2022-2023学年陕西省西安市长安一中高一（上）第二次月考数学试卷

2022-2023学年陕西省西安市长安一中高一（上）第二次月考数学试卷

一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）已知集合，则的真子集的个数是　　

A．7 B．8 C．15 D．16

2．（5分）下列函数中，其定义域和值域不同的函数是　　

A． B． C． D．

3．（5分）若非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知，则下列判断正确的是　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知，：幂函数在上单调递减，则是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（5分）若角的终边与单位圆的交点坐标是，则等于　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知函数，给出下述论述，其中正确的是　　

A．当时，的定义域为，， 

B．一定有最小值 

C．当时，的值域为 

D．若在区间，上单调递增，则实数的取值范围是

9．（5分）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．2021年6月22日下午甲市发生里氏3.1级地震，2020年9月2日乙市发生里氏4.3级地震，则乙市地震所散发出来的能量与甲市地震所散发出来的能量的比值为　　

A．2 B．10 C．100 D．10000

10．（5分）设函数，若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是　　

A．， B． C．， D．，

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

11．（5分）如图是三个对数函数的图象，则　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

13．（5分）已知，那么的可能值为　　

A． B． C． D．

14．（5分）下列说法正确的有　　

A．的最小值为2 

B．已知，则的最小值为 

C．若正数，为实数，若，则的最大值为3 

D．设，为实数，若，则的最大值为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应的位置.

15．（5分）使命题“若，则”为真命题的一组，的值分别为 　　，　　．

16．（5分）化简：若，则　　．

17．（5分）函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则（5）　　．

18．（5分）设关于的不等式，，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的非负整数解的和为 　　．

四、解答题：（共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19．（12分）已知函数且，（2）．

（Ⅰ）若，，求的取值范围；

（Ⅱ）求不等式的解集．

20．（12分）（1）计算的值．

（2）已知，是第三象限角，求的值．

21．（12分）已知关于的不等式的解集为或．

（1）求，的值；

（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围．

22．（12分）已知函数是上的偶函数．

（1）求实数的值；

（2）判断函数在区间，上的单调性，并用定义证明；

（3）求函数在区间，上的最大值与最小值．

23．（12分）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．

（1）若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？

（2）某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？

2022-2023学年陕西省西安市长安一中高一（上）第二次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）已知集合，则的真子集的个数是　　

A．7 B．8 C．15 D．16

【考点】子集与真子集

【解答】解：集合，2，3，，元素个数为4个，

则的真子集的个数是．

故选：．

2．（5分）下列函数中，其定义域和值域不同的函数是　　

A． B． C． D．

【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域

【解答】解：、根据根式的意义，可得其定义域与值域均为，

、根据分式的意义，可得定义域，值域，

、为奇次根式，定义域、值域均为，

、二次函数定义域，值域，

故选：．

3．（5分）若非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是　　

A． B． C． D．

【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质

【解答】解：对于，令，，满足，但是，故错误，

对于，由可得，，所以，故正确，

对于，令，，满足，但是，故错误，

对于，令，，满足，但是，故错误，

故选：．

4．（5分）已知，则下列判断正确的是　　

A． B． C． D．

【考点】对数值大小的比较

【解答】解：，，

，，

即，；

故，

故选：．

5．（5分）已知，：幂函数在上单调递减，则是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】充分条件、必要条件、充要条件

【解答】解：等价于，

幂函数在上单调递减，

，且，

解得，

是的必要不充分条件，

故选：．

6．（5分）若角的终边与单位圆的交点坐标是，则等于　　

A． B． C． D．

【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义

【解答】解：角的终边与单位圆的交点坐标是，

所以，整理得，

所以．

故选：．

7．（5分）已知函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【考点】函数零点的判定定理

【解答】解：由题意可得（1）（2），解得，

故实数的取值范围是，

故选：．

8．（5分）已知函数，给出下述论述，其中正确的是　　

A．当时，的定义域为，， 

B．一定有最小值 

C．当时，的值域为 

D．若在区间，上单调递增，则实数的取值范围是

【考点】：命题的真假判断与应用

【解答】解：对于选项，，，即，或．正确；

对于选项，令，则复合函数是由，复合而成的

是单调递增的，而无最小值， 没有最小值．选项错误；

对于选项，当时，中的中的能够取到所有的正数，的值域为，选项是正确的；

对于选项，复合函数是由，复合而成的，而在定义域内是单调递增的，又在区间，上单调递增的，由复合函数的单调性可知，

在区间，上是单调递增的，则有，即．（1）

又在区间，上是恒成立的，则有即（2）

，所以，选项是错误的．

故选：．

9．（5分）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．2021年6月22日下午甲市发生里氏3.1级地震，2020年9月2日乙市发生里氏4.3级地震，则乙市地震所散发出来的能量与甲市地震所散发出来的能量的比值为　　

