2023-2024学年江苏省苏州市高新一中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市高新一中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(1,−3,−2),b=(3,2,−5)，则下列结论正确的是( )
A. a//bB. a⊥b
C. a−b=(−2,−5,−3)D. |a|= 14
2.抛物线x2=16y的焦点到点(2,5)的距离为( )
A. 2B. 5C. 7D. 4
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2=2，且a2，a3，a4−2成等差数列，则S4=( )
A. 7B. 12C. 15D. 31
4.设a∈R，则“a=1”是“直线(a+1)x+ay+3=0与直线2ax+y−5=0平行”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c.点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则MN等于( )
A. 12a−23b+12c
B. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−12c
D. 23a+23b−12c
6.折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承.现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为( )
A. 2−18B. 2− 28C. 28D. 18
7.已知F为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若|MN|等于|PF|的最小值的3倍，则C的离心率为( )
A. 13B. 12C. 33D. 32
8.已知过点A(−3,0)的直线与抛物线C：y2=12x相交于M，N两点，F为抛物线C的焦点，若|MF|=2|NF|，则|MF|=( )
A. 92B. 9C. 8D. 16
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线l：mx+y−2m=0，下列说法正确的是( )
A. l的斜率一定存在B. l恒过定点(2,0)
C. m= 3时，l的倾斜角为60°D. m=−2时，l不经过第二象限
10.等差数列{an}中，a1=1，公差d∈[1,2]，且a3+λa9+a15=15，则实数λ的可能取值为( )
A. −13B. −1917C. −32D. −2
11.已知点P在圆O：x2+y2=4上，点A(3,0)，B(0,4)，则( )
A. 满足AP⊥BP的点P有且只有1个
B. 点P到直线AB的距离最大值为225
C. 点A，B到直线l的距离分别为2和3，这样的直线恰好有三条
D. 圆O被过AB中点的直线l截得的弦长为 7，则直线l的方程为14x−48y+75=0
12.已知F1，F2分别为椭圆C：x216+y212=1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点(不在x轴上)，△PF1F2外接圆的圆心为H，半径为R，△PF1F2内切圆的圆心为I，半径为r，直线PI交x轴于点M，O为坐标原点，则( )
A. S△PF1F2最大时，r= 33B. PH⋅PO的最小值为8
C. |PI||PM|=23D. R⋅r的取值范围为(2,83]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B两点，若|AF|=4，则点A的坐标为______．
14.圆x2+y2−4=0与圆x2+y2−4x+4y−12=0的公共弦的长为 ．
15.已知数列{an}满足an=2n，在an和an+1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，⋯，则数列{bn}的前20项的和为______ ．
16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A=−23F2B，则C的离心率为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知三角形的三个顶点是A(4,0)，B(6,5)，C(0,3)，边BC上的高所在直线为l．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l关于点B对称的直线l′的方程．
18.(本小题12分)
已知等差数列{an}中，前n项和为Sn，已知a1+a3=6，a6=11．
(1)求Sn；
(2)设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知动点P(x,y)与两定点A(−1,0)，B(2,0)的距离的比为12．
(1)求动点P的轨迹方程并说明是什么图形；
(2)过点B作直线l，l与点P的轨迹C相交于M、N两点，已知Q(−2,0)，若S△MNQ=4 23，求直线l的方程．
20.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1+a23+⋯+an2n−1=n，Tn=1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若λTn≤an+49对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
21.(本小题12分)
