2023-2024学年陕西省西安市高新一中高一（上）月考数学试卷（1月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市高新一中高一（上）月考数学试卷（1月份）(含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|2x<1}，B={x|4−x2≥0}，则A∪B=( )
A. [−2,0)B. [−2,2]C. (−∞,2]D. [−2,+∞)
2.下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是( )
A. y=sin(x+π2)B. y=sin(π+2x)C. y=cs2xD. y=tanx
3.函数f(x)=lnx−2x的零点所在的大致范围是( )
A. (1e,1)B. (e,+∞)C. (1,2)D. (2,3)
4.已知角α的终边经过点P(3,1)，则sin(32π−α)的值等于( )
A. −3 1010B. 3 1010C. − 1010D. 1010
5.设a=lg0.30.2，b=sin5π3，c=0.30.2，则( )
A. a>c>bB. c>a>bC. a>b>cD. c>b>a
6.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的≈1481倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的3倍，大约经过天.(参考数据：lg101≈2.0，lg99≈1.99，lg3≈0.4)( )
A. 20B. 30C. 40D. 50
7.若函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间[0,π6]上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. (0,1)B. (12,1]C. (0,1]D. [1,+∞)
8.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=sinπ2x，则函数g(x)=f(x)−1x−4在区间[−2,10]上所有零点之和为( )
A. 16B. 32C. 36D. 48
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. “α=π6”是“sinα=12”的必要不充分条件
B. 三角形的内角必是第一或第二象限角
C. 若tanα<0且sinα>0，则α为第二象限角
D. 若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2
10.已知函数f(x)=2cs(2x+π6)，则( )
A. 函数f(x)的最小正周期为πB. f(x)的图象关于直线x=5π12对称
C. f(x)的图象关于点(π3,0)对称D. f(x)在区间(0,π)上有两个零点
11.下列命题不正确的是( )
A. 函数f(x)=|x|与函数g(x)=( x)2是同一个函数
B. 关于x的方程x+lg5x=4与x+5x=4的根分别为m，n，则m+n=4
C. 函数y=(12)−x2+1的最小值为12
D. 已知函数y=lga(2−ax)(a>0且a≠1)在(0,1)上是减函数，则实数a的取值范围是(1,2)
12.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|的叙述正确的是( )
A. f(x)是偶函数B. f(x)在区间(π2,π)单调递减
C. f(x)在[−π,π]有4个零点D. 2π是f(x)的一个周期
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=2ln1x,x>1(1e)csπx,x≤1，则f(f(−1))= ______．
14.已知sinα=2csα，则3sin2α+4sinαcsα= ______．
15.定义域和值域均为[−a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)图象如图所示，则方程f[g(x)]=0有______个解．
16.已知f(x)是定义在R上的函数且f(x+1)图象关于点(−1,0)对称，f(x+1)是偶函数，若当x∈[0,1]时，f(x)=lg2(x+a)，则f(2023)= ______．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
(1)化简f(α)=sin(π−α)cs(3π2−α)tan(−π−α)cs(−π2−α)tan(2π+α)；
(2)已知关于x的方程2x2−bx+14=0的两根为sinθ和csθ，θ∈(π4,π2).求实数b以及sinθ−csθ的值．