A．2 B．10 C．100 D．10000

【考点】对数的运算性质；根据实际问题选择函数类型

【解答】解：设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏4.3级地震所散发出来的能量为，

则①，②，

②①得：，解得：．

故选：．

10．（5分）设函数，若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是　　

A．， B． C．， D．，

【考点】函数的零点与方程根的关系

【解答】解：由条件得，其图像如图．

因为函数在区间内有且仅有两个零点等价于在内有且仅有两个实数根，

又等价于函数的图像与直线在内有且仅有两个公共点，

由图可得，，即．

故选：．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

11．（5分）如图是三个对数函数的图象，则　　

A． B． C． D．

【考点】对数函数的单调性与特殊点

【解答】解：由对数函数图象得，，，

令，由，及已知图象得，．

而是增函数，，

故选：．

12．（5分）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式

【解答】解：对于，，，

又，，故正确，

对于，取，，，，则，故错误，

对于，取，，，，则，故错误，

对于，，，，，故正确，

故选：．

13．（5分）已知，那么的可能值为　　

A． B． C． D．

【考点】同角三角函数间的基本关系

【解答】解：因为①，

又②，

联立①②，解得，或，

因为，所以，或．

故选：．

14．（5分）下列说法正确的有　　

A．的最小值为2 

B．已知，则的最小值为 

C．若正数，为实数，若，则的最大值为3 

D．设，为实数，若，则的最大值为

【考点】基本不等式及其应用

【解答】解：对于，当时，，故错误，

对于，当时，，

，当且仅当时，等号成立，故正确，

对于，若正数、满足，则，

，当且仅当时，等号成立，故错误，

对于，，

所以，可得，

当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故正确．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应的位置.

15．（5分）使命题“若，则”为真命题的一组，的值分别为 　　，　　．

【考点】等式与不等式的性质；命题的真假判断与应用

【解答】解：当时，命题“若，则”为真命题，

所以使命题“若，则”为真命题的一组，的值分别为，．

故答案为：，（答案不唯一）．

16．（5分）化简：若，则　　．

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数间的基本关系

【解答】解：若，则，，，

所以

．

故答案为：．

17．（5分）函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则（5）　125　．

【考点】对数函数的图象与性质

【解答】解：恒过定点，且在幂函数上，

，

，

，（5）．

故答案为：125．

18．（5分）设关于的不等式，，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的非负整数解的和为 　　．

【考点】一元二次不等式及其应用

【解答】解：令，其图象为抛物线，

因为只有有限个整数解，则，

又0为其中一个解，将代入不等式解得，又，则，，

所以不等式化为和，

分别解得和，

因为为整数，所以，，，，0，和，，，0，1，2，3，

所以全部不等式的整数解的和为，

故答案为：．

四、解答题：（共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19．（12分）已知函数且，（2）．

（Ⅰ）若，，求的取值范围；

（Ⅱ）求不等式的解集．

【考点】函数的值域；指、对数不等式的解法

【解答】解：（Ⅰ）函数且，（2），

，函数．

若，，，，故的取值范围为，．

（Ⅱ）不等式，即，，解得，

故不等式的解集为，．

20．（12分）（1）计算的值．

（2）已知，是第三象限角，求的值．

【考点】对数的运算性质；运用诱导公式化简求值

【解答】解：（1）

；

（2）因为，是第三象限角，

所以．

21．（12分）已知关于的不等式的解集为或．

（1）求，的值；

（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围．

【考点】一元二次不等式及其应用；不等式恒成立的问题

【解答】解：（1）不等式的解集为或，

所以1和2是方程的两根且，

则有，

解得，．

（2）由（1）知为，

所以，

当且仅当，即、时取“”，

所以不等式恒成立时，，

解得，

所以的取值范围是．

22．（12分）已知函数是上的偶函数．

（1）求实数的值；

（2）判断函数在区间，上的单调性，并用定义证明；

（3）求函数在区间，上的最大值与最小值．

【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数的最值及其几何意义；奇偶性与单调性的综合

【解答】解：（1）函数是上的偶函数，，

解得；

（2）由（1）得：，在，上为增函数，证明如下：

令任意，，且，则，

，

即，

函数在，上为增函数；

（3）由（2）知，函数在，上为增函数，又是偶函数，

在，上为减函数，

又，，（2），

所以的最大值为1，最小值为．

23．（12分）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．

（1）若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？

（2）某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？

【考点】根据实际问题选择函数类型

【解答】解：（1）设服用1粒，经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克，可得，解得，

所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果．

（2）设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；

若，药物浓度，解得，

若，药物浓度，解得，所以；

若，药物浓度，解得，所以；

综上，

所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时．