双曲线C中心为坐标原点，左焦点为(−2 5,0)，离心率为 5．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(−4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，点F(2,0)，以线段FG为直径的圆与圆O相切，记动点G的轨迹为W．
(1)求W的方程；
(2)设点M在x轴上，点N(0,1)，在W上是否存在两点A，B，使得当A，B，N三点共线时，△ABM是以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标和直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为a=(1,−3,−2),b=(3,2,−5)，
对于A选项，由a=λb可得：(1,−3,−2)=λ(3,2,−5)，由题意得λ的值不存在，故A错误；
对于B选项，由a⋅b=3+(−6)+10=7≠0可知a⊥b不成立，故B错误；
对于C选项，a−b=(1,−3,−2)−(3,2,−5)=(−2,−5,3)≠(−2,−5,−3)，故C错误；
对于D选项，|a|= 12+(−3)2+(−2)2= 14，故D正确．
故选：D．
根据空间向量的共线，垂直的充要条件以及空间向量坐标的减法，模长定义即得．
本题考查空间向量的共线，垂直的充要条件以及空间向量坐标的减法、模长定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：抛物线x2=16y的焦点为F(0,4)，
所以点(2,5)到焦点的距离d= 22+(5−4)2= 5．
故选：B．
首先求出焦点坐标，再利用距离公式计算可得．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了点与点的距离公式，属基础题．
3.【答案】C
【解析】解：设公比为q(q≠0)，
∵a2，a3，a4−2成等差数列，∴2a3=a2+a4−2，
则2×2q=2+2q2−2，解得：q=2或0(舍去)，
a2=2，∴a1=1，故S4=1×(1−24)1−2=15．
故选：C．
设出公比，根据a2，a3，a4−2成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式求出答案．
本题主要考查等差与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：直线(a+1)x+ay+3=0与直线2ax+y−5=0平行的充要条件为(a+1)−2a2=0，
整理得2a2−a−1=0，解得a=1或−12，
故当a=1或−12时，两直线平行；
故“a=1”是“直线(a+1)x+ay+3=0与直线2ax+y−5=0平行”的充分不必要条件．
故选：A．
直接利用直线平行的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：直线平行的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：如图，连接ON，
∵ON是BC的中点，∴ON=12OB+12OC，
∵OM=2MA，∴OM=23OA，
∴MN=ON−OM=12OB+12OC−23OA=−23a+12b+12c．
故选：B．
根据向量的加法和减法的三角形法则得到．
本题主要考查空间向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，其首项为 22，公比为 22，
故对折5次后，得到的等腰直角三角形的腰长为( 22)5= 28，斜边长为 28× 2=14，
设所求内切圆半径为r，由等面积法可得12×( 28)2=12(14+ 28+ 28)r，解得r= 2−18．
故选：A．
根据等比数列的性质，结合等面积法加以计算，即可得到本题的答案．
本题主要考查等比数列的通项与性质、三角形内切圆半径的求法等知识，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：F为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，P为C上的动点，
由椭圆的性质，可得|PF|min=a−c．
∵过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，
∴|MN|=2b2a.∵|MN|等于|PF|的最小值的3倍，
∴2b2a=3(a−c)．
∵椭圆中a2−b2=c2，
∴2(a2−c2)=3a2−3ac，即2c2−3ac+a2=0，
则2c2a2−3aca2+a2a2=0，
∵e=ca，
∴2e2−3e+1=0，解得e=12或e=1(舍)．
故选：B．
根据椭圆的性质以及通径，可得|PF|min=a−c，|MN|=2b2a，再根据已知列式，结合椭圆a、b、c的关系，求出离心率即可．
本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意可设MN直线为y=k(x+3)，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，且x1，x2>0，
联立y=k(x+3)y2=12x，可得k2x2+(6k2−12)x+9k2=0，
则Δ>0，x1+x2=12−6k2k2，x1x2=9，
又|MF|=2|NF|，且p=6，
∴p2+x1=2(p2+x2)，∴x1=3+2x2，
∴x1x2=(3+2x2)x2=9，x2>0，
解得x2=32，∴x1=3+2x2=3+3=6，
∴|MF|=p2+x1=3+6=9．
故选：B．
设MN直线为y=k(x+3)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，且x1，x2>0，联立y=k(x+3)y2=12x，利用韦达定理及|MF|=2|NF|建立方程求出x1，再根据抛物线的焦点弦长公式计算，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，直线方程中y的系数不为0，故l的斜率一定存在，故A正确；