18.(本小题12分)
已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足：∀x∈R，2xf(x)+g(x)=x2+4x−1．
(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式．
(2)若f(a2x+ax−t)+f(4−tax)≥0(a>0,a≠1)，对∀x∈R恒成立，求实数t的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lgx−3x−1x−1．
(1)求f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(21)+f(121)的值；
(2)设函数g(x)=f(x)+2，证明：g(x)在(1,+∞)上有唯一零点．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(wx+φ)(w>0,0<φ<π)，相邻两条对称轴的距离为π2．
(1)当φ=π4时，求函数y=f(x)的最大值，并求出取得最大值时所有x的值；
(2)若f(x)为偶函数，设g(x)=f(x+π12)，求g(x)的单调递增区间；
(3)若f(x)过点(π6,1)，设h(x)=cs2x+2asinx，若对任意的x1∈[−π2,π2],x2∈[0,π2]，都有h(x1)答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由2x<1，得2x<20，解得x<0，
所以A={x|x<0}，
由4−x2≥0，得(2−x)(2+x)≥0，解得−2≤x≤2，
所以B={x|−2≤x≤2}，
所以A∪B={x|x≤2}．
故选：C．
利用指数函数的性质求出集合A，解一元二次不等式求出集合B，再求两集合的并集．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对于A，函数y=sin(x+π2)=csx的最小正周期为T=2πω=2π1=2π，不符题意；
对于B，函数y=sin(π+2x)=−sin2x是奇函数，不符题意；
对于C，函数y=cs2x是偶函数，且最小正周期为T=2πω=2π2=π，符合题意；
对于D，函数y=tanx是奇函数，不符题意．
故选：C．
由三角函数的奇偶性、周期性逐一判断即可．
本题主要考查了三角函数的奇偶性、周期性，考查了函数思想，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵y=lnx在(0,+∞)上单调递增，y=−2x在(0,+∞)上单调递增，
∴函数f(x)=lnx−2x在(0,+∞)上单调递增，
又f(2)=ln2−1<0，f(e)=1−1e>0，f(3)=ln3−23>0，
∴函数f(x)=lnx−2x的零点所在的大致范围是(2,3)，
故选：D．
由题意得函数f(x)=lnx−2x在(0,+∞)上单调递增，根据函数零点的判定定理，即可得出答案．
本题考查函数零点的判定定理，考查转化思想，考查运算能力和逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为角α的终边经过点P(3,1)，
所以csα=3 32+12=3 1010，
sin(32π−α)=−csα=−3 1010．
故选：A．
根据三角函数定义得到csα=3 1010，再利用诱导公式求出sin(32π−α)的值．
本题考查三角函数定义、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为对数函数y=lg0.3x在(0,+∞)上为减函数，
所以a=lg0.30.2>；
因为指数函数y=0.3x在R上为减函数，所以0因为5π3是第四象限角，所以b=sin5π3<0；
综上：a>c>b．
故选：A．
利用对数函数，指数函数的单调性和三角函数的符号进行判断．
本题考查利用中间值法比较大小，属基础题．
6.【答案】C
【解析】解：设经过x天“进步”的值是“退步”的值的3倍，
则()x=3，
∴x=−lg99≈0.42.0−1.99=40，
故大约经过40天．
故选：C．
根据指数与对数的互化及对数的运算，即可求解．
本题考查函数的实际应用，对数的运算，属基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由于函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间[0,π6]上单调递增，而ωx+π3∈[π3,ωπ6+π3]，
故有ω>0，且ωπ6+π3≤π2，求得0<ω≤1，
则ω的取值范围是(0,1]．
故选：C．
由题意，根据正弦函数的单调性可得ω>0，且ωπ6+π3≤π2，由此求得ω的取值范围．
