可以求得b=2a，k的符号可以根据双曲线所在的象限进行判定．
【详解】解：∵根据图示知，一次函数与二次函数的交点A的坐标为（-2，0），
∴-2a+b=0，
∴b=2a．
∵由图示知，抛物线开口向上，则a＞0，
∴b＞0．
∵反比例函数图象经过第一、三象限，
∴k＞0．
A、由图示知，双曲线位于第一、三象限，则k＞0，
∴2a+k＞2a，即b＜2a+k，
故A选项不符合题意；
B、∵k＞0，b=2a，
∴b+k＞b，
即b+k＞2a，
∴a=b+k不成立，
故B选项不符合题意；
C、∵a＞0，b=2a，
∴b＞a＞0．
故C选项不符合题意；
D、观察二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）图象知，当x=-=-=-1时，y=-k＞-=-=-a，即k＜a，
∵a＞0，k＞0，
∴a＞k＞0．
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象．解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息．
41．（2023·河南信阳·校考三模）如图①，已知矩形，是边上的一个动点，，，交于，设点运动的路程为，运动的路程为，与之间的函数关系图象如图②所示，则矩形面积为（ ）

A．8B．6C．12D．1
【答案】C
【分析】设．证得，从而有，进而利用二次函数的性质求得，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】设．
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，则，
∴，
∴．
当时，有最大值则．
∴矩形的面积为．
故选C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、二次函数的性质以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数
的性质以及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
42．（2005年初中毕业升学考试（江苏无锡卷）数学（带解析））函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：由题意得，，
解得．
43．（2023·湖南株洲·校考模拟预测）如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，连接，．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】令与轴的交点为，由轴得，从而可得，即可求得的值．
【详解】解：令与轴的交点为，如图所示，
轴，
轴，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数上任意一点，作坐标轴的垂线，与原点构成的三角形的面积等于的一半，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
44．（2023·山东青岛·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，都是菱形，点，，，…，都在x轴上，点，，，…都在直线上，且，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据菱形的边长求得、、的坐标，然后分别表示出、、的坐标找出规律，进而求得、、，…的坐标找出规律，从而求得的坐标．
【详解】解：，
，
，
设，
，
，（不合题意舍去），
，，
四边形是菱形，
∴，，
∴
∵四边形，，都是菱形，
，，，，
同理得到，，，，；，，
∴，，，，，…，，
点，
故答案为：．
【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列B点的坐标，找出规律是解题的关键．
45．（2023·甘肃平凉·校考三模）小明和妈妈十一假期去看望外婆，返回时，他们先搭乘顺路车到A地，约定小明爸爸驾车到A地接他们回家，一家人恰好同时到达A地，休息半小时后，小明爸爸驾车返回家中．已知小明他们与外婆家的距离与小明从外婆家出发的时间之间的函数关系如图所示．

(1)小明家与外婆家的距离是______；
(2)小明爸爸驾车返回时的平均速度是______；
(3)求他们从A地驾车返回家的过程中，s与t之间的函数关系式．
【答案】(1)300
(2)60
(3)
【分析】（1）图中纵坐标表示的即为与外婆家的距离，从图中可直接读取两地的距离；
（2）根据返回时爸爸开车的总路程除以总时间即可求得平均速度；
（3）先确定返回刚出发时的时间与距离，再利用待定系数法求解即可
【详解】（1）从图中可知：小明家与外婆家的距离为，
故答案为：300；
（2）解：小明坐顺路车的速度为：，
则后小明他们到达距外婆家处与爸爸相遇，
又∵他们休息了，
∴他们一起返回时的时间是第，
∴返回的过程中爸爸的平均速度为：，
故答案为：60；
（3）∵小明他们与爸爸在地见面后，休息，
∴他们从地回家时出发的时间为．
设与之间的函数关系式为，
由图象可知，函数的图象过点、，
则
解得
与之间的函数关系式为．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，准确分析图象中的数据与对应实际意义之间的联系是解题关键．
46．（2023·河南南阳·统考三模）如图，反比例函数的图像经过点A．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段OA的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)过点A作y轴的平行线与（1）中所作的垂直平分线相交于点，与x轴相交于点C，求反比例函数的表达式．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可；
（2）连接OB，先利用勾股定理，求得，再根据垂直平分线的性质，得到，进而得到，最后利用反比例函数上点的坐标特征求出值，即可得到反比例函数的表达式．
【详解】（1）解：如图，直线m即为所求；

