【备战2024年中考】一轮复习 初中数学 真题分项汇编 专题10 二次函数 教师版+学生版

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考点1 二次函数
一、单选题
1．（2023年江苏省徐州市中考数学真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
2．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】D
【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，当时，函数的最小值为，
当时，，当时，，
∴当时，函数的最大值为2，
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，
则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．
4．（2021·甘肃兰州·统考中考真题）二次函数的图象的对称轴是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将二次函数写成顶点式，进而可得对称轴．
【详解】解：．
二次函数的图象的对称轴是．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键．
5．（2023年安徽中考数学真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
6．（2022·山东德州·统考中考真题）已知，为任意实数，则的值( )
A．大于0B．等于0C．小于0D．无法确定
【答案】A
【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴的值大于0，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．
7．（2023年河南省中考数学真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答．
【详解】解：由图象开口向下可知，
由对称轴，得．
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．
8．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：
①；②；③；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（ ）

A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．
【详解】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，即②错误；
∴，即①正确，
二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为
，即，故③正确；
∵关于x的一元二次方程，，，
∴，，
∴无法判断的正负，即无法确定关于x的一元二次方程的根的情况，故④错误；
∵
∴点，关于直线对称
∵点，均在该二次函数图像上，
∴，即⑤正确；
综上，正确的为①③⑤，共3个
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．
9．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）设二次函数是实数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为D．当时，函数的最小值为
【答案】A
【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解．
【详解】解：令，则，
解得：，，
∴抛物线对称轴为直线
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为．
故A正确，B错误；
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为，
故C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．
10．（2019·山东·统考中考真题）如图，是二次函数图象的一部分，下列结论中：
①；②；③有两个相等的实数根；④.其中正确结论的序号为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①④
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质求解即可.
【详解】①∵抛物线开口向上，且与y轴交点为(0,-1)
∴a＞0，c＜0
∵对称轴＞0
∴b＜0
∴
∴①正确；
②对称轴为x=t,1＜t＜2，抛物线与x轴的交点为x1,x2.
其中x1为（m,0）, x2.为(n,0)
由图可知2＜m＜3，可知n>-1，
则当x=-1时，y＞0，
则
则②错误；
③由图可知c=-1
△=b2—4a(c+1)=b2,且b≠0
∴③错误
④由图可知，对称轴x=
且1＜＜2
∴
故④正确；
故选D.
【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键.
11．（2019·湖北鄂州·统考中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误；
②把代入中得，所以②正确；
③由时对应的函数值，可得出，得到，由，，，得到，选项③正确；
④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴，
∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，①错误；
②当时，，∴，
∵，∴，
把代入中得，所以②正确；
③当时，，∴，
∴，
∵，，，
∴，即，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，函数的最小值为，
∴，
即，所以④正确．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
12．（2019·四川绵阳·统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，其中．下列四个结论：①；②；③；④，正确的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴的交点可依次确定a、b、c的符号，进而可判断①；根据对称轴的位置可得a、b的关系，再根据当时，，把得出的a、b的关系式代入整理即可判断②；除以4可得，即为当时的值，再结合图象判断和x1的关系即可判断③；易判断，展开整理再结合即可判断④．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴在轴的右侧，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
②∵图象与轴交于两点，，其中，
∴，
∴，
当时，，
∵当时，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③当时，值为，
乘以4，可得，
∵当时，由图象可知在和x1之间为正值，
当时，在和x1之间为负值，
∴与0的关系不能确定，故③错误；
④∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，所以④正确．
综上，正确的是①②④，共3个，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
13．（2020·云南昆明·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（ ）

A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a＝
D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝−2a＜0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B（0，−2），A（−1，m）和b＝−2a代入抛物解析式可对C选项进行判断；利用二次函数的增减性对D进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，
而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，
∴a＝，所以C选项的结论正确；
∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，
∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；
当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，
∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．
14．（2023年安徽中考数学真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，