本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：依题意函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，
又f(1+x)=f(1−x)，所以函数f(x)关于x=1轴对称，且f(x)=f(2−x)，
所以−f(−x)=f(2−x)，即f(x)=−f(2+x)，
所以f(4+x)=−f(2+x)=f(x)，
所以函数f(x)是周期为4的周期函数，
且函数f(x)的图象关于(4,0)中心对称；
令g(x)=f(x)−1x−4=0，得f(x)=1x−4，
由反比例函数性质知，函数y=1x−4的图象关于(4,0)中心对称，
又当x∈[0,1]时，f(x)=sinπ2x，
结合对称性和周期性作出函数y=f(x)和y=1x−4的图象，如图所示．
由图可知，函数y=f(x)和y=1x−4的图象有8个交点，且交点关于(4,0)中心对称，
所以函数g(x)=f(x)−1x−4在区间[−2,10]上所有零点之和为8×4=32．
故选：B．
根据函数f(x)为奇函数及f(1+x)=f(1−x)推理可得出函数f(x)的周期、对称中心，根据零点定义转化为方程f(x)=1x−4解的关系，结合图象以及对称性即可求解．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想，属中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：对于选项A，α=π6⇒sinα=sinπ6=12，充分性成立，
但当sinα=12时，α=π6+2kπ,k∈Z或者α=5π6+2kπ,k∈Z，α不一定等于π6，必要性不成立，
所以“α=π6”是“sinα=12”的充分不必要条件，故A错误；
对于选项B，π2不属于第一或第二象限角，而三角形的内角范围为(0,π)，而π2∈(0,π)，故B错误；
对于选项C，当tanα<0且sinα>0，则α为第二象限角，故C正确；
对于选项D，由扇形的弧长公式l=|α|r，因为α=π3，l=π，所以r=3，
由扇形的面积公式S=12lr，得S=12×3π=32π，故D正确．
故选：CD．
通过充分性必要性两方面验证判断A，通过象限角定义判断B，通过tanα<0且sinα>0确定α的象限判断C，利用扇形弧长公式和面积公式，求出扇形面积判断D．
本题考查充分条件与必要条件的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：f(x)=2cs(2x+π6)，
对于A，T=2π2=π，故A正确；
对于B，f(5π12)=2cs(2×5π12+π6)=−2，故B正确；
对于C，f(π3)=2cs(2×π3+π6)≠0，故C错误；
对于D，当x∈(0,π)时，2x+π6∈(π6,13π6)，
函数y=2csx在(π6,13π6)上有两个零点，故f(x)在区间(0,π)上有两个零点，故D正确．
故选：ABD．
对于A，利用周期公式判断；对于B，通过计算f(5π12)判断；对于C，通过计算f(π3)判断；对于D，将2x+π6看成一个整体，通过函数y=2csx的性质来判断．
本题考查三角函数的性质，是基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：A.f(x)=|x|与g(x)=( x)2的定义域不同，不是同一函数，故A错误；
B.由题意m+lg5m=4n+5n=4，则lg5m=4−m5n=4−n，
所以m，n分别是y=lg5x、y=5x与y=4−x的交点横坐标，
而y=lg5x、y=5x互为反函数，关于y=x对称，y=4−x与y=x垂直，图象如下图．
由图象可知m=4−n⇒m+n=4，故B正确；
C.由t=−x2+1在x∈(−∞,0)上递增，在x∈(0,+∞)上递减，而y=(12)t上递减，
所以y=(12)−x2+1在x∈(−∞,0)上递减，在x∈(0,+∞)上递增，
故函数有最小值为y=(12)0+1=12，故C错误；
D.由题设h=2−ax为减函数，要使y=lga(2−ax)在(0,1)上是减函数，
则y=lgah在定义域上为增函数，且2−a≥0，即1故选：AD．
A.由同一函数对应法则、定义域相同判断；B.将问题化为m，n分别是y=lg5x、y=5x与y=4−x的交点横坐标，结合指数和对数函数的关系及对称性判断；C.根据指数型复合函数的单调性求最值判断；D.由对数复合函数的区间单调性列不等式求范围即可．
本题考查了同一函数的判断，函数的单调性与最值，考查了数形结合思想，属中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：A.因为f(x)=sin|x|+|sinx|的定义域为R，
又f(−x)=sin|−x|+|sin(−x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确；