（2）解：如图，连接OB，

由题意可知，轴，，
，，，
由勾股定理得：，
直线m垂直平分，
，
，
，
反比例函数的图象经过点A，
，
反比例函数的解析式为．
【点睛】本题考查了基本作图，勾股定理，垂直平分下的性质，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
47．（2023·黑龙江绥化·统考三模）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
(1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
(3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
【答案】(1)．
(2)；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
(3)的最大值为．
【分析】（1）分当时，当时，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知，分当时，当时，分别列出与的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意可知，降价后，与的关系式，并根据利润不低于15000，可得出的取值范围．
【详解】（1）当时，设，根据题意可得，，
解得，
；
当时，设，
根据题意可得，，
解得，
．
．
（2）根据题意可知，购进甲种产品千克，
，
当时，，
，
当时，的最大值为；
当时，，
，
当时，的最大值为（元，
综上，；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
（3）根据题意可知，降价后，，
当时，取得最大值，
，解得．
的最大值为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
48．（2023·河南信阳·校考三模）已知二次函数与x轴交于A，B两点（其中A在B的左侧），且．

(1)求点A和点B的坐标；
(2)若，当时，y有最大值2，则当时，求y的最小值；
(3)点C的坐标为，．若抛物线与线段恰有一个交点，求m的取值范围．
【答案】(1)A点坐标为，B点坐标为；
(2)-6；
(3)或或．
【分析】（1）由A，B两点是抛物线与x轴的交点，以及，对称轴直线可以求出两点坐标；
（2）先根据，当时，y有最大值2，求出，再求当时最小值即可；
（3）先求出线段的解析式，再根据抛物线与线段恰有一个交点，分和两种情况讨论即可．
【详解】（1）∵二次函数，
∴抛物线对称轴为直线．
∵A，B是抛物线与x轴的交点，且，
设A点坐标，B点坐标，
∴．，
解得，．
∴A点坐标为，B点坐标为．
（2）∵A点坐标为，B点坐标为
∴．
∵，当时，顶点出有最大值，即当时，y有最大值2．
∴，
解得．
∴
∵，且
∴当时，y有最小值，即．
∴y的最小值为．
（3）∵，
∴抛物线顶点坐标为．
∵点C坐标为，，
∴线段的解析式为．
若与线段恰有一个交点，
当时，
①线段恰好过抛物线顶点，
∴．即．
②抛物线经过点C时，．
∴，此时抛物线与线段C有两个交点，
③当时，．
抛物线与线段有一个交点，如图①，解得：；