设，则，根据图象可得，
将点代入，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
对称轴为直线，
当时，，
∴抛物线经过点，
∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点，
当时，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键．
15．（2023年山东省烟台市中考数学真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出，再根据图象得出当时，，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程移项可得，根据该方程无实数根，得出抛物线与直线没有交点，即可判断④．
【详解】解：①∵该抛物线开口向下，
∴，
∵该抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴，
∵该抛物线于y轴交于正半轴，
∴，
∴，
故①正确，符合题意；
②∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，则，
当时，，
把得：当时，，
由图可知：当时，，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③∵该抛物线的对称轴为直线，
∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，
∵该抛物线开口向下，
∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④将方程移项可得，
∵无实数根，
∴抛物线与直线没有交点，
∵，
∴．故④正确
综上：正确的有：①③④，共三个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断各系数的方法，熟练掌握二次函数的图象和性质．
16．（2023年山东省东营市中考数学真题）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．是关于x的一元二次方程的一个根
D．点，在抛物线上，当时
【答案】C
【分析】根据对称轴为得到，即可判断A选项；根据当时，，即可判断B选项；根据当时，即可判断C选项；根据当时，y随着x的增大而增大即可判断D选项．
【详解】解：A．抛物线的对称轴为直线，则，则，即，故选项错误，不符合题意；
B．抛物线的对称轴为直线，点A的坐标为，当时，，故选项错误，不符合题意；
C．抛物线的对称轴为直线，若点A的坐标为，可得点，当时，，即是关于x的一元二次方程的一个根，故选项正确，符合题意；
D．∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴点，在抛物线上，当时，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
17．（2019·辽宁阜新·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1，0)和点(3，0)，则下列说法正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用对称轴在y轴的右侧得到b＜0，利用抛物线与x轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对A进行判断；利用当x=1时，y＜0可对B进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=-=1，则可对C进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对D进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a和b异号，
∴b＜0，
∵抛物线与x轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴bc＞0，所以A选项错误；
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以B选项错误；
∵抛物线经过点(-1，0)和点(3，0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
即-=1，
∴2a+b=0，所以C选项正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2-4ac＞0，
即4ac＜b2，所以D选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点个数：抛物线与y轴交于(0，c)．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
18．（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，可判断③错误，求出，，结合①②的结论即可判断出④正确．
【详解】∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1，
∴，
∴，
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c>0，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴交于(-1,0)，
∴当x=-1时，，
∵，
∴将代入，得3a+c=0，故②正确；
根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点(-1,0)，对称轴为x=1，
根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0)，
∴y＞0时，有，故③错误；
∵抛物线与x轴的两个交点为：(-1,0)，(3,0)，对称轴为x=1，
当x=-2时，，
当x=2时，，
∵，3a+c=0，a<0，
∴，，
∴，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a看抛物线开口方向，b往往看对称轴，c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等．
19．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（ ）

A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①；对称性判断②；增减性，判断③；对称轴和特殊点判断④；最值判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，
∴，
∴；故①错误；
由图可知，抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：，
∵抛物线关于直线对称，
∴抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：，
∴方程（）必有一个根大于2且小于3；故②正确；
∵，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大，
∵是抛物线上的两点，且，
∴；故③错误；
∵
∴，
由图象知：，，
∴；故④正确；
∵，对称轴为直线，
∴当时，函数值最小为：，
∴对于任意实数m，都有，
即：，
∴；故⑤正确；
综上：正确的有3个；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确的识图，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
二、填空题
20．（2021·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）二次函数的最小值为 ．
【答案】-2
【分析】由二次函数可直接求解．
【详解】解：由二次函数可得：开口向上，有最小值，
∴二次函数的最小值为-2；
故答案为-2．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
21．（2022·江苏南京·统考中考真题）已知二次函数（、为常数，）的最大值为2，写出一组符合条件的和的值： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据最值公式得到，即可得到，据此写出一组符合条件的a和c的值即可．
【详解】解：∵二次函数的最大值为2，
∴，
∴，
故时，，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟知二次函数的最值公式是解题的关键．
22．（2020·广西贺州·统考中考真题）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为 米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为 米．
【答案】10．
【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令y=0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可．
【详解】解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：
由题意可知，点，点，代入，得：
，
解得．
∴，
当时，，
解得，（不符合题意，舍去）．
∴该学生推铅球的成绩为10m．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
23．（2023年上海市中考数学真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案．
【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向上，即，
∵二次函数的顶点在y轴正半轴上，
∴，即，，
∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键．
24．（2023年福建省中考真题数学试题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点在对称轴的右侧，则，解得，
∴
∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵，
∴
∴
解得：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．（2023·辽宁鞍山·校考三模）如图，O为坐标原点，点在y轴的正半轴上，点在函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都是等边三角形，则线段的长是 ．
【答案】
【分析】分别过作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设，，，，则，，，再根据所求正三角形的边长，分别表示的纵坐标，逐步代入抛物线中，求的值，得出规律进行求解即可．
【详解】解：分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、，
设，，，由勾股定理则，
同理，，
∴，，，
把，代入中，得，解得，即，
把，代入中，得，解得，即，
把，代入中，得，解得，即，
…，
依此类推由此可得，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．勾股定理应用，掌握探究规律题的解题方法，关键是根据正三角形的性质用边长表示抛物线上点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．
三、解答题
26．（2021·甘肃兰州·统考中考真题）如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积；
（3）如图2，将线段绕点逆时针旋转90得到线段．
①当点在抛物线上时，求点的坐标；
②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）①或；②或．
【分析】（1）根据点的坐标以及已知条件，将的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的解析式；
（2）依题意根据（1）的解析式求得的坐标，进而求得，据此求得，根据进而求得的坐标，根据即可求得的面积；
（3）①过作轴，分点在轴上方和下方两种情况讨论，证明，设，将点的坐标代入（1）中抛物线解析式中即可求得点的坐标情形2，方法同情形1；
②分当不平行于轴和轴两种情况讨论，当当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，证明进而可得的坐标，当轴时，结合已知条件即可求得的坐标．
【详解】（1）二次函数的图象经过
解得
（2）由，令
解得
当时，
,则
；
（3）如图，当点在轴下方时，过点作于点，
由，令，
解得
，
，
将线段绕点逆时针旋转90得到线段，
，，
设，
点在抛物线上，
解得（舍）
当点在轴上方时，如图，
过点作于点，设
同理可得
点在抛物线上，
解得（舍去），
综上所述，或；
②当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，如图，
平分，，
，
,
，
当不平行于轴时，重合，
，
当轴时，如图，
此时
则
综上所述，当平方时，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，正切的定义，三角形全等的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
27．（2023年浙江省温州市中考数学真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【答案】(1)，球不能射进球门
(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门
【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
28．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
(1)若，求二次函数的表达式；
(2)写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，则时，随的增大而减小；当时，则时，随的增大而减小
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可．
（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线；再根据抛物线的增减性求解即可．
（3）先把代入，得，从而得，再求出，，，从而得，然后m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，得，求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得
，解得：，
∴．
（2）解：∵，在图象上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，则时，随的增大而减小，
当时，则时，随的增大而减小．
（3）解：把代入，得
，
∴
∴
把代入得，，
把代入得，，
把代入得，，
∴，
∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
∴，解得：．
【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质，解不等式组，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键．
29．（2023年山东省烟台市中考数学真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．