B.当x∈(π2,π)时，f(x)=sin|x|+|sinx|=2sinx，f(x)在(π2,π)单调递减，故B正确；
C.当x∈[0,π]时，令f(x)=sin|x|+|sinx|=2sinx=0，得x=0或x=π，又f(x)在[−π,π]上为偶函数，
所以f(x)=0在[−π,π]上的根为−π，0，π，有3个零点，故C错误；
D.f(x+2π)=sin|x+2π|+|sin(x+2π)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，则2π是f(x)的一个周期，故D正确．
故选：ABD．
根据三角函数f(x)的奇偶性、单调性、零点、周期性对选项进行分析，由此确定正确选项．
本题主要考查三角函数的性质，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：根据题意，因为f(x)=2ln1x,x>1(1e)csπx,x≤1
所以f(−1)=(1e)cs(−π)=(1e)−1=e，
所以f(f(−1))=f(e)=2ln1e=−2．
故答案为：−2．
根据题意，根据分段函数的解析式可先求得f(−1)，继而可求得f(f(−1))的值．
本题考查函数值的计算，注意分段函数的解析式，属于基础题．
14.【答案】4
【解析】解：因为sinα=2csα，则tanα=2，
原式=3sin2α+4sinαcsαsin2α+cs2α=3tan2α+4tanαtan2α+1=3×4+4×24+1=4．
故答案为：4．
首先求tanα，再将所求转化为齐次分式形式，并用tanα表示，即可求解．
本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
15.【答案】3
【解析】解：令t=g(x)，则t∈[−a,a]，
由函数y=f(x)的图象可得：
方程f(t)=0有3个解t1，t2，t3，其中−a由函数y=g(x)的图象可知：
函数y=g(x)在[−a,a]上单调递减，又y=g(x)值域为[−a,a]，
所以对于每一个t1，t2，t3，都存在唯一的x与之对应．
所以方程f[g(x)]=0有3个解．
故答案为：3．
先利用换元法将方程f[g(x)]=0根的问题转化方程f(t)=0及t=g(x)根的问题，由图象可得方程f(t)=0在[−a,a]上有三个实数解，结合函数y=g(x)的单调性及值域即可求解．
本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属中档题．
16.【答案】−1
【解析】解：因为函数f(x+1)的图象关于点(−1,0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，
所以f(x)是定义在R上的奇函数，f(−x)=−f(x)，
又因为函数f(x+1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称，f(x)=f(2−x)，
所以f(x+4)=f(−x−2)=−f(x+2)=−f(−x)=f(x)，
即函数f(x)是一个周期为4的周期函数，
因为x∈[0,1]时，f(x)=lg2(x+a)，所以f(0)=lg2a=0，a=1，
f(2023)=f(−1+506×4)=f(−1)=−f(1)=−lg2(1+1)=−1．
故答案为：−1．
由函数f(x+1)的对称性和奇偶性，得函数f(x)的奇偶性和周期性，再结合函数在x∈[0,1]时的解析式，求得f(2023)的值．
本题主要考查函数性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)f(α)=sin(π−α)cs(3π2−α)tan(−π−α)cs(−π2−α)tan(2π+α)
=sinα⋅(−sinα)⋅(−tanα)−sinα⋅tanα=−sinα，
即f(α)=−sinα．
(2)因为关于x的方程2x2−bx+14=0的两根为sinθ和csθ，
所以sinθ+csθ=b2，sinθcsθ=18，
所以(sinθ+csθ)2=1+2sinθcsθ=b24=54，所以b=± 5，
因为θ∈(π4,π2)，所以sinθ>0，csθ>0且sinθ>csθ，所以b= 5，
所以sinθ−csθ= (sinθ−csθ)2= 1−2sinθcsθ= 1−2×18= 32．
【解析】(1)利用诱导公式化简即可；
(2)利用韦达定理得到sinθ+csθ=b2，sinθcsθ=18，再将sinθ+csθ=b2两边平方即可求出b，最后由sinθ−csθ= (sinθ−csθ)2求出sinθ−csθ．
本题主要考查运用诱导公式化简求值，同角三角函数的基本关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)用−x替换条件等式中的x得g(−x)+2−x⋅f(−x)=(−x)2+4−x−1，