对于B，直线l：mx+y−2m=0，即m(x−2)+y=0，
故l恒过定点(2,0)，故B正确；
对于C，当m= 3时，直线l的斜率为− 3，直线的倾斜角为120°，故C错误；
对于D，当m=−2时，直线l：y=2x−4，
直线l过一、三、四象限，不过第二象限，故D正确．
故选：ABD．
根据已知条件，结合直线的性质，依次判断．
本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查等差数列的运算，涉及到等差数列的通项公式、不等式组等基础知识，考查运算求解能力等核心数学素养，是基础题．
利用等差数列通项公式推导出d=13−λ16+8λ，再由d∈[1,2]，列出不等式组能求出实数λ的可能取值．
【解答】
解：等差数列{an}中，a1=1，公差d∈[1,2]，且a3+λa9+a15=15，
∴1+2d+λ(1+8d)+1+14d=15，
整理得d=13−λ16+8λ，
∴d∈[1,2]，
∴13−λ16+8λ≥113−λ16+8λ≤2，解得−1917≤λ≤−13．
∴实数λ的可能取值为−13，−1917．
故选：AB．
11.【答案】BC
【解析】解：A选项，AB中点坐标为(32,2)，|AB|=5，所以以AB为直径的圆的方程为(x−32)2+(y−2)2=(52)2，半径为52，
(0,0)与(32,2)的距离为 94+4=52，52−2<52<52+2，
所以圆(x−32)2+(y−2)2=(52)2与圆x2+y2=4相交，所以满足AP⊥BP的点P有2个，所以A选项错误．
B选项，直线AB的方程为x3+y4=1，即4x+3y−12=0，
(0.0)到直线4x+3y−12=0的距离为125>2，
所以点P到直线AB的距离最大值为125+2=225，所以B选项正确．
C选项，以A为圆心，半径为2作圆；以B为圆心，半径为3作圆；如下图所示，
|AB|=5=2+3，所以两圆外切，公切线有3条，所以点A，B到直线l的距离分别为2和3，
这样的直线恰好有三条，C选项正确；
D选项，AB中点坐标为(32,2)，
由x=32x2+y2=4，解得x1=32y1= 72或x2=32y2=− 72，所以直线x=32与圆O相交所得弦长为 7，所以D选项错误．

故选：BC．
根据圆与圆的位置关系、点到直线的距离、圆的弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想，考查运算求解能力，属中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：对于A，设P(x,y)，−4所以S△PFF2=12|F1F2|⋅|y|=c⋅|y|=2|y|，则当P在短轴的端点时，
S△PF1F2取得最大，且最大值为4 3，
又S△PF1F2=S△IF1F2+S△IF1P+S△IF2P=12(|F1F2|+|PF1|+|PF2|)r=12(2a+2c)r=6r，
所以当S△PF1F2最大时，6r=4 3，即r=2 33，故A不正确；
对于B，过点H作HG⊥PF1，垂足为点G，又点H为△PF1F2外接圆的圆心，
即为△PF1F2三条边的中垂线的交点，则点G为PF1的中点，
由PH⋅PO=12PH⋅(PF1+PF2)=12(PH⋅PF1+PH⋅PF2)，
又PH⋅PF1=(PG+GH)⋅PF1=PG⋅PF1=12PF12，同理PH⋅PF2=12PF22，
所以PH⋅PO=14(PF12+PF22)=14(||PF1|2+|PF2|2)≥12(|PF1|+|PF2|2)2=a22=8，
当且仅当|PF1|=|PF2|=a 时等号成立，即PH⋅PO的最小值为8，故B正确；
对于C，由△PF1F2内切圆的圆心为I，则IF1，IF2分别是∠PF1F2，∠PF2F1的角平分线，
则由角平分线定理可得|PI||IM|=|PF1||F1M|=|PF2||F2M|，即|PI||IM|=|PF1|+|PF2||F1M|+|F2M|=2a2c=ac=1e=2，故C错误；
对于D，设∠F1PF2=θ，|PF1|=a1，|PF2|=a2，由正弦定理可得2R=|F1F2|sinθ=2csinθ，
即R=csinθ=2sinθ，
csθ=a12+a22−(2c)22a1⋅a2=(a1+a2)2−2a1⋅a2−4c22a1⋅a2=4b2−2a1⋅a22a1⋅a2，
即a1⋅a2=2b2csθ+1=24csθ+1，
因为S△PF1F2=12a1a2sinθ=12sinθcsθ+1=12sinθ2csθ2cs2θ2=12tanθ2，
又结合A有S△PF1F2=6r，所12tanθ2=6r，即2tanθ2=r，
所以R⋅r=4tanθ2sinθ=2cs2θ2，
又因为当P在短轴的端点时，θ最大，此时PF1=PF2=F1F2=2，θ=60°，所以θ∈(0°,60°]，
即θ2∈(0°,30°]，所以csθ2∈[ 32,1)，故R⋅r=2cs2θ2∈(2,83]，故D正确．
故选：BD．
对于A，根据当P在短轴的端点时，S△PF1F2取得最大，再根据面积相等代入进而即可求解；对于B，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；对于C，运用角平分线定理即可求解；对于D，由正弦定理可得R，再又结合A可得r，再根据题意即可求解．
本题考查椭圆的性质，基本不等式，向量的应用，正弦定理的综合应用，属于中档题．
13.【答案】(3,2 3)或(3,−2 3)
【解析】解：如图所示，F(1,0)．
∵|AF|=4，∴xA+1=4，解得xA=3．
代入抛物线方程可得yA=2 3，或yA=−2 3，
∴点A的坐标为(3,2 3)或(3,−2 3).