(1)求直线及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为
(2)存在，点M的坐标为或 或
(3)
【分析】（1）根据对称轴，，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；
（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴，
将代入直线，得，
解得，
∴直线的解析式为；
将代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在点，
∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．
∴当时，，
∴，
①当时，
设直线的解析式为，将点A坐标代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点M的坐标为；
②当时，
设直线的解析式为，将代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为或 或；
（3）如图，在上取点，使，连接，
∵，
∴，
∵，、
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，
∵，
∴，
∴的最小值为．

【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
30．（2023年山东省东营市中考数学真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】(1)
(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为
(3)4
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；
（3）连接A，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形是平行四边形，则，．求出时，点A的坐标为，则，即可得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，
∴点C的坐标为．
将点C坐标代入表达式，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为
．
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接．

∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P．．
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴P是的中点．
∴．
当时，点A的坐标为，
∴．
∴抛物线平移的距离是4．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质．
31．（2020·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过点和点，

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，线段绕原点逆时针旋转30°得到线段．过点作射线，点是射线上一点(不与点重合)，点关于轴的对称点为点，连接
①请直接写出的形状为__________．
②设的面积为的面积为是，当时，求点的坐标；
（3）如图，在（2）的结论下，过点作，交的延长线于点，线段绕点逆时针旋转，旋转角为得到线段，过点作轴，交射线于点，的角平分线和的角平分线相交于点，当时，请直接写出点的坐标为__________．
【答案】（1）；（2）①等边三角形；②；（3）（6，）
【分析】（1）根据题意代入点B、C坐标，利用待定系数法解析式可解；
（2）①过点D作DH⊥OB于点H ，利用解直角三角形知识，求出，得到，由对称性问题可解；
②在①基础上，分别求出S1、S2面积，求出MN则问题可解；
（3）由旋转的性质可知BE=BF，然后根据（2）中的结论可得点E和点F到x轴距离相等，又由于FK ∥x轴，所以点K到x轴的距离等于点F到x轴的距离，从而确定E、K重合，可得为等边三角形，从而根据题目条件可求点G坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点B（6，0），C（0，-3）
∴
解得
∴抛物线的表达式为．
（2）①等边三角形
如图
过点D作DH⊥OB于点H，
在中，
在中，
∴
由轴对称可知，，
∴为等边三角形
故答案为：等边三角形；
②由①，得
设
在中，
（3）由题意如图，
在（2）的结论下可知△BMN为等边三角形，M（3，）
∵，交的延长线于点，
∴∠MBE=30°，ER=
∵线段绕点逆时针旋转，旋转角为得到线段
∴点F到x轴的距离= ER=
∵FK ∥x轴，
∴点K到x轴的距离等于点F到x轴的距离= ER=
又∵点K、E均在射线BE上
∴K、E两点重合
∴
∴为等边三角形
∴，∠OBG=90°
∵
∴点G坐标为（6，）
故答案为：（6，）
【点睛】本题考查二次函数的综合、待定系数法、旋转的性质、轴对称及等边三角形的性质等知识，综合性较强，利用数形结合思想解题是关键，属于中考压轴题．
32．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于点，顶点为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）平行于轴的直线与抛物线交于两点（点在点的右边），若，求两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点是线段上的动点，经过点的直线与轴交于点，连接，求的面积的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）的坐标是；（3）当时，最小值为，当时，最大值为．
【分析】（1）利用待定系数法把代入即可求解；
（2）设，根据二次函数的对称性和PQ的距离得到二元一次方程组，求解即可；
（3）当直线经过点时，得，当直线经过点时，得，求出临界情况的面积即可．
【详解】（1）把代入，得．
抛物线的解析式为．
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为，
设，依题意，
知，
解得．
把代入抛物线，得，
所以的坐标是．
（3）由（1）知，
当直线经过点时，得，
当直线经过点时，得，
所以的取值范围是：．
设直线的解析式为：，将的坐标代入，
得，所以直线的解析式为：．
设直线交轴于点，则，
．
当时，最小值为，
当时，最大值为．
．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
33．（2022·山东德州·统考中考真题）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少了一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数解析式，
(1)请根据已有信息添加一个适当的条件：___________
(2)当函数值，自变量x的取值范围为：___________
(3)如图1，将函数的图象向右平移4个单位与的图象组成一个新的函数图像，记为L，若点，求m的值．
(4)如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为，在L上是否存在点Q，使得，若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标，不存在，说明理由．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
(3)6
(4)，或，
【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；
（2）求出时，对应的值，再结合图象写出的取值范围即可；
（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为，根据题意可知时，点在抛物线的部分上，再求的值即可；
（4）分两种情况讨论：当点在抛物线的部分上时，设，由，求出点坐标即可；当点在抛物线的部分上时，设，由，求出点坐标即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：（答案不唯一）；
（2），
当时，解得或，
当时，，
故答案为：；
（3），
抛物线向右平移4个单位后的解析式为，
当时，点在抛物线的部分上，
；
（4）存在点，使得，理由如下：
当点在抛物线的部分上时，设，
，
解得或，
，
，
，；
当点在抛物线的部分上时，设，
，
解得或，
，
，
，；
综上所述：点坐标为，或，．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．
34．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．