因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，所以g(x)−2−x⋅f(x)=x2+4−x−1，
与g(x)+2x⋅f(x)=x2+4x−1联立可得：f(x)=2x−12x,g(x)=x2；
(2)因为y=2x在R上单调递增，
则y=12x在R上单调递减，y=−12x在R上单调递增，
所以f(x)=2x−12x在R上单调递增，且f(x)为奇函数，
所以f(a2x+ax−t)+f(4−tax)≥0(a>0,a≠1)，
即f(a2x+ax−t)≥−f(4−tax)(a>0,a≠1)，
即f(a2x+ax−t)≥f(−4+tax)(a>0,a≠1)，
即a2x+ax−t≥−4+tax(a>0,a≠1)，
即a2x+ax−t+4−tax≥0在R恒成立，
令ax=s，则s>0，即s2+s−t+4−ts≥0，
整理得t≤s2+s+4s+1=s+1+4s+1−1≥2 (s+1)×4s+1−1=3，
当且仅当s+1=4s+1，即s=1，即x=0时，等号成立，所以t∈(−∞,3]．
【解析】(1)用−x替换条件等式中的x，再根据函数的奇偶性即可得出解析式；
(2)根据f(x)的单调性和奇偶性得出关于实数t的不等式，再由基本不等式得出答案．
本题考查了函数的恒成立问题，属于难题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)+f(1x)=lgx+1−3xx−1+lg1x+1−3x1x−1=lgx+1−3xx−1−lgx+x−31−x=4(1−x)x−1=−4，
所以f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(21)+f(121)=−4×20=−80．
(2)证明：g(x)=f(x)+2=lgx−1−2x−1，
因为函数y=lgx在(1,+∞)上单调递增，
函数y=−2x−1在(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)在(1,+∞)上单调递增，
又因为g(10)=1−1−210−1=−29<0，
g(100)=1−299>0，
所以g(10)⋅g(100)<0，
所以∃x0∈(10,100)，g(x0)=0，即g(x)在(1,+∞)上有且仅有一个零点．
【解析】(1)先计算得出f(x)+f(1x)=−4，再分组求和得出函数值即可；
(2)先判断函数的单调性，再结合零点存在定理即可得证．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题设T2=πw=π2⇒w=2，又φ=π4，则f(x)=sin(2x+π4)，
当2x+π4=2kπ+π2,k∈Z，即x=kπ+π8,k∈Z时，f(x)max=1，
此时x=kπ+π8,k∈Z；
(2)由(1)知f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)为偶函数，所以φ=π2，
所以f(x)=cs2x，则g(x)=f(x+π12)=cs(2x+π6)，
所以2kπ−π≤2x+π6≤2kπ，k∈Z，即kπ−7π12≤x≤kπ−π12，k∈Z，
所以g(x)单调递增区间为[kπ−7π12,kπ−π12]k∈Z；
(3)因为f(x)过点(π6,1)，所以sin(π3+φ)=1,(0<φ<π)，可得φ=π6，
所以f(x)=sin(2x+π6)，又x2∈[0,π2]，所以2x2+π6∈[π6,7π6]，
所以f(x2)=sin(2x2+π6)∈[−12,1]，
对任意的x1∈[−π2,π2],x2∈[0,π2]，都有h(x1)所以h(x1)maxh(x)=cs2x+2asinx=−sin2x+2asinx+1=a2+1−(sinx−a)2
由x1∈[−π2,π2]，设t=sinx1∈[−1,1]，
则有g(t)=a2+1−(t−a)2图象是开口向下，对称轴为t=a的抛物线，
当a≥1时g(t)在t∈[−1,1]上单调递增，g(t)max=g(1)=2a，即2a<52，解得a<54，
所以1≤a<54；
当a≤−1时g(t)在t∈[−1,1]上单调递减，g(t)max=g(−1)=−2a，即−2a<−52，解得a>−54
所以−54当−1所以−1综上所述：−54所以实数a的取值范围为(−54,54)．
【解析】(1)由πw=π2得w=2，进而写出f(x)解析式，根据正弦型函数性质求最值及对应x值；
(2)由题意得f(x)=cs2x，进而确定g(x)解析式，应用余弦型函数的单调性求递增区间；
(3)由题设有h(x1)max<52，设t=sinx1∈[−1,1]，结合二次函数性质、分类讨论研究g(t)=a2+1−(t−a)2的最值，即可求参数范围．
本题主要考查了正弦函数最值的求解及单调性区间的应用，还考查了换元法及二次函数性质在函数最值求解中的应用，属于中档题．