故答案为：(3,2 3)或(3,−2 3).
由抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，由焦半径公式求得A的横坐标，代入抛物线方程即可求得点A的坐标．
本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线焦半径公式的应用，是基础题．
14.【答案】2 2
【解析】【分析】
此题考查了圆与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．
两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．
【解答】
解：圆x2+y2−4=0与圆x2+y2−4x+4y−12=0的方程相减得：x−y+2=0，
由圆x2+y2−4=0的圆心(0,0)，半径r为2，
且圆心(0,0)到直线x−y+2=0的距离d=|0−0+2| 2= 2，
则公共弦长为2 r2−d2=2 4−2=2 2．
故答案为：2 2．
15.【答案】77
【解析】解：在an，an+1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，⋯，
所以共有n+[1+2+⋯+(n−1)]=n+(n−1)(1+n−1)2=12(n2+n)个数，
当n=5时，12×(52+5)=15，当n=6时，12×(62+6)=21，
由于an=2n，所以S20=(a1+a2+⋯+a5)+(20−5)×1=2(1−25)1−2+15=77．
故答案为：77．
先根据题意得到数列有多少个数，再根据an=2n即可计算数列{bn}的前20项的和．
本题考查的知识要点：数列的求和公式和通项公式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】3 55
【解析】解：(法一)如图，设F1(−c,0)，F2(c,0)，B(0,n)，
设A(x,y)，则F2A=(x−c,y),F2B=(−c,n)，
又F2A=−23F2B，则x−c=23cy=−23n，可得A(53c,−23n)，
又F1A⊥F1B，且F1A=(83c,−23n),F1B=(c,n)，
则F1A⋅F1B=83c2−23n2=0，化简得n2=4c2．
又点A在C上，
则259c2a2−49n2b2=1，整理可得25c29a2−4n29b2=1，
代n2=4c2，可得25c2a2−16c2b2=9，即25e2−16e2e2−1=9，
解得e2=95或15(舍去)，
故e=3 55．
(法二)由FA=−23FB，得|F2A||F2B|=23，
设|F2A|=2t,|F2B|=3t，由对称性可得|F1B|=3t，
则|AF1|=2t+2a,|AB|=5t，
设∠F1AF2=θ，则sinθ=3t5t=35，
所以csθ=45=2t+2a5t，解得t=a，
所以|AF1|=2t+2a=4a,|AF2|=2a，
在△AF1F2中，由余弦定理可得csθ=16a2+4a2−4c216a2=45，
即5c2=9a2，则e=3 55．
故答案为：3 55．
(法一)设F1(−c,0)，F2(c,0)，B(0,n)，根据题意可得点A的坐标，进一步得到F1A=(83c,−23n),F1B=(c,n)，再由F1A⊥F1B，可得n2=4c2.结合点A在双曲线上，可得解；
(法二)易知|F2A||F2B|=23，设|F2A|=2t,|F2B|=3t，∠F1AF2=θ，解三角形可知5c2=9a2，进而得解．
本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为点B(6,5)，C(0,3)，所以kBC=13，
因为l⊥BC，所以kl=−1kBC=−3，
因为l经过点A(4,0)，所以直线l的方程为：y=−3(x−4)，
即直线l的方程为3x+y−12=0；
(2)设直线l′的方程为3x+y+m=0(m≠−12)，
由点B(6,5)到直线l和直线l′的距离相等，
所以|3×6+5−12| 10=|3×6+5+m| 10，
解得m=−34，
所以直线l′的方程为3x+y−34=0．
【解析】(1)由题意可得直线BC的斜率，进而可得直线l的斜率，代入点斜式方程，可得直线l的方程；
(2)由题意可得直线l′//l，设直线l′的方程，由点到直线的距离相等，可得参数的值，即求出直线l′的方程．
本题考查互相垂直的直线的斜率的关系的应用及点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设公差为d，
由a1+a3=6，a6=11，
得2a2+2d=6a1+5d=11，解得a1=1d=2，
所以an=2n−1，
故Sn=(1+2n−1)n2=n2；