(1)求抛物线的解析式；
(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；
③抛物线与边分别相交于点，点在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②；③或
【分析】（1）根据题意得出点，,待定系数法求解析式即可求解；
（2）①根据平移的性质得出，根据点的对应点落在抛物线上，可得，进而即可求解；
②根据题意得出，求得中点坐标，根据题意即可求解；
③连接，过点作于点，勾股定理求得，设点的坐标为，则，将代入，求得，求得，进而根据落在抛物线上，将代入，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，点的横坐标为，点的横坐标为，代入抛物线
∴当时，，则，
当时，，则,
将点，,代入抛物线，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）①解：∵轴交抛物线另一点为点，
当时，，
∴，
∵矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上
∴，
整理得
∵
∴
∴；
②如图所示，

∵,
∴,
∵
∴，
由①可得，
∴,的横坐标为，分别代入 ，
∴，
∴
∴的中点坐标为
∵点为线段的中点，
∴
解得：或（大于4，舍去）
③如图所示，连接，过点作于点，

则，∵
∴，
设点的坐标为，则，
将代入，
，
解得：，
当，
∴，
将代入
解得：，
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，矩形的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
35．（2023年安徽中考数学真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
（ⅰ）当时，求与的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（2）
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出，，，继而得出，，当时，根据三角形的面积公式，即可求解．
（ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分和分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为建立方程，解方程进而即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，
解得：，
∴；
（2）（ⅰ）设直线的解析式为，
∵，
∴
解得：，
∴直线，
如图所示，依题意，，，，

∴，
，
∴当时，与的面积之和为，
（ⅱ）当点在对称右侧时，则，
∴，
当时，，
∴，
∴，
解得：，

当时，，
∴，
∴，
解得：（舍去）或（舍去）

综上所述，．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
36．（2023年江西省中考数学真题）综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系

(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，_______．
②S关于t的函数解析式为_______．
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
(3)延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
【答案】(1)①3；②
(2)，
(3)①4；②
【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则；
（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案；
（3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案．
【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，
∴当时，点P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：3；
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
（3）解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时，
∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设是函数上的两点，则，是函数上的两点，
∴，
∴，
∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
∴可以看作，
∴，
故答案为：4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
.
【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
37．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点．

(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
(2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标；
(3)如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长．
【答案】(1)，顶点坐标
(2)点横坐标为或或或
(3)
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设，则，，则，由题意可得方程，求解方程即可；
（3）由题意可知Q点在平行于的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由，求出点，作A点关于的对称点，连接与交于点Q，则，利用对称性和，求出，求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程组，可求点，再求．
【详解】（1）解：将点，代入
∴
解得
∴
∵，
∴顶点坐标；
（2）解：设直线的解析式为，
∴
解得
∴，
设，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
当时， 整理得，
解得，，
当时，整理得，
解得，，
∴点横坐标为或或或；
（3）解：∵，点与点关于轴对称，
∴，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
∵，
∴点在平行于的线段上，设此线段与轴的交点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
作点关于的对称点，连接与交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
同理可求直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴，
∵，
∴.
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
38．（2023年天津市中考数学真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．
(1)若．
①求点和点的坐标；
②当时，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标．
【答案】(1)①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为
(2)
【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标；
②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解；
（2）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：①由，得抛物线的解析式为．
∵，
∴点的坐标为．
当时，．解得．又点在点的左侧，
∴点的坐标为．
②过点作轴于点，与直线相交于点．

∵点，点，
∴．可得中，．
∴中，．
∵抛物线上的点的横坐标为，其中，
∴设点，点．
得．即点．
∴．
中，可得．
∴．又，
得．即．解得(舍)．
∴点的坐标为．
（2）∵点在抛物线上，其中，
∴．得．
∴抛物线的解析式为．
得点，其中．
∵，
∴顶点的坐标为，对称轴为直线．
过点作于点，则，点．
由，得．于是．
∴．
即．解得(舍)．
同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，
则点，点，点．
∵，
∴．
即．解得(舍)．
∴点的坐标为．