当时，，即，抛物线与线段有一个交点，如图②．

综上：或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是通过二次函数的解析式求抛物线的对称轴与坐标轴的交点以及顶点坐标．
49．（2023·广西柳州·统考二模）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车匀速从A地行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】①根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；②根据矩形的面积公式判断即可；③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可.
【详解】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故②不符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故③符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是①②．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用函数的图像解决实际问题，正确理解函数图像表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图像得到函数问题的相应解决．
50．（2023·山东济南·统考三模）某快递公司每天上午9：30—10：50为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过 分钟时，两仓库的快递件数相同．
【答案】/
【分析】先求出甲、乙直线方程，令两个直线方程相等即可求解．
【详解】解：由题意可得：设甲直线方程为，
把代入得：，解得，
∴甲直线方程为，
设乙直线方程为，
把代入得：，解得，
∴乙直线方程为，
令，解得：，
经过分钟时，两仓库的快递件数相同，
故答案为：．
【点睛】本题考查结合实际问题利用待定系数法求一次函数解析式，正确计算是关键．
51．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点（0，4），（3，4），将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，函数的图像经过点和的中点，则的值是 ．
【答案】6
【分析】作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，设AC=EO=BD=a，表示出四边形ACEO的面积，再根据三角形中位线的性质得出FG，EG，即可表示出四边形HFGO的面积，然后根据k的几何意义得出方程，求出a，可得答案．
【详解】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意，得AC=EO=BD，
设AC=EO=BD=a，
∴四边形ACEO的面积是4a．
∵F是DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG是△EDQ的中位线，
∴，，
∴四边形HFGO的面积为，
∴，
解得，
∴k=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确的作出辅助线构造矩形是解题的关键．
52．（2023·江苏无锡·校考二模）平面直角坐标系中，、，连接、，则 ；点C在y轴上，作点C关于直线、的对称点D、E，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点作，过点作轴，利用等腰直角三角形的性质求得，，即可求得的值；取点，连接，延长，交于点，利用相似三角形的性质及全等三角形的性质可证得，，可得，利用待定系数法求得直线的解析式，可得，进而可得线的解析式为，设点，作点关于直线、的对称点、，可知点关于直线的对称点在轴上，得，点关于直线的额对称点在直线上，设，可得点和点的中点的坐标，由轴对称可知在直线上，求得，可知，由勾股定理可得，进而求得的最小值为．
【详解】解：过点作，过点作轴，
∵、，
∴，，则为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，则，
则，
∴，
取点，连接，延长，交于点，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，则，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，则
则为的垂直平分线，即关于直线的对称点为，
设直线的解析为，将、，代入可得：
，解得：，
∴直线的解析为，
当时，，即，
同理可得直线的解析式为：，
设点，作点关于直线、的对称点、，
∵，
则点关于直线的额对称点在轴上，可知，
即关于直线的对称点为，且也在直线上，
∴关于直线对称的直线为，
∴点关于直线的对称点在直线：上，
设，则点和点的中点的坐标为：
由轴对称可知在直线上，
∴，可得，
则，
∴
整理得：，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，求正切值，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，轴对称与坐标，待定系数法求函数解析式，运用数形结合的思想是解决问题的关键．
53．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，将直角三角板放在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，将三角板沿x轴正方向平移，点B的对应点刚好落在反比例函数的图象上，则的坐标是 ，点C平移的距离 ．

【答案】 3
【分析】设平移后点的坐标为，然后代入反比例函数的解析式即可求出点的坐标，进一步即可求平移的距离．
【详解】解：设平移后点的坐标为，
因为点刚好落在反比例函数的图象上，
∴，
即，
∴平移的距离；
故答案为：，3．
【点睛】本题考查了平移的性质和反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
54．（2023·浙江·一模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
(2)若该函数的图象与轴有且只有一个交点，求，的值．
(3)记（2）中的抛物线为，将抛物线向上平移个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为，求的值．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）根据二次函数的性质及对称轴即可解答；
（2）根据二次函数与轴的交点个数及二次函数的性质即可解答；
（3）根据二次函数的平移规律及二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等，
∴二次函数的对称轴为，，
∵该函数的最大值为，
∴该函数的顶点坐标为，
∴，
∴由①②可得：，
∴函数表达式为：；
（2）解：∵该函数的图象与轴有且只有一个交点，
∴一元二次方程，该函数的顶点坐标为，
∴，，
∴由①②可得（舍去），，
∴，；
（3）解：由（2）可得的解析式为：，
∵将抛物线向上平移个单位得到抛物线，
∴，
∴当时，，
∵的顶点坐标为，且当时，抛物线的最大值与最小值之差为，
∴，随的增大而增大，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
x结果
代数式
2
n
7
b
a
1