(2)由(1)得bn=1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
所以Tn=12(1−13+13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．
【解析】(1)求出首项与公差，再根据等差数列的前n项和公式即可得解；
(2)利用裂项相消法求解即可．
本题考查数列的通项和前n项和的求解，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由动点P(x,y)与两定点A(−1,0)，B(2,0)的距离的比为12，
可得 (x+1)2+(y−0)2=12 (x−2)2+(y−0)2，
整理得x2+y2+4x=0，即(x+2)2+y2=4，
所以动点P是以(−2,0)为圆心，2为半径的圆．
(2)解法一：由题意知l的斜率一定存在且不等于0，
设直线l：y=k(x−2)，即kx−y−2k=0，
点Q到l的距离d=|−2k−2k| k2+1=4|k| k2+1，
则弦长为|MN|=2 r2−d2=2 4−16k2k2+1=2 4−12k2k2+1，
因为S△MNQ=12|MN|⋅d，所以4 23= 4−12k2k2+1⋅4|k| k2+1，
化简得55k4−16k2+1=0，解得k2=15或k2=111，所以k=± 55或k=± 1111，
所以直线l的方程为x± 5y−2=0或x± 11y−2=0．
方法二：由题意知l的斜率一定存在且不等于0，
设直线l：x=ty+2，且点M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立方程x=ty+2(x+2)2+y2=4，整理得(t2+1)y2+8ty+12=0，
所以Δ=64t2−48(t2+1)>0，即t2>3，且y1+y2=−8tt2+1,y1y2=12t2+1，
则S△MNQ=S△BQM−S△BQN=12|BQ|⋅|y1−y2|=2 (y1+y2)2−4y1y2=2 16t2−48t2+1=8 t2−3t2+1，
因为S△MNQ=4 23，所以8 t2−3t2+1=4 23，
化简得t4−16t2+55=0，解得t2=5或t2=11，所以t=± 5或t=± 11，
所以直线l的方程为x± 5y−2=0或x± 11y−2=0．

【解析】(1)根据题意，列出方程 (x+1)2+(y−0)2=12 (x−2)2+(y−0)2，即可求解；
(2)解法一：设直线l：y=k(x−2)，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，得到△MNQ的面积，列出方程求得k的值，即可求解；
方法二：设直线l：x=ty+2，联立方程组，得到y1+y2=−8tt2+1,y1y2=12t2+1，结合S△MNQ=S△BQM−S△BQN=12|BQ|⋅|y1−y2|，列出方程，求得t的值，即可求解．
本题考查圆的方程的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由数列{an}满足a1+a23+⋯+an2n−1=n，
当n≥2时，可得a1+a23+⋯+an−12n−3=n−1，
两式相减，可得an2n−1=1，即an=2n−1，
又由n=1时，可得a1=1，适合上式，
所以数列{an}的通项公式an=2n−1．
(2)由(1)知an=2n−1，1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
所以Tn=1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1=12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]
=12(1−12n+1)=n2n+1，
因为λTn≤an+49对任意n∈N*恒成立，即λ⋅n2n+1≤2n+48对任意n∈N*恒成立，
即λ≤(2n+48)(2n+1)n对任意n∈N*恒成立，
令f(x)=(2x+48)(2x+1)x,x>0，即f(x)=4x2+98x+48x=4x+48x+98，
可得函数f(x)在区间(0,2 3)上单调递减，在区间(2 3,+∞)上单调递增，
又由f(3)=126，f(4)=126，
所以(2n+48)(2n+1)n的最小值为126，可得λ≤126，
所以实数λ的取值范围为(−∞,126]．
【解析】(1)由a1+a23+⋯+an2n−1=n，当n≥2时，可得a1+a23+⋯+an−12n−3=n−1，两式相减，得到an=2n−1，再由a1=1，即可求解；
(2)由(1)得到1anan+1=12(12n−1−12n+1)，结合裂项相消法求和，求得Tn=n2n+1，因为λTn≤an+49对任意n∈N*恒成立，转化为λ≤(2n+48)(2n+1)n对任意n∈N*恒成立，令f(x)=(2x+48)(2x+1)x，结合函数的单调性，求得(2n+48)(2n+1)n的最小值，即可求解．