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
39．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）综合与探究
如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标；
(3)点D是线段(包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请直接写出点Q的坐标；
(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，的最小值为______．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
(4)，
【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且可得点M的坐标为，利用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）过点P作轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为，设点P的横坐标为，则，，故，先求得，从而得到，解出p的值，从而得出点P的坐标；
（3）由可知，要使点Q，N，C为顶点的三角形与相似，则以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，从而分和两种情况讨论，①当，可推导B与点Q重合，，即此时符合题意，利用求抛物线与x轴交点的方法可求出点Q的坐标；②当时，可推导，即此时符合题意，再证明，从而得到，再设点的横坐标为q，则，，从而得到，解得q的值，从而得到点Q的坐标，最后综合①②即可；
（4）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点，由平移的性质可知，，的值最小就是最小值，作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．
【详解】（1）解：∵点M在y轴负半轴且，
∴
将，代入，得
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：过点P作轴于点F，交线段AC于点E，

设直线的解析式为，
将，代入，得
，解得，
∴直线AC的解析式为
设点P的横坐标为
则，，
∴
∵，∴，解得，
∴
（3），，
补充求解过程如下：
∵在中，，以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，
∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，
又∵轴，直线交直线于点N，
∴，即点N不与点O是对应点．
故分为和两种情况讨论：
①当时，由于轴，
∴轴，即在x轴上，
又∵点Q在抛物线上，
∴此时点B与点Q重合，
作出图形如下：

此时，
又∵
∴，即此时符合题意，
令，
解得：(舍去)
∴点Q的坐标，也即点B的坐标是．
②当时，作图如下：

∵轴，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，即此时符合题意，
∵，
∴，即
∵，，
∴
∴，
设点的横坐标为q，则，，
∴，
∴，
解得：(舍去)，
∴，
∴点Q的坐标是
综上所述：点Q的坐标是，；
（4），，
补充求解过程如下：
设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，
将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下：

由平移的性质可知，，
∴的值最小就是最小值，
显然点在直线上运用，
作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，

∵点C关于直线对称的对称的点是点，
∴，
∴，
设直线的解析式是：
将点，代入得：
解得：
直线的解析式是：
令，解得：，
∴，
∴平移的距离是
又∵，
∴平移前的抛物线的坐标是
∴新抛物线的顶点坐标为即
故答案是：，．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．
40．（2023·浙江温州·校考三模）已知点（-1，y1），（2，y2），（4，y3）都在二次函数y=ax2-2ax+3的图象上，当x=1时，y＜3，则y1，y2，y3的大小比较正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y2＜y3＜y1
【答案】C
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线x=1，根据当x=1时，y＜3，得出抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【详解】解：∵y=ax2-2ax+3，
∴图象的对称轴是直线x=-=1，
∵当x=1时，y＜3，
∴抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而增大，
∴点（-1，y1）关于直线x=1的对称点是（3，y1），
∵2＜3＜4，
∴y2＜y1＜y3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
41．（2023·广东揭阳·统考二模）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案．
【详解】解：对于二次函数，
令，则，
∴抛物线与y轴的交点坐标为
∵，
∴，
∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，
∴可以排除A选项和D选项；
B选项和C选项中，抛物线的对称轴，
∵ ，
∴，
∴抛物线开口向下，可以排除B选项，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．
42．（2023·广东揭阳·统考二模）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为：；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
43．（2023·宁夏银川·校考二模）一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由图可知：，所以，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，排除D，由c＞0，排除A，对称轴＞0，所以，排除B，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数、反比函数的图象及其性质．
44．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（ ）
A．B．该抛物线必过点
C．当时，随增大而增大D．当时，
【答案】D
【分析】将代入解析式可判断A，结合题意，由（1）可知，当时可判断B，结合题意求得抛物线的对称轴即可判断C，结合对称轴利用对称性可得，即当时，可判断D．
【详解】解：（1）将代入解析式得，
故A正确，不符合题意；
（2）结合题意，由（1）可知，当时，
，
，
，
，
抛物线必过点，
故B正确，不符合题意；
（3）结合题意可知，
抛物线的对称轴为：，
当时，随增大而增大，
故当时，随增大而增大，
故C正确，不符合题意；
（4）结合题意由（3）可知，
，
，
当时，
故D错误，符合题意；
综上，故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质；解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
45．（2023·陕西咸阳·统考二模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，右图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图象时，列表如下：
关于此函数下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象开口向下B．当时，该函数有最大值
C．当时，D．若在函数图象上有两点，，则
【答案】D
【分析】先利用待定系数法求二次函数的解析式，再根据二次函数图象与性质对各项进行判断即可．
【详解】解：由题意可知，抛物线的图象经过点、、，
即：，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴抛物线开口向下，故A正确；
∵，
∴当时，该函数有最大值，故B正确；
当时，，故C正确；
∵当，即，解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为：、，
∴，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小，
∴当函数值时，，或，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与性质，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
46．（2023·河南周口·统考二模）抛物线y=x2﹣2x+3的对称轴是直线 ．
【答案】x=1
【分析】把解析式化为顶点式可求得答案．
【详解】解：∵y=x2-2x+3=（x-1）2+2，
∴对称轴是直线x=1，
故答案为x=1．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
47．（2023·江苏无锡·校考二模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．当时，y随x增大而增大
C．当时，x的取值范围是D．方程的根为0和2
【答案】D
【分析】根据表格确定对称轴的位置，进而求出的值，画出二次函数的图象，利用数形结合的思想，进行判断即可．
【详解】解：由表格可知：和的函数值相同，均为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴和的函数值相等，即：，
根据五点作图法，得到二次函数的图象如下：
由图可知：
抛物线开口向上， 时，随值的增大而减小，时，随值的增大而增大，
当时，x的取值范围是或，
抛物线与轴交于，
∴方程的根为0和2；
综上：选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键．
48．（2023·湖南郴州·校考三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，抛物线的顶点为点P，当为直角三角形时，m的值为 ．
【答案】2
【分析】设点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=｜x2-x1｜，求出点P（m，-（m-1）2），由抛物线的对称性知△ABP为等腰直角三角形，建立方程｜x2-x1｜=2（m-1）2，根据根与系数关系可求得m值．
【详解】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=｜x2-x1｜，
令y=0得，
∴x1+x2=2m，x1·x2=2m-1，则｜x2-x1｜2=4m2-8m+4=4（m-1）2，
由抛物线=（x-m）2－（m-1）2得顶点坐标为P（m，-（m-1）2），
抛物线的对称性知△ABP为等腰直角三角形，
∴｜x2-x1｜=2（m-1）2，
即4（m-1）2=4（m-1）4，
解得：m=2或m=0或m=1，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，
∴2m＞0且m≠1且2m-1＞0，即m＞且m≠1，
∴m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、根与系数的关系、解高次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
49．（2023·黑龙江绥化·统考三模）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①③④
【分析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相减，整理得，通过判断，的符号判断③；将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④．
【详解】解：抛物线过，两点，且，
，
，
，即，
抛物线开口向下，，
，故①正确；
若，则，
，
，故②不正确；
抛物线，点，在抛物线上，
∴，，把两个等式相减，整理得，
，，，
，
，
，故③正确；
依题意，将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，
，
，，
，，
， 故④正确．
综上所述，①③④正确．
故答案为；①③④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
50．（2023·辽宁鞍山·校考三模）如图，O为坐标原点，点在y轴的正半轴上，点在函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都是等边三角形，则线段的长是 ．
【答案】
【分析】分别过作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设，，，，则，，，再根据所求正三角形的边长，分别表示的纵坐标，逐步代入抛物线中，求的值，得出规律进行求解即可．
【详解】解：分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、，
设，，，由勾股定理则，
同理，，
∴，，，
把，代入中，得，解得，即，
把，代入中，得，解得，即，
把，代入中，得，解得，即，
…，
依此类推由此可得，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．勾股定理应用，掌握探究规律题的解题方法，关键是根据正三角形的性质用边长表示抛物线上点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．
51．（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）已知抛物线经过，两点，与轴相交于点，该抛物线的顶点为点，对称轴与相交于点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式及点的坐标；
(2)连接，，证明：；
(3)点是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点到直线的距离为时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由，两点坐标利用待定系数法进行求解即可；
（2）根据三条边对应成比例可得：，即可求证；
（3）建立三角形与点的坐标的关系即可求解．
【详解】（1）解：将，代入得：
，
解得：
故抛物线的解析式为：
故顶点
（2）解：根据题意作图：