本题考查了数列与不等式的综合，裂项相消法求和，属于较难题．
21.【答案】解：(1)双曲线C中心为原点，左焦点为(−2 5,0)，离心率为 5，
则c2=a2+b2c=2 5c2=a2+b2，解得a=2b=4，
故双曲线C的方程为x24−y216=1；
(2)证明：过点(−4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，
则可设直线MN的方程为x=my−4，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
记C的左，右顶点分别为A1，A2，
则A1(−2,0)，A2(2,0)，
联立x=my−44x2−y2=16，化简整理可得，(4m2−1)y2−32my+48=0，
故Δ=(−32m)2−4×48×(4m2−1)=264m2+192>0且4m2−1≠0，
y1+y2=32m4m2−1，y1y2=484m2−1，
直线MA1的方程为y=y1x1+2(x+2)，直线NA2方程y=y2x2−2(x−2)，
故x+2x−2=y2(x1+2)y1(x2−2)=y2(my1−2)y1(my2−6)
=my1y2−2(y1+y2)+2y1my1y2−6y1
=m⋅484m2−1−2⋅32m4m2−1+2y1m⋅484m2−1−6y1
=−16m4m2−1+2y148m4m2−1−6y1=−13，
故x+2x−2=−13，解得x=−1，
所以xP=−1，
故点P在定直线x=−1上运动．
【解析】(1)根据已知条件，结合双曲线的性质，即可求解；
(2)设出直线MN的方程，并与双曲线C联立，再结合韦达定理，推得x1+x2=32m4m2−1，x1x2=484m2−1，设出MA1，NA2直线方程，再联立方程，即可求解．
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
22.【答案】解：(1)设F1(−2,0)，以线段FG为直径的圆的圆心为点C，圆C与圆O相切于点H，
则|CF|=|CH|．
因为C为FG的中点，O为F1F的中点，
所以|FG|=2|CF|，|GF1|=2|CO|，
当圆C与圆O内切时，|GF|−|GF1|=2(|CF|−|CO|)=2(|CH|−|CO|)=2|OH|=2；
当圆C与圆O外切时，|GF1|−|GF|=2(|CO|−|CF|)=2(|CO|−|CH|)=2|OH|=2，
所以||GF1|−|GF||=2为定值，
又因为|F1F|=4>2，
所以动点G的轨迹是以F1，F为焦点的双曲线．
设它的方程是x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
则a=1，a2+b2=4，即b2=3，
所以W的方程为x2−y23=1；
(2)假设存在符合题意的点A，B，
由A，B，N三点共线，知直线AB斜率存在．
设直线AB的方程为y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=kx+1x2−y23=1消去y并整理，得(3−k2)x2−2kx−4=0，
则3−k2≠0Δ=4k2+16(3−k2)>0，
解得−2设线段AB的中点为T(x0,y0)，
则x0=x1+x22=k3−k2，y0=k23−k2+1=33−k2．
设点M(m,0)，则|AM|=|BM|，AM⊥BM．
则TM⊥AB，
即y0x0−m⋅k=−1，即33−k2k3−k2−m⋅k=−1，整理得m=4k3−k2，
由AM⊥BM，
得AM⋅BM=(m−x1,−y1)⋅(m−x2,−y2)=(x1−m)(x2−m)+y1y2=0，
即(x1−m)(x2−m)+(kx1+1)(kx2+1)=0，
即(1+k2)x1x2+(k−m)(x1+x2)+m2+1=0，
所以−4(1+k2)3−k2+2k(k−4k3−k2)3−k2+(4k3−k2)2+1=0，
整理得3k4−3=0，解得k=±1，
显然k=±1满足条件−2当k=1时，点M的坐标为(2,0)，直线AB的方程为y=x+1；
当k=−1时，点M的坐标为(−2,0)，直线AB的方程为y=−x+1．
所以存在满足题意的两点A，B，
此时M(2,0)，直线AB的方程为y=x+1，或M(−2,0)，直线AB的方程为y=−x+1．
【解析】(1)根据题意可知动点G的轨迹是以F1，F为焦点的双曲线，由此可得W的方程；
(2)假设存在符合题意的点A，B，设直线AB的方程为y=kx+1，与双曲线方程联立，分析可知AM⊥BM，得到AM⋅BM=0，进而建立关于k的方程，解出即可．
本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．