令，则
故
设直线的解析式为：
则，
解得：
所以直线的解析式为：
由（1）得：
故点
∴
（3）解：过点作轴交于点，如图所示：

由题意得：
设点
则点
∴
，解得：
∴
【点睛】本题考查了二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数与面积问题等知识点．需要学生要有较强的综合知识．
52．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，顶点P在抛物线上，如果面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
(3)如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在延长线上，，连接并延长到点D，使．交x轴于点E，与均为锐角，，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)（2，），（，）或（，）
(3)（－4，）
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）先根据题意判断出三角形BCP面积为平行四边形BCPQ面积的一半，得出当P在直线BC下方的抛物线上时，面积取最大值时满足题意，求出最大面积后得到直线BC下方的P点坐标，再根据△BCP的面积求出BC上方P点坐标即可；
（3）过点N作NH⊥x轴，过D作DP⊥x轴，过M作MQ⊥x轴，根据平行线性质求出MQ=PD，证明△MEQ≌△DEP，得PQ=2PE，设OP=x，用x表示出PB，PE的长度，再根据得出PB=2PE，代入求出x值，进而求得Q点坐标及M点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
即抛物线解析式为．
（2）解：由题意知，三角形BCP面积为平行四边形BCPQ面积的一半，
设直线BC下方抛物线上有一点P，过P作平行于BC的直线l，作直线l关于BC对称的直线MN，由图知，直线MN与抛物线必有两个交点，根据平行线间距离处处相等知，当三角形BCP面积取最大值时即直线l与抛物线只有一个交点时，符合题意的P点只有三个，
由B（4,0），C（0，-4）知直线BC解析式为：y=x-4，
过P作PH⊥x轴于H，交BC于E，
则S△BCP=S△PCE+S△PBE
=
=2PE，
设P（m，），则E（m，m-4），
∴S△BCP=
=，
∴当m=2时，△BCP面积取最大值，最大值为，
此时，直线BC下方抛物线上的P点坐标为（2，），
同理，设直线BC上方抛物线上P点横坐标为n，则：
，
解得：n=或n=，
即P（，）或（，），
综上所述，满足题意的P点坐标为（2，），（，）或（，）．
（3）解：过点N作NH⊥x轴，过D作DP⊥x轴，过M作MQ⊥x轴，垂足分别为H、P、Q，如图所示，
则NH∥PD∥MQ，
∴，，
∴PD=2HN，QM=2HN，
即PD=QM，
∵∠MEQ=∠PED，
∴△MEQ≌△DEP，
∴QE=PE，
设OP=x，则BP=4-x，PH=BH=，
∴OH=OP+PH=x+=，OQ=2OH=4+x，PQ=4+2x，PE=2+x，
∵，
∴，
即PB=2PE，
∴4-x=2（2+x），
解得：x=0，
即P点为坐标原点，D在y轴上，
∴OQ=4，即Q（－4,0），
∴M（－4, ）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与三角形面积最值问题、平行线分线段成比例性质、全等三角形证明等知识点，解题关键是利用平行线分线段成比例定理找出各线段间的关系．
53．（2023·河南周口·统考二模）如图所示的是一座古桥，桥拱为抛物线型，，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点P离水面，在水面以上的桥墩，都为．以所在的直线为x轴、所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求此桥拱所在抛物线的表达式．
(2)当水位上涨时，若有一艘船在水面以上部分高，宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
【答案】(1)
(2)此船不能通过桥洞，理由见解析
【分析】（1）先求出点A，点B，点P的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可；
（2）求出当时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，点A的坐标为，点B的坐标为，则点P的坐标为，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：此船不能通过桥洞，理由如下：
当时，即，
解得或，
∵，
∴此船不能通过桥洞．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出抛物线解析式是解题的关键．
54．（2023·浙江·一模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
(2)若该函数的图象与轴有且只有一个交点，求，的值．
(3)记（2）中的抛物线为，将抛物线向上平移个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为，求的值．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）根据二次函数的性质及对称轴即可解答；
（2）根据二次函数与轴的交点个数及二次函数的性质即可解答；
（3）根据二次函数的平移规律及二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等，
∴二次函数的对称轴为，，
∵该函数的最大值为，
∴该函数的顶点坐标为，
∴，
∴由①②可得：，
∴函数表达式为：；
（2）解：∵该函数的图象与轴有且只有一个交点，
∴一元二次方程，该函数的顶点坐标为，
∴，，
∴由①②可得（舍去），，
∴，；
（3）解：由（2）可得的解析式为：，
∵将抛物线向上平移个单位得到抛物线，
∴，
∴当时，，
∵的顶点坐标为，且当时，抛物线的最大值与最小值之差为，
∴，随的增大而增大，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
55．（2023·河南周口·统考二模）如图，某市民政局欲给敬老院修建一个半径为米的圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点处安一个喷水头，测得喷水头距地面的高度为，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．

(1)求抛物线的表达式；
(2)请你通过计算说明喷出的水柱是否会落到圆形喷水池的外面．
【答案】(1)
(2)喷出的水柱不会落到圆形喷水池的外面，见解析
【分析】（1）由顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将代入，求出即可．
（2）当时，求出的值，与半径米进行比较即可得到结果．
【详解】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
则，，
抛物线的表达式为，
将代入上式得，，
解得，，
抛物线的表达式为．
（2）当时，，
解得，，舍去，
，
喷出的水柱不会落到圆形喷水池的外面．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
56．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，二次函数的图像经过点，顶点坐标为．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当时，的取值范围为_______；
(3)直接写出该二次函数的图像经过怎样的平移恰好过点，且与轴只有一个公共点．
【答案】(1)
(2)
(3)该二次函数的图象向下平移3个单位长度或向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度恰好经过点，且与轴只有一个公共点
【分析】（1）由题意设二次函数的顶点式，代入进行计算即可得到答案；
（2）由函数表达式可知：二次函数的图象有最高点，对称轴是直线，从而可得此时的取值范围；
（3）该二次函数的图象平移后的顶点在轴上，设它的表达式为，再把点代入，求出的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：二次函数的图像经过点，顶点坐标为，
设这个二次函数的表达式为：，
把代入得：
，
解得：，
这个二次函数的表达式为：；
（2）解：，二次函数的表达式为，
二次函数的图象有最高点，对称轴是直线，
当时，，
当时，，
的取值范围为：，
故答案为：；
（3）解：该二次函数的图象经过平移后，与轴只有一个公共点，
该二次函数的图形平移后的顶点在轴上，设它的表达式为，
该二次函数的图像经过怎样的平移恰好过点，
，
解得：，
即该函数的图象平移后的表达式为：或，
该二次函数的图象向下平移3个单位长度或向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度恰好经过点，且与轴只有一个公共点．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的函数值的取值范围、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与特征是解题的关键．
57．（2023·广东东莞·统考三模）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点且与x轴交于点C，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A、点C．
（1）求一次函数和二次函数的函数表达式；
（2）连接OA，求∠OAB的正弦值；
（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x﹣4，y＝﹣2x2+7x+4；（2）；（3）存在，（6，0）或（20，0）
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后根据与x轴的交点y=0，求出C的坐标，然后根据A与C的坐标求出二次函数的解析式即可；
（2）过O作OH⊥BC，垂足为H，证明△BOC为等腰直角三角形，求出OH＝BC＝2，然后求出OA，即可求出∠OAB的正弦值；
（3）利用勾股定理求出AH，再求出AB＝，然后分情况求出D点的坐标即可.
【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点，
∴﹣5＝﹣k+b，b＝﹣4，k＝1，
∴一次函数解析式为：y＝x﹣4，
∵一次函数y＝x﹣4与x轴交于点C，
∴y＝0时，x＝4，
∴C（4，0），
∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A（﹣1，﹣5）、点C（4，0），
∴，
解得a＝﹣2，b＝7，
∴二次函数的函数表达式为y＝﹣2x2+7x+4；
（2）过O作OH⊥BC，垂足为H，

∵C（4，0），B（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，即△BOC为等腰直角三角形，
∴BC＝＝＝4，
∴OH＝BC＝2，
由点O（0，0），A（﹣1，﹣5），得：OA＝，
在Rt△OAH中，sin∠OAB＝＝＝；
（3）存在，
由（2）可知，△OBC为等腰直角三角形，OH＝BH＝2，
在Rt△AOH中，根据勾股定理得：AH＝＝＝3，
∴AB＝AH﹣BH＝，
∴当点D在C点右侧时，∠OBA＝∠DCB＝135°，
①当，即时，解得CD＝2，
∵C（4，0），即OC＝4，
∴OD＝OC+CD＝2+4＝6，
此时D坐标为（6，0）；
②当，即时，
解得CD＝16，
∵C（4，0），即OC＝4，∴OD＝OC+CD＝16+4＝20，
此时D坐标为（20，0），
综上所述，若△BCD与△ABO相似，此时D坐标为（6，0）或（20，0）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，涉及了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定，综合性较强，熟练掌握各知识点并学会综合应用是解题的关键.
58.（2023·广东韶关·统考模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知．
(1)求抛物线和直线的函数解析式；
(2)若点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，求四边形的最大面积；
(3)在抛物线的对称轴上找一点，使得以为顶点的三角形与相似，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)抛物线的函数解析式为，直线的函数解析式为
(2)
(3)点P的坐标为或，，
【分析】（1）把点代入抛物线，求解出m，n的值，即可得到抛物线的函数解析式；设直线的函数解析式为，把点代入，求出k，b的值，即可得到直线的函数解析式；
（2）设点E的横坐标为m（），则，，，所以；因为点D的坐标为，所以，，，因此
，当时，四边形的面积有最大值，为；
（3）由于，且为顶点的三角形与相似，所以分两种情况讨论：①或②．把，，的长代入，即可求得的长，从而得到点P的坐标．
【详解】（1）∵抛物线过点
，解得
∴抛物线的函数解析式为
设直线的函数解析式为
∵直线过
，解得
∴直线的函数解析式为．
（2）
设点E的横坐标为m（）
∵轴，点E在直线上，点F在抛物线上
∴，
，
∵抛物线的对称轴为
∴点D的坐标为
∵
，
∴当时，四边形的面积有最大值，为．
（3）
∵，为顶点的三角形与相似
∴分两种情况讨论：①或②
①若，则
∴
∴点P的坐标为或
②若，则
∴
∴点P的坐标为或
综上所述，点P的坐标为或，，．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，相似三角形的性质，由点的坐标得到线段的长，进而表示出四边形的面积，再利用函数的最值是解题的常用方法．
59．（2023·江苏无锡·校考二模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．当时，y随x增大而增大
C．当时，x的取值范围是D．方程的根为0和2
【答案】D
【分析】根据表格确定对称轴的位置，进而求出的值，画出二次函数的图象，利用数形结合的思想，进行判断即可．
【详解】解：由表格可知：和的函数值相同，均为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴和的函数值相等，即：，
根据五点作图法，得到二次函数的图象如下：
由图可知：
抛物线开口向上， 时，随值的增大而减小，时，随值的增大而增大，
当时，x的取值范围是或，
抛物线与轴交于，
∴方程的根为0和2；
综上：选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键．
60.（2023·江苏无锡·统考三模）如图，抛物线与x轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上一点，点C是线段上一点，连接并延长交抛物线于点D，若，求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标：若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式中，求出b即可；
（2）求出点B的坐标，求出直线的解析式，过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F；设点C的坐标后，则由相似三角形的性质，可表示出点D的坐标，由点D在抛物线上，则可求得点D的坐标；
（3）存在；由定边定角知，作的外接圆，连接，过M作轴于N，则可得是等腰直角三角形，垂直平分，从而可求得M的坐标及圆的半径；设点P的坐标，由建立方程，即可求得点P的坐标．
【详解】（1）解：把点A的坐标代入函数解析式中，，
解得：，
故所求的解析式为；
（2）解：∵点B在抛物线，
∴，
即；
设直线解析式为为，
则有，
解得：，
∴直线解析式为为；
过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，如图，
设，则；
∵，
∴，
∴，
则，
∴；
∵点D在抛物线上，
∴，
解得：，
则点D的坐标为；
（3）解：存在；
如图，作的外接圆，连接，过M作轴于N，
∴，
∴是等腰直角三角形，垂直平分，
∴，
∴M的坐标为，的半径；
设点P的坐标为，
则，
即，
由于，
∴方程整理得：，
解得：，
点P的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，运用了方程思想，综合运用这些知识是解题的关键．
…
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1
2
3
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1
1
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已知二次函数的图象经过点，，．
求该二次函数的解析式．
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